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四川省成都市第四十九中学校2024-2025学年八年级下学期半期考试数学试卷
一、选择题（每小题4分，共32分，答案涂在答题卡上）
1．（2025八下·成都期中）以下选取了四届冬奥会会标图案的一部分，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·成都期中）若分式无意义，则x的值为（　　）
A．2 B． C． D．0
3．（2025八下·成都期中）若，则下列不等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八下·成都期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八下·成都期中）已知等腰三角形的两边长分别为4cm、8cm，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．12cm B．16cm C．16cm或20cm D．20cm
6．（2025八下·成都期中）如图，函数，交于点，直接写出的解集（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·成都期中）如图，在中，边上的垂直平分线分别交边于点E，交边于点D，若的长为9cm，的长为6cm，则的长为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
8．（2025八下·成都期中）“证明：若，则”，用反证法证明这个结论时，应先假设（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（2025八下·成都期中）把多项式分解因式的结果是　 　．
10．（2025八下·成都期中）小真用100元钱去购买笔记本和钢笔共20件，已知每本笔记本3元，每支钢笔8元．则小真最多能买　 　支钢笔．
11．（2025八下·成都期中）若分式 的值为0，则x=　 　．
12．（2025八下·成都期中）如图，将△ABC平移到△A’B’C’的位置（点B’在AC边上），若∠B=55°，∠C=100°，则∠AB’A’的度数为　 　°．
13．（2025八下·成都期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为　 　．
三、解答题（共48分）
14．（2025八下·成都期中）（1）解不等式：
（2）解不等式组：
15．（2025八下·成都期中）（1）解方程：．
（2）先化简，再求值：，试从，，三个数中选取一个你喜欢的数代入求值．
16．（2025八下·成都期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）平移，使得点的对应点的坐标为，画出平移后的，并写出点的对应点的坐标；
（2）画出关于原点的中心对称图形．
17．（2025八下·成都期中）某企业需运输一批生产物资，已知3辆大货车与2辆小货车一次可以运输65箱物资；4辆大货车与6辆小货车一次可以运输120箱物资．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次分别运输多少箱物资；
（2）计划用两种货车共15辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用500元，每辆小货车一次需费用300元．若运输物资不少于175箱，且总费用小于6100元．请求出有几种运输方案？
18．（2025八下·成都期中）与都是等边三角形，绕点逆时针旋转，直线，交于点．
（1）如图1，当点、、在同一条直线上时，的度数为 ，线段与的数量关系为 ；
（2）将图1中的绕着点逆时针旋转到如图2的位置，与交于点，求的度数，判断线段与的数量关系，并证明你的结论；
（3）若，当绕点逆时针旋转一周时，请求出长的取值范围．
四、填空题（每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（2025八下·成都期中）若，，则代数式的值是　 　．
20．（2025八下·成都期中）若关于的分式方程有增根，则的值为　 　．
21．（2025八下·成都期中）已知关于的一元一次不等式组有个整数解，若为整数，则的值为　 　．
22．（2025八下·成都期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下面说法中：①；②；③；④．正确的是　 　．（填序号）
23．（2025八下·成都期中）如图，等边中，，O是上一点，且，点M为边上一动点，连接，将线段绕点O按逆时针方向旋转至，连接，则周长的最小值为　 　．
五、解答题（本大题共3题，共30分）
24．（2025八下·成都期中）夏季天气炎热，某商场计划购进、两种型号的空调扇，已知一台型空调扇的单价比一台型空调扇的单价多160元，投入7200元购进型空调扇的台数和投入12000元购进型空调扇的台数相同．
（1）求购进、两种型号空调扇的单价；
（2）根据市场需求，商场计划购进两种型号的空调扇共60台，且型空调扇的数量不多于型空调扇数量的一半．在单价不变的前提下，当购进型空调扇多少台时，所需投入的总费用最少？最少费用是多少元？
25．（2025八下·成都期中）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题：
【阅读材料1】如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
【实例剖析1】已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：；．
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
（1）已知，则当 时，式子取到最小值，最小值为 ；
（2）假分式可化为带分式形式 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数的值有 个；
（3）已知，当取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？
26．（2025八下·成都期中）已知，在中，，将边绕点顺时针旋转得，使、两点在直线的同侧，连接，，，过点作于点．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若，猜想线段、、三者之间的数量关系并证明；
（3）如图3，若，请直接写出的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；
C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，符合题意；
D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，再对各选项逐一判断.
