资源简介

湖南省衡阳市八中教育集团2024- 2025学年下学期期期中检测九年级数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025九下·衡阳期中）下列四个数中，是负数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的乘方法则；化简多重符号有理数；求有理数的绝对值的方法；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：A.是负数，故选项A符合题意；
B. 是正数，故选项B不符合题意；
C. 是正数，故选项C不符合题意；
D.是正数，故选项D不符合题意；
故选：A．
【分析】先利用绝对值、相反数的定义，有理数乘方的运算法则计算各数，再根据正负数的定义判断即可．
2．（2025九下·衡阳期中）苏步青是中国著名的数学家，被誉为“数学之王”，为纪念其贡献，国际上将一颗距地球约218000000千米的小行星命名为“苏步青星”，将218000000用科学记数法表示为的形式（其中，n是正整数），则n的值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
∴n的值为8，
故答案为：C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.
3．（2025九下·衡阳期中）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A选项：仅满足轴对称性，不符合中心对称要求，A错误；
B选项：同时满足轴对称和中心对称特征，符合题意，B正确；
C选项：既不轴对称也不中心对称，C错误；
D选项：仅具有中心对称性，无轴对称特性，D错误。故选：B．
【分析】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的概念及识别方法。
中心对称图形定义：一个图形绕某点旋转180°后能与原图形重合；
轴对称图形定义：图形沿直线折叠后，两侧部分能完全重合。
4．（2025九下·衡阳期中）如图是一个由5个小正方体和1个圆锥组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看到的图形为 ，
故选：C
【分析】根据从正面看到的立体图形的平面图形即可求解．
5．（2025九下·衡阳期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，A错误；
B、，原式计算错误，B错误；
C、，原式计算错误，C错误；
D、，原式计算正确，D正确；
故选：D．
【分析】本题考查幂运算的相关法则，涉及同底数幂的乘除法、幂的乘方运算以及合并同类项的知识。具体分析如下： 合并同类项（选项A），需要根据代数式中同类项的合并规则进行判断；
同底数幂乘除法（选项B、C），根据同底数幂的乘法法则：，以及除法法则：，可验证这两个选项的正确性；
幂的乘方（选项D），依据幂的乘方法则：，可对该选项进行判定。
通过以上运算规则的逐一分析，即可判断各选项是否符合题意。
6．（2025九下·衡阳期中）如表记录了甲、乙、丙，丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：由表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）
甲 乙 丙 丁
平均数（） 180 180 185 185
方差 8.1 3.6 7.4 3.6
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：首先进行平均数比较：甲=乙<丙=丁，
所以需要从丙和丁中选出一人参赛。
比较方差：丙>丁，
说明丁的成绩更稳定。
最终选择：丁的成绩更好且发挥更稳定，
故选：D．
【分析】本题考查平均数和方差的概念，正确理解方差的意义是解题关键。解题时需要先比较平均数，在平均数相同的情况下再比较方差大小来选择更稳定的选手。
7．（2025九下·衡阳期中）下列命题是真命题的是（　　）
A．正六边形的内角和是 B．两点之间，直线最短
C．矩形的对角线互相垂直 D．相等的角是对顶角
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；矩形的性质；对顶角及其性质；真命题与假命题；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：A、正六边形的内角和是，是真命题，A正确；
B、两点之间，直线最短，是假命题，应该是两点之间，线段最短，B错误；
C、矩形的对角线互相垂直，是假命题，应该是矩形的对角线相等，C错误；
D、对顶角具有公共顶点且两边互为反向延长线，对顶角相等，
相等的角不一定是对顶角，故原选项是假命题，D错误；
故选：A．
【分析】本题考查命题真假的判断，涉及多边形内角和定理、两点间距离性质、矩形特征以及对顶角概念的理解与应用。解题关键在于熟练掌握相关几何知识。
根据以下几何原理进行判断：多边形的内角和计算公式（选项A)； 两点之间线段最短的基本性质(选项B)； 矩形的特有属性(选项C)； 对顶角的定义与性质(选项D）。通过运用这些几何知识，即可对各命题的真假作出准确判断。
8．（2025九下·衡阳期中）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先求出和，然后利用平行线的性质得到和度数，利用角的和差解题．
9．（2025九下·衡阳期中）随着时代的进步，汽车的普及，现在的汽车设计可以说是日新月异，出现了极具前瞻性的设计，其中很重要的一个组成部分就是车门设计．好的车门主要体现在它的防撞性能、密封性能、开合便利性等．如图，某汽车车门的底边长为，车门打开后的最大角度为，若将一扇车门打开，则这扇车门底边扫过区域的最大路径长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：
，
答：这扇车门底边扫过区域的最大路径长是．
故选：．
【分析】根据弧长计算公式计算解答即可．
10．（2025九下·衡阳期中）如图，在中，，，，点D，E分别在线段，上，且是的中位线，点P从点D出发沿向点E运动，点Q在上且满足，连接，过点Q作交于点R，设点P运动的路程为x，的面积为y，则y关于x的函数图象为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-直角三角形
