资源简介

广东省深圳市南山实验教育集团南海中学2025-2026学年九年级 （下)调研数学试卷 （3月份)
一、选择题：本题共 8小题，每小题 3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2026九下·南山开学考） -tan45 °的值为 （　　)
A． B． C．-1 D．
2．（2026九下·南山开学考）将抛物线y=2x2向左平移 4个单位长度，再向上平移 1个单位长度得到的抛物线的解析式为 （　　）
A．y=2 （x-4) 2-1 B．y=2 （x+4) 2+1
C．y=2 （x-4) 2+1 D．y=2 （x+4) 2-1
3．（2026九下·南山开学考）如图， 四边形 ABCD 内接于⊙O， 若∠C=100°， 则∠BOD 的度数为 （　　)
A．100° B．120° C．140° D．160°
4．（2026九下·南山开学考）下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2026九下·南山开学考）如图，某停车场入口的栏杆 AB，从水平位置绕点 O旋转到 A'B'的位置，已知AO的长为 4米.若栏杆的旋转角∠AOA'=α，则栏杆 A端升高的高度为 （　　）
A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米
6．（2026九下·南山开学考）关于二次函数 下列说法正确的是 （　　）
A．该函数的最大值为 3
B．该函数图象的对称轴为直线 x=2
C．该函数图象开口向上
D．当x<-2时，函数值 y随 x的增大而减小
7．（2026九下·南山开学考）如图，点 O是正八边形 ABCDEFGH的外接圆的圆心，⊙O的半径为 1.关于结论①、②，下列判断正确的是 （　　）
①∠DAF=60°；
②图中阴影部分的面积为
A．只有①对 B．只有②对
C．①、②都对 D．①、②都不对
8．（2026九下·南山开学考）如图，P点是圆 O劣弧 AB上的一个动点 （不与点 A，B重合)，且满足∠BPC=∠APC=60°， D是△ABC内一点， AD=3， CD=4， BD=5，点 P 在劣弧 AB 上运动的过程中， 则 m的值满足（　　)
A． B．
C． D．m=50
二、填空题：本题共5小题，每小题 3分，共15分。
9．（2026九下·南山开学考）已知 y=（m+2) x|m|是关于 x的二次函数， 那么m=　 　 .
10．（2026九下·南山开学考）如图， 在⊙O中， 直径 AB=8， 弦 CD⊥AB， 交 AB于点 E， 若 AE=1， 则弦 CD=　 　.
11．（2026九下·南山开学考）如图， 点 A、B、C是正方形网格中的格点， 则 cos∠BAC的值是　 　.
12．（2026九下·南山开学考）下表给出了二次函数 中 x，y的部分对应值，估计方程 的一个解 x的取值范围是　 　 .
x ... 0.25 0.5 0.75 1 ...
y ... -1.69 -0.25 1.31 3 ...
13．（2026九下·南山开学考）如图，以矩形 ABCD的 B点为圆心，BC的长为半径作⊙B，交 AB于点 F，点 E为 AD上一点，连接 CE，将线段 CE 绕点 E顺时针旋转至 EG，点 G落在⊙B上， 且点 F为 EG 中点.若 AF=1， AE=3， 则 CD的长为　 　.
三、解答题：本题共 7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14．（2026九下·南山开学考）计算：
（1）
（2）
15．（2026九下·南山开学考）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩，如图，在侧面示意图中，遮阳篷 AB 长为 5米，与水平面的夹角为 16°，且靠墙端离地高 BC为4.4米，当太阳光线 AD 与地面 CE的夹角为 45°时.
（1）求遮阳篷边缘点 A到墙体 BC的距离；
（2） 求阴影 CD的长.
（结果精确到 0.1米.参考数据：
16．（2026九下·南山开学考）海都初中九年级有 1000名学生，在体育中考前进行一次模拟体测，从中随机抽取部分学生，根据其测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次抽取到的学生人数为　 　，图2中 m的值为　 　；
（2）本次调查获取的样本数据的众数为　 　分、中位数为　 　分；
（3）根据样本数据，估计学校九年级模拟体测中不低于 11分的学生约有多少人
17．（2026九下·南山开学考）剪纸作为一种传统民间艺术，常被用来表达祝福和吉祥的心愿.已知某商店一种剪纸的成本价为每幅 8元，市场调查发现，当销售单价为 10元时，一天能卖 30幅，若每涨价 1元，一天少卖 1幅.设这种剪纸每天的销售利润为 w元，剪纸的销售单价上涨 x元.规定该剪纸的销售单价不高于 20元.
（1）每天这种剪纸的销售量为　 　幅；（用含 x的代数式表示)
（2）①求销售利润 w与 x之间的函数表达式；
②当该种剪纸的销售单价上涨多少元时，每天的销售利润最大 最大利润是多少
18．（2026九下·南山开学考）如图，AB是⊙O的直径，点 C是⊙O上一点，过点 C作⊙O的切线与 AB的延长线相交于点 P，弦 CE平分∠ACB， 交 AB于点 F， 连接 BE.
（1）利用尺规作图，过点 A作 AD⊥CP于点 D （保留作图痕迹，不写作法)；
（2） 求证： △PCF是等腰三角形；
（3） 若 求线段 PC的长.
19．（2026九下·南山开学考）综合与实践
如图 1，这是太原市某广场音乐喷泉的夜景，那随着音乐声此起彼伏的水线，一会儿高高跃起，一会儿盘旋而下，甚是壮观，令人们心旷神怡！其中主心喷泉的水流轨迹可近似看作抛物线.如图 2，这是以水平地面为 x轴，以安装主喷头的竖直水管为 y轴，建立的平面直角坐标系，中心主喷泉的喷头安装在距水平地面1.25米的点 A处.当水的压力最大时，某一水流抛物线 经过点 B，点B距安装主喷头的水管的水平距离是 0.5米，距水平地面 2米.
（1）求此水流轨迹的抛物线的函数表达式.
（2）在离此水流落地点 C1米外的点 D处，以点 O为圆心，OD的长为半径做一个圆形安全围栏，求该圆形安全围栏的周长.（结果保留π)
（3）在（2）的条件下，为了美观，在高为 0.5米的安全围栏 DE 上的点 E处安装射灯，射灯射出的光线EF 与地面成 角，直接写出光线 EF与此抛物线水流之间的最小距离.
