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广东省深圳坪山高级中学2024-2025学年高二下学期期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高二下·坪山期中）已知盒中装有大小形状完全相同的3个红球、2个白球、5个黑球.甲每次从中任取一球且不放回，则在他第一次拿到的是红球的前提下，第二次拿到白球的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高二下·坪山期中）如果随机变量，则约等于（　　）
（注：）
A．0.210 B．0.0228 C．0.0456 D．0.0215
3．（2025高二下·坪山期中）设随机变量 ，且 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高二下·坪山期中）满足的正整数等于（　　）
A．1，5 B．3， C．1，3 D．5，
5．（2025高二下·坪山期中）函数，则等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．－4
6．（2025高二下·坪山期中）等于（　　）
A．990 B．165 C．120 D．55
7．（2025高二下·坪山期中）某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%等麦种种植后所结麦含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为（ ）
A．0.48 B．0.52 C．0.56 D．0.65
8．（2025高二下·坪山期中）定义在上的函数的导函数为，满足，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高二下·坪山期中）下列求导正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025高二下·坪山期中）设，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025高二下·坪山期中）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）.当时，对任意实数x，记，则（　　）
A．
B．当时，
C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变
D．随机变量，当，都增大时，概率单调增大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高二下·坪山期中）已知随机变量服从正态分布，则＝　 　
13．（2025高二下·坪山期中）为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，坪山高级中学教育集团选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有　 　种
14．（2025高二下·坪山期中）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高二下·坪山期中）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程．
（2）求在区间上的最大值和最小值．
16．（2025高二下·坪山期中）据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长透择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）
（1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？
（2）从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差；
（3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望和方差.
17．（2025高二下·坪山期中）已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之和是21，
（1）求的值；
（2）求展开式中项系数最大的项.
18．（2025高二下·坪山期中）设函数．
（1）若是的极值点，求的值，并讨论的单调性；
（2）当时，求证：．
19．（2025高二下·坪山期中）已知函数.
（1）证明：函数在定义域内存在唯一零点；
（2）设，试比较与的大小，并说明理由：
（3）若数列的通项，求证.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：设“第一次拿到的是红球”为事件A，“第二次拿到白球”为事件B，
可得：，，
则所求事件的概率为：，
故答案为：D.
【分析】设好事件，再根据条件概率公式进行计算．
2．【答案】B
【知识点】3σ原则
【解析】【解答】解：由题得.
故答案为：B
【分析】利用正态分布的对称性，结合原则得即可求解.
3．【答案】B
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】随机变量 服从二项分布 ， ，
解之得 ，所以 ．
故答案为：B.
【分析】由二项分布的期望和方差公式求出 ，即可求解.
4．【答案】C
【知识点】组合数的基本计算
【解析】【解答】解：若，则或，
解得，或，，经检验，不符合组合数运算性质
所以等于1或3.
故答案为：C.
【分析】根据组合数的运算性质可得或，再解方程即可．
5．【答案】D
【知识点】导数的加法与减法法则
【解析】【解答】解：，
，
，，
，，
故答案为：D.
【分析】先求导得，令x＝1，求出，再直接求即可．
6．【答案】B
【知识点】组合数公式
【解析】【解答】解：因为，
所以
．
故答案为：B
【分析】由组合数的性质化简可得．
7．【答案】B
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：种植一等麦种和二等麦种的事件分别为，所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件，
依题意，，，，，
由全概率公式得，.
故答案为：B.
【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算即得.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，则，
所以在定义域上单调递增，
不等式，即，即，
所以，解得，即不等式的解集为.
故答案为：C
【分析】令，求导得，则为增函数，又不等式可化为，结合单调性得，再解不等式即可.
9．【答案】B,C,D
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A：，错误；
B：，正确；
C：，正确；
D：，正确.
故答案为：BCD.
