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第一章 一元二次方程（10大题型）
题型1 一元二次方程的概念与解（常考点） 题型6解一元二次方程（重点）
题型2 一元二次方程的实数根（常考点） 题型7 一元二次方程的实际应用（二）（重点）
题型3 一元二次方程的根与系数（常考点） 题型8 一元二次方程的新定义方程（难点）
题型4 一元二次方程的实际应用（一）（常考点） 题型9 配方法求最值（难点）
题型5 一元二次方程的新定义运算（重点） 题型10 阅读理解题（难点）
题型一 一元二次方程的概念与解（常考点）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（）
A． B． C． D．
2．若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．2026 B．2028 C．2032 D．2034
3．若是方程的一个根，则式子的值为 ．
题型二 一元二次方程的实数根（常考点）
1．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ）
A．9 B． C． D．
2．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一个实根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
3．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
题型三 一元二次方程的根与系数（常考点）
1．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．
2．已知，是方程的两个根，则的值为（ ）
A．55 B．43 C．61 D．37
3．已知关于x的一元二次方程两实数根，满足 ，求k的值为 ；
题型四 一元二次方程的实际应用（一）（常考点）
1．若某学习小组所有成员都向群内其他人发一条信息，共发出条信息，设这个群有人，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．《新课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过程．某校积极实施，建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为．设道路的宽为，可列方程为 ．
题型五 一元二次方程的新定义运算（重点）
1．对于实数a、b，定义运算“⊙如下：．例如：．若，则m的值为（ ）
A． B．4 C．或4 D．无法计算
2．定义新运算：，例如：，．若，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
3．定义新运算：规定，例如，若，则的值为 ．
题型六 解一元二次方程（重点）
1．解方程：
(1)
(2)
2．解下列方程：
(1)；
(2)．
3．解方程
(1)；
(2)．
题型七 一元二次方程的实际应用（二）（重点）
1．张掖红梨果皮色泽鲜红，是外观精美的梨族新秀．若将进货价为8元/千克的张掖红梨按10元/千克出售，每日能销售100千克．已知张掖红梨在一定范围内每涨价1元/千克，其日销售量就减少10千克，为了能获取更大的利润，决定对其涨价x元/千克销售．回答下列问题：
(1)每千克张掖红梨的利润为___________元(用含x的代数式表示)；
(2)若每天要盈利320元，则该张掖红梨的售价应为多少元？
2．为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．
(1)当的长为多少米时，生态园的面积为
(2)生态园的面积能达到 吗 如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
3．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以相同的速度向点D移动，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当________秒时，四边形为矩形．
(2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由．
(3)运动过程中，点P和点Q的距离可能是吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由．
题型八 一元二次方程的新定义方程（难点）
1．定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由；
(2)已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________；
(3)已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值．
2．【阅读理解】
定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．
(1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有_______；（只填写序号即可）
①；②；③
(2)关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值；
(3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值．
3．定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”
(1)下列方程是“邻根方程”的是_________（填序号）
①；②；③；④．
(2)若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求：请求出k的值．
(3)若（，，均为常数，）是关于的“邻根方程”，则方程是“邻根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由．
题型九 配方法求最值（难点）
1．阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用．
（一）用配方法分解因式：．
解：
．
（二）用配方法求代数式的最小值．
解：
，
，
≥－1．
即的最小值为．
请仿照以上例子解答下列问题：
(1)若代数式是完全平方式，则常数的值为_____；（直接写出结果）
(2)用配方法分解因式：；
(3)用配方法求代数式的最小值．
2．阅读材料：
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解或求最值．例如：
材料一：
材料二：
的最小值为．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)依照阅读材料的方法分解因式：；
(2)已知a、b、c是的三边长，且满足，求的周长；
(3)已知实数a、b满足，求的最值．