2．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若分式无意义，则，
解得．
故答案为：A．
【分析】利用分式无意义的条件：分母等于0，可得到关于x的方程，解方程即可.
3．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A、 若 ，则，原式错误，不符合题意；
B、 若 ，则，原式错误，不符合题意；
C、若 ，则 ，原式正确，符合题意；
D、若 ，则，原式错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此逐项判断即可.
4．【答案】A
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解∶A．， 等式由左到右的变形属于因式分解，符合题意；
B． ，等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
C． ，等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
D． ，等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
故答案为∶A．
【分析】
本题考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义是解题关键.因式分解的定义：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，关键看是否将多项式转化成几个整式乘积的形式，要注意区分整式乘法与因式分解这两个相反的过程，根据因式分解的定义逐一判断即可得到答案．
5．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】本题从边的方面考查三角形形成的条件，涉及分类讨论的思考方法，即通过讨论决定三角形三边的边长，然后可求出这个三角形的周长．
【解答】已知等腰三角形的两边长分别为8cm、4cm，如果边长为8的边是底边，则两腰的边长为4cm，
4cm+4cm=8cm，不符合三角形的三边关系，因此底边不能为8．
则底边为4cm，腰围8cm，符合要求．
则这个三角形的周长为8cm+8cm+4cm=20cm．
故选D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
6．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：观察图像可知的解集是．
故答案为：A．
【分析】利用两函数交点的横坐标，观察直线在上方时，可得自变量x的取值范围
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是边上的垂直平分线，，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】首先根据中垂线的性质得出，进而得出．
8．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】用反证法证明若，则”时，应先假设．
故答案为：B．
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，据此可求解.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】此多项式的特点：含有两项，符号相反，且含有公因式m；因此先提公因式，再根据平方差公式因式分解．
10．【答案】8
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】 【解答】解：设小真购买支钢笔，则购买本笔记本，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为8，即小真最多能买8支钢笔．
故答案为：8．
【分析】设小真购买支钢笔，可表示出购买笔记本的数量，再根据总价不超过100元，列出关于的一元一次不等式，然后解不等式求出其最大整数解即可.
11．【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵x2-4=0，
∴x=±2，
当x=2时，x+2≠0，
当x=-2时，x+2=0．
∴当x=2时，分式的值是0．
故答案为：2
【分析】分式的值等于0的条件是：分子等于0且分母不等于0，据此列式求出x的值即可。
12．【答案】25
【知识点】三角形内角和定理；平移的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=55°，∠C=100°，
∴∠A=180°－∠B－∠C=25°，
由平移的性质可得，
∴，
故答案为：25．
【分析】根据三角形内角和定理得到∠A的度数，然后根据平移的性质解答即可．
13．【答案】2
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，作DP'⊥AB于P'，
则此时DP'最小，即PD最小，
由尺规作图可知，AD平分∠CAB，又∠C＝90°，DP'⊥AB，
∴DP'＝CD＝2，
∴PD的最小值为2，
故答案为：2．
【分析】作DP'⊥AB于P'，利用垂线段最短得到此时PD最小，再根据角平分线的性质可求出PD的最小值.
14．【答案】解：（1）去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2），
解不等式①，得；
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先去括号（括号外的数要与括号里的每一项相乘，不能漏乘，同时注意符号问题），再移项合并，然后将x的系数化为1
（2）分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集.
15．【答案】解：（1）去分母，得，移项，合并同类项，得，
系数化为1，得．
经检验，是原方程的解，
所以原方程的解是；
（2）原式．
∵，
∴当时，原式
【知识点】解分式方程；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）先去分母（方程两边同时乘以最简公分母，左边的1不能漏乘），将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可的原方程的解.
（2）先将括号里的分式减法通分计算，同时将除法转化为乘法运算，约分化简，然后将使原式有意义的x的值代入化简后的代数式进行计算.
16．【答案】（1）解：如图，即为所求，；
（2）解：如图，即为所求．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）利用点的坐标平移规律可知点的对应点，由此可得到向左平移2个单位，向下平移4个单位得到，分别作出点、、的对应点、、，然后画出.
（2）先作出点、、的对应点、、，然后画出.
