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四川省成都棠湖外国语学校2024-2025学年八年级下学期期中数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2025八下·成都期中）“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动所形成的知识体系，被誉为“中国的第五大发明”，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·成都期中）已知，则下列不等式不成立的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八下·成都期中）下列长度的各组线段中，可以组成等腰三角形的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．（2025八下·成都期中）根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八下·成都期中）平面直角坐标系中，已知点，将点A向下平移4个单位长度后得到的点A的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·成都期中）下列各式中，不论x取何值分式都有意义的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·成都期中）一次校联欢会上，老师组织同学们玩抢凳子的游戏，让三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（　　）
A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三边的垂直平分线的交点 D．三边上高所在直线的交点
8．（2025八下·成都期中）如图，为钝角三角形，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（2025八下·成都期中） 若分式的值为零，则x=　 　．
10．（2025八下·成都期中）因式分解：　 　．
11．（2025八下·成都期中）如图，将沿的方向平移得到，若，平移的距离为　 　．
12．（2025八下·成都期中）如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集为　 　．
13．（2025八下·成都期中）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，若，则点到的距离为　 　．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（2025八下·成都期中）（1）分解因式：
（2）分解因式：
（3）解不等式组：．
15．（2025八下·成都期中）化简：，并在，0，3中选择一个合适的a值代入求值．
16．（2025八下·成都期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题：
（1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出；
（2）将绕点O按逆时针方向旋转得到，作出；
17．（2025八下·成都期中）如图：在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
18．（2025八下·成都期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，，直线交于点C．
（1）求直线的解析式；
（2）P是x轴上的一个动点，当的面积为，求P的坐标；
（3）将沿着直线平移，记平移过程中为，其中点O的对应点为，点A对的应点为，点C的对应点为，直线与x轴交于点M，在平移过程中，若要使以点，M，A为顶点的三角形是等腰三角形，求出所有符合条件的点M的坐标．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（2025八下·成都期中）若，，则代数式的值是　 　．
20．（2025八下·成都期中）如果不等式组的解集为x＞2，那么m的取值范围是　 　．
21．（2025八下·成都期中）对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于　 　．
22．（2025八下·成都期中）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点F；将沿（E在上，G在上）折叠，使点C与点F恰好重合，则　 　．
23．（2025八下·成都期中）如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，点，直线绕轴上一点顺时针旋转120°，得到的直线恰好经过点，则点的坐标是　 　．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（2025八下·成都期中）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
（1）求两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A种型号智能机器人？
25．（2025八下·成都期中）定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图1，的图象分别交x轴、y轴于点A、B，其“逆反函数”交x轴于点C，连接．
（1）请写出的解析式和B、C点坐标．
（2）一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，
①求出的面积；
②如图2，过点D作y轴的垂线段，垂足为E，M为y轴上的一点，且，求出直线的解析式．
26．（2025八下·成都期中）【问题背景】（1）如图（1），在和中，，求证：．
【问题探究】（2）如图（2），，将绕点逆时针旋转到，连，过点作交于点，求证：．
【拓展运用】（3）如图（3），等边中，是边上的中线，点是上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，当的周长最小时，直接写出此时的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解： A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断解题．
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A、若，则，故本选项不符合题意，A错误；
B、若，则，故本选项不符合题意，B错误；
C、若，则，故本选项不符合题意，C错误；
D、若，则，故本选项符合题意，D正确；
故选：D
【分析】本题考查不等式的性质．根据不等式的性质：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变，据此可判断选项A；不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，据此可判断选B；不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此可判断选项C；已知，根据不等式的性质可得：，所以，可知D选项错误．
3．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：A：，，可以组成等腰三角形，故A正确；
B：，不能组成三角形，故B错误；
C：，不能组成三角形，故C错误；
D：，，可以组成三角形但不是等腰三角形，故D错误；
故答案为：A．
【分析】利用三角形两边之和大于第三边及等腰三角形的性质，可得答案.