3．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．
【解决问题】
（1）已知25是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式________；
（2）若可配方成（、为常数），则________；
【探究问题】
（3）已知，则________；
（4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由；
题型十 阅读理解题（难点）
1．阅读材料，并解决问题：
【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得新方程，所以原方程的正数解为．
(1)上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是 ．
A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体代换思想
(2)【实践】小明根据赵爽的办法解方程请你帮忙画出相应的图形，将其求解过程补充完整：
第一步：将原方程变形为 ；
第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在图2中画出示意图），则新构图中大正方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即 （用式子表示即可）
第三步：得新方程 ．因为表示边长，解得 ．
(3)【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么此方程的正根为 ．
2．阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：，n是一元二次方程的两个实数根，
，．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程的两个实数根为，，则______，______；
(2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n且，求的值；
(3)提升：已知实数s，t满足，且，求的值．
3．阅读材料：材料1：类比解一元二次方程，解一元二次不等式，
解：，可化为，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有
（1）或（2）解不等式组（1），得，解不等式组（2），得，
故的解集为或，即一元二次不等式的解集为或．
材料2：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以用其他的方法：比如先令，然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围，请仔细阅读下面的例子：例：求的取值范围：
解：令
即
解决问题：请根据上述材料，解答下列问题．
(1)直接写出不等式的解集是__________；
(2)求出代数式的取值范围；
(3)若关于的代数式（其中、为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的、的值．
答案与解析
题型一 一元二次方程的概念与解（常考点）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了元二次方程的定义；根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项．
【详解】解：∵一元二次方程需同时满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程．
选项A：，未知数次数为1，不符合条件②；
选项B：，含两个未知数，不符合条件①；
选项C：，含有分式，不是整式方程，不符合条件③；
选项D：，只含一个未知数x，最高次数为2，且为整式方程，符合所有条件．
故选：D．
2．若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．2026 B．2028 C．2032 D．2034
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是理解方程解的定义．
根据方程解的定义求出，整体代入求解．
【详解】解：是一元二次方程的一个根，
，
，
．
故选：A．
3．若是方程的一个根，则式子的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查方程根的定义和代数式求值，由是方程的根，可得，再整体代入计算；
【详解】解：由题意得：，
∴；
∴，
故答案为：．
题型二 一元二次方程的实数根（常考点）
1．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式大于零，据此求出m的取值范围．
【详解】解：∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
2．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一个实根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况．
【详解】解：∵ 方程 中，
∴ ，
∴ 方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
3．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零结合根的判别式，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
其中，，，
由，得，
由，
得，即，
故且，
故答案为：且．
题型三 一元二次方程的根与系数（常考点）
1．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，利用一元二次方程的根与系数的关系得到，，，再通过公式 ，然后整体代入计算即可．
【详解】解：∵ 方程 的两根分别为 、，
∴ ，，
∴ ，
故选：D．
2．已知，是方程的两个根，则的值为（ ）
A．55 B．43 C．61 D．37
【答案】A
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握是解题的关键．
利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后通过恒等变形求解 ．
【详解】解：∵ , 是方程 的根，
∴ 方程化为 ，
∴ 由根与系数的关系，得 , ，
∴ ，
故选：A．
3．已知关于x的一元二次方程两实数根，满足 ，求k的值为 ；
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题关键；利用根与系数的关系得到关于的方程，然后解方程即可．
【详解】解：∵两实数根，，
∴，，
由 ，
代入得 ，
即 ，
化简得 ，
即，
解得 ，，
又判别式
，
即 ，
故 不符合，舍去， 符合，
故答案为：．
题型四 一元二次方程的实际应用（一）（常考点）