（1）解：如图，即为所求，；
（2）解：如图，即为所求．
17．【答案】（1）解：设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，根据题意，得
，
解得，
所以设1辆大货车一次运输15箱物资，1辆小货车一次运输10箱物资
（2）解：设运输这批物资的大货车m辆，则小货车辆，根据题意，得，
解得，
∵m是正整数，
∴m可取5，6，7，
∴运输方案有3种，
方案一：大货车5辆，小货车10辆，此时所需要费用为（元）；
方案二：大货车6辆，小货车9辆，此时所需要费用为（元）；
方案三：大货车7辆，小货车8辆，此时所需要费用为（元）．
答：方案一：大货车5辆，小货车10辆；方案二：大货车6辆，小货车9辆；方案三：大货车7辆，小货车8辆
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：3×1辆大货车运的数量+2×1辆小货车运的数量=65；4×1辆大货车运的数量+6×1辆小货车运的数量=129；设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，据此可得到关于x、y的方程组，解方程组即可.
（2），设运输这批物资的大货车m辆，可表示出小货车的辆数，再根据运输物资不少于175箱，且总费用小于6100元，可得到关于m的不等式组，再求出不等式组的整数解，即可得到具体的运输方案.
（1）解：设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，根据题意，得
，
解得，
所以设1辆大货车一次运输15箱物资，1辆小货车一次运输10箱物资；
（2）解：设运输这批物资的大货车m辆，则小货车辆，根据题意，得
，
解得，
∵m是正整数，
∴m可取5，6，7，
∴运输方案有3种，
方案一：大货车5辆，小货车10辆，此时所需要费用为（元）；
方案二：大货车6辆，小货车9辆，此时所需要费用为（元）；
方案三：大货车7辆，小货车8辆，此时所需要费用为（元）．
答：方案一：大货车5辆，小货车10辆；方案二：大货车6辆，小货车9辆；方案三：大货车7辆，小货车8辆．
18．【答案】（1）
（2）结论：．
理由：∵是等边三角形，
∴．
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
在中，，
，
∴
（3）解：在中，．
∵当绕点C逆时针旋转一周时，，
∴当点D在的延长线上时，最小，最小为，
当点D在的延长线上时，最大，最大为，
∴，
即的取值范围是
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：∵是等边三角形，
∴．
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
在中，，
，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得，，，可推出，利用SAS可证得，利用全等三角形的性质可证，然后根据三角形的内角和定理可求出∠AFB的度数.
（2）同（1）的方法可证得，利用全等三角形的性质可证得，再根据三角形的内角和定理求出∠AFB的度数.
（3）利用三角形的三边关系可证得，再根据旋转可证当点D在的延长线上时，最小，当点D在的延长线上时，最大，分别求出最值，由此可得到BD的取值范围.
（1）解：∵是等边三角形，
∴．
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
在中，，
，
∴；
故答案为：；
（2）解：．
∵是等边三角形，
∴．
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
在中，，
，
∴；
（3）解：在中，．
∵当绕点C逆时针旋转一周时，，
∴当点D在的延长线上时，最小，最小为，
当点D在的延长线上时，最大，最大为，
∴，
即的取值范围是．
19．【答案】
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】先将原式分解因式可得到mn（m-n），再整体代入求值.
20．【答案】4
【知识点】分式方程的增根；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵，
∴去分母，得，
∵关于的分式方程有增根，
∴分式方程的增根为，
∴，解得，
故答案为：
【分析】先去分母，将分式方程转化为整式方程，再根据原方程有增根，可得到x的值，然后将x的值代入整式方程可得到关于k的方程，解方程求出k的值.
21．【答案】，
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：不等式组整理得：，
不等式组有个整数解，
不等式组的解集为，整数解为，，
，
解得：，
则整数的值为，．
故答案为：，．
【分析】先分别求出两个不等式的解，结合不等式组有2个整数解，可得，即可求出a的取值范围，即可求解.