【解析】【解答】解：是的中位线，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，，
，
故，
所以抛物线开口向下，顶点为，
自变量的取值范围为：，
以点和为端点的抛物线上的一段．
故选：C．
【分析】本题考查了动点问题的函数图象分析，涉及相似三角形、平行四边形和二次函数的综合应用。首先证明四边形是平行四边形，由此可得；证明三角形相似关系，建立比例关系式：；求出：，；计算AR的长度：；建立面积函数关系式，利用二次函数性质求解。掌握这些关键步骤和数学原理是解决本题的核心。
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2025九下·衡阳期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴5x-1≥0，
解得，x≥，
故答案为：x≥．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可．
12．（2025九下·衡阳期中）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】本题考查因式分解的步骤和方法。首先，提取公因式，然后对剩余部分应用平方差公式进行进一步分解，最终完成因式分解过程。
13．（2025九下·衡阳期中）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为　 　．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据根与系数的关系可得，，然后代入求值即可．
14．（2025九下·衡阳期中）分式方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．
故答案为：．
【分析】先两边同时乘以(x-1)化为整式方程，然后解整式方程求出x的值然后检验解答即可．
15．（2025九下·衡阳期中）如图，已知二次函数与一次函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：根据题意，可知关于的不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，
∵二次函数与一次函数的图象交于，，
∴关于的不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】关于的不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，然后利用图象法进行求解.
16．（2025九下·衡阳期中）如图，将绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在上，，则的大小为　 　
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在上，，
∴，，
∴，
∴
故答案为：
【分析】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理。根据旋转的性质可知，旋转前后对应边相等、对应角相等，所以，，且旋转角。利用这些等量关系和三角形内角和定理即可求解。
17．（2025九下·衡阳期中）如图，，点在上，，为内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点到的距离为　 　．
【答案】1
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】如图所示，
由尺规作图痕迹可得，是的垂直平分线，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
由尺规作图痕迹可得，是的平分线，
∴点到的距离等于点P到的距离，即的长度，
∴点到的距离为1．
故答案为：1 ．
【分析】
如图所示，由尺规作图痕迹知OP平分，PQ垂直平分OC，则由角平分线的性质定理知点P到OA的距离等于PQ的长度，则解直角三角形OPQ即可．
18．（2025九下·衡阳期中）已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；翻折变换（折叠问题）；坐标系中的两点距离公式；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作轴，过点C作轴，
∵与的图象交于点，
∴把代入，得出，
∴，
把代入，
解得，
∴，
设，
在，
∴，
∵点B为y轴上一点，将沿翻折，
∴，，
∴，
则，
解得（负值已舍去），
∴，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【分析】先把A点坐标代入直线解析式求出，然后求出反比例函数的解析式，然后根据翻折的性质求出点C的坐标，然后根据两点间距离公式求出OB长，即可得到点B的坐标即可．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（2025九下·衡阳期中）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；有理数的乘方法则；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题主要考查实数的混合运算，涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简、绝对值以及特殊角的三角函数值等知识点。解题的关键在于正确化简各部分的数值。计算零指数幂；化简负指数幂；处理绝对值和二次根式；代入特殊角的三角函数值；最后合并所有结果进行计算。
20．（2025九下·衡阳期中）先化简，再求值： ，从 ，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值.
【答案】解：原式
.
∵x2﹣1≠0，x﹣2≠0，∴取x＝3，原式＝ ＝4.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的运算法则和乘法公式将原式化简，根据分式存在有意义的条件选取合适的数代入代数式计算即可.