1．若某学习小组所有成员都向群内其他人发一条信息，共发出条信息，设这个群有人，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．每个成员向其他成员各发一条信息，总信息数为成员数乘以每人发送条数，即．
【详解】解：设这个群有人，每人向其他人发一条信息，
总信息条数为，
根据题意得，
故选：C．
2．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用—增长率问题．
根据一月份的营业额，计算二月份和三月份的营业额，利用第一季度总营业额列方程即可．
【详解】解：一月份营业额为200万元，
二月份营业额为万元，
三月份营业额为万元，
∴第一季度总营业额为．
故选：D．
3．《新课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过程．某校积极实施，建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为．设道路的宽为，可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程即可．
【详解】解：原图经过平移转化为图1．
根据题意，得．
故答案为：．
题型五 一元二次方程的新定义运算（重点）
1．对于实数a、b，定义运算“⊙如下：．例如：．若，则m的值为（ ）
A． B．4 C．或4 D．无法计算
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程．
【详解】解：根据题意得，，
，
，
或，
所以．
故选：C．
2．定义新运算：，例如：，．若，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．
根据新定义运算法则列出方程求解即可．
【详解】解：∵
而，
∴①当时，则有，
解得，；
②当时，，
解得，，
综上所述，x的值是或．
故选：D．
3．定义新运算：规定，例如，若，则的值为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了新定义运算和一元二次方程的求解，解题的关键是根据新定义列出方程并准确求解．
根据新运算规则列出方程，整理为一元二次方程后，用求根公式求解．
【详解】解：由新定义，得 ，
即 ，
整理得 ．
解此一元二次方程，判别式 ，
，
解得 ，．
故答案为： 或
题型六 解一元二次方程（重点）
1．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，；
(2)，
【分析】本题主要考查了一元二次方程的因式分解解法，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
（1）先移项，将等式右边化为0，再提取公因式进行因式分解，进而求解方程；
（2）先将左边展开并整理为一元二次方程的一般形式，再通过因式分解求解方程．
【详解】（1）解：，
，
∴或
∴或；
（2）解：，
，
，
∴或
∴，
2．解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是关键．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
解得，；
（2）解：，
，
，
．
解得，．
3．解方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（）把右边移到左边，再利用因式分解法解答即可；
（）利用因式分解法解答即可；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
即，
∴或，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
∴，．
题型七 一元二次方程的实际应用（二）（重点）
1．张掖红梨果皮色泽鲜红，是外观精美的梨族新秀．若将进货价为8元/千克的张掖红梨按10元/千克出售，每日能销售100千克．已知张掖红梨在一定范围内每涨价1元/千克，其日销售量就减少10千克，为了能获取更大的利润，决定对其涨价x元/千克销售．回答下列问题：
(1)每千克张掖红梨的利润为___________元(用含x的代数式表示)；
(2)若每天要盈利320元，则该张掖红梨的售价应为多少元？
【答案】(1)
(2)售价应为12元或16元
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
（1）根据售价减去进价即可求出答案；
（2）根据每天要盈利320元即可列出方程，解方程即可求出答案．
【详解】（1）解：由题意可得，每千克张掖红梨的利润为元，
故答案为：
（2）由题意可得，
解得，
∴（元）或（元）
答：售价应为12元或16元．
2．为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．
(1)当的长为多少米时，生态园的面积为
(2)生态园的面积能达到 吗 如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)米或米
(2)不能，理由见解析
【分析】（）设的长为米，则，根据题意列出方程即可求解；
（）根据题意列出方程，再根据方程的解的情况即可判断求解；
本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】（1）解：设的长为米，则，
由题意得，，
整理得，，
解得，，
答：当的长为米或米时，生态园的面积为；
（2）解：不能，理由如下：
当时，方程整理得，
∵，
∴方程无实数解，
∴生态园的面积不能达到 ．
3．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以相同的速度向点D移动，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当________秒时，四边形为矩形．
(2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由．
(3)运动过程中，点P和点Q的距离可能是吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由．
【答案】(1)4
(2)能，
(3)能，或7
【分析】（1）根据当时，四边形为矩形，列出方程，求出解即可；
（2）根据当时，四边形为菱形，在中，根据勾股定理列出方程，求出解即可；
（3）先作出辅助线，表示，再根据勾股定理列出方程，求出解即可．
【详解】（1）解：∵点P、Q分别从点A、C同时出发，速度相同．
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴则，
根据题意得，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴当时，四边形为矩形，
，
解得，
∴秒时，四边形为矩形．
（2）解：运动过程中，四边形可以为菱形，理由如下：
连接、，
∵点、分别从点、同时出发，速度相同，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴当时，四边形为菱形
