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四川省泸州市江阳区2025年中考二模数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置）
1．（2025·江阳模拟）2025的相反数是（　　）
A．2025 B． C． D．
2．（2025·江阳模拟）2025年一季度，泸州重点推进的重大项目有100个，总投资662亿元，涉及基础设施、产业科学、民生环保等领域．请将662亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·江阳模拟）下列各式，计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·江阳模拟）下列立体图形中，主视图与左视图不同的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·江阳模拟）某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中，当时，的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·江阳模拟）小李同学本周记录了自己五次跳绳的成绩（次数/分钟）：．这五次成绩的平均数和中位数分别是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·江阳模拟）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，实数满足条件，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·江阳模拟）如图，四边形是菱形，，，于点，则（　　）
A．2 B． C．4 D．
9．（2025·江阳模拟）如图，四边形内接于，是的直径，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·江阳模拟）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
11．（2025·江阳模拟）已知正方形的边长为，为延长线上一点，且，连接，与交于点，连接并延长与线段交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
12．（2025·江阳模拟）抛物线与轴只有一个交点，且过点，，则（　　）
A． B． C．2 D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（2025·江阳模拟）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
14．（2025·江阳模拟）分解因式：　 　．
15．（2025·江阳模拟）若关于的一元二次方程的两个非零实数根的差等于1，则实数的值是　 　．
16．（2025·江阳模拟）在平面直角坐标系中，的半径为1，点为上一点，点．对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．如图，已知点，点，点为点的“对应点”，则　 　
三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
17．（2025·江阳模拟）计算：．
18．（2025·江阳模拟）如图，在中，为边上一点，为的中点，过点作，与延长线交于点．
求证：．
19．（2025·江阳模拟）化简：
四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
20．（2025·江阳模拟）某校为了解学生寒假参与社会实践活动时长情况，随机抽取部分学生对社会实践活动时长（用表示，单位）进行调查．经过整理，将数据分成四组（组：；组：；组：；组：），并绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）求被抽取的学生共有多少人？并补全条形统计图；
（2）若该校共有学生人，求参与社会实践活动时间不小于的学生有多少人？
（3）组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行访谈，请用树状图或列表法．求所抽取的两人恰好是两名男生的概率．
21．（2025·江阳模拟）某批发商计划购进甲、乙两种水果，已知每千克甲种水果的进价比每千克乙种水果的进价多2元，用360元购进甲种水果的质量恰好与用300元购进乙种水果的质量相同．
（1）求该批发商购进甲、乙两种水果的单价各是多少元？
（2）若该批发商计划购进甲、乙两种水果共500千克，且决定将甲种水果以每千克16元，乙种水果以每千克13元的价格对外出售，若要获得总利润不低于1800元，则至少应购进甲种水果多少千克？
五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
22．（2025·江阳模拟）小明在某景区测量古楼的高度．他在古楼前的空地上选取水平线，已知点处有一坡度，长度为的斜坡，坡顶处有一长度为4米的水平观景台．小明分别在，处测得楼顶的仰角为，．根据以上数据，请你帮助小明求古楼的高度．（结果保留两位小数，参考数据：，，）
23．（2025·江阳模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为1．将直线沿轴向上平移2个单位长度后与反比例函数图象交于点，．
（1）求该反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）连接，，求的面积．
六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．（2025·江阳模拟）如图，已知内接于，是的直径，点在上，且，交于点，点是延长线上的点，且．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，于点，连接．求，的长．
25．（2025·江阳模拟）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，．点是该抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如图1，若点在第一象限，点在的延长线上，当时，求点的坐标：
（3）如图2，若点在第四象限，直线与交于点，过点作轴交于点，当是等腰三角形时，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，据此解答即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：662亿．
故答案为：C．
【分析】由题意，先将单位亿元化为单位元，然后根据科学记数法的意义“科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a10n的形式，其中，n=整数位数-1”可求解.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不是同类项，不能合并，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算正确，符合题意；
D、，原选项计算错误，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断C选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断D选项.
4．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、圆柱的主视图和左视图均为全等的长方形，
∴此选项不符合题意；
B、球的主视图和左视图均为圆，
∴此选项不符合题意；
C、三棱柱的主视图是矩形，左视图是三角形，
∴此选项符合题意；
D、正方体的主视图和左视图均为全等的正方形，
∴此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看所得到的图形；认真观察实物图即可判断求解．
5．【答案】B
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，过点作，
，
，
，
，
，
∴∠ABG=∠BAE=90°，
又∵，
∴∠CBD=150°-90°=60°，
∴∠BCD=180°-60°=120°.
