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2025年第33届WMO世界奥林匹克数学竞赛中国赛区省测（复测）八年级试题
一、选择题（每小题5分，共80分）
1．（2025·竞赛）现在对WMO中学选派参加2025年数学技能竞赛的中学生的年龄（单位：岁）进行了统计，结果如下表：则这些被选派的中学生的年龄的平均值和中位数分别是（　　）
年龄 13 14 15 16 17 18
人数 2 5 8 1 4 10
A．16，15.5 B．15， 16 C．15， 15.5 D．16，15
【答案】A
【知识点】加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：岁，
把学生年龄从小到大排列后，居于中间的两个数为15和16，故中位数为
故答案为：A.
【分析】根据加权平均数的计算公式和中位数的定义求解可得.
2．（2025·竞赛）在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图所示，
以BC为公共边的全等三角形有三个分别为，，，
以AB为公共边的全等三角形有一个为，
∴共有4个三角形与△ABC有一条公共边且全等．
故答案为：B．
【分析】利用全等三角形的判定方法分析求解即可.
3．（2025·竞赛）一个不透明的袋子中装有40个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同，若小英每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小英发现摸到红球的频率逐渐稳定于0.4，则小英估计袋子中白球的个数约为（　　）
A．16 B．24 C．60 D．100
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：解：设袋子中白球有x个，由题意可得，
解得：x=60，
经检验x=60是原方程的解，
故答案为：C.
【分析】设袋子中白球有x个，根据概率公式列方程解答即可.
4．（2025·竞赛）如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和24，则正方形A，B的面积之和为（　　）
A．20 B．24 C．28 D．32
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形A，B的边长分别为a，b.
由题意
故答案为：28.
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据题意求出 ab，再根据 计算即可.
5．（2025·竞赛）在看完2025年春晚刘谦的魔术表演《新春祝愿2.0》后，知意同学也设计了一个魔术表演，如图，写有A、B、C、D的四张卡片，让其他同学随意打乱顺序，然后依次执行下列操作：①把A与它右边的卡片交换若干次，直至A在最右侧，若A在最右边则保持不变：②把C与它左边的卡片交换一次，若C在最左边则保持不变：③交换B和D的位置，使B在D左面一侧，若B在D左面一侧则保持不变：④拿起从左至右的第三张卡片。则拿起的卡片上的字母是（　　）
A．A B．B C．C D．D
【答案】D
【知识点】逻辑推理
【解析】【解答】解：由操作可得最终排列结果为C、B、D、A，
故拿起的卡片为D，
故答案为：D.
【分析】根据操作得到最终排列顺序解答即可.
6．（2025·竞赛） 如图，从一个大正方形中截取面积为 6 平方厘米和 42 平方厘米的两个小正方形，则余下的阴影部分面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意可得： (cn (cm)，
故两个阴影部分面积和为：
故答案为：B.
【分析】根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到余下部分矩形的边长，进而求得余下部分的面积.
7．（2025·竞赛） 已知实数a，b，c满足，则c的值为（　　）
A．2021 B．2023 C．2025 D．2027
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式的被开方数为非负数，
∴，解得a+b=2025，
则原式为，
根据二次根式的非负性可得2a+3b-2c=0，3a+2b-3c=0，
两式相加得5a+5b-5c=0，即c=a+b=2025，
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数得到a+b=2025，然后根据二次根式的非负性得到2a+3b-2c=0，3a+2b-3c=0，即可得到c=a+b解答即可.
8．（2025·竞赛）关于x的一次函数（2m-3）x-（m+2）y-（4m-34）=0的图形恒过点A，记平面直角坐标系原点为O，则线段OA长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： 整理得，
∵恒过点A，则与m的值无关，
∴2x-y-4=0，3x+2y-34=0，
解得x=6，y=8，
∴点A的坐标为(6，8)，
∴，
故答案为：D.
【分析】把一次函数变形得到，根据无关型的系数为0，则可得到2x-y-4=0，3x+2y-34=0，解方程组求出点A的坐标，然后根据两点间的距离公式解答即可.