21．（2025九下·衡阳期中）“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了书法，绘画，舞蹈，跆拳道四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题．
（1）本次抽取调查学生共有______人，估计该校2000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为______人；
（2）请将条形统计图补充完整；在扇形统计图中，求跆拳道所对应扇形圆心角度数；
（3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从，，，四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择不是同一类的概率．
【答案】（1）60，500
（2）解：类的人数为（人．
补全条形统计图如图所示．
跆拳道所对应扇形圆心角度数为；
（3）解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两人恰好选择不是同一类的结果有，，，，，，，，，，，，共12种，
两人恰好选择不是同一类的概率为．

【知识点】全面调查与抽样调查；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次抽取调查学生共有（人）．估计该校2000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为（人．
故答案为：60；500．
【分析】本题重点考查了条形统计图与扇形统计图的综合分析能力、树状图法在概率计算中的应用，以及如何用样本数据推断总体情况。掌握这些方法是解答此类问题的关键。（1）首先，通过条形统计图中类别的人数除以扇形统计图中类别的百分比，计算出本次调查的学生总人数。接着，采用样本估计总体的方法，用2000乘以样本中类别学生所占的百分比，即可得到总体中类别的估计人数。
（2）首先计算出类别的人数，并据此补全条形统计图。然后，计算类别（跆拳道）在扇形统计图中所对应的圆心角度数。
（3）利用树状图列出所有可能的组合情况，计算两人选择不同类别的概率。
（1）解：本次抽取调查学生共有（人）．
估计该校2000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为（人．
故答案为：60；500．
（2）解：类的人数为（人．
补全条形统计图如图所示．
跆拳道所对应扇形圆心角度数为；
（3）解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两人恰好选择不是同一类的结果有，，，，，，，，，，，，共12种，
两人恰好选择不是同一类的概率为．
22．（2025九下·衡阳期中）如图，在四边形中，点为的中点，连接，并延长交的延长线于点，已知．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：点为的中点，
，
，
，
在和中，
，
（2）解：，，
四边形是平行四边形，
，
点为的中点，，
，
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用线段中点的定义可证得，再利用两直线平行，内错角相等，可证，然后利用即可证得结论.
（2）利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得，即可求出BC的长.
（1）证明：点为的中点，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，，
四边形是平行四边形，
，
点为的中点，，
，
．
23．（2025九下·衡阳期中）随着新能源电动车数量的快速增加，为了让人们出行充电更加方便快捷，某高速公路服务区需要增加充电桩，并决定安装快速充电和慢速充电两种型号的充电桩，若安装3个快速充电桩和2个慢速充电桩共需14.3万元，且快速充电桩单价比慢速充电桩单价高0.6万元．
（1）求出快速充电桩和慢速充电桩的单价；
（2）该服务区购买快速充电桩和慢速充电桩共30个，其中慢速充电桩不得超过10个，且总费用不超过88.2万元，请问如何购买才能使所需资金最少，最少是多少万元？
【答案】（1）解：设快速充电桩和慢速充电桩的单价分别为万元，万元，由题意，得：
，解得：，
答：快速充电桩和慢速充电桩的单价分别为万元和万元
（2）设购买慢速充电桩个，则购买快速充电桩个，由题意，得：，解得：，
设总费用为万元，由题意，得：
，
∴随着的增大而减小，
∵，
∴当时，的值最小为，
此时，
故购买慢速充电桩个，购买快速充电桩个时，所需资金最少，最少是万元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：3×每一个快速充电桩的单价+2×每一个慢速充电桩的单价=14.3；快速充电桩单价=慢速充电桩单价+0.6，据此设未知数列出方程组进行求解即可；
（2）设购买慢充电桩个，根据慢速充电桩不得超过10个，且总费用不超过88.2万元，可得到关于a的不等式组，解不等式组求出整数a的值；设总费用为万元，再根据题意可得到w关于a的一次函数，然后根据一次函数的性质可求出所需资金的最小值.