故答案为：B．
【分析】过点作，由平行线的传递性可得，由"两直线平行，同旁内角互补"可得，由垂直的定义得，于是可得∠ABG=∠BAE=90°，由角的构成可求得∠CBD的度数，把∠CBD的度数代入计算即可求解．
6．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：∵五次成绩为，
∴平均数为，
数据由小到大排列为，，，，，
∴中位数为，
故选：．
【分析】根据平均数、中位数的定义解答即可.
7．【答案】B
【知识点】有理数减法的实际应用；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：A、由图得，若，
则，
∴选项不符合题意；
B、若，则m、n异号，且，
∴，
∴此选项符合题意；
C、若，则m、n同号，则，
∴此选项不符合题意；
D、若，则，则m、n同号，则，
∴此项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】A、由m在数轴上的位置可得，结合此选项并结合有理数加法法则可判断求解；
B、根据有理数加法法则可判断求解；
C、根据两个有理数相乘的符号法则判断m、n的符号，然后根据有理数加法法则可判断求解；
D、由题意，先判断m、n的符号，然后根据有理数加法法则即可判断求解．
8．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：设菱形对角线交点为，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得，，，在Rt BOC中，根据勾股定理求得，然后根据可求解.
9．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；求特殊角的三角函数值；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接，
是的直径，
，
，，
，
，
，
，
四边形内接于，
，
，
故答案为：C．
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，然后根据正弦的定义sin∠BAC=并结合特殊角的三角函数值求出的度数，由直角三角形两锐角互余可求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可求解．
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
，
且，
∴的值可以是3，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的定义并结合根的判别式，可得关于的一元一次不等式组，解不等式组可求得的取值范围，对照各选项即可求解．
11．【答案】D
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，过点作，交于点，连接，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，，
∴，
由勾股定理得：，，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作，交于点，连接，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，结合已知可得，由四边形是正方形，则，，，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，用勾股定理计算可得DE=BD，用角角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，即，同理可得，在Rt BGD中，用勾股定理即可求解．
12．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线过点，，
∴对称轴是直线，
又∵抛物线与轴只有一个交点，
∴顶点为，
∴设抛物线解析式为，
把代入，得：
即．
故答案为：B．
【分析】根据点A、B的纵坐标相同可知A、B时抛物线上的对称点，于是可求得抛物线的对称轴是直线．设抛物线解析式为，将代入抛物线的解析式计算即可求解．
13．【答案】x≠﹣1
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴x+1≠0，解得：x≠﹣1．
故答案为：x≠﹣1．
【分析】此代数式是分式，要使分式有意义，则分母不等于0，列出不等式，即可得x的取值范围。
14．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：首先观察多项式 3x2 - 6x + 3，发现各项系数有公因数 3，
因此先提取公因式 3，得到 3(x2 - 2x + 1)。
接着看括号内的二次三项式 x2 - 2x + 1，
它符合完全平方公式 a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 的形式，
其中 a = x，b = 1，因此可分解为 (x - 1)2 。
最后将公因式乘回，得到最终结果 3(x - 1)2 。
故答案为：3(x - 1)2 。
【分析】本题主要考查因式分解的基本方法，包括提取公因式以及运用完全平方公式进行分解，需要准确识别多项式的结构特征并合理变形。
15．【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：，
因式分解得，
解得，，
两个非零实数根的差等于1，
，
解得：，
故答案为：2．
【分析】先用因式分解法解方程，可得，，再根据两个非零实数根的差等于1，列关于m的方程和不等式，解方程和不等式即可求解．
16．【答案】
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：利用网格，画出以下示意图，如图所示：
由题意可知，，，
过点作轴于点，
在 PMO和 MP T中
（AAS）
，
点，点，
，
过点关于点的对称点为，，
故答案为：．
【分析】由题意可知，，，过点作轴于点，由同角的余角相等可得，结合已知条件，用角角边可证明，由全等三角形的对应边相等可得，，于是可得，过点关于点的对称点为，然后可得点坐标，再根据两点间的距离公式计算即可求解．
17．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得20250=1，由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-1=3，由特殊的锐角三角函数值可得sin45°=，然后根据实数的运算法则计算即可求解．
18．【答案】证明：，
，，
为中点，
在与中，
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】由两直线平行内错角相等可得，，由线段中点的定义可得，用角角边可证，然后根据全等三角形的对应边相等即可求解．
19．【答案】解：
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分子、分母进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分即可.