【分析】对于AC，由简单复合函数求导即可判断；对于B，运用初等函数的导数公式求解；对于D，根据导数的乘法法则计算判断即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：因为展开式的第项为，
又，
所以，，则，故A正确；
令，则，
令，则；
令，则，
故，即B错；
，即C正确；
，即D正确；
故答案为：ACD.
【分析】对于A，根据二项展开式的通项公式，求出和即可判断；对于B，令，可得，再令，可得即可求解；对于C，令，可得，结合时的系数和即可求解；对于D，去绝对值，结合上面赋值即可求解.
11．【答案】A,C
【知识点】正态密度曲线的特点；3σ原则
【解析】【解答】解：A．根据正态曲线的对称性，可得，故A正确；
B．当时，，故B错误；
对于C，D．根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值，
即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在中的概率为0.6826，是常数，
故由可知，C正确，D错误，
故答案为：AC．
【分析】根据结合正态曲线的对称性，可判断A；由定义即可判断B；根据正态分布的准则可判断C，D.
12．【答案】36
【知识点】正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，
所以，所以.
故答案为：36.
【分析】先由正态分布可得，再根据计算即可.
13．【答案】36
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，分派方案可分为两种情况：
①2名女教师和1名男教师分派到同一个学校，则有种方法.
②2名女教师分派到同一个学校，且该学校没有分配没有男教师，则有：种方法.
故一共有：36种分配方法.
故答案为：36.
【分析】分①2名女教师和1名男教师分派到同一个学校，②2名女教师分派到同一个学校，且该学校没有分配没有男教师，两种情况结合排列组合数计算即可.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：方法一：隐零点
实数，对任意的，不等式恒成立，，
设，，则，令，得，
由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，得到与有且只有一个交点，
如图，设交点为，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，
在处取得极小值，且为最小值，此时，
由最小值，解得，，
所以当时，不等式恒成立，故的取值范围为．
方法二：同构
对任意，由，可得，当时，不等式恒成立，
当时，设，
则，故在上单调递增，则，即，
设，，则，
所以时，，在上单调递增；时，，在上单调递减，
所以在处取得最大值，故．
故答案为：.
【分析】方法一：利用隐零点，根据导数得到的最小值，进而可确定的范围；
方法二：利用同构，进而可得，再参变分离结合导数求最值即可.
15．【答案】（1）解：由已知，则，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故在点处的切线方程为：；
（2）解：令，即得或，
令，则得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
显然，在区间上的最大值为，最小值为.
故在区间上的最大值为，最小值为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)求导，得到，再结合导数的几何意义求切线方程即可；
(2)求导，分别解，，再根据导数的符号确定函数在区间上的单调性，结合单调性确定最值即可.
（1）由已知，则，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故在点处的切线方程为：
（2）令，即得或，
令，则得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
显然，在区间上的最大值为，最小值为.
故在区间上的最大值为，最小值为.
16．【答案】（1）解：根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，则，
“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，
则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件，则，
故所求的概率为：，
所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是；
（2）解：依题意，佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生，故从中抽3人，男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2，
其中：；
；
.
所以男生人数的分布列为：
所以，
，
（3）解：由已知可得：
则：，
所以佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1）根据条件概率公式计算即可；（2）根据题意，可取0，1，2，再利用超几何分布求出对应概率，列分布列并计算期望和方差即可；
（3）由已知可得，再利用公式计算期望和方差即可.
（1）根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，则，
“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件，则，
故所求的概率为：，
所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是；
（2）依题意，佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生，故从中抽3人，男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2，
其中：；
；
.
所以男生人数的分布列为：
所以，
，
（3）由已知可得：
则：，
所以佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是.
17．【答案】（1）解：由题意可得，即，解得；
（2）解：由二项展开得到项系数为，
则设，化简为，解得，故，
因此项系数最大的为第三项，为.
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数；组合数的基本计算
【解析】【分析】（1）根据题意可得，再解方程即可；
（2） 先求得展开式中项系数 ，再根据项系数最大的求解方式求解即可.
（1）由题意可得，即，解得；
（2）由二项展开得到项系数为，
则设，化简为，解得，故，
因此项系数最大的为第三项，为.