24．（2025九下·衡阳期中）单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点 A，拉紧摆线将摆球拉至点 B 处，，当摆球运动至点C时，（所有点都在同一平面内）
实验图示
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求摆线的长；
（2）求 的长．
（结果精确到，参考数据：
【答案】（1）解：∵，，；
∴；
（2）解：∵，，；
∴，
∵，
∵，，
∴，
∴，
∴的长为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）在中，利用∠AOB的正弦函数求出OB的长即可；
（2）在中，利用∠AOB的正切函数求出OD的长，在Rt△OCE中，利用∠COE的余弦函数求出OE的长，最后由即可求解．
（1）解：∵，，；
∴；
（2）解：∵，，；
∴，
∵，
∵，，
∴，
∴，
∴的长为．
25．（2025九下·衡阳期中）已知，抛物线交轴于、，交轴于，若或，那么就称二次函数为“和谐二次函数”．
（1）判断函数是否为“和谐二次函数”，并说明理由；
（2）若是“和谐二次函数”，求值；
（3）如图已知“和谐二次函数”交轴于、（在的左边）交轴于，顶点为．逆时针旋转，使其恰好经过抛物线的顶点，沿射线方向平移抛物线，得到新抛物线，其顶点为，两抛物线交于点，若，求平移的距离．
【答案】（1）解：当时，，点的坐标为，
∴，
∵，
解得：，，
∴，或，
∴或，
∴函数是“和谐二次函数”。
（2）在中，∴，
∵是“和谐二次函数”，
∴或，
把代入中得：，
把代入中得：，
综上，的值是。
（3）如图，过点作轴于，过点作，交于点，
，当时，，
∴，，
设直线表达式为，
，
解得：，
∴，
设点的坐标为，
∴
∴，
∴解得：
点的坐标为，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，（舍），
，，
从点C先向右平移1个单位再向上平移1个单位得到点D，即平移距离为，
同理，，
∴抛物线平移的距离是．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数图象与坐标轴的交点问题；分类讨论
【解析】【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，深入理解二次函数特性是解题的核心。
（1）首先确定，再通过求抛物线与x轴的交点坐标，最终得出结论；
（2）先计算得到，根据题目条件可得或，再结合坐标关系求出结果；
（3）辅助线作法：过点作轴于，过点作交于点。解题步骤：先求出直线的解析式，设点坐标为，进而表示出点的坐标。根据几何关系建立方程求解。
（1）解：当时，，
点的坐标为，
∴，
∵，
解得：，，
∴，或，
∴或，
∴函数是“和谐二次函数”；
（2）在中，
∴，
∵是“和谐二次函数”，
∴或，
把代入中得：，
把代入中得：，
综上，的值是；
（3）如图2，过点作轴于，过点作，交于点，
，当时，，
∴，，
设直线表达式为，
，
解得：，
∴，
设点的坐标为，
∴
∴，
∴解得：
点的坐标为，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，（舍），
，，
从点C先向右平移1个单位再向上平移1个单位得到点D，即平移距离为，
同理，，
∴抛物线平移的距离是．
26．（2025九下·衡阳期中）如图①，已知正方形是边长为4，以为直径在正方形内作半圆，是半圆上的动点（不与点、重合），连接、、、．
（1）当的面积最小时，则______；
（2）如图②，以点为原点，边所在直线为轴，边所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，连接，设点坐标为．
①当线段与半圆相切时，求点的坐标；
②将、、的面积分别记为、、，令，求关于的函数关系式；当取最大值时，请求出点的坐标和的最大值．
【答案】（1）
（2）解：①如图，连接交于点，过P作于点．
∵线段、分别与半圆相切，
∴，
∴，垂直平分，
∴，，
∵是直径，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴点坐标；
②如图，过点分别作，，垂足分别为、，延长交于点，则．
∵点坐标为，
∴，，，
∴，，，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴当时，，有最大值是8，
点坐标为．
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：如图，分别过点和作的垂线，垂足分别点和，连接，
∵，
∴当最小时，的值最小，
∵，
∴当三点共线时，最小，
如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点三点共线，点三点共线，
即点为对角线，的交点，
∴，
故答案为：；
【分析】本题综合考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形以及二次函数的性质。解题的关键在于合理添加辅助线并灵活运用相关几何知识。（1）根据题意，线段的长度固定不变，因此要使三角形面积最小，只需使点到边的距离最小。采用“线圆”模型的分析方法，利用垂线段最短的性质即可求解。
（2）①连接交于点，过P作于点，证明，求得，，再证明，求得，．据此可求得点坐标；
②过点分别作，，垂足分别为、，延长交于点，则，证明，得到，代入，求得关于的二次函数，再利用二次函数的性质求解即可．
（1）解：如图，分别过点和作的垂线，垂足分别点和，连接，
∵，
∴当最小时，的值最小，
∵，
∴当三点共线时，最小，
如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点三点共线，点三点共线，
即点为对角线，的交点，
∴，
故答案为：；
（2）解：①如图②，连接交于点，过P作于点．
∵线段、分别与半圆相切，
∴，
∴，垂直平分，
∴，，
∵是直径，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴点坐标；
②如图③，过点分别作，，垂足分别为、，延长交于点，则．
∵点坐标为，
∴，，，
∴，，，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴当时，，有最大值是8，
点坐标为．