20．【答案】（1）解：∵，
∴被抽取的学生共有人，
∴组学生人数为人，
补全条形统计图如下：
（2）解：，
答：参与社会实践活动时间不小于的学生有人
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中所选的两人恰好是两名男生的结果有种，
∴所选的两人恰好是两名男生的概率为

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（）根据样本容量=频数÷百分比可求出被抽取的学生人数；由样本容量=各小组频数之和可求出组学生人数，然后可补全条形统计图；
（）用样本估计总体可求解；
（）由题意画出树状图，根据树状图的信息可知，共有种等可能的结果，其中所选的两人恰好是两名男生的结果有种，然后根据概率公式即可求解.
（1）解：∵，
∴被抽取的学生共有人，
∴组学生人数为人，
补全条形统计图如下：
（2）解：，
答：参与社会实践活动时间不小于的学生有人；
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中所选的两人恰好是两名男生的结果有种，
∴所选的两人恰好是两名男生的概率为．
21．【答案】（1）解：设每千克乙种水果的进价是元，则每千克甲种水果的进价是元，根据题意得
解得，
检验：是原方程的解且符合题意，
则甲种水果单价为元，
答：甲种水果单价是12元，乙种水果单价是10元
（2）设购进甲种水果y千克，则购进乙种水果千克，根据题意得．
总利润：．
解得，
答：至少应购进甲种水果300千克
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每千克乙种水果的进价是元，则每千克甲种水果的进价是元，根据题中的相等关系“用360元购进甲种水果的质量=用300元购进乙种水果的质量”列关于x的分式方程，解方程并检验即可求解；
（2）设购进甲种水果y千克，则购进乙种水果千克，根据题中的不等关系“总利润≥1800元”并结合总利润 = 甲水果利润 + 乙水果利润可列关于y的不等式，解不等式即可求解.
（1）解：设每千克乙种水果的进价是元，则每千克甲种水果的进价是元，根据题意得
解得，
检验：是原方程的解且符合题意，
则甲种水果单价为元，
所以甲种水果单价是12元，乙种水果单价是10元．
（2）设购进甲种水果y千克，则购进乙种水果千克，根据题意得．
总利润：．
解得，
所以，至少应购进甲种水果300千克．
22．【答案】解：过作于，直线与交于点，如图，
设斜坡的垂直高度为米，
∵坡度，
∴水平宽度为米，
在中，，，
∴，
解得或（负值舍去），
∴米，米．
∵在处测得楼顶的仰角为，
∴，
∵在处测得楼顶的仰角为，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴古楼的高度（米）
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过作于，直线与交于点，由坡度可设设斜坡的垂直高度为米，水平宽度为米，在中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，在Rt AGD中，根据锐角三角函数tan∠ADG=可得DG=AG，在Rt AGE中，根据锐角三角函数tan∠AEG=将EG用含AG的代数式表示出来，然后根据线段的和差可列关于AG的方程，解方程求出AG的值，最后根据古楼的高度计算即可求解．
23．【答案】（1）解：∵点在一次函数上，且点的横坐标为1，
∴将代入，可得，
∴．
又∵点在反比例函数上，
∴把代入，可得，
∴反比例函数的表达式为；
联立方程得到，
即，解得，，
∴
（2）解：∵直线沿轴向上平移2个单位长度，得到平移后的直线表达式为，
∴联立，得，即：，
解得，
∴D、E横坐标的差的绝对值，
过作轴交于，
∵当时，，则，
∴，
∴．
答：三角形ADE的面积为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】
（1）将点A的横坐标代入直线解析式可求得．把代入可求得k的值；
一次函数和反比例函数解析式联立解方程组即可求解；
（2）先求出直线平移后的直线表达式为，联立求得D、E横坐标的差的绝对值为，过作轴交于，则，由线段的和差AF=yF-yA可求得AF的值，然后根据三角形ADE的面积的构成计算即可求解．
（1）解：∵点在一次函数上，且点的横坐标为1，
∴将代入，可得，
∴．
又∵点在反比例函数上，
∴把代入，可得，
∴反比例函数的表达式为；
联立方程得到，
即，解得，，
∴；
（2）解：∵直线沿轴向上平移2个单位长度，得到平移后的直线表达式为，
∴联立，得，即：，
解得，
∴D、E横坐标的差的绝对值，
过作轴交于，
∵当时，，则，
∴，
∴．
24．【答案】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
即，
∴，
即，
，
即是的切线
（2）解： 由（1）得，
∵，
∴，
∴，
即．
设，则，
根据勾股定理，得，
∴，
根据勾股定理得，则．
过点B作，交于点G，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
解得．
根据勾股定理得，
即，
解得，
∴．
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
根据勾股定理，得；
过点D作，交于点P，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
根据勾股定理，得
【知识点】切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，先根据已知条件得，再根据等边对等角得，进而得出，即可证明，然后根据圆的切线的定义即可判断求解；
（2）先证明，再设，可表示，，接下来表示，然后根据勾股定理可得，则，过点B作，进而得出，即可得，再说明，根据相似三角形的性质表示，接下来根据勾股定理求出x，可得，然后证明求出，即可求出；过点D作，先求出，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等得比例式可求得的值，由线段的和差HP=AH-AP求出的值，在Rt PDH中，根据勾股定理计算即可求解．
（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
即，
∴，
即，
，
即是的切线；
（2）解： 由（1）得，
∵，
∴，
∴，
即．