20．（2026九下·南山开学考）综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”.同学们以此开展了数学活动.
（1）操作发现
①如图 1构造一个四边形 ABCD， 使得 AB=AD， BC=DC， 那么四边形 ABCD　 　“垂美四边形”.（填“是”或“不是”)
②如图 2，分别以 Rt△ACB的直角边 AC和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG和正方形 ABDE，连接 CE、BG、GE.那么四边形 BCGE是“垂美四边形”吗 请说明理由.
（2）拓展探究
如图 3，四边形 ABCD是“垂美四边形”，则两组对边 AB、CD与 BC、AD之间有什么数量关系 请说明理由.
（3）迁移应用
如图 4， 在 Rt△ABC中， ∠ACB=90°， AC=3， BC=4. P、Q分别是射线 AB， AC上一个动点， 同时从点 A 出发，分别沿 AB和 AC方向以每秒 5个单位长度和每秒 21个单位长度的速度匀速运动，运动时间为 t秒， 连接 CP、BQ、PQ、PC与 BQ交于点 O， 当以点 B， C， P， Q为顶点的四边形是“垂美四边形”时，直接写出 t的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： tan45 ° =1
-tan45 ° =-1
故答案为：C.
【分析】根据特殊角45的正切为1，计算即可解答.
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： y=2x2向左平移 4个单位长度，再向上平移 1个单位长度得到的抛物线的解析式为 y=2 （x+4) 2+1
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减，写出函数解析式，解答即可.
3．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形 ABCD 内接于⊙O ，∠C=100°
∴∠DAB=80°
∴ ∠BOD = 160°
故答案为：D.
【分析】先根据圆内接四边形对角互补得到∠DAB=80°，再根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍计算可得∠BOD 的度数，解答即可.
4．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项错误；
B、∵，，
∴，故此选项错误；
C、，，故此选项错误；
D、，，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据特殊锐角的三角函数值分别去计算即可判断出正确答案.
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形—边角关系；正弦的概念
【解析】【解答】解：如图，过A'作
在直角三角形中：
∴A'H= 4sinα米
故答案为：B.
【分析】如图，过A'作，根据正弦的定义，计算可得A'H的值，解答即可.
6．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】
解：
A、 该函数的最大值为 3，故A正确，符合题意；
B、该函数图象的对称轴为直线 x=-2 ，故B错误，不符合题意；
C、∵-1，∴ 该函数图象开口向下，故C错误，不符合题意；
D、当x<-2时，函数值 y随 x的增大而增大，故D错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的性质，逐一判断即可解答.
7．【答案】B
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】
解： ① 、∵ 点 O是正八边形 ABCDEFGH的外接圆的圆心，
∴，
∴，
∴① 错误，
② 、∵点 O是正八边形 ABCDEFGH的外接圆的圆心，
∴，
∴
∴⊙O的半径为 1，
∴
∴'
∴
∴② 正确，
故答案为：B.
【分析】根据圆内接正多边形的性质得到，根据圆周角定理得到，可判断①；根据圆内接正多边形的性质得到，根据圆周角定理得到利用三角形面积公式和扇形面积公式计算，可判断②；解答即可.
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；圆的综合题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】
解：如图：延长BP到点F，使得PF=AP，过点A作AEPF于点E，
∵BPC=APC=60，
∴APB=BPC+APC=120 则APF=180°-APB=60°
∵APF=60，PF=AP，
∴APF是等边三角形，
∴AF=AP，FAP=60°
∵BPC=APC=60°，
∴AC=BC，
∵A、B、C、P四点共圆，APB=120°，
∴ACB=180°-APB=60°，
∴ABC是等边三角形，
∴AB=AC，BAC=60°，
∵FAP=BAC=60°，
∴FAP+PAB=BAC+PAB 即FAB=PAC，
∴FABPAC (SAS)，
∴BF=PC 即PC=PF+BP=AP+BP，
∵AEBE，
∴PAE=90° -APE=30° 故PE=则AE=，
在Rt△AEB 中，AB2=AE2+BE2， BE=BP+PE，
即 整理得：AB2=AP2+BP2+BPAP
∵ =PA2+PB2+(PB+PA)2=2(PB2+PA2+PBPA)
∴=2AB2
∴m=AB2，
将△BCD 绕点C顺时针旋转60°得到△ACD'，连接DD'，过点C作CGAD 延长线交于点G，如图：
则CD=CD'，BD=AD'=5，DCD’=60°
∵CD=CD'，DCD'=60°，
∴△DCD'是等边三角形，
∴DD'=CD=4，D'DC=60°，
∵AD2+D'D2=32+42=25，D'A2=52=25，
∴AD2+D'D2=D'A2， 即△ADD'是直角三角形，
∴ADD'=90°
∴ADC=ADD' +D'DC=90°+60°=150°
∴GDC=180°-ADC=30°，
∴CG=DC=2DG=
∴AG=AD+DG=3+2.
∴
∵AC=AB
∴
故答案为：B.
【分析】延长BP到点F，使得PF=AP，过点A作AEPF于点E，先计算角度得到APF=60°，再由等边三角形的判定得到APF是等边三角形，根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到AC=BC，根据圆内接四边形的性质得到ACB=60°，从而判定ABC是等边三角形，再由SAS证明FABPAC，再根据全等三角形的性质和线段的和差关系计算得到BF=PC 即PC=PF+BP=AP+BP，利用勾股定理结合已知条件 得到m=AB2，将△BCD 绕点C顺时针旋转60°得到△ACD'，连接DD'，过点C作CGAD 延长线交于点G，先判定△DCD'是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理得到△ADD'是直角三角形，再根据勾股定理计算得到CG，AC，从而得到m的值，解答即可.
9．【答案】2
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；二次函数的定义
【解析】【解答】解： ∵ y= （m+2) x|m|是关于 x的二次函数
∴且
∴m=2
故答案为：2.
【分析】根据二次函数的定义得到且，根据绝对值的意义得到符合条件的m的值，解答即可.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC
∵ 弦 CD⊥AB
∴CE=DE
∵直径 AB=8
∴OA=OB=4
∵ AE=1
∴OE=3
由勾股定理得：CE=
∴CD=2
故答案为：2.