18．【答案】（1）解：由题意得，
由是的极值点，得，所以.
于是，定义域为.
易知函数在上单调递增，又，
因此当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，
即得是的极小值点，符合题意，
故，在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：当，时，，则，
故只需证明当时，.
当时，函数在上单调递增.
又，故在上有唯一实根，且.
当时，；
当时，，从而当时，取得最小值.
由得，则
故.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，根据 是极值点可求得，再根据导数讨论单调性；
（2）利用函数的导数求出函数最小值，结合隐零点问题，判断最小值大于0，即可证明结论.
（1）由题意得，
由是的极值点，得，所以.
于是，定义域为.
易知函数在上单调递增，又，
因此当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，
即得是的极小值点，符合题意，
故，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当，时，，则，
故只需证明当时，.
当时，函数在上单调递增.
又，故在上有唯一实根，且.
当时，；
当时，，从而当时，取得最小值.
由得，则
故.
19．【答案】（1）证明：函数，定义域为
求导得，所以函数在上单调递增，
当时，，所以函数在定义域内存在唯一零点.
（2）解：，理由如下：
要证，只需证，
即证，即证.
令，则，从而即证.
设，由（1）知以函数在区间上单调递增.
所以，即成立.
故有.
（3）解：由（2）知，若，总有成立.
不妨令，则有.
由于，所以，
所以，
所以，
即有成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据导数确定函数的单调性，再结合零点存在定理即可得证；
（2）先判断出，分析即证.
令，则，设，结合（1），即可证明；
（3）由（2）知，若，总有成立.
不妨令，得到.利用累加法即可证明.
（1）函数，定义域为
求导得，所以函数在上单调递增，
当时，，所以函数在定义域内存在唯一零点.
（2），理由如下：
要证，只需证，
即证，即证.
令，则，从而即证.
设，由（1）知以函数在区间上单调递增.
所以，即成立.
故有.
（3）由（2）知，若，总有成立.
不妨令，则有.
由于，所以，
所以，
所以，
即有成立.
1 / 1广东省深圳坪山高级中学2024-2025学年高二下学期期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高二下·坪山期中）已知盒中装有大小形状完全相同的3个红球、2个白球、5个黑球.甲每次从中任取一球且不放回，则在他第一次拿到的是红球的前提下，第二次拿到白球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：设“第一次拿到的是红球”为事件A，“第二次拿到白球”为事件B，
可得：，，
则所求事件的概率为：，
故答案为：D.
【分析】设好事件，再根据条件概率公式进行计算．
2．（2025高二下·坪山期中）如果随机变量，则约等于（　　）
（注：）
A．0.210 B．0.0228 C．0.0456 D．0.0215
【答案】B
【知识点】3σ原则
【解析】【解答】解：由题得.
故答案为：B
【分析】利用正态分布的对称性，结合原则得即可求解.
3．（2025高二下·坪山期中）设随机变量 ，且 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】随机变量 服从二项分布 ， ，
解之得 ，所以 ．
故答案为：B.
【分析】由二项分布的期望和方差公式求出 ，即可求解.
4．（2025高二下·坪山期中）满足的正整数等于（　　）
A．1，5 B．3， C．1，3 D．5，
【答案】C
【知识点】组合数的基本计算
【解析】【解答】解：若，则或，
解得，或，，经检验，不符合组合数运算性质
所以等于1或3.
故答案为：C.
【分析】根据组合数的运算性质可得或，再解方程即可．
5．（2025高二下·坪山期中）函数，则等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．－4
【答案】D
【知识点】导数的加法与减法法则
【解析】【解答】解：，
，
，，
，，
故答案为：D.
【分析】先求导得，令x＝1，求出，再直接求即可．
6．（2025高二下·坪山期中）等于（　　）
A．990 B．165 C．120 D．55
【答案】B
【知识点】组合数公式
【解析】【解答】解：因为，
所以
．
故答案为：B
【分析】由组合数的性质化简可得．
7．（2025高二下·坪山期中）某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%等麦种种植后所结麦含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为（ ）
A．0.48 B．0.52 C．0.56 D．0.65
【答案】B
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：种植一等麦种和二等麦种的事件分别为，所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件，
依题意，，，，，
由全概率公式得，.