设，则，
根据勾股定理，得，
∴，
根据勾股定理得，则．
过点B作，交于点G，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
解得．
根据勾股定理得，
即，
解得，
∴．
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
根据勾股定理，得；
过点D作，交于点P，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
根据勾股定理，得．
25．【答案】（1）解：已知抛物线与轴交于点，，
设抛物线的交点式为，
把代入，可得：即，
解得，
所以抛物线的表达式为
（2）解：如图，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在轴上取点，连接，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，把点代入，可得，
∴直线的解析式为，
解方程组，得或，，
∵点在第一象限，
∴点的坐标是
（3）解：设直线交y轴于点，如图，
轴，
，，
若为等腰三角形，则也为等腰三角形，
，，
直线的解析式为，
设，
，
直线的解析式为，
解方程组，
得，
点的坐标是，
，，，
当时，，解得：（舍去正值），
此时直线的解析式为，
解方程组，得或，
点的坐标是，此时点的坐标是，
，
当时，，解得或（舍）或（舍），
此时直线的解析式为，
解方程组，得或，
点的坐标是，此时点的坐标是，
；
当时，，解得或（舍去），
此时直线的解析式为，
解方程组，得或，
点的坐标是，此时点的坐标是，
；
综上可得，或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理的逆定理；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）由题意，用待定系数法即可求解；
（2）由题意，用勾股定理的逆定理可判断，由同角的余角相等可得，在轴上取点，连接，由题意易得是等腰直角三角形，可得，由角的和差可得，根据“内错角相等，两直线平行”可得，然后用待定系数法分别求出直线与的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组即可求解；
（3）设直线交y轴于点，如图，由题意可得为等腰三角形，则也为等腰三角形，设，求出直线和直线的解析式后，将两直线解析式联立解方程组可将点的坐标用含m的代数式表示出来，根据两点间的距离公式分别将CG2、CD2、DG2用含m的代数式表示出来，然后分三种情况：①当时，②当时，③当时，可得关于m的方程，解方程即可求解．
（1）解：已知抛物线与轴交于点，，设抛物线的交点式为，
把代入，可得：即，解得，
所以抛物线的表达式为．
（2）解：如图，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在轴上取点，连接，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，把点代入，可得，
∴直线的解析式为，
解方程组，得或，，
∵点在第一象限，
∴点的坐标是．
（3）解：设直线交y轴于点，如图，
轴，
，，
若为等腰三角形，则也为等腰三角形，
，，
直线的解析式为，
设，
，
直线的解析式为，
解方程组，得，
点的坐标是，
，，，
当时，，解得：（舍去正值），
此时直线的解析式为，
解方程组，得或，
点的坐标是，此时点的坐标是，
，
当时，，解得或（舍）或（舍），
此时直线的解析式为，
解方程组，得或，
点的坐标是，此时点的坐标是，
；
当时，，解得或（舍去），
此时直线的解析式为，
解方程组，得或，
点的坐标是，此时点的坐标是，
；
综上，或或．
1 / 1四川省泸州市江阳区2025年中考二模数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置）
1．（2025·江阳模拟）2025的相反数是（　　）
A．2025 B． C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，据此解答即可.
2．（2025·江阳模拟）2025年一季度，泸州重点推进的重大项目有100个，总投资662亿元，涉及基础设施、产业科学、民生环保等领域．请将662亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：662亿．
故答案为：C．
【分析】由题意，先将单位亿元化为单位元，然后根据科学记数法的意义“科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a10n的形式，其中，n=整数位数-1”可求解.
3．（2025·江阳模拟）下列各式，计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不是同类项，不能合并，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算正确，符合题意；
D、，原选项计算错误，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断C选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断D选项.
4．（2025·江阳模拟）下列立体图形中，主视图与左视图不同的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、圆柱的主视图和左视图均为全等的长方形，
∴此选项不符合题意；
B、球的主视图和左视图均为圆，
∴此选项不符合题意；
C、三棱柱的主视图是矩形，左视图是三角形，
∴此选项符合题意；
D、正方体的主视图和左视图均为全等的正方形，
∴此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看所得到的图形；认真观察实物图即可判断求解．
5．（2025·江阳模拟）某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中，当时，的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，过点作，
，
，
，
，
，
∴∠ABG=∠BAE=90°，
又∵，
∴∠CBD=150°-90°=60°，
∴∠BCD=180°-60°=120°.