【分析】根据垂径定理得到CE=DE，根据半径等于直径得一半得到OA=OB=4，再由线段的和差计算得到OE=3，再由勾股定理计算可得CE，从而得到CD的值，解答即可.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；求余弦值；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：连接BC
根据网格图形得到：，
∴cos∠BAC==
故答案为：.
【分析】连接BC，根据网格图形得到：，利用勾股定理求得，再利用余弦的定义求出比例计算即可解答.
12．【答案】0.5【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】
解： 方程ax2+ bx+c=0的解即为函数y=ax2+bx+c的零点对应的x的值；
由表格数据可知，当x=0.75时， y= 1.31>0，
当x=0.5时，y=-0.25 <0，
由于函数连续，故在x= 0.5与x=0.75之间必然存在一点使y=0， 因此0.5故答案为：0.5【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系可得在x= 0.5与x=0.75之间必然存在一点使y=0，写出x的范围解答即可.
13．【答案】6
【知识点】圆周角定理；圆的综合题；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴A=D=ABC=BCD=90°，
∵G为所对的圆周角，所对的圆心角为ABC，
∴
∵将线段CE绕点E顺时针旋转至EG，
∴CE=GE，
∴ECG=G=45°，
∴GEC=180°-G-ECG=180°-45°-45°=90°，
∴AEF+DEC=AEF+AFE=90°，
∴DEC=AFE，
又∵D=A=90"，
∴EAFCDE，
∴
∵点F为EG 中点，
∴，
∵AE=3
∴
∴CD=6
故答案为：6.
【分析】根据矩形的性质得到A=D=ABC=BCD=90°，根据圆周角定理得到，根据旋转的性质得到CE=GE，根据等腰直角三角形的性质得到ECG=G=45°，再计算角度的和差利用AA判定得到EAFCDE，根据相似三角形的性质和中点的定义计算得到CD的值，解答即可.
14．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式=
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；有理数乘法与乘方的互化
【解析】【分析】
（1）先计算负指数幂，再算开平方，再计算，再根据绝对值的意义化简得到，最后计算加减，解答即可；
（2）先开平方运算得到，再算乘方，，最后计算加减，解答即可.
15．【答案】（1）解：过点 A作 AF⊥BC， 垂足为 F，
在 Rt△ABF中， ∠BAF=16°， AB=5米，
（米)，
∴遮阳篷边缘点 A到墙体 BC的距离约为 4.8米；
（2）解：过点 A作 AG⊥CE， 垂足为 G，
由题意得： AF=CG=4.8米， CF=AG，
在 Rt△ABF中， ∠BAF=16°， AB=5米，
（米)，
∵BC=4.4米，
∴CF=AG=BC-BF=4.4-1.4=3 （米) ，
在 Rt△ADG中，.
（米) ，
∴CD=CG-DG=4.8-3=1.8 （米) ，
∴阴影 CD的长约为 1.8米.
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；解直角三角形—边角关系；正弦的概念；余弦的概念；正切的概念
【解析】【分析】
(1)过点 A作 AF⊥BC， 垂足为 F，在 Rt△ABF中，利用余弦的定义计算AF，解答即可；
(2)过点 A作 AG⊥CE， 垂足为 G，在 Rt△ABF中，根据正弦的定义计算BF，再计算线段的和差得到CF，在 Rt△ADG中，根据正切的定义计算DG，再计算线段的和差得到CD，解答即可.
16．【答案】（1）50；28
（2）12；11
（3）解：我校九年级模拟体测中不低于11分的学生约有1000 x=600(人)，
答：学校九年级模拟体测中不低于 11分的学生约有600人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】解：(1)本次抽取到的学生人数为 4+5+11+14+16= 50(人)，
故答案为：50，28；
(2)由条形统计图可得众数是12分；
由题意得，中位数是第25，26个数据的平均
∴由条形统计图可得，(11+11)2=11(分)
故答案为：12，11；
【分析】
（1）根据总数等于各部分数据之和，再计算，计算即可解答；
（2）根据众数的定义：出现次数最多的数据；根据中位数的定义：偶数个数据中最中间两个数的平均数，计算即可解答；
（3）根据样本估计总体： 不低于 11分的学生人数 =总数样本百分比，计算即可解答.
17．【答案】（1）（30-x)
（2）解：①w=(10+x-8)(30-x)=-x2+28x+60；
∴销售利润 w与 x之间的函数表达式w=-x2+28x+60；
②w=-x2+28x+60=-(x-14)2+256；
∵该剪纸的销售单价不高于 20元.
∴
∴
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=14，
∴当x=10时，利润最大为240，
答：当该种剪纸的销售单价上涨 10元时， 每天的销售利润最大， 最大利润是 240元
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解析】
解：（1）∵每涨价 1元，一天少卖 1幅，
∴销售单价上涨 x元， 销售量为（30-x)幅
故答案为：（30-x)
【分析】
（1）根据题意列出代数式，解答即可；
（2）①根据利润=单件利润数量，列式计算即可解答；
②利用配方法将二次函数的一般形式转化为顶点式，然后根据题意得到x的取值范围，再由二次函数的性质可得当x=10时，利润最大为240，由此解答即可.
18．【答案】（1）解：如图，
（2）证明： ∵AD⊥PD，
∴∠DAC+∠ACD=90°.
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∴∠PCB+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠PCB.
又∵PD切⊙O于点 C，
∴OC⊥PD，
∴OC∥AD，
∴∠ACO=∠DAC.
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠CAO=∠PCB.
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，
∴∠PFC=∠PCF，
∴PC=PF，
即△PCF是等腰三角形；
（3）解：连接 AE，
∵CE平分∠ACB，
∴AE=BE，
∵AB 是⊙O的直径，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵∠PAC=∠PCB， ∠CPB=∠APC，
∴△PAC∽△PCB，
又∵
设 PC=4k， PB=3k， 则在 Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7，
∴k=6（k=0不合题意， 舍去) .