1 / 1湖南省衡阳市八中教育集团2024- 2025学年下学期期期中检测九年级数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025九下·衡阳期中）下列四个数中，是负数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九下·衡阳期中）苏步青是中国著名的数学家，被誉为“数学之王”，为纪念其贡献，国际上将一颗距地球约218000000千米的小行星命名为“苏步青星”，将218000000用科学记数法表示为的形式（其中，n是正整数），则n的值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（2025九下·衡阳期中）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025九下·衡阳期中）如图是一个由5个小正方体和1个圆锥组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025九下·衡阳期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九下·衡阳期中）如表记录了甲、乙、丙，丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：由表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）
甲 乙 丙 丁
平均数（） 180 180 185 185
方差 8.1 3.6 7.4 3.6
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（2025九下·衡阳期中）下列命题是真命题的是（　　）
A．正六边形的内角和是 B．两点之间，直线最短
C．矩形的对角线互相垂直 D．相等的角是对顶角
8．（2025九下·衡阳期中）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九下·衡阳期中）随着时代的进步，汽车的普及，现在的汽车设计可以说是日新月异，出现了极具前瞻性的设计，其中很重要的一个组成部分就是车门设计．好的车门主要体现在它的防撞性能、密封性能、开合便利性等．如图，某汽车车门的底边长为，车门打开后的最大角度为，若将一扇车门打开，则这扇车门底边扫过区域的最大路径长是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九下·衡阳期中）如图，在中，，，，点D，E分别在线段，上，且是的中位线，点P从点D出发沿向点E运动，点Q在上且满足，连接，过点Q作交于点R，设点P运动的路程为x，的面积为y，则y关于x的函数图象为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2025九下·衡阳期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2025九下·衡阳期中）因式分解：　 　．
13．（2025九下·衡阳期中）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为　 　．
14．（2025九下·衡阳期中）分式方程的解为　 　．
15．（2025九下·衡阳期中）如图，已知二次函数与一次函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集为　 　．
16．（2025九下·衡阳期中）如图，将绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在上，，则的大小为　 　
17．（2025九下·衡阳期中）如图，，点在上，，为内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点到的距离为　 　．
18．（2025九下·衡阳期中）已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（2025九下·衡阳期中）计算：．
20．（2025九下·衡阳期中）先化简，再求值： ，从 ，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值.
21．（2025九下·衡阳期中）“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了书法，绘画，舞蹈，跆拳道四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题．
（1）本次抽取调查学生共有______人，估计该校2000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为______人；
（2）请将条形统计图补充完整；在扇形统计图中，求跆拳道所对应扇形圆心角度数；
（3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从，，，四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择不是同一类的概率．
22．（2025九下·衡阳期中）如图，在四边形中，点为的中点，连接，并延长交的延长线于点，已知．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
23．（2025九下·衡阳期中）随着新能源电动车数量的快速增加，为了让人们出行充电更加方便快捷，某高速公路服务区需要增加充电桩，并决定安装快速充电和慢速充电两种型号的充电桩，若安装3个快速充电桩和2个慢速充电桩共需14.3万元，且快速充电桩单价比慢速充电桩单价高0.6万元．
（1）求出快速充电桩和慢速充电桩的单价；
（2）该服务区购买快速充电桩和慢速充电桩共30个，其中慢速充电桩不得超过10个，且总费用不超过88.2万元，请问如何购买才能使所需资金最少，最少是多少万元？
24．（2025九下·衡阳期中）单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点 A，拉紧摆线将摆球拉至点 B 处，，当摆球运动至点C时，（所有点都在同一平面内）
实验图示
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求摆线的长；
（2）求 的长．
（结果精确到，参考数据：
25．（2025九下·衡阳期中）已知，抛物线交轴于、，交轴于，若或，那么就称二次函数为“和谐二次函数”．
（1）判断函数是否为“和谐二次函数”，并说明理由；
（2）若是“和谐二次函数”，求值；
（3）如图已知“和谐二次函数”交轴于、（在的左边）交轴于，顶点为．逆时针旋转，使其恰好经过抛物线的顶点，沿射线方向平移抛物线，得到新抛物线，其顶点为，两抛物线交于点，若，求平移的距离．
26．（2025九下·衡阳期中）如图①，已知正方形是边长为4，以为直径在正方形内作半圆，是半圆上的动点（不与点、重合），连接、、、．
（1）当的面积最小时，则______；
（2）如图②，以点为原点，边所在直线为轴，边所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，连接，设点坐标为．