4．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，该选项不符合题意；
B、，原计算错误，该选项不符合题意；
C、，原计算错误，该选项不符合题意；
D、，正确，该选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】 分式的分子与分母同乘或同除以同一个非零整式，分式的值不变 ，据此逐一判断得出答案.
5．【答案】A
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：点，
将点A向下平移4个单位长度后得到的点A的对应点的坐标为．
故答案为：A．
【分析】利用点的坐标平移规律：上（纵坐标）加下（横坐标）减，据此可得到平移后的点的坐标.
6．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：A选项，∵x2≥0，∴，
因此无论x取何值，分式有意义；
B选项，当时，即时，此时分式无意义；
C选项，当时，即时，此时分式无意义；
D选项，当时，此时分式无有意义。
故答案为：A．
【分析】本题根据分式有意义的条件，即分母不为零，然后分选项进行计算分析即可。
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，
∴为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边的垂直平分线的交点，
故答案为：C．
【分析】根据题意可知：凳子到三名同学的距离相等，因此根据三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等可得答案．
8．【答案】D
【知识点】旋转的性质；平行线的应用-求角度；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由旋转的性质得，，，
，
，
．
故答案为：D．
【分析】利用旋转的性质可证得AB=AD，利用等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠ADB的度数；然后根据两直线平行，内错角相等，可求出∠EAD的度数.
9．【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】因为分子为零，而分母不为零，分式的值为零．
故答案为：2.
【分析】利用分式的值为0的条件：分子为零且分母不为零，据此可求出x的值.
10．【答案】（5+x）（5-x）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：（5+x）（5-x）．
【分析】根据平方差公式即可解得。
11．【答案】1
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由题意，得：平移距离为；
故答案为：1．
【分析】利用平移的性质可知平移的距离就是BE的长，据此可求出BE的长.
12．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象得，当时，，
不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】利用点A的坐标，可得到不等式的解集．
13．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，作于点G，即，
∵，
∴，
由题意可知：平分，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】作于点G，即，利用三角形的内角和定理可求出∠ABC的度数，由作图可知平分，可求出∠ABP的度数，然后利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出DG的长.
14．【答案】解：（1）；
（2）
；
（3），
解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组的解集为
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；解一元一次不等式组；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）观察此多项式的特点，可知利用十字相乘法分解因式.
（2）已知多项式含有三项，有公因式m，因此先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式.
（3）分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集.
15．【答案】解：
，
由题意得，，
代入，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式，平方差公式化简，再根据分式有意义的条件择值代入即可求出答案.
16．【答案】（1）解：点经过平移后的对应点的坐标为，
的平移方式为向右5个单位长度，再向下5个单位长度，
如图所示，即为所求：
（2）解：如图所示，即为所求：
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转；用坐标表示平移
【解析】【分析】（1）利用点平移后得到点，可知平移方式为向右5个单位长度，再向下5个单位长度，分别画出点的对应点为，然后画出即可.
（2）利用旋转的性质， 将绕点O按逆时针方向旋转 可得对应点为，然后画出即可．
（1）解：点经过平移后的对应点的坐标为，
的平移方式为向右5个单位长度，再向下5个单位长度，
如图所示，即为所求：
（2）解：如图所示，即为所求：
17．【答案】（1）证明：连接，
∵的垂直平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∵为线段的中点，
∴．
（2）解：∵，
，
∴，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）首先连接，通过线段垂直平分线的性质可以证明，再结合已知条件．即可等量代换为， 进而根据等腰三角形的三线合一性质即可得出结论；
（2）首先根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质得出，进而再根据等腰三角形的性质，即可得出．
（1）证明：连接，
∵的垂直平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∵为线段的中点，
∴．
（2）解：∵，
，
∴，
，
．
18．【答案】（1）解：∵，∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为
（2）解：∵的面积为，∴，
∴，
∵，
∴点P的坐标为或
（3）解：联立，解得，∴；
在中，，
∵，
∴点C为线段的中点，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
如图3-1所示，当时，
由平移的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点M的坐标为；
如图3-2所示，当时， 则，
∵，
∴此种情况不存在；
如图3-3所示，当时，过点作于K，过点作于L，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴点M的坐标为；
如图3-4所示，当时，过点作于T，
同理可得，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的判定与性质；平移的性质；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）利用OB、OA的长可得到点A、B的坐标，再利用待定系数法求出直线AB的函数解析式.