22．【答案】①②③
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵是中线，
∴，
∴．
∴①正确；
∵是角平分线，
∴．
∵为高线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴②正确；
∵为高，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是的平分线，
∴，
∴．
∴③正确；
根据条件不能说明，
∴④不正确．
故答案为：①②③．
【分析】先根据等底等高的三角形面积相等，可对①作出判断；再根据角平分线和三角形高线的概念可证得，，利用直角三角形的两锐角互余及余角的性质可推出，即可证得，可对②作出判断；同理可证得，利用角平分线的概念可证得，由此可对③作出判断；根据条件不能说明，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
23．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，过点N作于点D，过点O作于点H，则，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
根据题意得，，，
∴，
∴，
∴（AAS），
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点N的运动轨迹是直线，且该直线与直线平行，在的左侧，与的距离是，
作点C关于该直线的对称点E，连接交该直线于N，
即当点B，N，E三点共线时，的周长最小，连接交该直线于G，则，，
∴，
∴△ACN的周长的最小值为，
故答案为：．
【分析】过点N作于点D，过点O作于点H，则，根据AAS证明得，从而确定点N的运动轨迹是直线，与平行，且距离是，作点C关于该直线的对称点E，连接交该直线于N， 即当点B，N，E三点共线时，的周长最小，连接交该直线于G，则，，根据勾股定理即可求得.
24．【答案】（1）解：设购进型空调扇的单价为元，则购进型空调扇的单价为元，
根据题意，得
解得，
经检验，是原方程的解，
则（元）
答：购进、两种型号空调扇的单价分别为240元、400元
（2）解：设购进型空调扇台时，所投入的总费用为元，则
由题意可知，
，
随的增大而减小
当时，最小为
答：当购进型空调扇20台时，所需投入的总费用最少，最少费用为20800元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】根据题意设购进型空调扇的单价为元，可表示出购进型空调扇的单价，根据投入7200元购进型空调扇的台数和投入12000元购进型空调扇的台数相同，可得到关于x的方程 ，然后求解即可.
设购进型空调扇台时，所投入的总费用为元，根据题意可得到w关于m的一次函数；再根据“型空调扇的数量不多于型空调扇数量的一半”求得a的范围；然后利用 一次函数的性质可求解.
（1）解：设购进型空调扇的单价为元，则购进型空调扇的单价为元，
根据题意，得
解得，
经检验，是原方程的解，
则（元）
答：购进、两种型号空调扇的单价分别为240元、400元．
（2）解：设购进型空调扇台时，所投入的总费用为元，则
由题意可知，
，
随的增大而减小
当时，最小为
答：当购进型空调扇20台时，所需投入的总费用最少，最少费用为20800元．
25．【答案】（1）3，6
（2）；4
（3）解：∵，∴，
∴，
当且仅当时，即时，式子有最小值为4，
所以当时，分式取最大值，最大值为
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【解答】（1）解：令，则，
得，
所以当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6；
故答案为：3，6；
（2）解：，
∵x为整数，且为整数，
∴或或或，
解得或或或，共4个．
故答案为：；4；
【分析】（1）利用阅读材料中的，可求出已知代数式的最小值.
（2）将已知代数式转化为，根据原分式的值为整数，可确定出满足添加的整数x的值的个数.
（3）根据题意将原式改写为，再根据，可知，可知取等号时，即时，式子有最小值，即可得到其最小值，据此可求出分式的最大值.
（1）解：令，则，
得，
所以当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6；
故答案为：3，6；
（2）解：，
∵x为整数，且为整数，
∴或或或，
解得或或或，共4个．
故答案为：；4；
（3）解：∵，
∴，
∴，
当且仅当时，即时，式子有最小值为4，
所以当时，分式取最大值，最大值为．
26．【答案】（1）解：设，
，，
，
，
，
，
，
，
，
（2）解：，理由如下，
过点作于点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
平分，
，
在和中，
，
，
，
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（3）如图，作于点F，于点，于点，
，
，
，，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
【分析】（1）设，利用等边对等角可推出，可表示出∠ABC、∠BDC的度数；再利用三角形的内角和定理可表示出∠BAC的度数，根据，可得到关于α的方程，解方程即可求解.
（2）过点作于点，易证∠ABD=∠ACD，利用AAS证明，利用全等三角形的性质可证得，；再利用平分线的概念可证得∠EDA=∠FDA，利用AAS证明，可推出，即可得到结论
（3）作于点，于点，于点，利用AAS可证得，利用全等三角形的性质可证得，；利用AAS证明，利用全等三角形的性质可求出DF的长，同时可求出BE的长，根据BD=BE+DE，可求出BD、DG的长；利用勾股定理求出CG的长，然后证明，可证得AH=CF，可得到CH的长，利用三角形的面积公式求出△ABC的面积.