①当线段与半圆相切时，求点的坐标；
②将、、的面积分别记为、、，令，求关于的函数关系式；当取最大值时，请求出点的坐标和的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的乘方法则；化简多重符号有理数；求有理数的绝对值的方法；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：A.是负数，故选项A符合题意；
B. 是正数，故选项B不符合题意；
C. 是正数，故选项C不符合题意；
D.是正数，故选项D不符合题意；
故选：A．
【分析】先利用绝对值、相反数的定义，有理数乘方的运算法则计算各数，再根据正负数的定义判断即可．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
∴n的值为8，
故答案为：C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A选项：仅满足轴对称性，不符合中心对称要求，A错误；
B选项：同时满足轴对称和中心对称特征，符合题意，B正确；
C选项：既不轴对称也不中心对称，C错误；
D选项：仅具有中心对称性，无轴对称特性，D错误。故选：B．
【分析】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的概念及识别方法。
中心对称图形定义：一个图形绕某点旋转180°后能与原图形重合；
轴对称图形定义：图形沿直线折叠后，两侧部分能完全重合。
4．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看到的图形为 ，
故选：C
【分析】根据从正面看到的立体图形的平面图形即可求解．
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，A错误；
B、，原式计算错误，B错误；
C、，原式计算错误，C错误；
D、，原式计算正确，D正确；
故选：D．
【分析】本题考查幂运算的相关法则，涉及同底数幂的乘除法、幂的乘方运算以及合并同类项的知识。具体分析如下： 合并同类项（选项A），需要根据代数式中同类项的合并规则进行判断；
同底数幂乘除法（选项B、C），根据同底数幂的乘法法则：，以及除法法则：，可验证这两个选项的正确性；
幂的乘方（选项D），依据幂的乘方法则：，可对该选项进行判定。
通过以上运算规则的逐一分析，即可判断各选项是否符合题意。
6．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：首先进行平均数比较：甲=乙<丙=丁，
所以需要从丙和丁中选出一人参赛。
比较方差：丙>丁，
说明丁的成绩更稳定。
最终选择：丁的成绩更好且发挥更稳定，
故选：D．
【分析】本题考查平均数和方差的概念，正确理解方差的意义是解题关键。解题时需要先比较平均数，在平均数相同的情况下再比较方差大小来选择更稳定的选手。
7．【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；矩形的性质；对顶角及其性质；真命题与假命题；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：A、正六边形的内角和是，是真命题，A正确；
B、两点之间，直线最短，是假命题，应该是两点之间，线段最短，B错误；
C、矩形的对角线互相垂直，是假命题，应该是矩形的对角线相等，C错误；
D、对顶角具有公共顶点且两边互为反向延长线，对顶角相等，
相等的角不一定是对顶角，故原选项是假命题，D错误；
故选：A．
【分析】本题考查命题真假的判断，涉及多边形内角和定理、两点间距离性质、矩形特征以及对顶角概念的理解与应用。解题关键在于熟练掌握相关几何知识。
根据以下几何原理进行判断：多边形的内角和计算公式（选项A)； 两点之间线段最短的基本性质(选项B)； 矩形的特有属性(选项C)； 对顶角的定义与性质(选项D）。通过运用这些几何知识，即可对各命题的真假作出准确判断。
8．【答案】C
【知识点】角的运算；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先求出和，然后利用平行线的性质得到和度数，利用角的和差解题．
9．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：
，
答：这扇车门底边扫过区域的最大路径长是．
故选：．
【分析】根据弧长计算公式计算解答即可．
10．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-直角三角形
【解析】【解答】解：是的中位线，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，，
，
故，
所以抛物线开口向下，顶点为，
自变量的取值范围为：，
以点和为端点的抛物线上的一段．
故选：C．
【分析】本题考查了动点问题的函数图象分析，涉及相似三角形、平行四边形和二次函数的综合应用。首先证明四边形是平行四边形，由此可得；证明三角形相似关系，建立比例关系式：；求出：，；计算AR的长度：；建立面积函数关系式，利用二次函数性质求解。掌握这些关键步骤和数学原理是解决本题的核心。
11．【答案】x≥
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴5x-1≥0，
解得，x≥，
故答案为：x≥．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可．
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】本题考查因式分解的步骤和方法。首先，提取公因式，然后对剩余部分应用平方差公式进行进一步分解，最终完成因式分解过程。
13．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据根与系数的关系可得，，然后代入求值即可．
14．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．
故答案为：．
【分析】先两边同时乘以(x-1)化为整式方程，然后解整式方程求出x的值然后检验解答即可．
15．【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：根据题意，可知关于的不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，
∵二次函数与一次函数的图象交于，，
∴关于的不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】关于的不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，然后利用图象法进行求解.