∴PC=4k=4×6=24.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆的综合题；尺规作图-垂线；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】
（1）根据过直线外一点A作CD的垂线的尺规作图，画出图形解答即可；
（2）根据垂线的定义得到∠DAC+∠ACD=90°，根据圆周角定理推论得到∠ACB=90°，再根据同角的余角相等得到∠DAC=∠PCB，根据切线的性质得到OC⊥PD，从而判定OC∥AD，根据平行线的性质和等腰三角形的性质代换角度得到∠CAO=∠PCB，根据角平分线的定义得到∠ACF=∠BCF，从而得到∠PFC=∠PCF，根据等腰三角形的判定得到PC=PF，解答即可；
（3）连接 AE，根据角平分线的定义得到从而得到即得到AE=BE，根据圆周角定理推论得到∠ACB=90°，从而推导出△ABE是等腰直角三角形，根据勾股定理得到利用AA判定△PAC∽△PCB，根据相似三角形的性质和正切的定义计算得到设 PC=4k， PB=3k，表示出PO，OC利用勾股定理建立方程计算得到k=6，从而得到PC的值，解答即可.
19．【答案】（1）解： 根据题意可知，此水流抛物线y=-x2+bx+c经过点A(0，1.25)，B(0.5，2)
∴
∴b=2，c= 1.25，
此水流轨迹的抛物线的丽数表达式为
（2）解： 由(1)可知y =-x2+2x+ 1.25， 当y=0时，-x2+2x+ 1.25 =0.
解得x1=2.5， x2=-0.5(不合题意，舍去)
∴点C的坐标为(2.5，0)，即OC =2.5(米)
∵此水流落地点C1米外的点D处
∴OD =2.5+1=3.5(米)
∵点O为圆心，OD的长为半径做一个圆形安全围栏，
∴该圆形安全围栏的周长为(米)
答：该圆形安全围栏的周长 7π米.
（3）解： 作直线EF的平行线l，使其与抛物线相切，交x轴于点H，如图所示 ：
∵ 光线EF 与地面成 角，EFl，
∴设直线l的解析式为y =-x+m
联立直线与抛物线解析式，
整理得-x2+3x+ 1.25-m=0，
∵直线与抛物线相切，
∴该方程只有一个根，
∴=32-4x(-1)x(1.25-m)=0
解得m= 3.5
∴直线l的解析式为y=-x+3.5，
令y =0，则x=3.5
∴H(3.5，0)
由 (2)可知，D(3.5，0)
∴点H与点D重合
作EG于点G，如图，则DGE = 90°
∵光线EF与地面成45角，EFl，
∴CDG = 45
∴GDE =45
∵DE =0.5，
∴EG =DEsin45= 0.5x
即光线EF与此抛物线水流之间的最小距离为米.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】
(1)根据题意可知，此水流抛物线y=-x2+bx+c经过点A(0，1.25)，B(0.5，2)，然后利用待定系数法即可求得答案；
(2)根据(1) 中所求函数表达式，令y=0可求得点C坐标，进而得到OD的长度，即可计算圆的周长；
(3)作直线EFl，使其与抛物线相切，交x轴于点H，设直线的解析式为y=-x+m，根据直线l与抛物线相切，利用=32-4x(-1)x(1.25-m)=0 求得m值，从得到直线l的解析式，然后令y =0求得点H的坐标，由(2)可知，点H与点D重合，作EG于点G，则DGE = 90° ，最后根据正弦的定义解直角三角形即可求得最小距离，解答即可.
20．【答案】（1）解：①是；②四边形 BCGE是“垂美四边形”，理由如下：如图2，设CE与BG交于点H，∵以RtACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，∴BA= EA， AG = AC，EAB=CAG =90°，∴CAE =GAB =90°+BAC，∴ACEAGB (SAS)，∴AEC =ABG，∴HEB+HBE=HEB+ABE +ABG=HBE+ABE+AEC =90°，∴BHE =90，∴CEBG，∴四边形BCGE是“垂美四边形”；
（2）解：理由如下：
如图3，设AC与BD交于点G，
∵四边形ABCD是“垂美四边形”，
∴ACBD，CFE=AFC=EFD=90°
∴DC2=GD2+CG2，AD2=GD2+GA2，AB2=BG2+ GA2，BC2=GC2+GB2
∴DC2+ AB2=GD2+CG2+ BG2+GA2，AD2+ BC2=GD2+ GA2+GC2+GB2，
∴DC2+ AB2=AD2+BC2；
（3）或
【知识点】正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；四边形-动点问题；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】
解：①∵AB = AD，
∴点A在BD的垂直平分线上，
∵BC=CD，
∴点C在BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BD，
∵ACBD，
∴四边形ABCD是“垂美四边形”，
故答案为：是；
(3)如图4，作PGAC于点G，
则AGP =CGP = 90°，
∵ACB = 90°， AC = 3， BC =4，
∴BA=
∵AGP =АCВ，A =A，
∴APGABС，
∴
∴
∵AP =5t，AQ= 21t，
∴AG== 3t，PG== 4t， CQ = AC - AQ=3-21t，
∴GQ= AQ- AG = 21t-3t= 18t，
∴PQ2= PG2 + GQ2= (4t)2+ (18t)2，BP=5-5t，
∵四边形BCQP是“垂美四边形”，
∴ BQCP，
由(2) PQ2+ BC2= PB2+ CQ2，
∴(4t)2+(18t)2+42=(5-5t)2+(3-21t)2，整理得：63t2-88t+9=0，
解得t的值是或，
故答案为：或，
【分析】
（1）①根据线段垂直平分线的性质，解答即可；
②如图，设CE与BG交于点H，根据正方形的性质得到BA= EA， AG = AC，EAB=CAG =90°，再利用SAS证明ACEAGB，再根据全等三角形的性质得到AEC =ABG，根据角度的计算得到BHE =90，从而判定CEBG，根据垂美四边形的定义判定即可解答；
(2) 设AC与BD交于点G，根据垂美四边形的定义得到ACBD，CFE=AFC=EFD=90°，再由勾股定理计算代换线段得到DC2+ AB2=AD2+BC2，解答即可；
(3) 作PGAC于点G，根据垂线的定义得到AGP =CGP = 90°， ，根据勾股定理计算得到BA，再由AA证明APGABС， 根据相似三角形的性质得到，设AP =5t，AQ= 21t， 用含t的代数式表示出AG，PG，CQ，GQ，PQ，再根据垂美四边形的定义根据PQ2+ BC2= PB2+ CQ2， 列方程解出t的值，解答即可.