（2）利用三角形的面积公式可得到AP的长，利用点A的坐标可求出点P的坐标.
（3）将两函数解析式联立方程组可求出点C的坐标，利用勾股定理求出AB的长，同时可证得点C为线段的中点，可求出OC的长，同时可证得是等边三角形，即可求出∠OAB和∠AOC的度数；如图3-1所示，当时，由平移的性质可得，同时可证得，利用直角三角形的性质可求出AM的长，即可得到OM的长，可得到点M的坐标；如图3-2所示，当时， 则，可知，此种情况不存在；如图3-3所示，当时，过点作于K，过点作于L，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出∠C'AM的度数，即可求出∠OAC'的度数，易证是等腰直角三角形，可证AK=C'K，利用勾股定理求出OK的长，可得到OC'的长，同时可证得，利用勾股定理求出C'L的长，可得到OL、OM的长，即可得到点M的坐标；如图3-4所示，当时，过点作于T，同理可得，设，可表示出C'M的长，利用勾股定理求出MT的长，即可得到关于s的方程，解方程求出s的值，可得到OM的长，即可求出点M的坐标；综上所述，可得到符合题意的点M的坐标.
（1）解：∵，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为；
（2）解：∵的面积为，
∴，
∴，
∵，
∴点P的坐标为或；
（3）解：联立，解得，
∴；
在中，，
∵，
∴点C为线段的中点，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
如图3-1所示，当时，
由平移的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点M的坐标为；
如图3-2所示，当时， 则，
∵，
∴此种情况不存在；
如图3-3所示，当时，过点作于K，过点作于L，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴点M的坐标为；
如图3-4所示，当时，过点作于T，
同理可得，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或或．
19．【答案】2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
，
故答案为：2．
【分析】把代数式因式分解，然后整体代入计算解题．
20．【答案】m≤2
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解①得：x＞2，
根据题意得m≤2．
故答案为：m≤2．
【分析】分别求出不等式组中每一个不等式的解集，根据不等式组的解集可得到m的取值范围.
21．【答案】
【知识点】探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：根据题意，
，
，
，
，
，
，
，……，
即每4个为一循环，
，
，
故答案为：．
【分析】利用伴随分式的定义依次求出每个分式的伴随分式，再观察 可知每4个为一循环，再让，根据其余数可得分式 .
22．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接、，
∵中，，
∴
∵为的平分线，
∴
∵是的垂直平分线，
∴
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴．
根据翻折的性质可得，
∴．
∴
∴
故答案为：．
【分析】连接、，利用三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，根据角平分线的定义求出的度数；再利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可证得，利用等边对等角可求出的度数及的度数；然后利用“”可证，利用全等三角形的性质可推出，从而可求出∠FCB的度数，利用折叠的性质可知，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠CFG、∠FCG的度数及∠FGC的度数，由此可求出∠FGE的度数.