（1）解：设，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下，
过点作于点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
平分，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：如图，作于点F，于点，于点，
，
，
，，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
1 / 1四川省成都市第四十九中学校2024-2025学年八年级下学期半期考试数学试卷
一、选择题（每小题4分，共32分，答案涂在答题卡上）
1．（2025八下·成都期中）以下选取了四届冬奥会会标图案的一部分，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；
C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，符合题意；
D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，再对各选项逐一判断.
2．（2025八下·成都期中）若分式无意义，则x的值为（　　）
A．2 B． C． D．0
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若分式无意义，则，
解得．
故答案为：A．
【分析】利用分式无意义的条件：分母等于0，可得到关于x的方程，解方程即可.
3．（2025八下·成都期中）若，则下列不等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A、 若 ，则，原式错误，不符合题意；
B、 若 ，则，原式错误，不符合题意；
C、若 ，则 ，原式正确，符合题意；
D、若 ，则，原式错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此逐项判断即可.
4．（2025八下·成都期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解∶A．， 等式由左到右的变形属于因式分解，符合题意；
B． ，等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
C． ，等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
D． ，等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
故答案为∶A．
【分析】
本题考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义是解题关键.因式分解的定义：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，关键看是否将多项式转化成几个整式乘积的形式，要注意区分整式乘法与因式分解这两个相反的过程，根据因式分解的定义逐一判断即可得到答案．
5．（2025八下·成都期中）已知等腰三角形的两边长分别为4cm、8cm，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．12cm B．16cm C．16cm或20cm D．20cm
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】本题从边的方面考查三角形形成的条件，涉及分类讨论的思考方法，即通过讨论决定三角形三边的边长，然后可求出这个三角形的周长．
【解答】已知等腰三角形的两边长分别为8cm、4cm，如果边长为8的边是底边，则两腰的边长为4cm，
4cm+4cm=8cm，不符合三角形的三边关系，因此底边不能为8．
则底边为4cm，腰围8cm，符合要求．
则这个三角形的周长为8cm+8cm+4cm=20cm．
故选D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
6．（2025八下·成都期中）如图，函数，交于点，直接写出的解集（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：观察图像可知的解集是．
故答案为：A．
【分析】利用两函数交点的横坐标，观察直线在上方时，可得自变量x的取值范围
7．（2025八下·成都期中）如图，在中，边上的垂直平分线分别交边于点E，交边于点D，若的长为9cm，的长为6cm，则的长为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是边上的垂直平分线，，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】首先根据中垂线的性质得出，进而得出．
8．（2025八下·成都期中）“证明：若，则”，用反证法证明这个结论时，应先假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】用反证法证明若，则”时，应先假设．
故答案为：B．
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，据此可求解.
二、填空题（每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（2025八下·成都期中）把多项式分解因式的结果是　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】此多项式的特点：含有两项，符号相反，且含有公因式m；因此先提公因式，再根据平方差公式因式分解．
10．（2025八下·成都期中）小真用100元钱去购买笔记本和钢笔共20件，已知每本笔记本3元，每支钢笔8元．则小真最多能买　 　支钢笔．
【答案】8
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】 【解答】解：设小真购买支钢笔，则购买本笔记本，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为8，即小真最多能买8支钢笔．
故答案为：8．
【分析】设小真购买支钢笔，可表示出购买笔记本的数量，再根据总价不超过100元，列出关于的一元一次不等式，然后解不等式求出其最大整数解即可.
11．（2025八下·成都期中）若分式 的值为0，则x=　 　．
【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵x2-4=0，
∴x=±2，
当x=2时，x+2≠0，
当x=-2时，x+2=0．
∴当x=2时，分式的值是0．
故答案为：2
【分析】分式的值等于0的条件是：分子等于0且分母不等于0，据此列式求出x的值即可。
12．（2025八下·成都期中）如图，将△ABC平移到△A’B’C’的位置（点B’在AC边上），若∠B=55°，∠C=100°，则∠AB’A’的度数为　 　°．
【答案】25
【知识点】三角形内角和定理；平移的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=55°，∠C=100°，
∴∠A=180°－∠B－∠C=25°，
由平移的性质可得，
∴，
故答案为：25．
【分析】根据三角形内角和定理得到∠A的度数，然后根据平移的性质解答即可．
13．（2025八下·成都期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为　 　．
【答案】2
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，作DP'⊥AB于P'，
则此时DP'最小，即PD最小，
由尺规作图可知，AD平分∠CAB，又∠C＝90°，DP'⊥AB，
∴DP'＝CD＝2，
∴PD的最小值为2，
故答案为：2．
【分析】作DP'⊥AB于P'，利用垂线段最短得到此时PD最小，再根据角平分线的性质可求出PD的最小值.