9．（2025·竞赛）数学课上，老师和同学们对矩形纸片进行了图形变换的以下探究活动：如图，取AD边的中点P，剪下△BPC，将△BPC沿着射线BC的方向依次进行平移变换，每次均移动BC的长度，得到了△CJE、△EFG和△GHI.若BH=BI，BC=A，则以BJ、BF、BH为三边构成的新三角形面积16，则a的值为（　　）
A．8 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；平移的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图， 分别取CE、EG、GI的中点M、Q、N， 连接JM、FQ、HN，
∵△PBC中， PB=PC，
根据平移变换的性质， △CJE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，
∴JM⊥CE， FQ⊥EG， HN⊥GI， JM=FQ=HN.
在Rt△BHN中，.
则
∴
∴新三角形为直角三角形，BH长为斜边长.
新三角形面积为
∴a=4.
故答案为：B.
【分析】分别取CE、EG、GI的中点M、Q、N， 连接JM、FQ、HN， 由PB= PC， 根据平移变换的性质， 就有△CJE、△EFG和△GHI都是等腰三角形， 就有JM⊥CE， FQ⊥EG， HN⊥GI， JM = 由勾股定理就可以求出 从而得出新三角形三边的值，根据勾股定理的逆定理得新三角形是直角三角形，根据三角形面积公式，从而得出结论.
10．（2025·竞赛）一个水池设有注水管和排水管，单独开注水管2小时可注满水池，单独开排水管3小时可将一池水排完。现在这个水池有的水，将注水管与排水管同时开放若干小时后，关上注水管，排水管排掉水池中的水所用的时间比两管同时开放的时间少10分钟.两管同时开了（　　）分钟
A．140 B．120 C．80 D．40
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设两管同时开t分钟，
，
解得：t=140，
故答案为：A.
【分析】设两管同时开x分钟，则排水管单独排水时间为(t-10)分钟，然后根据题意列方程求出t的值解答即可.
11．（2025·竞赛）如图，已知A（-3，0），B（0，4），点P是第一象限内的一个动点，过点P向坐标轴作垂线，分别交x轴和y轴交于C，D两点，矩形OCPD的面积为定值12，则四边形ABCD的面积最小值为（　　）
A．12 B．24 C．24 D．12
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；点的坐标；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设P(m， n)，
∵矩形PCOD的面积为12，
∵S四边形，
∴S四边形ABCD
故答案为：B.
【分析】设P(m， n)， 由矩形PCOD的面积为12， 可得mn=12，推出 由题意S四边形
转化为例题的模型解决问题即可.
12．（2025·竞赛）的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；不等式奥数类应用问题
【解析】【解答】解：如图，作 ， 在AB上取一点E， 使AE =x， 则BE=6作∠ABD= 30°，过 点E作EF⊥BD于点F，
则
在 中，
延长CA交BD于点H，过点C作 于点D，
，
又∵CE+EF≥CD，
当C、E、F在同一条直线时，CE+EF的值最小， 为CD，
即 的最小值为
故答案为： B.
【分析】作 ， 在AB上取一点E， 使AE =x， 则. x， 作∠ABD =30°， 过点E作EF⊥BD于点F，根据题意求出CE，延长CA交BD于点H，过点C作CD⊥BD于点D， 求出CD即可解答.
13．（2025·竞赛） 已知三个数x，y，z满足，，，则的值为（　　）
A．16 B．18 C．-16 D．-18
【答案】D
【知识点】分式的化简求值-倒数法；分式条件求值
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】已知三等式变形后，相加求出 原式变形后，将 左边通分，然后求倒数解答即可.
14．（2025·竞赛） 如图，已知AC = AB，BD⊥AD于D，∠ABC =45°+∠BAD，BD=3， AD =9，则△ABC的面积为（　　）
A．27 B．32 C．36 D．54
【答案】C
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等积变换
【解析】【解答】解：作∠DAE=∠BAD，延长BD交AE于点E，过点B作BF⊥AE于点F，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°+∠BAD，
∴∠CAB=180°-∠ACB-∠ABC=180°-2(45°+∠BAD)=90°-2∠BAD，即∠CAB+2∠BAD=∠CAE=90°，
又∵BD⊥AD， BD=3， AD =9，
∴，
又∵∠DAE=∠BAD，
∴∠ABD=∠AED，
∴AB=AE=AC=，BE=2BD=6，
设AF=x，则EF=，
则，解得，
∴，
故答案为：C.