16．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在上，，
∴，，
∴，
∴
故答案为：
【分析】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理。根据旋转的性质可知，旋转前后对应边相等、对应角相等，所以，，且旋转角。利用这些等量关系和三角形内角和定理即可求解。
17．【答案】1
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】如图所示，
由尺规作图痕迹可得，是的垂直平分线，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
由尺规作图痕迹可得，是的平分线，
∴点到的距离等于点P到的距离，即的长度，
∴点到的距离为1．
故答案为：1 ．
【分析】
如图所示，由尺规作图痕迹知OP平分，PQ垂直平分OC，则由角平分线的性质定理知点P到OA的距离等于PQ的长度，则解直角三角形OPQ即可．
18．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；翻折变换（折叠问题）；坐标系中的两点距离公式；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作轴，过点C作轴，
∵与的图象交于点，
∴把代入，得出，
∴，
把代入，
解得，
∴，
设，
在，
∴，
∵点B为y轴上一点，将沿翻折，
∴，，
∴，
则，
解得（负值已舍去），
∴，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【分析】先把A点坐标代入直线解析式求出，然后求出反比例函数的解析式，然后根据翻折的性质求出点C的坐标，然后根据两点间距离公式求出OB长，即可得到点B的坐标即可．
19．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；有理数的乘方法则；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题主要考查实数的混合运算，涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简、绝对值以及特殊角的三角函数值等知识点。解题的关键在于正确化简各部分的数值。计算零指数幂；化简负指数幂；处理绝对值和二次根式；代入特殊角的三角函数值；最后合并所有结果进行计算。
20．【答案】解：原式
.
∵x2﹣1≠0，x﹣2≠0，∴取x＝3，原式＝ ＝4.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的运算法则和乘法公式将原式化简，根据分式存在有意义的条件选取合适的数代入代数式计算即可.
21．【答案】（1）60，500
（2）解：类的人数为（人．
补全条形统计图如图所示．
跆拳道所对应扇形圆心角度数为；
（3）解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两人恰好选择不是同一类的结果有，，，，，，，，，，，，共12种，
两人恰好选择不是同一类的概率为．

【知识点】全面调查与抽样调查；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次抽取调查学生共有（人）．估计该校2000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为（人．
故答案为：60；500．
【分析】本题重点考查了条形统计图与扇形统计图的综合分析能力、树状图法在概率计算中的应用，以及如何用样本数据推断总体情况。掌握这些方法是解答此类问题的关键。（1）首先，通过条形统计图中类别的人数除以扇形统计图中类别的百分比，计算出本次调查的学生总人数。接着，采用样本估计总体的方法，用2000乘以样本中类别学生所占的百分比，即可得到总体中类别的估计人数。
（2）首先计算出类别的人数，并据此补全条形统计图。然后，计算类别（跆拳道）在扇形统计图中所对应的圆心角度数。
（3）利用树状图列出所有可能的组合情况，计算两人选择不同类别的概率。
（1）解：本次抽取调查学生共有（人）．
估计该校2000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为（人．
故答案为：60；500．
（2）解：类的人数为（人．
补全条形统计图如图所示．
跆拳道所对应扇形圆心角度数为；
（3）解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两人恰好选择不是同一类的结果有，，，，，，，，，，，，共12种，
两人恰好选择不是同一类的概率为．
22．【答案】（1）证明：点为的中点，
，
，
，
在和中，
，
（2）解：，，
四边形是平行四边形，
，
点为的中点，，
，
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用线段中点的定义可证得，再利用两直线平行，内错角相等，可证，然后利用即可证得结论.
（2）利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得，即可求出BC的长.
（1）证明：点为的中点，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，，
四边形是平行四边形，
，
点为的中点，，
，
．
23．【答案】（1）解：设快速充电桩和慢速充电桩的单价分别为万元，万元，由题意，得：
，解得：，
答：快速充电桩和慢速充电桩的单价分别为万元和万元
（2）设购买慢速充电桩个，则购买快速充电桩个，由题意，得：，解得：，
设总费用为万元，由题意，得：
，
∴随着的增大而减小，
∵，
∴当时，的值最小为，
此时，
故购买慢速充电桩个，购买快速充电桩个时，所需资金最少，最少是万元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：3×每一个快速充电桩的单价+2×每一个慢速充电桩的单价=14.3；快速充电桩单价=慢速充电桩单价+0.6，据此设未知数列出方程组进行求解即可；
（2）设购买慢充电桩个，根据慢速充电桩不得超过10个，且总费用不超过88.2万元，可得到关于a的不等式组，解不等式组求出整数a的值；设总费用为万元，再根据题意可得到w关于a的一次函数，然后根据一次函数的性质可求出所需资金的最小值.
