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湖南省常德市汉寿县第一中学 2025-2026 学年
高二下学期 3 月阶段检测数学试题
一、单选题
1．已知复数 z 满足 ，则 z 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列 为递减的等比数列，且 ， ，则 的公比为（ ）
A． B． C． D．
3．六安一中高三教学楼共五层，甲、乙、丙、丁四人走进该教学楼 2~5 层的某一层楼上课，则满足且仅有
一人上 5 楼上课，且甲不在 2 楼上课的所有可能的情况有（ ）种
A．27 B．81 C．54 D．108
4．点 P 到点 的距离比它到直线 l： 的距离大 4，则点 P 的轨迹是（ ）
A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．以上都不对
5．已知 ， 是双曲线的左、右焦点，点 关于渐近线的对称点恰好落在以 为圆心， 为半径的
圆上，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
6．如图所示，点 在 上，向量 所在直线与 相切于点 ，向量 ．若已知下列选项给出
的量，则可以得到 的选项是（ ）
① ② ③ 半径
④ ⑤
A．①④ B．①② C．③ D．⑤
7．近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，已知臭氧含量 与时间 （单位：年）的关系
为 ，其中 是臭氧的初始含量， 是自然对数的底数．按照此关系推算，当臭氧含量为初始含
量的 时， 的值约为（ ）（参考数据： ）
A．305 B．483 C．717 D．879
8．已知函数 （e 是自然对数的底数）在定义域 R 上有三个零点，则实数 m
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知曲线 ，则（ ）
A．若 ，则曲线 表示圆，且半径为
B．若 ，则曲线 表示双曲线，且渐近线为
C．若 ， ，则曲线 表示两条直线
D．若 ，则曲线 表示焦点在 轴上的椭圆
10．函数 在区间 上的极值点为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知正方体 的棱长为 2，点 ， 在平面 内，若 ，
，则下述结论正确的是（ ）
A．点 的轨迹是一个圆 B．点 的轨迹是一个圆
C． 的最小值为 D．直线 与平面 所成角的正弦值的最大值
为
三、填空题
12．若二项式 的展开式共有 6 项，则此展开式中含 的项的系数是_____．
13．设 M，N，P 是椭圆 上的三个点，O 为坐标原点，且四边形 OMNP 为正方形，
则椭圆的离心率为______；
14．设函数 ，则满足 的 的值是___________．
四、解答题
15．已知函数 ．
（1）求 的最小正周期以及单调增区间；
（2）在 中，若 ， ，求 周长的取值范围．
16．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，公差 不为 0 的等差数列 中，
，且 是 与 的等比中项．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
17．某投资公司拟投资开发某种新产品，市场评估能获得 10 万元～1000 万元（包含 10 万元和 1000 万元）
的投资收益．现公司准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金 （单位：万元）随投资收益 x（单
位：万元）的增加而增加，且奖金不低于 l 万元，同时不超过投资收益的 20%．
(1)写出 满足的条件．
(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：① ；② ．试分别分析这
两个函数模型是否符合公司的要求．
18．已知椭圆 过点 ，且离心率为 ．
(1)求 E 的方程；
(2)过 作斜率之积为 1 的两条直线 与 ，设 交 E 于 A，B 两点， 交 E 于 C，D 两点， 的
中点分别为 M，N．探究： 与 的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说
明理由．
19．已知定义在区间 D 上的函数 ， ，若 ， ，存在一个正实数 M，满足
，则称 是 的“M—陪伴函数”．
(1)已知 ，判断函数 是否为函数 的“M—陪伴函数”，并说明理由；若
是，求 M 的最小值．
(2)证明：在同一给定闭区间 上的函数 是函数 的“M
—陪伴函数”．
(3)已知 ，若函数 是函数 的“3—陪伴函数”，求实数 m
的取值范围．12．
13.
14.
15.
+2kxs2x+s+2ka,★eZ,解得：-+mSxs又+kx(keZ),
6
3
2)分加4+1，因为4e0到，所以4=骨
由正滋定程、6
=2R,2R==245
sin B sinC
sin A sin
3
所以5n8,45nC,8+C=-4号，
因为8}8+怎》
所以m(8+引
所以b+c∈(2,4，
所以ABC周长a+b+c∈(4,6·
16.(1n,=2”,,=3n;
(2)T。=3n-1)2+6.
【详解】1)数列{a的前-项和为S。·5,24,-2,当2时，·5,124,1，
阿式相减得a.=2a。-204:即，20，-1，由a=S=24-2,得t12,
园此数列a}是首项为2，公比为2的学比数列，口。=42”=2”；
自，之，与的等比中项，得=A:又九=3，则(3+3d)=(3+d)(3+7d0,
弦碳狼14：。6d,又0，娱绿d=3,无b=h+(0-10d=3:…
所以数列a,},{b}的通项公式分别为，=2”，青，：3·
(2由(1)知，ab=3n2",
1.=90x2+212+9x3+-+1x1" ·
云221，=500x2241x2+5x+-42；
两式相减得-7=32+2+3+…+2”-m2=刘20-2望-m21=31--2-6,
1-2
所以T=3(n-1)2"+6.
17.()x10,1000时，①f(x是端函数：②f八x21恒成立：③f八x)≤恒成立
(2)函数模里f八x=4gx-2特合公可的要求
【详解】1)解：由远意，公司对奖所方笨的基本要求是：当x[10,1000时，①f八x是端函数：②.，
f八x21成立：③f八x)s恒成立.
2》架：对于马数模型=0+2：
当re010网时，f到是城遥装，且f20=背21，即/21恒立，
若使孟数f=0+2≤兮在到0,100k点则29230在0,100川威立·
又x=10时，29=29x10=290<300,所以/(x)≤在0,1000上衣成立.·
故该函敏棋里不符台公可的要求.
对于函领模型f八(x=4lgx-2:·
当x∈10,1000时，f(x是增数，且f(x2f（10)=41g10-2=221,所以fx21在10,1000
上同成京
令g)=4lgx-2-,则gx)=41ge-,
x 5
当210时=4gs2g-1g-<0,
5

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