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湖北省武昌实验中学2025-2026学年高二下学期3月阶段性检测数学试卷
一、单选题
1．已知函数满足，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．已知函数，则（ ）
A．1 B． C． D．2
3．如图所示是函数的导数的图像，下列四个结论：
①在区间上是增函数；
②在区间上是减函数，在区间上是增函数：
③是的极大值点；
④是的极小值点.
其中正确的结论是
A．①③ B．②③ C．②③④ D．②④
4．在等比数列中，是函数的极值点，则（ ）
A．2 B． C． D．1
5．若数列满足，且对于任意的都有，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在正三棱柱中，，若存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
7．函数的导函数满足，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为( )
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选）下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
10．已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是
B．
C．若，则
D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径
11．高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数（表示不超过的最大整数）称为高斯函数.已知正项数列的前项和为，且，令，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为______．
13．已知，则曲线在点处的切线方程为______.
14．对，恒有，则实数a的最小值为________.
四、解答题
15．在公差不为0的等差数列中，，且是与的等比中项.
(1)求的通项公式；
(2)若，，求数列的前项和.
16．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调性和极值．
17．如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，平面平面分别是的中点，与交于点．

(1)求证：平面；
(2)平面与直线交于点，求直线与平面所成角的大小．
18．已知点，，，且.
(1)求点P的轨迹方程C；
(2)已知点，斜率为k的直线过点M.
（i）若，且直线与曲线C只有一个交点，求k的值；
（ii）已知点，直线与双曲线C有两个不同的交点A，B，直线，的斜率分别为，，若为定值，求实数m的值.
19．已知函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若对任意恒成立，求的取值范围；
(3)证明：对任意正整数，都有.
参考答案
1．C
2．C
3．D
4．A
5．D
6．D
7．A
8．B
9．ABC
10．ABD
11．BCD
12．
13．
14．
15．（1）设的公差为，因为是与的等比中项，
所以，即，
整理得.
又，，所以，
则.
（2）由（1）可得，，
则①，
②，
①-②得
则.
16．（1）当时，则，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，求导得，显然，
当时，，函数在上单调递增，无极值；
当时，由，得；由，得，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，无极小值，
所以当时，函数在上单调递增，无极值；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，极大值为，无极小值.
17．（1）因为为正三角形，是中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
，
又在平面内且相交，故平面
（2）分别为的中点，，
又平面过且不过，平面．
又平面交平面于，故，进而，
因为是中点，所以是的中点．
以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，，

设平面法向量为，
则，即，取，得，
则，
因为，所以.
18．（1）由题意，点P的轨迹为双曲线，且，
所以，则点P的轨迹方程C为；
（2）（i）由题设，设直线，联立双曲线，得，
所以，
当，即时，直线与双曲线只有一个交点，
当，交点为；当，交点为；
当，此时，则，
当，切点为；当，切点为；
综上，或.

（ii）由题设直线，
联立双曲线方程，得，则，
故，所以①，
设，则，，
由
又，，
为定值，
所以，此时为定值.
19．（1）当时，，
所以，，，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）当时，若单调递减，则满足条件，
因此需在恒成立，即在恒成立，
所以
设，
则当时，恒成立（当且仅当时取等号），
所以在单调递增，所以，
所以，得；
当时，，，
所以存在，，
则当时，，单调递增，此时，不满足条件，
综上可知，实数的取值范围为.
（3）由（2）知，当时，对任意恒成立，
所以对恒成立，当且仅当时等号成立，
令（），则，即，
所以，，，，，，
累加得：
所以，证毕.

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