故答案为：B.
【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算即得.
8．（2025高二下·坪山期中）定义在上的函数的导函数为，满足，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，则，
所以在定义域上单调递增，
不等式，即，即，
所以，解得，即不等式的解集为.
故答案为：C
【分析】令，求导得，则为增函数，又不等式可化为，结合单调性得，再解不等式即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高二下·坪山期中）下列求导正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A：，错误；
B：，正确；
C：，正确；
D：，正确.
故答案为：BCD.
【分析】对于AC，由简单复合函数求导即可判断；对于B，运用初等函数的导数公式求解；对于D，根据导数的乘法法则计算判断即可.
10．（2025高二下·坪山期中）设，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：因为展开式的第项为，
又，
所以，，则，故A正确；
令，则，
令，则；
令，则，
故，即B错；
，即C正确；
，即D正确；
故答案为：ACD.
【分析】对于A，根据二项展开式的通项公式，求出和即可判断；对于B，令，可得，再令，可得即可求解；对于C，令，可得，结合时的系数和即可求解；对于D，去绝对值，结合上面赋值即可求解.
11．（2025高二下·坪山期中）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）.当时，对任意实数x，记，则（　　）
A．
B．当时，
C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变
D．随机变量，当，都增大时，概率单调增大
【答案】A,C
【知识点】正态密度曲线的特点；3σ原则
【解析】【解答】解：A．根据正态曲线的对称性，可得，故A正确；
B．当时，，故B错误；
对于C，D．根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值，
即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在中的概率为0.6826，是常数，
故由可知，C正确，D错误，
故答案为：AC．
【分析】根据结合正态曲线的对称性，可判断A；由定义即可判断B；根据正态分布的准则可判断C，D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高二下·坪山期中）已知随机变量服从正态分布，则＝　 　
【答案】36
【知识点】正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，
所以，所以.
故答案为：36.
【分析】先由正态分布可得，再根据计算即可.
13．（2025高二下·坪山期中）为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，坪山高级中学教育集团选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有　 　种
【答案】36
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，分派方案可分为两种情况：
①2名女教师和1名男教师分派到同一个学校，则有种方法.
②2名女教师分派到同一个学校，且该学校没有分配没有男教师，则有：种方法.
故一共有：36种分配方法.
故答案为：36.
【分析】分①2名女教师和1名男教师分派到同一个学校，②2名女教师分派到同一个学校，且该学校没有分配没有男教师，两种情况结合排列组合数计算即可.
14．（2025高二下·坪山期中）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：方法一：隐零点
实数，对任意的，不等式恒成立，，
设，，则，令，得，
由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，得到与有且只有一个交点，
如图，设交点为，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，
在处取得极小值，且为最小值，此时，
由最小值，解得，，
所以当时，不等式恒成立，故的取值范围为．
方法二：同构
对任意，由，可得，当时，不等式恒成立，
当时，设，
则，故在上单调递增，则，即，
设，，则，
所以时，，在上单调递增；时，，在上单调递减，
所以在处取得最大值，故．
故答案为：.
【分析】方法一：利用隐零点，根据导数得到的最小值，进而可确定的范围；
方法二：利用同构，进而可得，再参变分离结合导数求最值即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高二下·坪山期中）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程．
（2）求在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）解：由已知，则，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故在点处的切线方程为：；
（2）解：令，即得或，
令，则得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
显然，在区间上的最大值为，最小值为.
故在区间上的最大值为，最小值为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)求导，得到，再结合导数的几何意义求切线方程即可；
(2)求导，分别解，，再根据导数的符号确定函数在区间上的单调性，结合单调性确定最值即可.