三、解答题（共48分）
14．（2025八下·成都期中）（1）解不等式：
（2）解不等式组：
【答案】解：（1）去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2），
解不等式①，得；
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先去括号（括号外的数要与括号里的每一项相乘，不能漏乘，同时注意符号问题），再移项合并，然后将x的系数化为1
（2）分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集.
15．（2025八下·成都期中）（1）解方程：．
（2）先化简，再求值：，试从，，三个数中选取一个你喜欢的数代入求值．
【答案】解：（1）去分母，得，移项，合并同类项，得，
系数化为1，得．
经检验，是原方程的解，
所以原方程的解是；
（2）原式．
∵，
∴当时，原式
【知识点】解分式方程；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）先去分母（方程两边同时乘以最简公分母，左边的1不能漏乘），将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可的原方程的解.
（2）先将括号里的分式减法通分计算，同时将除法转化为乘法运算，约分化简，然后将使原式有意义的x的值代入化简后的代数式进行计算.
16．（2025八下·成都期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）平移，使得点的对应点的坐标为，画出平移后的，并写出点的对应点的坐标；
（2）画出关于原点的中心对称图形．
【答案】（1）解：如图，即为所求，；
（2）解：如图，即为所求．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）利用点的坐标平移规律可知点的对应点，由此可得到向左平移2个单位，向下平移4个单位得到，分别作出点、、的对应点、、，然后画出.
（2）先作出点、、的对应点、、，然后画出.
（1）解：如图，即为所求，；
（2）解：如图，即为所求．
17．（2025八下·成都期中）某企业需运输一批生产物资，已知3辆大货车与2辆小货车一次可以运输65箱物资；4辆大货车与6辆小货车一次可以运输120箱物资．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次分别运输多少箱物资；
（2）计划用两种货车共15辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用500元，每辆小货车一次需费用300元．若运输物资不少于175箱，且总费用小于6100元．请求出有几种运输方案？
【答案】（1）解：设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，根据题意，得
，
解得，
所以设1辆大货车一次运输15箱物资，1辆小货车一次运输10箱物资
（2）解：设运输这批物资的大货车m辆，则小货车辆，根据题意，得，
解得，
∵m是正整数，
∴m可取5，6，7，
∴运输方案有3种，
方案一：大货车5辆，小货车10辆，此时所需要费用为（元）；
方案二：大货车6辆，小货车9辆，此时所需要费用为（元）；
方案三：大货车7辆，小货车8辆，此时所需要费用为（元）．
答：方案一：大货车5辆，小货车10辆；方案二：大货车6辆，小货车9辆；方案三：大货车7辆，小货车8辆
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：3×1辆大货车运的数量+2×1辆小货车运的数量=65；4×1辆大货车运的数量+6×1辆小货车运的数量=129；设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，据此可得到关于x、y的方程组，解方程组即可.
（2），设运输这批物资的大货车m辆，可表示出小货车的辆数，再根据运输物资不少于175箱，且总费用小于6100元，可得到关于m的不等式组，再求出不等式组的整数解，即可得到具体的运输方案.
（1）解：设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，根据题意，得
，
解得，
所以设1辆大货车一次运输15箱物资，1辆小货车一次运输10箱物资；
（2）解：设运输这批物资的大货车m辆，则小货车辆，根据题意，得
，
解得，
∵m是正整数，
∴m可取5，6，7，
∴运输方案有3种，
方案一：大货车5辆，小货车10辆，此时所需要费用为（元）；
方案二：大货车6辆，小货车9辆，此时所需要费用为（元）；
方案三：大货车7辆，小货车8辆，此时所需要费用为（元）．
答：方案一：大货车5辆，小货车10辆；方案二：大货车6辆，小货车9辆；方案三：大货车7辆，小货车8辆．
18．（2025八下·成都期中）与都是等边三角形，绕点逆时针旋转，直线，交于点．
（1）如图1，当点、、在同一条直线上时，的度数为 ，线段与的数量关系为 ；
（2）将图1中的绕着点逆时针旋转到如图2的位置，与交于点，求的度数，判断线段与的数量关系，并证明你的结论；
（3）若，当绕点逆时针旋转一周时，请求出长的取值范围．
【答案】（1）
（2）结论：．
理由：∵是等边三角形，
∴．
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
在中，，
，
∴
（3）解：在中，．
∵当绕点C逆时针旋转一周时，，
∴当点D在的延长线上时，最小，最小为，
当点D在的延长线上时，最大，最大为，
∴，
即的取值范围是
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：∵是等边三角形，
∴．
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
在中，，
，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得，，，可推出，利用SAS可证得，利用全等三角形的性质可证，然后根据三角形的内角和定理可求出∠AFB的度数.