在中，，，
∴
即
解得，
∴运动时间为时，四边形为菱形．
（3）解：点和点的距离可以是，理由如下：
过点作于点，
则四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，有，
即，
解得，．
∴当运动时间为或时，点和点的距离是．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了动点问题，勾股定理，矩形和菱形的性质，一元二次方程的解法，灵活掌握相关知识是解决问题的关键．
题型八 一元二次方程的新定义方程（难点）
1．定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由；
(2)已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________；
(3)已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值．
【答案】(1)方程是“黄金方程”，理由见解析
(2)
(3)m的值为1或
【分析】本题考查了一元二次方程的新定义问题，对该新定义的理解以及一元二次方程的相关知识点的掌握是解题的关键．
（1）根据“黄金方程”的定义，验证是否等于0；
（2）根据“黄金方程”的定义，得出；再根据一元二次方程根的定义，即时方程成立，得出；联合上述两个方程，即可求出a、c的值，最后得出该“黄金方程”的表达式；
（3）解题思路与（2）基本一致，根据“黄金方程”的定义和一元二次方程根的定义，得出与m、n相关的两个方程，为便于计算，用m表示n，可得出与m有关的一元二次方程，解出m的值即可．
【详解】（1）解：在方程中，，，，
∴，
故方程是“黄金方程”．
（2）解：∵方程是“黄金方程”，
∴，
∵2是此方程的一个根，
∴将代入方程 ，得，
得方程组，解得，
∴该方程为．
故答案为：．
（3）解：∵方程是“黄金方程”，
∴，
又∵m是此方程的一个根，
∴，即，
将代入，
得一元二次方程，解得或．
故m的值为1或．
2．【阅读理解】
定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．
(1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有_______；（只填写序号即可）
①；②；③
(2)关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值；
(3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值．
【答案】(1)②③
(2)的值是3或
(3)或．
【分析】本题考查了解一元二次方程、新定义“同伴方程”．熟练掌握以上知识点是关键．
（1）分别求出三个方程的解，根据“同伴方程”的定义进行判断即可；
（2）先求出一元二次方程的解，根据一元二次方程与为“同伴方程”，分情况求解即可；
（3）一元二次方程同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可．
【详解】（1）解：①解方程，
可得：；
②解方程，
可得：，；
③解方程，
可得：，；
其中方程②和方程③有且只有一个相同的实数根，
方程②③是“同伴方程”；
故答案为：②③；
（2）解：解方程，
可得：，，
当相同的根是时，
把代入可得，
解得：；
此时方程为，
可得，，符合题意；
当相同的根是时，
把代入可得，
解得：，
此时方程为，可得：，，符合题意；
的值是3或；
（3）解：由条件可知方程的解是，，
方程可整理为
方程的解为，，
方程与方程是“同伴方程”，
或，
或．
3．定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”
(1)下列方程是“邻根方程”的是_________（填序号）
①；②；③；④．
(2)若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求：请求出k的值．
(3)若（，，均为常数，）是关于的“邻根方程”，则方程是“邻根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由．
【答案】(1)②④
(2)
(3)方程是“邻根方程”，，
【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，理解“邻根方程”的定义是解此题的关键；
（1）分别求得①②③④中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可；
（2）利用根与系数的关系和“邻根方程”的定义列出关于的方程求解即可；
（3）解方程，，均为常数，求得两个根，由“邻根方程”的定义计算得出，即，解，计算两个根的差即可判断方程是“邻根方程”，进一步代入，即可求得方程的根．
【详解】（1）解：①解方程得，，
，
方程不是“邻根方程”；
②解方程得，，
，
方程是“邻根方程”；
③解方程得，
，
方程不是“邻根方程”；
④解方程得，，
，
方程是“邻根方程”．
故答案为：②④．
（2）解： 方程是“邻根方程”，、是方程的两根，
，，，
，
，
解得；
（3）解：方程是“邻根方程”
由题意可知，方程，，均为常数，有两个实数根，
，
，，均为常数，是关于的“邻根方程”，
，
，
，
，
，
，
，
方程是“邻根方程”
则，
方程的根为或．
题型九 配方法求最值（难点）
1．阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用．
（一）用配方法分解因式：．
解：
．
（二）用配方法求代数式的最小值．
解：
，
，
≥－1．
即的最小值为．
请仿照以上例子解答下列问题：
(1)若代数式是完全平方式，则常数的值为_____；（直接写出结果）
(2)用配方法分解因式：；
(3)用配方法求代数式的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（）根据完全平方公式解答即可；
（）仿照（一）解答即可；
（）仿照（二）解答即可；
本题考查了完全平方公式，配方法及因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：∵代数式是完全平方式，
∴，
即，
∴，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：
，
∵，
∴，
∴
即代数式的最小值是．
2．阅读材料：
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解或求最值．例如：
材料一：
材料二：
的最小值为．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)依照阅读材料的方法分解因式：；
(2)已知a、b、c是的三边长，且满足，求的周长；
(3)已知实数a、b满足，求的最值．
【答案】(1)
(2)12
(3)的最小值4，无最大值
【分析】本题考查了配方法、平方差公式以及完全平方公式的应用，熟记公式是解题的关键．
（1）先通过配方法将多项式转化为完全平方形式，再利用平方差公式进行因式分解．