24．【答案】（1）解：∵，，；
∴；
（2）解：∵，，；
∴，
∵，
∵，，
∴，
∴，
∴的长为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）在中，利用∠AOB的正弦函数求出OB的长即可；
（2）在中，利用∠AOB的正切函数求出OD的长，在Rt△OCE中，利用∠COE的余弦函数求出OE的长，最后由即可求解．
（1）解：∵，，；
∴；
（2）解：∵，，；
∴，
∵，
∵，，
∴，
∴，
∴的长为．
25．【答案】（1）解：当时，，点的坐标为，
∴，
∵，
解得：，，
∴，或，
∴或，
∴函数是“和谐二次函数”。
（2）在中，∴，
∵是“和谐二次函数”，
∴或，
把代入中得：，
把代入中得：，
综上，的值是。
（3）如图，过点作轴于，过点作，交于点，
，当时，，
∴，，
设直线表达式为，
，
解得：，
∴，
设点的坐标为，
∴
∴，
∴解得：
点的坐标为，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，（舍），
，，
从点C先向右平移1个单位再向上平移1个单位得到点D，即平移距离为，
同理，，
∴抛物线平移的距离是．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数图象与坐标轴的交点问题；分类讨论
【解析】【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，深入理解二次函数特性是解题的核心。
（1）首先确定，再通过求抛物线与x轴的交点坐标，最终得出结论；
（2）先计算得到，根据题目条件可得或，再结合坐标关系求出结果；
（3）辅助线作法：过点作轴于，过点作交于点。解题步骤：先求出直线的解析式，设点坐标为，进而表示出点的坐标。根据几何关系建立方程求解。
（1）解：当时，，
点的坐标为，
∴，
∵，
解得：，，
∴，或，
∴或，
∴函数是“和谐二次函数”；
（2）在中，
∴，
∵是“和谐二次函数”，
∴或，
把代入中得：，
把代入中得：，
综上，的值是；
（3）如图2，过点作轴于，过点作，交于点，
，当时，，
∴，，
设直线表达式为，
，
解得：，
∴，
设点的坐标为，
∴
∴，
∴解得：
点的坐标为，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，（舍），
，，
从点C先向右平移1个单位再向上平移1个单位得到点D，即平移距离为，
同理，，
∴抛物线平移的距离是．
26．【答案】（1）
（2）解：①如图，连接交于点，过P作于点．
∵线段、分别与半圆相切，
∴，
∴，垂直平分，
∴，，
∵是直径，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴点坐标；
②如图，过点分别作，，垂足分别为、，延长交于点，则．
∵点坐标为，
∴，，，
∴，，，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴当时，，有最大值是8，
点坐标为．
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：如图，分别过点和作的垂线，垂足分别点和，连接，
∵，
∴当最小时，的值最小，
∵，
∴当三点共线时，最小，
如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点三点共线，点三点共线，
即点为对角线，的交点，
∴，
故答案为：；
【分析】本题综合考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形以及二次函数的性质。解题的关键在于合理添加辅助线并灵活运用相关几何知识。（1）根据题意，线段的长度固定不变，因此要使三角形面积最小，只需使点到边的距离最小。采用“线圆”模型的分析方法，利用垂线段最短的性质即可求解。
（2）①连接交于点，过P作于点，证明，求得，，再证明，求得，．据此可求得点坐标；
②过点分别作，，垂足分别为、，延长交于点，则，证明，得到，代入，求得关于的二次函数，再利用二次函数的性质求解即可．
（1）解：如图，分别过点和作的垂线，垂足分别点和，连接，
∵，
∴当最小时，的值最小，
∵，
∴当三点共线时，最小，
如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点三点共线，点三点共线，
即点为对角线，的交点，
∴，
故答案为：；
（2）解：①如图②，连接交于点，过P作于点．
∵线段、分别与半圆相切，
∴，
∴，垂直平分，
∴，，
∵是直径，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴点坐标；
②如图③，过点分别作，，垂足分别为、，延长交于点，则．
∵点坐标为，
∴，，，
∴，，，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴当时，，有最大值是8，
点坐标为．
1 / 1

展开更多......

收起↑