（2）同（1）的方法可证得，利用全等三角形的性质可证得，再根据三角形的内角和定理求出∠AFB的度数.
（3）利用三角形的三边关系可证得，再根据旋转可证当点D在的延长线上时，最小，当点D在的延长线上时，最大，分别求出最值，由此可得到BD的取值范围.
（1）解：∵是等边三角形，
∴．
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
在中，，
，
∴；
故答案为：；
（2）解：．
∵是等边三角形，
∴．
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
在中，，
，
∴；
（3）解：在中，．
∵当绕点C逆时针旋转一周时，，
∴当点D在的延长线上时，最小，最小为，
当点D在的延长线上时，最大，最大为，
∴，
即的取值范围是．
四、填空题（每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（2025八下·成都期中）若，，则代数式的值是　 　．
【答案】
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】先将原式分解因式可得到mn（m-n），再整体代入求值.
20．（2025八下·成都期中）若关于的分式方程有增根，则的值为　 　．
【答案】4
【知识点】分式方程的增根；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵，
∴去分母，得，
∵关于的分式方程有增根，
∴分式方程的增根为，
∴，解得，
故答案为：
【分析】先去分母，将分式方程转化为整式方程，再根据原方程有增根，可得到x的值，然后将x的值代入整式方程可得到关于k的方程，解方程求出k的值.
21．（2025八下·成都期中）已知关于的一元一次不等式组有个整数解，若为整数，则的值为　 　．
【答案】，
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：不等式组整理得：，
不等式组有个整数解，
不等式组的解集为，整数解为，，
，
解得：，
则整数的值为，．
故答案为：，．
【分析】先分别求出两个不等式的解，结合不等式组有2个整数解，可得，即可求出a的取值范围，即可求解.
22．（2025八下·成都期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下面说法中：①；②；③；④．正确的是　 　．（填序号）
【答案】①②③
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵是中线，
∴，
∴．
∴①正确；
∵是角平分线，
∴．
∵为高线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴②正确；
∵为高，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是的平分线，
∴，
∴．
∴③正确；
根据条件不能说明，
∴④不正确．
故答案为：①②③．
【分析】先根据等底等高的三角形面积相等，可对①作出判断；再根据角平分线和三角形高线的概念可证得，，利用直角三角形的两锐角互余及余角的性质可推出，即可证得，可对②作出判断；同理可证得，利用角平分线的概念可证得，由此可对③作出判断；根据条件不能说明，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
23．（2025八下·成都期中）如图，等边中，，O是上一点，且，点M为边上一动点，连接，将线段绕点O按逆时针方向旋转至，连接，则周长的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，过点N作于点D，过点O作于点H，则，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
根据题意得，，，
∴，
∴，
∴（AAS），
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点N的运动轨迹是直线，且该直线与直线平行，在的左侧，与的距离是，
作点C关于该直线的对称点E，连接交该直线于N，
即当点B，N，E三点共线时，的周长最小，连接交该直线于G，则，，
∴，
∴△ACN的周长的最小值为，
故答案为：．
【分析】过点N作于点D，过点O作于点H，则，根据AAS证明得，从而确定点N的运动轨迹是直线，与平行，且距离是，作点C关于该直线的对称点E，连接交该直线于N， 即当点B，N，E三点共线时，的周长最小，连接交该直线于G，则，，根据勾股定理即可求得.