23．【答案】
【知识点】旋转的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设点C是直线l上一点，且点C绕点M顺时针旋转120度得到点B，连接，过点C作交x轴于F，
∵是等边三角形，点，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
如图所示，过点C作x轴的垂线，垂足分为E，设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】 设点C是直线l上一点，且点C绕点M顺时针旋转120度得到点B，连接， 过点C作交x轴于F， 通过 证明，得到； 设点， 再表示出点C的坐标，根据l的解析式可得关于m的方程， 解方程求得M的值，即可得出点M的坐标。
24．【答案】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
解得，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购进A型a台，B型台，
由题意得，，
解得，，
故满足要求的最小整数解为：．
答：至少购进5台A型智能机器人．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据相等关系“A型机器人每台每天可分拣快递22万件、B型机器人每台每天可分拣快递18万件 ”列出方程组并求解即可；
（2）设购进A型a台，根据不等关系“ 需要每天分拣快递不少于200万件 ”列不等式并求出最小整数解即可．
（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
解得，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购进A型a台，B型台，
由题意得，，
解得，，
故满足要求的最小整数解为：．
答：至少购进5台A型智能机器人．
25．【答案】（1）解；由新定义知，的解析式 ，在中，当时，，
在中，当时，，
∴
（2）解：①联立，解得，∴；
设直线与y轴交于H，则，
∴，
∴；
②设直线交y轴于点K，
当点M在点E的上方时，
过点K作交的延长线于点N，过点N作y轴的平行线，过点K作x轴的平行线交于G，延长交于点H，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，即轴，
∴，即，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，设点，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，即且，
解得：，，
∴，
由点D、N的坐标得，直线的表达式为：，
∴此时点M的坐标为，
当在E下方时，
则直线和关于对称，则，
∴，
∴同理可得的表达式为：
综上所述，直线的解析式为或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-AAS；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）利用新定义可得的解析式 ，在中，求出当时的函数y值，在中，求出当时的自变量的值，由此可得到点B、C的坐标.
（2） ① 将两函数解析式联立方程组，求出方程组的解可得到点D的坐标；设直线与y轴交于H，可求出厎H的坐标，即可得到BH的长，根据，列式计算即可；②设直线交y轴于点K，当点M在点E的上方时，过点K作交的延长线于点N，过点N作y轴的平行线，过点K作x轴的平行线交于G，延长交于点H，利用函数解析式可得到点A的坐标，可证得OA=OB=2，同时可知是等腰直角三角形，可求出∠OAB的度数，再证明，可证为等腰直角三角形，设点，利用AAS可证得，利用全等三角形的性质可证得，，由此可求出x、y的值，可得到点N的坐标，利用待定系数法求出直线DM的函数解析式，可得到点M的坐标；当在E下方时，则直线和关于对称，可得到点M'的坐标，即可求出直线MD'的函数解析式.
（1）解；由新定义知，的解析式 ，
在中，当时，，
在中，当时，，
∴；
（2）解：①联立，解得，
∴；
设直线与y轴交于H，则，
∴，
∴；
②设直线交y轴于点K，
当点M在点E的上方时，
过点K作交的延长线于点N，过点N作y轴的平行线，
过点K作x轴的平行线交于G，延长交于点H，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，即轴，
∴，即，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，设点，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，即且，
解得：，，
∴，
由点D、N的坐标得，直线的表达式为：，
∴此时点M的坐标为，
当在E下方时，
则直线和关于对称，则，
∴，
∴同理可得的表达式为：
综上所述，直线的解析式为或．
26．【答案】（1）证明∶，
，
在和中，，
；
（2）证明：如图1，作于点，交于点，作，交延长线于点，
绕点逆时针旋转到，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
在中，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图2，作射线，
是等边三角形，
，
绕点逆时针旋转到，
，
，
，
，
，
，
是边上的中线，
，
，
点在与成角的直线上运动，
作点关于的对称点，交于点，连接交于点，连接
当点在点处时，最小，则的周长最小，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
的周长最小时，
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】（1）利用已知可证得，利用SAS可证得结论.
（2）作于点，交于点，作，交延长线于点，利用旋转的性质可证得，利用等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠ADC的度数，同时可证得，即可求出∠DAG、∠BAD的度数；再利用等腰三角形的性质可证，同理可求出∠CBF、∠DCG，∠CFD、∠BFC的度数，再利用等边对等角可证∠BFC=∠ADW，利用三角形的内角和定理求出∠W的度数；利用AAS可证得△BCF≌△AWD，利用全等三角形的性质可证得BF=FD，由此可证得结论.
（3）作射线，利用等边三角形的性质和旋转的性质可推出AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE，利用SAS证明，利用全等三角形的性质可证得∠ABD=∠ACE，由此可证得，得到点在与成角的直线上运动；作点关于的对称点，交于点，连接交于点，连接，当点在点处时，最小，则的周长最小，易证△AA'C是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出∠AA'E'的度数，即可求出∠A'AE'的度数，根据，可求出∠AEF的度数.