1 / 1广东省深圳市南山实验教育集团南海中学2025-2026学年九年级 （下)调研数学试卷 （3月份)
一、选择题：本题共 8小题，每小题 3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2026九下·南山开学考） -tan45 °的值为 （　　)
A． B． C．-1 D．
【答案】C
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： tan45 ° =1
-tan45 ° =-1
故答案为：C.
【分析】根据特殊角45的正切为1，计算即可解答.
2．（2026九下·南山开学考）将抛物线y=2x2向左平移 4个单位长度，再向上平移 1个单位长度得到的抛物线的解析式为 （　　）
A．y=2 （x-4) 2-1 B．y=2 （x+4) 2+1
C．y=2 （x-4) 2+1 D．y=2 （x+4) 2-1
【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： y=2x2向左平移 4个单位长度，再向上平移 1个单位长度得到的抛物线的解析式为 y=2 （x+4) 2+1
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减，写出函数解析式，解答即可.
3．（2026九下·南山开学考）如图， 四边形 ABCD 内接于⊙O， 若∠C=100°， 则∠BOD 的度数为 （　　)
A．100° B．120° C．140° D．160°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形 ABCD 内接于⊙O ，∠C=100°
∴∠DAB=80°
∴ ∠BOD = 160°
故答案为：D.
【分析】先根据圆内接四边形对角互补得到∠DAB=80°，再根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍计算可得∠BOD 的度数，解答即可.
4．（2026九下·南山开学考）下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项错误；
B、∵，，
∴，故此选项错误；
C、，，故此选项错误；
D、，，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据特殊锐角的三角函数值分别去计算即可判断出正确答案.
5．（2026九下·南山开学考）如图，某停车场入口的栏杆 AB，从水平位置绕点 O旋转到 A'B'的位置，已知AO的长为 4米.若栏杆的旋转角∠AOA'=α，则栏杆 A端升高的高度为 （　　）
A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米
【答案】B
【知识点】解直角三角形—边角关系；正弦的概念
【解析】【解答】解：如图，过A'作
在直角三角形中：
∴A'H= 4sinα米
故答案为：B.
【分析】如图，过A'作，根据正弦的定义，计算可得A'H的值，解答即可.
6．（2026九下·南山开学考）关于二次函数 下列说法正确的是 （　　）
A．该函数的最大值为 3
B．该函数图象的对称轴为直线 x=2
C．该函数图象开口向上
D．当x<-2时，函数值 y随 x的增大而减小
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】
解：
A、 该函数的最大值为 3，故A正确，符合题意；
B、该函数图象的对称轴为直线 x=-2 ，故B错误，不符合题意；
C、∵-1，∴ 该函数图象开口向下，故C错误，不符合题意；
D、当x<-2时，函数值 y随 x的增大而增大，故D错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的性质，逐一判断即可解答.
7．（2026九下·南山开学考）如图，点 O是正八边形 ABCDEFGH的外接圆的圆心，⊙O的半径为 1.关于结论①、②，下列判断正确的是 （　　）
①∠DAF=60°；
②图中阴影部分的面积为
A．只有①对 B．只有②对
C．①、②都对 D．①、②都不对
【答案】B
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】
解： ① 、∵ 点 O是正八边形 ABCDEFGH的外接圆的圆心，
∴，
∴，
∴① 错误，
② 、∵点 O是正八边形 ABCDEFGH的外接圆的圆心，
∴，
∴
∴⊙O的半径为 1，
∴
∴'
∴
∴② 正确，
故答案为：B.
【分析】根据圆内接正多边形的性质得到，根据圆周角定理得到，可判断①；根据圆内接正多边形的性质得到，根据圆周角定理得到利用三角形面积公式和扇形面积公式计算，可判断②；解答即可.
8．（2026九下·南山开学考）如图，P点是圆 O劣弧 AB上的一个动点 （不与点 A，B重合)，且满足∠BPC=∠APC=60°， D是△ABC内一点， AD=3， CD=4， BD=5，点 P 在劣弧 AB 上运动的过程中， 则 m的值满足（　　)
A． B．
C． D．m=50
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；圆的综合题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】
解：如图：延长BP到点F，使得PF=AP，过点A作AEPF于点E，
∵BPC=APC=60，
∴APB=BPC+APC=120 则APF=180°-APB=60°
∵APF=60，PF=AP，
∴APF是等边三角形，
∴AF=AP，FAP=60°
∵BPC=APC=60°，
∴AC=BC，
∵A、B、C、P四点共圆，APB=120°，
∴ACB=180°-APB=60°，
∴ABC是等边三角形，
∴AB=AC，BAC=60°，
∵FAP=BAC=60°，
∴FAP+PAB=BAC+PAB 即FAB=PAC，
∴FABPAC (SAS)，
∴BF=PC 即PC=PF+BP=AP+BP，
∵AEBE，
∴PAE=90° -APE=30° 故PE=则AE=，
在Rt△AEB 中，AB2=AE2+BE2， BE=BP+PE，
即 整理得：AB2=AP2+BP2+BPAP
∵ =PA2+PB2+(PB+PA)2=2(PB2+PA2+PBPA)
∴=2AB2
∴m=AB2，
将△BCD 绕点C顺时针旋转60°得到△ACD'，连接DD'，过点C作CGAD 延长线交于点G，如图：
则CD=CD'，BD=AD'=5，DCD’=60°
∵CD=CD'，DCD'=60°，
∴△DCD'是等边三角形，
∴DD'=CD=4，D'DC=60°，
∵AD2+D'D2=32+42=25，D'A2=52=25，
∴AD2+D'D2=D'A2， 即△ADD'是直角三角形，
∴ADD'=90°
∴ADC=ADD' +D'DC=90°+60°=150°
∴GDC=180°-ADC=30°，
∴CG=DC=2DG=
∴AG=AD+DG=3+2.
∴
∵AC=AB
∴
故答案为：B.