五、解答题（本大题共3题，共30分）
24．（2025八下·成都期中）夏季天气炎热，某商场计划购进、两种型号的空调扇，已知一台型空调扇的单价比一台型空调扇的单价多160元，投入7200元购进型空调扇的台数和投入12000元购进型空调扇的台数相同．
（1）求购进、两种型号空调扇的单价；
（2）根据市场需求，商场计划购进两种型号的空调扇共60台，且型空调扇的数量不多于型空调扇数量的一半．在单价不变的前提下，当购进型空调扇多少台时，所需投入的总费用最少？最少费用是多少元？
【答案】（1）解：设购进型空调扇的单价为元，则购进型空调扇的单价为元，
根据题意，得
解得，
经检验，是原方程的解，
则（元）
答：购进、两种型号空调扇的单价分别为240元、400元
（2）解：设购进型空调扇台时，所投入的总费用为元，则
由题意可知，
，
随的增大而减小
当时，最小为
答：当购进型空调扇20台时，所需投入的总费用最少，最少费用为20800元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】根据题意设购进型空调扇的单价为元，可表示出购进型空调扇的单价，根据投入7200元购进型空调扇的台数和投入12000元购进型空调扇的台数相同，可得到关于x的方程 ，然后求解即可.
设购进型空调扇台时，所投入的总费用为元，根据题意可得到w关于m的一次函数；再根据“型空调扇的数量不多于型空调扇数量的一半”求得a的范围；然后利用 一次函数的性质可求解.
（1）解：设购进型空调扇的单价为元，则购进型空调扇的单价为元，
根据题意，得
解得，
经检验，是原方程的解，
则（元）
答：购进、两种型号空调扇的单价分别为240元、400元．
（2）解：设购进型空调扇台时，所投入的总费用为元，则
由题意可知，
，
随的增大而减小
当时，最小为
答：当购进型空调扇20台时，所需投入的总费用最少，最少费用为20800元．
25．（2025八下·成都期中）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题：
【阅读材料1】如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
【实例剖析1】已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：；．
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
（1）已知，则当 时，式子取到最小值，最小值为 ；
（2）假分式可化为带分式形式 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数的值有 个；
（3）已知，当取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？
【答案】（1）3，6
（2）；4
（3）解：∵，∴，
∴，
当且仅当时，即时，式子有最小值为4，
所以当时，分式取最大值，最大值为
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【解答】（1）解：令，则，
得，
所以当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6；
故答案为：3，6；
（2）解：，
∵x为整数，且为整数，
∴或或或，
解得或或或，共4个．
故答案为：；4；
【分析】（1）利用阅读材料中的，可求出已知代数式的最小值.
（2）将已知代数式转化为，根据原分式的值为整数，可确定出满足添加的整数x的值的个数.
（3）根据题意将原式改写为，再根据，可知，可知取等号时，即时，式子有最小值，即可得到其最小值，据此可求出分式的最大值.
（1）解：令，则，
得，
所以当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6；
故答案为：3，6；
（2）解：，
∵x为整数，且为整数，
∴或或或，
解得或或或，共4个．
故答案为：；4；
（3）解：∵，
∴，
∴，
当且仅当时，即时，式子有最小值为4，
所以当时，分式取最大值，最大值为．
26．（2025八下·成都期中）已知，在中，，将边绕点顺时针旋转得，使、两点在直线的同侧，连接，，，过点作于点．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若，猜想线段、、三者之间的数量关系并证明；
（3）如图3，若，请直接写出的面积．
【答案】（1）解：设，
，，
，
，
，
，
，
，
，
（2）解：，理由如下，
过点作于点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
平分，
，
在和中，
，
，
，
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（3）如图，作于点F，于点，于点，
，
，
，，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
【分析】（1）设，利用等边对等角可推出，可表示出∠ABC、∠BDC的度数；再利用三角形的内角和定理可表示出∠BAC的度数，根据，可得到关于α的方程，解方程即可求解.
（2）过点作于点，易证∠ABD=∠ACD，利用AAS证明，利用全等三角形的性质可证得，；再利用平分线的概念可证得∠EDA=∠FDA，利用AAS证明，可推出，即可得到结论
（3）作于点，于点，于点，利用AAS可证得，利用全等三角形的性质可证得，；利用AAS证明，利用全等三角形的性质可求出DF的长，同时可求出BE的长，根据BD=BE+DE，可求出BD、DG的长；利用勾股定理求出CG的长，然后证明，可证得AH=CF，可得到CH的长，利用三角形的面积公式求出△ABC的面积.
（1）解：设，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下，
过点作于点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
平分，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：如图，作于点F，于点，于点，
，
，
，，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
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