1 / 1四川省成都棠湖外国语学校2024-2025学年八年级下学期期中数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2025八下·成都期中）“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动所形成的知识体系，被誉为“中国的第五大发明”，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解： A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断解题．
2．（2025八下·成都期中）已知，则下列不等式不成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A、若，则，故本选项不符合题意，A错误；
B、若，则，故本选项不符合题意，B错误；
C、若，则，故本选项不符合题意，C错误；
D、若，则，故本选项符合题意，D正确；
故选：D
【分析】本题考查不等式的性质．根据不等式的性质：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变，据此可判断选项A；不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，据此可判断选B；不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此可判断选项C；已知，根据不等式的性质可得：，所以，可知D选项错误．
3．（2025八下·成都期中）下列长度的各组线段中，可以组成等腰三角形的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：A：，，可以组成等腰三角形，故A正确；
B：，不能组成三角形，故B错误；
C：，不能组成三角形，故C错误；
D：，，可以组成三角形但不是等腰三角形，故D错误；
故答案为：A．
【分析】利用三角形两边之和大于第三边及等腰三角形的性质，可得答案.
4．（2025八下·成都期中）根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，该选项不符合题意；
B、，原计算错误，该选项不符合题意；
C、，原计算错误，该选项不符合题意；
D、，正确，该选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】 分式的分子与分母同乘或同除以同一个非零整式，分式的值不变 ，据此逐一判断得出答案.
5．（2025八下·成都期中）平面直角坐标系中，已知点，将点A向下平移4个单位长度后得到的点A的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：点，
将点A向下平移4个单位长度后得到的点A的对应点的坐标为．
故答案为：A．
【分析】利用点的坐标平移规律：上（纵坐标）加下（横坐标）减，据此可得到平移后的点的坐标.
6．（2025八下·成都期中）下列各式中，不论x取何值分式都有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：A选项，∵x2≥0，∴，
因此无论x取何值，分式有意义；
B选项，当时，即时，此时分式无意义；
C选项，当时，即时，此时分式无意义；
D选项，当时，此时分式无有意义。
故答案为：A．
【分析】本题根据分式有意义的条件，即分母不为零，然后分选项进行计算分析即可。
7．（2025八下·成都期中）一次校联欢会上，老师组织同学们玩抢凳子的游戏，让三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（　　）
A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三边的垂直平分线的交点 D．三边上高所在直线的交点
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，
∴为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边的垂直平分线的交点，
故答案为：C．
【分析】根据题意可知：凳子到三名同学的距离相等，因此根据三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等可得答案．
8．（2025八下·成都期中）如图，为钝角三角形，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】旋转的性质；平行线的应用-求角度；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由旋转的性质得，，，
，
，
．
故答案为：D．
【分析】利用旋转的性质可证得AB=AD，利用等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠ADB的度数；然后根据两直线平行，内错角相等，可求出∠EAD的度数.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（2025八下·成都期中） 若分式的值为零，则x=　 　．
【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】因为分子为零，而分母不为零，分式的值为零．
故答案为：2.
【分析】利用分式的值为0的条件：分子为零且分母不为零，据此可求出x的值.
10．（2025八下·成都期中）因式分解：　 　．
【答案】（5+x）（5-x）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：（5+x）（5-x）．
【分析】根据平方差公式即可解得。
11．（2025八下·成都期中）如图，将沿的方向平移得到，若，平移的距离为　 　．
【答案】1
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由题意，得：平移距离为；
故答案为：1．
【分析】利用平移的性质可知平移的距离就是BE的长，据此可求出BE的长.
12．（2025八下·成都期中）如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象得，当时，，
不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】利用点A的坐标，可得到不等式的解集．
13．（2025八下·成都期中）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，若，则点到的距离为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，作于点G，即，
∵，
∴，
由题意可知：平分，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】作于点G，即，利用三角形的内角和定理可求出∠ABC的度数，由作图可知平分，可求出∠ABP的度数，然后利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出DG的长.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（2025八下·成都期中）（1）分解因式：
（2）分解因式：
（3）解不等式组：．
【答案】解：（1）；
（2）
；
（3），
解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组的解集为
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；解一元一次不等式组；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）观察此多项式的特点，可知利用十字相乘法分解因式.