【分析】作∠DAE=∠BAD，延长BD交AE于点E，过点B作BF⊥AE于点F，即可得到AB=AE，然后根据勾股定理求出AB=AE=AC=，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理得到∠CAE=90°，然后利用勾股定理求出AF长，根据解答即可.
15．（2025·竞赛）如图，在等腰三角形ABC中，D为BC中点，点E，点F分别在线段AD，AC上运动，且始终保持AE=CF，当AB=8，BC=6时，BF+CE的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：过点 C 作 CH⊥BC，且CH=CA=8，连接BH，FH，如图所示.
∵AD⊥BC，CH⊥BC，
∴∠ACH=∠DAC.
在△AEC和△CFH中，
∴△AEC≌△CFH(SAS)，
∴CE=HF，
∴BF+CE=BF+HF≥BH.
∴当B，F，H 三点共线时，BF+CE取最小值，为线段BH 的长，
在 中，
故答案为：D.
【分析】过点 C 作 CH⊥BC，且CH=CA=8，连接BH，FH，然后根据SAS得到△AEC≌△CFH，即可得到CE=HF，进而得到当B，F，H 三点共线时，BF+CE取最小值，为线段BH 的长，再根据勾股定理解答即可.
16．（2025·竞赛）去年夏季学校门口某商店新增销售“绿豆冰糕”、“奶油冰糕”、“红枣冰糕”去年5月，“奶油冰糕”和“红枣冰糕”共销售了300支，已知“绿豆冰糕”每支的售价为6元，每支利润率为50%，且它每支的成本比“奶油冰糕”每支的成本多1元，去年6月“绿豆冰糕”的销售量与去年5月一样，去年6月“奶油冰糕”销量与5月相比减少一半，去年6月“红枣冰糕”的销量是去年5月的3倍，但三种冰糕的总销售量去年6月比去年5月多100支，“绿豆冰糕”的成本没变，售价减少了1元，“奶油冰糕”售价、成本均未改变，发现去年5月“绿豆冰糕”的销售额占去年5月三种冰糕总销售额的，同时，“奶油冰糕”去年5、6月总利润是“绿豆冰糕”去年5、6月总利润的，那么，在去年5月的销售中52支“奶油冰糕”的销售额比10支“红枣冰糕”的销售额多（　　）元.
A．216 B．432 C．211 D．422
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：由题意设绿豆冰糕的成本为t元， ，解得t=4.
∴奶油冰糕的成本为4-1=3.
由题意可设绿豆冰糕3月份销量为a，奶油冰糕3月份的销量为b、售价为x、红豆冰糕3月份的销量c、成本为m，售价为n，
则 解得b=200，c=100.
∴绿豆冰糕4月份销售量为a支，奶油冰糕4月份销量为100支，红豆冰糕4月份销量为300元.
又∵ 由②得a=200x-600③，
将③代入到②式化简得26x-5n=108，
∴ 52支“奶油冰糕”的销售额比10支“红枣冰糕”的销售额多108×2=216元.
故答案为： A.
【分析】设绿豆冰糕的成本为t元，根据利润求出t的值，即可得到.奶油冰糕的成本为4-1=3.再设绿豆冰糕3月份销量为a，奶油冰糕3月份的销量为b、售价为x、红豆冰糕3月份的销量c、成本为m，售价为n，则b+ 求出b和c的值.因此绿豆冰糕4月份销售量为a支，奶油冰糕4月份销量为100支，红豆冰糕4月份销量为300元.奶油冰糕的利润为 ②.将上述①、②式子进行化简可以得到26x-5n的值解答即可.
二、综合题（共40分）
17．（2025·竞赛）
（1）解不等式组，并写出它的整数解.
（2）先化简，再求值：，其中。
【答案】（1）解：，
解不等式①得x>-2，
解不等式②得x≤1，
∴不等式组的解集为-2∴整数解为：-1，0，1.
（2）解：原式
当m=4时，原式

【知识点】解一元一次不等式组；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】(1)分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，从而得出答案；
(2)先算小括号里面的，然后算括号外面的进行化简计算，最后代入求值.
18．（2025·竞赛）某种溶液的体积V（L）与温度t（℃）之间的关系在一定范围内符合一次函数关系.现测得一定量的这种溶液在0℃时的体积为5L，在60℃时的体积为6.2L.