（1）由已知，则，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故在点处的切线方程为：
（2）令，即得或，
令，则得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
显然，在区间上的最大值为，最小值为.
故在区间上的最大值为，最小值为.
16．（2025高二下·坪山期中）据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长透择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）
（1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？
（2）从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差；
（3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望和方差.
【答案】（1）解：根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，则，
“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，
则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件，则，
故所求的概率为：，
所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是；
（2）解：依题意，佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生，故从中抽3人，男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2，
其中：；
；
.
所以男生人数的分布列为：
所以，
，
（3）解：由已知可得：
则：，
所以佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1）根据条件概率公式计算即可；（2）根据题意，可取0，1，2，再利用超几何分布求出对应概率，列分布列并计算期望和方差即可；
（3）由已知可得，再利用公式计算期望和方差即可.
（1）根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，则，
“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件，则，
故所求的概率为：，
所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是；
（2）依题意，佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生，故从中抽3人，男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2，
其中：；
；
.
所以男生人数的分布列为：
所以，
，
（3）由已知可得：
则：，
所以佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是.
17．（2025高二下·坪山期中）已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之和是21，
（1）求的值；
（2）求展开式中项系数最大的项.
【答案】（1）解：由题意可得，即，解得；
（2）解：由二项展开得到项系数为，
则设，化简为，解得，故，
因此项系数最大的为第三项，为.
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数；组合数的基本计算
【解析】【分析】（1）根据题意可得，再解方程即可；
（2） 先求得展开式中项系数 ，再根据项系数最大的求解方式求解即可.
（1）由题意可得，即，解得；
（2）由二项展开得到项系数为，
则设，化简为，解得，故，
因此项系数最大的为第三项，为.
18．（2025高二下·坪山期中）设函数．
（1）若是的极值点，求的值，并讨论的单调性；
（2）当时，求证：．
【答案】（1）解：由题意得，
由是的极值点，得，所以.
于是，定义域为.
易知函数在上单调递增，又，
因此当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，
即得是的极小值点，符合题意，
故，在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：当，时，，则，
故只需证明当时，.
当时，函数在上单调递增.
又，故在上有唯一实根，且.
当时，；
当时，，从而当时，取得最小值.
由得，则
故.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，根据 是极值点可求得，再根据导数讨论单调性；
（2）利用函数的导数求出函数最小值，结合隐零点问题，判断最小值大于0，即可证明结论.
（1）由题意得，
由是的极值点，得，所以.
于是，定义域为.
易知函数在上单调递增，又，
因此当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，
即得是的极小值点，符合题意，
故，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当，时，，则，
故只需证明当时，.
当时，函数在上单调递增.
又，故在上有唯一实根，且.
当时，；
当时，，从而当时，取得最小值.
由得，则
故.
19．（2025高二下·坪山期中）已知函数.
（1）证明：函数在定义域内存在唯一零点；
（2）设，试比较与的大小，并说明理由：
（3）若数列的通项，求证.
【答案】（1）证明：函数，定义域为
求导得，所以函数在上单调递增，
当时，，所以函数在定义域内存在唯一零点.
（2）解：，理由如下：
要证，只需证，
即证，即证.
令，则，从而即证.
设，由（1）知以函数在区间上单调递增.
所以，即成立.
故有.
（3）解：由（2）知，若，总有成立.
不妨令，则有.
由于，所以，
所以，
所以，
即有成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据导数确定函数的单调性，再结合零点存在定理即可得证；
（2）先判断出，分析即证.
令，则，设，结合（1），即可证明；
（3）由（2）知，若，总有成立.
不妨令，得到.利用累加法即可证明.
（1）函数，定义域为
求导得，所以函数在上单调递增，
当时，，所以函数在定义域内存在唯一零点.
（2），理由如下：
要证，只需证，
即证，即证.
令，则，从而即证.
设，由（1）知以函数在区间上单调递增.
所以，即成立.
故有.
（3）由（2）知，若，总有成立.
不妨令，则有.
由于，所以，
所以，
所以，
即有成立.
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