【分析】延长BP到点F，使得PF=AP，过点A作AEPF于点E，先计算角度得到APF=60°，再由等边三角形的判定得到APF是等边三角形，根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到AC=BC，根据圆内接四边形的性质得到ACB=60°，从而判定ABC是等边三角形，再由SAS证明FABPAC，再根据全等三角形的性质和线段的和差关系计算得到BF=PC 即PC=PF+BP=AP+BP，利用勾股定理结合已知条件 得到m=AB2，将△BCD 绕点C顺时针旋转60°得到△ACD'，连接DD'，过点C作CGAD 延长线交于点G，先判定△DCD'是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理得到△ADD'是直角三角形，再根据勾股定理计算得到CG，AC，从而得到m的值，解答即可.
二、填空题：本题共5小题，每小题 3分，共15分。
9．（2026九下·南山开学考）已知 y=（m+2) x|m|是关于 x的二次函数， 那么m=　 　 .
【答案】2
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；二次函数的定义
【解析】【解答】解： ∵ y= （m+2) x|m|是关于 x的二次函数
∴且
∴m=2
故答案为：2.
【分析】根据二次函数的定义得到且，根据绝对值的意义得到符合条件的m的值，解答即可.
10．（2026九下·南山开学考）如图， 在⊙O中， 直径 AB=8， 弦 CD⊥AB， 交 AB于点 E， 若 AE=1， 则弦 CD=　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC
∵ 弦 CD⊥AB
∴CE=DE
∵直径 AB=8
∴OA=OB=4
∵ AE=1
∴OE=3
由勾股定理得：CE=
∴CD=2
故答案为：2.
【分析】根据垂径定理得到CE=DE，根据半径等于直径得一半得到OA=OB=4，再由线段的和差计算得到OE=3，再由勾股定理计算可得CE，从而得到CD的值，解答即可.
11．（2026九下·南山开学考）如图， 点 A、B、C是正方形网格中的格点， 则 cos∠BAC的值是　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；求余弦值；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：连接BC
根据网格图形得到：，
∴cos∠BAC==
故答案为：.
【分析】连接BC，根据网格图形得到：，利用勾股定理求得，再利用余弦的定义求出比例计算即可解答.
12．（2026九下·南山开学考）下表给出了二次函数 中 x，y的部分对应值，估计方程 的一个解 x的取值范围是　 　 .
x ... 0.25 0.5 0.75 1 ...
y ... -1.69 -0.25 1.31 3 ...
【答案】0.5【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】
解： 方程ax2+ bx+c=0的解即为函数y=ax2+bx+c的零点对应的x的值；
由表格数据可知，当x=0.75时， y= 1.31>0，
当x=0.5时，y=-0.25 <0，
由于函数连续，故在x= 0.5与x=0.75之间必然存在一点使y=0， 因此0.5故答案为：0.5【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系可得在x= 0.5与x=0.75之间必然存在一点使y=0，写出x的范围解答即可.
13．（2026九下·南山开学考）如图，以矩形 ABCD的 B点为圆心，BC的长为半径作⊙B，交 AB于点 F，点 E为 AD上一点，连接 CE，将线段 CE 绕点 E顺时针旋转至 EG，点 G落在⊙B上， 且点 F为 EG 中点.若 AF=1， AE=3， 则 CD的长为　 　.
【答案】6
【知识点】圆周角定理；圆的综合题；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴A=D=ABC=BCD=90°，
∵G为所对的圆周角，所对的圆心角为ABC，
∴
∵将线段CE绕点E顺时针旋转至EG，
∴CE=GE，
∴ECG=G=45°，
∴GEC=180°-G-ECG=180°-45°-45°=90°，
∴AEF+DEC=AEF+AFE=90°，
∴DEC=AFE，
又∵D=A=90"，
∴EAFCDE，
∴
∵点F为EG 中点，
∴，
∵AE=3
∴
∴CD=6
故答案为：6.
【分析】根据矩形的性质得到A=D=ABC=BCD=90°，根据圆周角定理得到，根据旋转的性质得到CE=GE，根据等腰直角三角形的性质得到ECG=G=45°，再计算角度的和差利用AA判定得到EAFCDE，根据相似三角形的性质和中点的定义计算得到CD的值，解答即可.
三、解答题：本题共 7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14．（2026九下·南山开学考）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式=
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；有理数乘法与乘方的互化
【解析】【分析】
（1）先计算负指数幂，再算开平方，再计算，再根据绝对值的意义化简得到，最后计算加减，解答即可；
（2）先开平方运算得到，再算乘方，，最后计算加减，解答即可.
15．（2026九下·南山开学考）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩，如图，在侧面示意图中，遮阳篷 AB 长为 5米，与水平面的夹角为 16°，且靠墙端离地高 BC为4.4米，当太阳光线 AD 与地面 CE的夹角为 45°时.
（1）求遮阳篷边缘点 A到墙体 BC的距离；
（2） 求阴影 CD的长.
（结果精确到 0.1米.参考数据：
【答案】（1）解：过点 A作 AF⊥BC， 垂足为 F，
在 Rt△ABF中， ∠BAF=16°， AB=5米，
（米)，
∴遮阳篷边缘点 A到墙体 BC的距离约为 4.8米；
（2）解：过点 A作 AG⊥CE， 垂足为 G，
由题意得： AF=CG=4.8米， CF=AG，
在 Rt△ABF中， ∠BAF=16°， AB=5米，
（米)，
∵BC=4.4米，
∴CF=AG=BC-BF=4.4-1.4=3 （米) ，
在 Rt△ADG中，.
（米) ，
∴CD=CG-DG=4.8-3=1.8 （米) ，
∴阴影 CD的长约为 1.8米.
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；解直角三角形—边角关系；正弦的概念；余弦的概念；正切的概念
【解析】【分析】
(1)过点 A作 AF⊥BC， 垂足为 F，在 Rt△ABF中，利用余弦的定义计算AF，解答即可；
(2)过点 A作 AG⊥CE， 垂足为 G，在 Rt△ABF中，根据正弦的定义计算BF，再计算线段的和差得到CF，在 Rt△ADG中，根据正切的定义计算DG，再计算线段的和差得到CD，解答即可.