（1）求该溶液体积V与温度t的函数关系式，并求当t=30℃时，该溶液的体积。
（2）若用容积为5.8L的容器来盛这种溶液，为了不使溶液溢出，温度应控制在多少摄氏度内？
【答案】（1）解：设V=kt+b，
由已知， 时， 时，V=6.2L.
解得：
∴当 时，V=0.02×30+5=5.6(L)，
∴该溶液的体积为5.6L.
（2）解：由题意得： 解得
答：温度应控制在 内.
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出V与t的函数关系式，将t=30代入函数关系式，计算即可得出答案；
(2)将(1)中求得的关系式代入 并求出t的取值范围即可.
19．（2025·竞赛）如图，在等腰梯形ABCD中，CD//AB，对角线AC、BD相交于O，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点，∠ACD=60°。
（1）判断△PQS是什么三角形，并证明：
（2）若AB =10，CD=4，求△PQS的面积.
【答案】（1）解：在△DAB与△CBA 中，
AD=BC，∠DAB=∠CBA，AB=BA，
∴△DAB≌△CBA，
∴∠DBA=∠CAB.
∴OA=OB.同理，可证OC=OD.
∵CD∥AB，
∴∠OAB=∠ACD=60°.
∴△OAB 与△OCD都是等边三角形.
连接SC，BP.
在 Rt△CSB中，
同理，可得
∴△SPQ是等边三角形.
（2）解：
∵CS 是等边三角形DCO 的高，
在 Rt△BSC中，
∴△SPQ的边长为

【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】 (1)根据SAS得到△DAB≌△CBA，即可得到∠DBA=∠CAB，进而得到OA=OB，同理可得OC=OD，进而得到△OAB 与△OCD都是等边三角形，连接SC，BP，根据直角三角形的斜边中线性质得到，即可判断△SPQ的形状解答即可；
（2）先求出SB的值，根据三角形的面积求出CS的长，然后根据勾股定理求出BC长，进而求出SQ的值，再根据三角形的面积公式计算即可.
20．（2025·竞赛）已知，正方形ABCD，点E是边BC上任一点（与B，C不重合），连接AE，且F是AE的中点.
（1）如图1，当AB= 3，∠BAE= 30°时，
①连接DF，求DF2的值；
②过F作直线分别交AB，CD于G，H，且使GH=AE，求AG的长：
（2）如图2，过F作AE的垂线，分别交AB，BD，CD于M，O，N，连接OE，求∠AEO的度数.
【答案】（1）解： (1) ①如图， 过点F作交BC于Q， 交AD于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABQP是矩形，
∵点F是AE的中点，
又
②如图， 过点B作BR∥GH， 交CD于R，
∵GH∥BR，AB∥CD，
∴四边形BRHG是平行四边形，
∴GH = BR， ∠BGH =∠BRH，
∵GH=AE，
∴BR=GH=AE，
又∵AB=BC，
∴ Rt△ABE≌Rt△BCR(HL)，
∴∠BAE=∠CBR=30°，
∴∠BRC = 60°= ∠AEB，
∴∠BRH = 120°= ∠BGH，
∴∠AGH=60°，
∴∠AFG=180°-60°-30°= 90°，
∵∠BAE=30°，
∴AG =2GF，
如图， 过点A作AR∥GH， 交CD于R， 过点G作G 于O，
同理可证：
∵AR∥GH，
综上所述：AG的长为或2；
（2）如图， 连接AO， 过点O作( 于点Q， OP '于点P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD =∠CBD=45°，
∵OQ⊥AB， OP⊥BC，
∴OQ=OP，
∵MN⊥AE， AF=EF，
∴AO=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵OA=OE，OQ=OP，
∴ Rt△AOQ=Rt△EOP(HL)，
∴∠OAQ=∠OEP，
∵∠BEA+∠AEO+∠OEP = 180°，
∴60°+∠AEO+∠OAE+30°= 180°，
∴∠AEO = 45°.
【知识点】三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】(1)①由“ASA”可证 可得.PF= 可求AP的长，由勾股定理可求解；
②分两种情况讨论，由全等三角形的性质和勾股定理可求解；
(2)由角平分线的性质可得OQ=OP，由线段垂直平分线的性质可得.AO=OE，由“HL”可证 可得由平角的性质可求解.