（2）已知多项式含有三项，有公因式m，因此先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式.
（3）分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集.
15．（2025八下·成都期中）化简：，并在，0，3中选择一个合适的a值代入求值．
【答案】解：
，
由题意得，，
代入，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式，平方差公式化简，再根据分式有意义的条件择值代入即可求出答案.
16．（2025八下·成都期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题：
（1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出；
（2）将绕点O按逆时针方向旋转得到，作出；
【答案】（1）解：点经过平移后的对应点的坐标为，
的平移方式为向右5个单位长度，再向下5个单位长度，
如图所示，即为所求：
（2）解：如图所示，即为所求：
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转；用坐标表示平移
【解析】【分析】（1）利用点平移后得到点，可知平移方式为向右5个单位长度，再向下5个单位长度，分别画出点的对应点为，然后画出即可.
（2）利用旋转的性质， 将绕点O按逆时针方向旋转 可得对应点为，然后画出即可．
（1）解：点经过平移后的对应点的坐标为，
的平移方式为向右5个单位长度，再向下5个单位长度，
如图所示，即为所求：
（2）解：如图所示，即为所求：
17．（2025八下·成都期中）如图：在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：连接，
∵的垂直平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∵为线段的中点，
∴．
（2）解：∵，
，
∴，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）首先连接，通过线段垂直平分线的性质可以证明，再结合已知条件．即可等量代换为， 进而根据等腰三角形的三线合一性质即可得出结论；
（2）首先根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质得出，进而再根据等腰三角形的性质，即可得出．
（1）证明：连接，
∵的垂直平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∵为线段的中点，
∴．
（2）解：∵，
，
∴，
，
．
18．（2025八下·成都期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，，直线交于点C．
（1）求直线的解析式；
（2）P是x轴上的一个动点，当的面积为，求P的坐标；
（3）将沿着直线平移，记平移过程中为，其中点O的对应点为，点A对的应点为，点C的对应点为，直线与x轴交于点M，在平移过程中，若要使以点，M，A为顶点的三角形是等腰三角形，求出所有符合条件的点M的坐标．
【答案】（1）解：∵，∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为
（2）解：∵的面积为，∴，
∴，
∵，
∴点P的坐标为或
（3）解：联立，解得，∴；
在中，，
∵，
∴点C为线段的中点，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
如图3-1所示，当时，
由平移的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点M的坐标为；
如图3-2所示，当时， 则，
∵，
∴此种情况不存在；
如图3-3所示，当时，过点作于K，过点作于L，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴点M的坐标为；
如图3-4所示，当时，过点作于T，
同理可得，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的判定与性质；平移的性质；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）利用OB、OA的长可得到点A、B的坐标，再利用待定系数法求出直线AB的函数解析式.
（2）利用三角形的面积公式可得到AP的长，利用点A的坐标可求出点P的坐标.
（3）将两函数解析式联立方程组可求出点C的坐标，利用勾股定理求出AB的长，同时可证得点C为线段的中点，可求出OC的长，同时可证得是等边三角形，即可求出∠OAB和∠AOC的度数；如图3-1所示，当时，由平移的性质可得，同时可证得，利用直角三角形的性质可求出AM的长，即可得到OM的长，可得到点M的坐标；如图3-2所示，当时， 则，可知，此种情况不存在；如图3-3所示，当时，过点作于K，过点作于L，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出∠C'AM的度数，即可求出∠OAC'的度数，易证是等腰直角三角形，可证AK=C'K，利用勾股定理求出OK的长，可得到OC'的长，同时可证得，利用勾股定理求出C'L的长，可得到OL、OM的长，即可得到点M的坐标；如图3-4所示，当时，过点作于T，同理可得，设，可表示出C'M的长，利用勾股定理求出MT的长，即可得到关于s的方程，解方程求出s的值，可得到OM的长，即可求出点M的坐标；综上所述，可得到符合题意的点M的坐标.