16．（2026九下·南山开学考）海都初中九年级有 1000名学生，在体育中考前进行一次模拟体测，从中随机抽取部分学生，根据其测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次抽取到的学生人数为　 　，图2中 m的值为　 　；
（2）本次调查获取的样本数据的众数为　 　分、中位数为　 　分；
（3）根据样本数据，估计学校九年级模拟体测中不低于 11分的学生约有多少人
【答案】（1）50；28
（2）12；11
（3）解：我校九年级模拟体测中不低于11分的学生约有1000 x=600(人)，
答：学校九年级模拟体测中不低于 11分的学生约有600人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】解：(1)本次抽取到的学生人数为 4+5+11+14+16= 50(人)，
故答案为：50，28；
(2)由条形统计图可得众数是12分；
由题意得，中位数是第25，26个数据的平均
∴由条形统计图可得，(11+11)2=11(分)
故答案为：12，11；
【分析】
（1）根据总数等于各部分数据之和，再计算，计算即可解答；
（2）根据众数的定义：出现次数最多的数据；根据中位数的定义：偶数个数据中最中间两个数的平均数，计算即可解答；
（3）根据样本估计总体： 不低于 11分的学生人数 =总数样本百分比，计算即可解答.
17．（2026九下·南山开学考）剪纸作为一种传统民间艺术，常被用来表达祝福和吉祥的心愿.已知某商店一种剪纸的成本价为每幅 8元，市场调查发现，当销售单价为 10元时，一天能卖 30幅，若每涨价 1元，一天少卖 1幅.设这种剪纸每天的销售利润为 w元，剪纸的销售单价上涨 x元.规定该剪纸的销售单价不高于 20元.
（1）每天这种剪纸的销售量为　 　幅；（用含 x的代数式表示)
（2）①求销售利润 w与 x之间的函数表达式；
②当该种剪纸的销售单价上涨多少元时，每天的销售利润最大 最大利润是多少
【答案】（1）（30-x)
（2）解：①w=(10+x-8)(30-x)=-x2+28x+60；
∴销售利润 w与 x之间的函数表达式w=-x2+28x+60；
②w=-x2+28x+60=-(x-14)2+256；
∵该剪纸的销售单价不高于 20元.
∴
∴
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=14，
∴当x=10时，利润最大为240，
答：当该种剪纸的销售单价上涨 10元时， 每天的销售利润最大， 最大利润是 240元
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解析】
解：（1）∵每涨价 1元，一天少卖 1幅，
∴销售单价上涨 x元， 销售量为（30-x)幅
故答案为：（30-x)
【分析】
（1）根据题意列出代数式，解答即可；
（2）①根据利润=单件利润数量，列式计算即可解答；
②利用配方法将二次函数的一般形式转化为顶点式，然后根据题意得到x的取值范围，再由二次函数的性质可得当x=10时，利润最大为240，由此解答即可.
18．（2026九下·南山开学考）如图，AB是⊙O的直径，点 C是⊙O上一点，过点 C作⊙O的切线与 AB的延长线相交于点 P，弦 CE平分∠ACB， 交 AB于点 F， 连接 BE.
（1）利用尺规作图，过点 A作 AD⊥CP于点 D （保留作图痕迹，不写作法)；
（2） 求证： △PCF是等腰三角形；
（3） 若 求线段 PC的长.
【答案】（1）解：如图，
（2）证明： ∵AD⊥PD，
∴∠DAC+∠ACD=90°.
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∴∠PCB+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠PCB.
又∵PD切⊙O于点 C，
∴OC⊥PD，
∴OC∥AD，
∴∠ACO=∠DAC.
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠CAO=∠PCB.
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，
∴∠PFC=∠PCF，
∴PC=PF，
即△PCF是等腰三角形；
（3）解：连接 AE，
∵CE平分∠ACB，
∴AE=BE，
∵AB 是⊙O的直径，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵∠PAC=∠PCB， ∠CPB=∠APC，
∴△PAC∽△PCB，
又∵
设 PC=4k， PB=3k， 则在 Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7，
∴k=6（k=0不合题意， 舍去) .
∴PC=4k=4×6=24.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆的综合题；尺规作图-垂线；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】
（1）根据过直线外一点A作CD的垂线的尺规作图，画出图形解答即可；
（2）根据垂线的定义得到∠DAC+∠ACD=90°，根据圆周角定理推论得到∠ACB=90°，再根据同角的余角相等得到∠DAC=∠PCB，根据切线的性质得到OC⊥PD，从而判定OC∥AD，根据平行线的性质和等腰三角形的性质代换角度得到∠CAO=∠PCB，根据角平分线的定义得到∠ACF=∠BCF，从而得到∠PFC=∠PCF，根据等腰三角形的判定得到PC=PF，解答即可；
（3）连接 AE，根据角平分线的定义得到从而得到即得到AE=BE，根据圆周角定理推论得到∠ACB=90°，从而推导出△ABE是等腰直角三角形，根据勾股定理得到利用AA判定△PAC∽△PCB，根据相似三角形的性质和正切的定义计算得到设 PC=4k， PB=3k，表示出PO，OC利用勾股定理建立方程计算得到k=6，从而得到PC的值，解答即可.
19．（2026九下·南山开学考）综合与实践
如图 1，这是太原市某广场音乐喷泉的夜景，那随着音乐声此起彼伏的水线，一会儿高高跃起，一会儿盘旋而下，甚是壮观，令人们心旷神怡！其中主心喷泉的水流轨迹可近似看作抛物线.如图 2，这是以水平地面为 x轴，以安装主喷头的竖直水管为 y轴，建立的平面直角坐标系，中心主喷泉的喷头安装在距水平地面1.25米的点 A处.当水的压力最大时，某一水流抛物线 经过点 B，点B距安装主喷头的水管的水平距离是 0.5米，距水平地面 2米.
（1）求此水流轨迹的抛物线的函数表达式.
（2）在离此水流落地点 C1米外的点 D处，以点 O为圆心，OD的长为半径做一个圆形安全围栏，求该圆形安全围栏的周长.（结果保留π)
（3）在（2）的条件下，为了美观，在高为 0.5米的安全围栏 DE 上的点 E处安装射灯，射灯射出的光线EF 与地面成 角，直接写出光线 EF与此抛物线水流之间的最小距离.
【答案】（1）解： 根据题意可知，此水流抛物线y=-x2+bx+c经过点A(0，1.25)，B(0.5，2)
∴
∴b=2，c= 1.25，
此水流轨迹的抛物线的丽数表达式为
（2）解： 由(1)可知y =-x2+2x+ 1.25， 当y=0时，-x2+2x+ 1.25 =0.