1 / 12025年第33届WMO世界奥林匹克数学竞赛中国赛区省测（复测）八年级试题
一、选择题（每小题5分，共80分）
1．（2025·竞赛）现在对WMO中学选派参加2025年数学技能竞赛的中学生的年龄（单位：岁）进行了统计，结果如下表：则这些被选派的中学生的年龄的平均值和中位数分别是（　　）
年龄 13 14 15 16 17 18
人数 2 5 8 1 4 10
A．16，15.5 B．15， 16 C．15， 15.5 D．16，15
2．（2025·竞赛）在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．（2025·竞赛）一个不透明的袋子中装有40个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同，若小英每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小英发现摸到红球的频率逐渐稳定于0.4，则小英估计袋子中白球的个数约为（　　）
A．16 B．24 C．60 D．100
4．（2025·竞赛）如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和24，则正方形A，B的面积之和为（　　）
A．20 B．24 C．28 D．32
5．（2025·竞赛）在看完2025年春晚刘谦的魔术表演《新春祝愿2.0》后，知意同学也设计了一个魔术表演，如图，写有A、B、C、D的四张卡片，让其他同学随意打乱顺序，然后依次执行下列操作：①把A与它右边的卡片交换若干次，直至A在最右侧，若A在最右边则保持不变：②把C与它左边的卡片交换一次，若C在最左边则保持不变：③交换B和D的位置，使B在D左面一侧，若B在D左面一侧则保持不变：④拿起从左至右的第三张卡片。则拿起的卡片上的字母是（　　）
A．A B．B C．C D．D
6．（2025·竞赛） 如图，从一个大正方形中截取面积为 6 平方厘米和 42 平方厘米的两个小正方形，则余下的阴影部分面积是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·竞赛） 已知实数a，b，c满足，则c的值为（　　）
A．2021 B．2023 C．2025 D．2027
8．（2025·竞赛）关于x的一次函数（2m-3）x-（m+2）y-（4m-34）=0的图形恒过点A，记平面直角坐标系原点为O，则线段OA长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．（2025·竞赛）数学课上，老师和同学们对矩形纸片进行了图形变换的以下探究活动：如图，取AD边的中点P，剪下△BPC，将△BPC沿着射线BC的方向依次进行平移变换，每次均移动BC的长度，得到了△CJE、△EFG和△GHI.若BH=BI，BC=A，则以BJ、BF、BH为三边构成的新三角形面积16，则a的值为（　　）
A．8 B．4 C．6 D．8
10．（2025·竞赛）一个水池设有注水管和排水管，单独开注水管2小时可注满水池，单独开排水管3小时可将一池水排完。现在这个水池有的水，将注水管与排水管同时开放若干小时后，关上注水管，排水管排掉水池中的水所用的时间比两管同时开放的时间少10分钟.两管同时开了（　　）分钟
A．140 B．120 C．80 D．40
11．（2025·竞赛）如图，已知A（-3，0），B（0，4），点P是第一象限内的一个动点，过点P向坐标轴作垂线，分别交x轴和y轴交于C，D两点，矩形OCPD的面积为定值12，则四边形ABCD的面积最小值为（　　）
A．12 B．24 C．24 D．12
12．（2025·竞赛）的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
13．（2025·竞赛） 已知三个数x，y，z满足，，，则的值为（　　）
A．16 B．18 C．-16 D．-18
14．（2025·竞赛） 如图，已知AC = AB，BD⊥AD于D，∠ABC =45°+∠BAD，BD=3， AD =9，则△ABC的面积为（　　）
A．27 B．32 C．36 D．54
15．（2025·竞赛）如图，在等腰三角形ABC中，D为BC中点，点E，点F分别在线段AD，AC上运动，且始终保持AE=CF，当AB=8，BC=6时，BF+CE的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
16．（2025·竞赛）去年夏季学校门口某商店新增销售“绿豆冰糕”、“奶油冰糕”、“红枣冰糕”去年5月，“奶油冰糕”和“红枣冰糕”共销售了300支，已知“绿豆冰糕”每支的售价为6元，每支利润率为50%，且它每支的成本比“奶油冰糕”每支的成本多1元，去年6月“绿豆冰糕”的销售量与去年5月一样，去年6月“奶油冰糕”销量与5月相比减少一半，去年6月“红枣冰糕”的销量是去年5月的3倍，但三种冰糕的总销售量去年6月比去年5月多100支，“绿豆冰糕”的成本没变，售价减少了1元，“奶油冰糕”售价、成本均未改变，发现去年5月“绿豆冰糕”的销售额占去年5月三种冰糕总销售额的，同时，“奶油冰糕”去年5、6月总利润是“绿豆冰糕”去年5、6月总利润的，那么，在去年5月的销售中52支“奶油冰糕”的销售额比10支“红枣冰糕”的销售额多（　　）元.