（1）解：∵，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为；
（2）解：∵的面积为，
∴，
∴，
∵，
∴点P的坐标为或；
（3）解：联立，解得，
∴；
在中，，
∵，
∴点C为线段的中点，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
如图3-1所示，当时，
由平移的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点M的坐标为；
如图3-2所示，当时， 则，
∵，
∴此种情况不存在；
如图3-3所示，当时，过点作于K，过点作于L，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴点M的坐标为；
如图3-4所示，当时，过点作于T，
同理可得，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或或．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（2025八下·成都期中）若，，则代数式的值是　 　．
【答案】2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
，
故答案为：2．
【分析】把代数式因式分解，然后整体代入计算解题．
20．（2025八下·成都期中）如果不等式组的解集为x＞2，那么m的取值范围是　 　．
【答案】m≤2
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解①得：x＞2，
根据题意得m≤2．
故答案为：m≤2．
【分析】分别求出不等式组中每一个不等式的解集，根据不等式组的解集可得到m的取值范围.
21．（2025八下·成都期中）对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于　 　．
【答案】
【知识点】探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：根据题意，
，
，
，
，
，
，
，……，
即每4个为一循环，
，
，
故答案为：．
【分析】利用伴随分式的定义依次求出每个分式的伴随分式，再观察 可知每4个为一循环，再让，根据其余数可得分式 .
22．（2025八下·成都期中）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点F；将沿（E在上，G在上）折叠，使点C与点F恰好重合，则　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接、，
∵中，，
∴
∵为的平分线，
∴
∵是的垂直平分线，
∴
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴．
根据翻折的性质可得，
∴．
∴
∴
故答案为：．
【分析】连接、，利用三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，根据角平分线的定义求出的度数；再利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可证得，利用等边对等角可求出的度数及的度数；然后利用“”可证，利用全等三角形的性质可推出，从而可求出∠FCB的度数，利用折叠的性质可知，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠CFG、∠FCG的度数及∠FGC的度数，由此可求出∠FGE的度数.
23．（2025八下·成都期中）如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，点，直线绕轴上一点顺时针旋转120°，得到的直线恰好经过点，则点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】旋转的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设点C是直线l上一点，且点C绕点M顺时针旋转120度得到点B，连接，过点C作交x轴于F，
∵是等边三角形，点，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
如图所示，过点C作x轴的垂线，垂足分为E，设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】 设点C是直线l上一点，且点C绕点M顺时针旋转120度得到点B，连接， 过点C作交x轴于F， 通过 证明，得到； 设点， 再表示出点C的坐标，根据l的解析式可得关于m的方程， 解方程求得M的值，即可得出点M的坐标。
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（2025八下·成都期中）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
（1）求两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A种型号智能机器人？
【答案】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
解得，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购进A型a台，B型台，
由题意得，，
解得，，
故满足要求的最小整数解为：．
答：至少购进5台A型智能机器人．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据相等关系“A型机器人每台每天可分拣快递22万件、B型机器人每台每天可分拣快递18万件 ”列出方程组并求解即可；
（2）设购进A型a台，根据不等关系“ 需要每天分拣快递不少于200万件 ”列不等式并求出最小整数解即可．
（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
解得，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购进A型a台，B型台，
由题意得，，
解得，，
故满足要求的最小整数解为：．
答：至少购进5台A型智能机器人．
25．（2025八下·成都期中）定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图1，的图象分别交x轴、y轴于点A、B，其“逆反函数”交x轴于点C，连接．
（1）请写出的解析式和B、C点坐标．
（2）一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，
①求出的面积；
②如图2，过点D作y轴的垂线段，垂足为E，M为y轴上的一点，且，求出直线的解析式．
【答案】（1）解；由新定义知，的解析式 ，在中，当时，，
在中，当时，，
∴
（2）解：①联立，解得，∴；
设直线与y轴交于H，则，
∴，
∴；
②设直线交y轴于点K，
当点M在点E的上方时，
过点K作交的延长线于点N，过点N作y轴的平行线，过点K作x轴的平行线交于G，延长交于点H，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，即轴，
∴，即，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，设点，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，即且，
解得：，，
∴，
由点D、N的坐标得，直线的表达式为：，
∴此时点M的坐标为，
当在E下方时，
则直线和关于对称，则，
∴，
∴同理可得的表达式为：
综上所述，直线的解析式为或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-AAS；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）利用新定义可得的解析式 ，在中，求出当时的函数y值，在中，求出当时的自变量的值，由此可得到点B、C的坐标.