解得x1=2.5， x2=-0.5(不合题意，舍去)
∴点C的坐标为(2.5，0)，即OC =2.5(米)
∵此水流落地点C1米外的点D处
∴OD =2.5+1=3.5(米)
∵点O为圆心，OD的长为半径做一个圆形安全围栏，
∴该圆形安全围栏的周长为(米)
答：该圆形安全围栏的周长 7π米.
（3）解： 作直线EF的平行线l，使其与抛物线相切，交x轴于点H，如图所示 ：
∵ 光线EF 与地面成 角，EFl，
∴设直线l的解析式为y =-x+m
联立直线与抛物线解析式，
整理得-x2+3x+ 1.25-m=0，
∵直线与抛物线相切，
∴该方程只有一个根，
∴=32-4x(-1)x(1.25-m)=0
解得m= 3.5
∴直线l的解析式为y=-x+3.5，
令y =0，则x=3.5
∴H(3.5，0)
由 (2)可知，D(3.5，0)
∴点H与点D重合
作EG于点G，如图，则DGE = 90°
∵光线EF与地面成45角，EFl，
∴CDG = 45
∴GDE =45
∵DE =0.5，
∴EG =DEsin45= 0.5x
即光线EF与此抛物线水流之间的最小距离为米.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】
(1)根据题意可知，此水流抛物线y=-x2+bx+c经过点A(0，1.25)，B(0.5，2)，然后利用待定系数法即可求得答案；
(2)根据(1) 中所求函数表达式，令y=0可求得点C坐标，进而得到OD的长度，即可计算圆的周长；
(3)作直线EFl，使其与抛物线相切，交x轴于点H，设直线的解析式为y=-x+m，根据直线l与抛物线相切，利用=32-4x(-1)x(1.25-m)=0 求得m值，从得到直线l的解析式，然后令y =0求得点H的坐标，由(2)可知，点H与点D重合，作EG于点G，则DGE = 90° ，最后根据正弦的定义解直角三角形即可求得最小距离，解答即可.
20．（2026九下·南山开学考）综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”.同学们以此开展了数学活动.
（1）操作发现
①如图 1构造一个四边形 ABCD， 使得 AB=AD， BC=DC， 那么四边形 ABCD　 　“垂美四边形”.（填“是”或“不是”)
②如图 2，分别以 Rt△ACB的直角边 AC和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG和正方形 ABDE，连接 CE、BG、GE.那么四边形 BCGE是“垂美四边形”吗 请说明理由.
（2）拓展探究
如图 3，四边形 ABCD是“垂美四边形”，则两组对边 AB、CD与 BC、AD之间有什么数量关系 请说明理由.
（3）迁移应用
如图 4， 在 Rt△ABC中， ∠ACB=90°， AC=3， BC=4. P、Q分别是射线 AB， AC上一个动点， 同时从点 A 出发，分别沿 AB和 AC方向以每秒 5个单位长度和每秒 21个单位长度的速度匀速运动，运动时间为 t秒， 连接 CP、BQ、PQ、PC与 BQ交于点 O， 当以点 B， C， P， Q为顶点的四边形是“垂美四边形”时，直接写出 t的值.
【答案】（1）解：①是；②四边形 BCGE是“垂美四边形”，理由如下：如图2，设CE与BG交于点H，∵以RtACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，∴BA= EA， AG = AC，EAB=CAG =90°，∴CAE =GAB =90°+BAC，∴ACEAGB (SAS)，∴AEC =ABG，∴HEB+HBE=HEB+ABE +ABG=HBE+ABE+AEC =90°，∴BHE =90，∴CEBG，∴四边形BCGE是“垂美四边形”；
（2）解：理由如下：
如图3，设AC与BD交于点G，
∵四边形ABCD是“垂美四边形”，
∴ACBD，CFE=AFC=EFD=90°
∴DC2=GD2+CG2，AD2=GD2+GA2，AB2=BG2+ GA2，BC2=GC2+GB2
∴DC2+ AB2=GD2+CG2+ BG2+GA2，AD2+ BC2=GD2+ GA2+GC2+GB2，
∴DC2+ AB2=AD2+BC2；
（3）或
【知识点】正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；四边形-动点问题；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】
解：①∵AB = AD，
∴点A在BD的垂直平分线上，
∵BC=CD，
∴点C在BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BD，
∵ACBD，
∴四边形ABCD是“垂美四边形”，
故答案为：是；
(3)如图4，作PGAC于点G，
则AGP =CGP = 90°，
∵ACB = 90°， AC = 3， BC =4，
∴BA=
∵AGP =АCВ，A =A，
∴APGABС，
∴
∴
∵AP =5t，AQ= 21t，
∴AG== 3t，PG== 4t， CQ = AC - AQ=3-21t，
∴GQ= AQ- AG = 21t-3t= 18t，
∴PQ2= PG2 + GQ2= (4t)2+ (18t)2，BP=5-5t，
∵四边形BCQP是“垂美四边形”，
∴ BQCP，
由(2) PQ2+ BC2= PB2+ CQ2，
∴(4t)2+(18t)2+42=(5-5t)2+(3-21t)2，整理得：63t2-88t+9=0，
解得t的值是或，
故答案为：或，
【分析】
（1）①根据线段垂直平分线的性质，解答即可；
②如图，设CE与BG交于点H，根据正方形的性质得到BA= EA， AG = AC，EAB=CAG =90°，再利用SAS证明ACEAGB，再根据全等三角形的性质得到AEC =ABG，根据角度的计算得到BHE =90，从而判定CEBG，根据垂美四边形的定义判定即可解答；
(2) 设AC与BD交于点G，根据垂美四边形的定义得到ACBD，CFE=AFC=EFD=90°，再由勾股定理计算代换线段得到DC2+ AB2=AD2+BC2，解答即可；
(3) 作PGAC于点G，根据垂线的定义得到AGP =CGP = 90°， ，根据勾股定理计算得到BA，再由AA证明APGABС， 根据相似三角形的性质得到，设AP =5t，AQ= 21t， 用含t的代数式表示出AG，PG，CQ，GQ，PQ，再根据垂美四边形的定义根据PQ2+ BC2= PB2+ CQ2， 列方程解出t的值，解答即可.
1 / 1

展开更多......

收起↑