A．216 B．432 C．211 D．422
二、综合题（共40分）
17．（2025·竞赛）
（1）解不等式组，并写出它的整数解.
（2）先化简，再求值：，其中。
18．（2025·竞赛）某种溶液的体积V（L）与温度t（℃）之间的关系在一定范围内符合一次函数关系.现测得一定量的这种溶液在0℃时的体积为5L，在60℃时的体积为6.2L.
（1）求该溶液体积V与温度t的函数关系式，并求当t=30℃时，该溶液的体积。
（2）若用容积为5.8L的容器来盛这种溶液，为了不使溶液溢出，温度应控制在多少摄氏度内？
19．（2025·竞赛）如图，在等腰梯形ABCD中，CD//AB，对角线AC、BD相交于O，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点，∠ACD=60°。
（1）判断△PQS是什么三角形，并证明：
（2）若AB =10，CD=4，求△PQS的面积.
20．（2025·竞赛）已知，正方形ABCD，点E是边BC上任一点（与B，C不重合），连接AE，且F是AE的中点.
（1）如图1，当AB= 3，∠BAE= 30°时，
①连接DF，求DF2的值；
②过F作直线分别交AB，CD于G，H，且使GH=AE，求AG的长：
（2）如图2，过F作AE的垂线，分别交AB，BD，CD于M，O，N，连接OE，求∠AEO的度数.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：岁，
把学生年龄从小到大排列后，居于中间的两个数为15和16，故中位数为
故答案为：A.
【分析】根据加权平均数的计算公式和中位数的定义求解可得.
2．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图所示，
以BC为公共边的全等三角形有三个分别为，，，
以AB为公共边的全等三角形有一个为，
∴共有4个三角形与△ABC有一条公共边且全等．
故答案为：B．
【分析】利用全等三角形的判定方法分析求解即可.
3．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：解：设袋子中白球有x个，由题意可得，
解得：x=60，
经检验x=60是原方程的解，
故答案为：C.
【分析】设袋子中白球有x个，根据概率公式列方程解答即可.
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形A，B的边长分别为a，b.
由题意
故答案为：28.
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据题意求出 ab，再根据 计算即可.
5．【答案】D
【知识点】逻辑推理
【解析】【解答】解：由操作可得最终排列结果为C、B、D、A，
故拿起的卡片为D，
故答案为：D.
【分析】根据操作得到最终排列顺序解答即可.
6．【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意可得： (cn (cm)，
故两个阴影部分面积和为：
故答案为：B.
【分析】根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到余下部分矩形的边长，进而求得余下部分的面积.
7．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式的被开方数为非负数，
∴，解得a+b=2025，
则原式为，
根据二次根式的非负性可得2a+3b-2c=0，3a+2b-3c=0，
两式相加得5a+5b-5c=0，即c=a+b=2025，
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数得到a+b=2025，然后根据二次根式的非负性得到2a+3b-2c=0，3a+2b-3c=0，即可得到c=a+b解答即可.
8．【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： 整理得，
∵恒过点A，则与m的值无关，
∴2x-y-4=0，3x+2y-34=0，
解得x=6，y=8，
∴点A的坐标为(6，8)，
∴，
故答案为：D.
【分析】把一次函数变形得到，根据无关型的系数为0，则可得到2x-y-4=0，3x+2y-34=0，解方程组求出点A的坐标，然后根据两点间的距离公式解答即可.
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；平移的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图， 分别取CE、EG、GI的中点M、Q、N， 连接JM、FQ、HN，
∵△PBC中， PB=PC，
根据平移变换的性质， △CJE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，
∴JM⊥CE， FQ⊥EG， HN⊥GI， JM=FQ=HN.
在Rt△BHN中，.
则
∴
∴新三角形为直角三角形，BH长为斜边长.