（2） ① 将两函数解析式联立方程组，求出方程组的解可得到点D的坐标；设直线与y轴交于H，可求出厎H的坐标，即可得到BH的长，根据，列式计算即可；②设直线交y轴于点K，当点M在点E的上方时，过点K作交的延长线于点N，过点N作y轴的平行线，过点K作x轴的平行线交于G，延长交于点H，利用函数解析式可得到点A的坐标，可证得OA=OB=2，同时可知是等腰直角三角形，可求出∠OAB的度数，再证明，可证为等腰直角三角形，设点，利用AAS可证得，利用全等三角形的性质可证得，，由此可求出x、y的值，可得到点N的坐标，利用待定系数法求出直线DM的函数解析式，可得到点M的坐标；当在E下方时，则直线和关于对称，可得到点M'的坐标，即可求出直线MD'的函数解析式.
（1）解；由新定义知，的解析式 ，
在中，当时，，
在中，当时，，
∴；
（2）解：①联立，解得，
∴；
设直线与y轴交于H，则，
∴，
∴；
②设直线交y轴于点K，
当点M在点E的上方时，
过点K作交的延长线于点N，过点N作y轴的平行线，
过点K作x轴的平行线交于G，延长交于点H，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，即轴，
∴，即，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，设点，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，即且，
解得：，，
∴，
由点D、N的坐标得，直线的表达式为：，
∴此时点M的坐标为，
当在E下方时，
则直线和关于对称，则，
∴，
∴同理可得的表达式为：
综上所述，直线的解析式为或．
26．（2025八下·成都期中）【问题背景】（1）如图（1），在和中，，求证：．
【问题探究】（2）如图（2），，将绕点逆时针旋转到，连，过点作交于点，求证：．
【拓展运用】（3）如图（3），等边中，是边上的中线，点是上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，当的周长最小时，直接写出此时的度数．
【答案】（1）证明∶，
，
在和中，，
；
（2）证明：如图1，作于点，交于点，作，交延长线于点，
绕点逆时针旋转到，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
在中，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图2，作射线，
是等边三角形，
，
绕点逆时针旋转到，
，
，
，
，
，
，
是边上的中线，
，
，
点在与成角的直线上运动，
作点关于的对称点，交于点，连接交于点，连接
当点在点处时，最小，则的周长最小，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
的周长最小时，
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】（1）利用已知可证得，利用SAS可证得结论.
（2）作于点，交于点，作，交延长线于点，利用旋转的性质可证得，利用等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠ADC的度数，同时可证得，即可求出∠DAG、∠BAD的度数；再利用等腰三角形的性质可证，同理可求出∠CBF、∠DCG，∠CFD、∠BFC的度数，再利用等边对等角可证∠BFC=∠ADW，利用三角形的内角和定理求出∠W的度数；利用AAS可证得△BCF≌△AWD，利用全等三角形的性质可证得BF=FD，由此可证得结论.
（3）作射线，利用等边三角形的性质和旋转的性质可推出AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE，利用SAS证明，利用全等三角形的性质可证得∠ABD=∠ACE，由此可证得，得到点在与成角的直线上运动；作点关于的对称点，交于点，连接交于点，连接，当点在点处时，最小，则的周长最小，易证△AA'C是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出∠AA'E'的度数，即可求出∠A'AE'的度数，根据，可求出∠AEF的度数.
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