（2）通过配方法将等式转化为完全平方和的形式，根据非负性求出三边长度，进而求出周长．
（3）先用含的式子表示, 再代入, 通过配方法求最值．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
解得，
的周长为；
（3）解：，
，
，
，
，
，
有最小值4，无最大值．
3．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．
【解决问题】
（1）已知25是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式________；
（2）若可配方成（、为常数），则________；
【探究问题】
（3）已知，则________；
（4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由；
【答案】（1）
（2）
（3）
（4），理由见详解
【分析】本题考查了配方法，非负数的性质以及对新定义“完美数”的理解与应用．理解新定义“完美数”的定义是解题的关键．
（1）根据“完美数”的定义找到两个整数的平方和为即可；
（2）对二次三项式用配方法，凑出完全平方形式，对比得出和的值进行计算即可；
（3）将原始拆分为两个完全平方的和，利用非负数的性质求出，的值，再计算即可；
（4）先对进行配方，整理为两个整数平方和的形式，结合“完美数”的定义，确定常数的值，使剩余项抵消即可．
【详解】解：（1），符合“完美数”的定义．
故答案为（答案不唯一）；
（2）对配方，
得到
，
，
．
故答案为；
（3）对式子进行配方
，
，
且，
，
．
故答案为；
（4）先对配方，
得到

，
要让为完美数，可令，
即，
又、是整数，
和也是整数，符合“完美数”的定义，
符合条件的一个值为．（答案不唯一）
题型十 阅读理解题（难点）
1．阅读材料，并解决问题：
【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得新方程，所以原方程的正数解为．
(1)上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是 ．
A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体代换思想
(2)【实践】小明根据赵爽的办法解方程请你帮忙画出相应的图形，将其求解过程补充完整：
第一步：将原方程变形为 ；
第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在图2中画出示意图），则新构图中大正方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即 （用式子表示即可）
第三步：得新方程 ．因为表示边长，解得 ．
(3)【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么此方程的正根为 ．
【答案】(1)B
(2)图见解析，，，，，
(3)
【分析】本题考查构造图形解一元二次方程，解题的关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，运用了数形结合的思想．
（1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是数形结合思想；
（2）仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，即可解决问题；
（3）根据题意可得， ，进而根据阅读材料构造大正方形，即可求解．
【详解】（1）解：上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是数形结合思想，
故答案为：B；
（2）第一步：将原方程变形为，
第二步：新构图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即，
第三步：得新方程，因为表示边长，解得；
故答案为：，，，，；
画出示意图如下：
（3），
，
根据题意可得，，
，
该方程为，
，
解得方程的正根为，
故答案为：．
2．阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：，n是一元二次方程的两个实数根，
，．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程的两个实数根为，，则______，______；
(2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n且，求的值；
(3)提升：已知实数s，t满足，且，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，，再根据，最后代入求值即可；
（3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可．
【详解】（1）解：，；
故答案为：，；
（2）根据根与系数的关系得，，
；
（3）∵实数s、t满足，，
、t可以看作方程的两个根，
，，
，
或，
当时，；
当时，，
综上所述，的值为或．
3．阅读材料：材料1：类比解一元二次方程，解一元二次不等式，
解：，可化为，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有
（1）或（2）解不等式组（1），得，解不等式组（2），得，
故的解集为或，即一元二次不等式的解集为或．
材料2：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以用其他的方法：比如先令，然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围，请仔细阅读下面的例子：例：求的取值范围：
解：令
即
解决问题：请根据上述材料，解答下列问题．
(1)直接写出不等式的解集是__________；
(2)求出代数式的取值范围；
(3)若关于的代数式（其中、为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的、的值．
【答案】(1)或
(2)或
(3)或
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系及解不等式组，读懂阅读材料中的方法并明确一元二次方程的根的情况与判别式的关系是解题的关键．
（1）根据题意有理数乘法法则列不等式组求解即可得到答案；
（2）根据材料，令，根据判别式转化为关于y的一元二次方程，解不等式即可得到代数式的取值范围；
（3）根据材料，令根据判别式转化为关于y的不等式根据根与系数的关系，列出方程组，即可得到满足条件的a、b的值．
【详解】（1）解：∵
或
解得：或
∴不等式的解集是或；
（2）解：，令
∴．
∴．
∴．
令，
，．
∴或
（3）解：令
，
当时，，且，
存在一个，使得，
当时，有解，
，
，
最小值为，最大值为，
，是方程的解，
或
∴或

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