新三角形面积为
∴a=4.
故答案为：B.
【分析】分别取CE、EG、GI的中点M、Q、N， 连接JM、FQ、HN， 由PB= PC， 根据平移变换的性质， 就有△CJE、△EFG和△GHI都是等腰三角形， 就有JM⊥CE， FQ⊥EG， HN⊥GI， JM = 由勾股定理就可以求出 从而得出新三角形三边的值，根据勾股定理的逆定理得新三角形是直角三角形，根据三角形面积公式，从而得出结论.
10．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设两管同时开t分钟，
，
解得：t=140，
故答案为：A.
【分析】设两管同时开x分钟，则排水管单独排水时间为(t-10)分钟，然后根据题意列方程求出t的值解答即可.
11．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；点的坐标；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设P(m， n)，
∵矩形PCOD的面积为12，
∵S四边形，
∴S四边形ABCD
故答案为：B.
【分析】设P(m， n)， 由矩形PCOD的面积为12， 可得mn=12，推出 由题意S四边形
转化为例题的模型解决问题即可.
12．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；不等式奥数类应用问题
【解析】【解答】解：如图，作 ， 在AB上取一点E， 使AE =x， 则BE=6作∠ABD= 30°，过 点E作EF⊥BD于点F，
则
在 中，
延长CA交BD于点H，过点C作 于点D，
，
又∵CE+EF≥CD，
当C、E、F在同一条直线时，CE+EF的值最小， 为CD，
即 的最小值为
故答案为： B.
【分析】作 ， 在AB上取一点E， 使AE =x， 则. x， 作∠ABD =30°， 过点E作EF⊥BD于点F，根据题意求出CE，延长CA交BD于点H，过点C作CD⊥BD于点D， 求出CD即可解答.
13．【答案】D
【知识点】分式的化简求值-倒数法；分式条件求值
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】已知三等式变形后，相加求出 原式变形后，将 左边通分，然后求倒数解答即可.
14．【答案】C
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等积变换
【解析】【解答】解：作∠DAE=∠BAD，延长BD交AE于点E，过点B作BF⊥AE于点F，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°+∠BAD，
∴∠CAB=180°-∠ACB-∠ABC=180°-2(45°+∠BAD)=90°-2∠BAD，即∠CAB+2∠BAD=∠CAE=90°，
又∵BD⊥AD， BD=3， AD =9，
∴，
又∵∠DAE=∠BAD，
∴∠ABD=∠AED，
∴AB=AE=AC=，BE=2BD=6，
设AF=x，则EF=，
则，解得，
∴，
故答案为：C.
【分析】作∠DAE=∠BAD，延长BD交AE于点E，过点B作BF⊥AE于点F，即可得到AB=AE，然后根据勾股定理求出AB=AE=AC=，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理得到∠CAE=90°，然后利用勾股定理求出AF长，根据解答即可.
15．【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：过点 C 作 CH⊥BC，且CH=CA=8，连接BH，FH，如图所示.
∵AD⊥BC，CH⊥BC，
∴∠ACH=∠DAC.
在△AEC和△CFH中，
∴△AEC≌△CFH(SAS)，
∴CE=HF，
∴BF+CE=BF+HF≥BH.
∴当B，F，H 三点共线时，BF+CE取最小值，为线段BH 的长，
在 中，
故答案为：D.
【分析】过点 C 作 CH⊥BC，且CH=CA=8，连接BH，FH，然后根据SAS得到△AEC≌△CFH，即可得到CE=HF，进而得到当B，F，H 三点共线时，BF+CE取最小值，为线段BH 的长，再根据勾股定理解答即可.
16．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：由题意设绿豆冰糕的成本为t元， ，解得t=4.
∴奶油冰糕的成本为4-1=3.
由题意可设绿豆冰糕3月份销量为a，奶油冰糕3月份的销量为b、售价为x、红豆冰糕3月份的销量c、成本为m，售价为n，
则 解得b=200，c=100.
∴绿豆冰糕4月份销售量为a支，奶油冰糕4月份销量为100支，红豆冰糕4月份销量为300元.
又∵ 由②得a=200x-600③，
将③代入到②式化简得26x-5n=108，
∴ 52支“奶油冰糕”的销售额比10支“红枣冰糕”的销售额多108×2=216元.
故答案为： A.
【分析】设绿豆冰糕的成本为t元，根据利润求出t的值，即可得到.奶油冰糕的成本为4-1=3.再设绿豆冰糕3月份销量为a，奶油冰糕3月份的销量为b、售价为x、红豆冰糕3月份的销量c、成本为m，售价为n，则b+ 求出b和c的值.因此绿豆冰糕4月份销售量为a支，奶油冰糕4月份销量为100支，红豆冰糕4月份销量为300元.奶油冰糕的利润为 ②.将上述①、②式子进行化简可以得到26x-5n的值解答即可.
17．【答案】（1）解：，
解不等式①得x>-2，
解不等式②得x≤1，
∴不等式组的解集为-2∴整数解为：-1，0，1.
（2）解：原式
当m=4时，原式

【知识点】解一元一次不等式组；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】(1)分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，从而得出答案；
(2)先算小括号里面的，然后算括号外面的进行化简计算，最后代入求值.
18．【答案】（1）解：设V=kt+b，
由已知， 时， 时，V=6.2L.
解得：
∴当 时，V=0.02×30+5=5.6(L)，
∴该溶液的体积为5.6L.
（2）解：由题意得： 解得
答：温度应控制在 内.
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出V与t的函数关系式，将t=30代入函数关系式，计算即可得出答案；
(2)将(1)中求得的关系式代入 并求出t的取值范围即可.
19．【答案】（1）解：在△DAB与△CBA 中，
AD=BC，∠DAB=∠CBA，AB=BA，
∴△DAB≌△CBA，
∴∠DBA=∠CAB.
∴OA=OB.同理，可证OC=OD.
∵CD∥AB，
∴∠OAB=∠ACD=60°.
∴△OAB 与△OCD都是等边三角形.
连接SC，BP.
在 Rt△CSB中，
同理，可得
∴△SPQ是等边三角形.
（2）解：
∵CS 是等边三角形DCO 的高，
在 Rt△BSC中，
∴△SPQ的边长为

【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】 (1)根据SAS得到△DAB≌△CBA，即可得到∠DBA=∠CAB，进而得到OA=OB，同理可得OC=OD，进而得到△OAB 与△OCD都是等边三角形，连接SC，BP，根据直角三角形的斜边中线性质得到，即可判断△SPQ的形状解答即可；
（2）先求出SB的值，根据三角形的面积求出CS的长，然后根据勾股定理求出BC长，进而求出SQ的值，再根据三角形的面积公式计算即可.
20．【答案】（1）解： (1) ①如图， 过点F作交BC于Q， 交AD于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABQP是矩形，
∵点F是AE的中点，
又
②如图， 过点B作BR∥GH， 交CD于R，
∵GH∥BR，AB∥CD，
∴四边形BRHG是平行四边形，
∴GH = BR， ∠BGH =∠BRH，
∵GH=AE，
∴BR=GH=AE，
又∵AB=BC，
∴ Rt△ABE≌Rt△BCR(HL)，
∴∠BAE=∠CBR=30°，
∴∠BRC = 60°= ∠AEB，
∴∠BRH = 120°= ∠BGH，
∴∠AGH=60°，
∴∠AFG=180°-60°-30°= 90°，
∵∠BAE=30°，
∴AG =2GF，
如图， 过点A作AR∥GH， 交CD于R， 过点G作G 于O，
同理可证：
∵AR∥GH，
综上所述：AG的长为或2；
（2）如图， 连接AO， 过点O作( 于点Q， OP '于点P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD =∠CBD=45°，
∵OQ⊥AB， OP⊥BC，
∴OQ=OP，
∵MN⊥AE， AF=EF，
∴AO=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵OA=OE，OQ=OP，
∴ Rt△AOQ=Rt△EOP(HL)，
∴∠OAQ=∠OEP，
∵∠BEA+∠AEO+∠OEP = 180°，
∴60°+∠AEO+∠OAE+30°= 180°，
∴∠AEO = 45°.
【知识点】三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】(1)①由“ASA”可证 可得.PF= 可求AP的长，由勾股定理可求解；
②分两种情况讨论，由全等三角形的性质和勾股定理可求解；
(2)由角平分线的性质可得OQ=OP，由线段垂直平分线的性质可得.AO=OE，由“HL”可证 可得由平角的性质可求解.
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