故答案为：B．
【分析】过点作，由平行线的传递性可得，由"两直线平行，同旁内角互补"可得，由垂直的定义得，于是可得∠ABG=∠BAE=90°，由角的构成可求得∠CBD的度数，把∠CBD的度数代入计算即可求解．
6．（2025·江阳模拟）小李同学本周记录了自己五次跳绳的成绩（次数/分钟）：．这五次成绩的平均数和中位数分别是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：∵五次成绩为，
∴平均数为，
数据由小到大排列为，，，，，
∴中位数为，
故选：．
【分析】根据平均数、中位数的定义解答即可.
7．（2025·江阳模拟）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，实数满足条件，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数减法的实际应用；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：A、由图得，若，
则，
∴选项不符合题意；
B、若，则m、n异号，且，
∴，
∴此选项符合题意；
C、若，则m、n同号，则，
∴此选项不符合题意；
D、若，则，则m、n同号，则，
∴此项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】A、由m在数轴上的位置可得，结合此选项并结合有理数加法法则可判断求解；
B、根据有理数加法法则可判断求解；
C、根据两个有理数相乘的符号法则判断m、n的符号，然后根据有理数加法法则可判断求解；
D、由题意，先判断m、n的符号，然后根据有理数加法法则即可判断求解．
8．（2025·江阳模拟）如图，四边形是菱形，，，于点，则（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：设菱形对角线交点为，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得，，，在Rt BOC中，根据勾股定理求得，然后根据可求解.
9．（2025·江阳模拟）如图，四边形内接于，是的直径，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；求特殊角的三角函数值；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接，
是的直径，
，
，，
，
，
，
，
四边形内接于，
，
，
故答案为：C．
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，然后根据正弦的定义sin∠BAC=并结合特殊角的三角函数值求出的度数，由直角三角形两锐角互余可求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可求解．
10．（2025·江阳模拟）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
，
且，
∴的值可以是3，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的定义并结合根的判别式，可得关于的一元一次不等式组，解不等式组可求得的取值范围，对照各选项即可求解．
11．（2025·江阳模拟）已知正方形的边长为，为延长线上一点，且，连接，与交于点，连接并延长与线段交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，过点作，交于点，连接，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，，
∴，
由勾股定理得：，，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作，交于点，连接，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，结合已知可得，由四边形是正方形，则，，，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，用勾股定理计算可得DE=BD，用角角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，即，同理可得，在Rt BGD中，用勾股定理即可求解．
12．（2025·江阳模拟）抛物线与轴只有一个交点，且过点，，则（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线过点，，
∴对称轴是直线，
又∵抛物线与轴只有一个交点，
∴顶点为，
∴设抛物线解析式为，
把代入，得：
即．
故答案为：B．
【分析】根据点A、B的纵坐标相同可知A、B时抛物线上的对称点，于是可求得抛物线的对称轴是直线．设抛物线解析式为，将代入抛物线的解析式计算即可求解．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（2025·江阳模拟）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≠﹣1
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴x+1≠0，解得：x≠﹣1．
故答案为：x≠﹣1．
【分析】此代数式是分式，要使分式有意义，则分母不等于0，列出不等式，即可得x的取值范围。
14．（2025·江阳模拟）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：首先观察多项式 3x2 - 6x + 3，发现各项系数有公因数 3，
因此先提取公因式 3，得到 3(x2 - 2x + 1)。
接着看括号内的二次三项式 x2 - 2x + 1，
它符合完全平方公式 a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 的形式，
其中 a = x，b = 1，因此可分解为 (x - 1)2 。
最后将公因式乘回，得到最终结果 3(x - 1)2 。
故答案为：3(x - 1)2 。
【分析】本题主要考查因式分解的基本方法，包括提取公因式以及运用完全平方公式进行分解，需要准确识别多项式的结构特征并合理变形。
15．（2025·江阳模拟）若关于的一元二次方程的两个非零实数根的差等于1，则实数的值是　 　．
【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：，
因式分解得，
解得，，
两个非零实数根的差等于1，
，
解得：，
故答案为：2．
【分析】先用因式分解法解方程，可得，，再根据两个非零实数根的差等于1，列关于m的方程和不等式，解方程和不等式即可求解．
16．（2025·江阳模拟）在平面直角坐标系中，的半径为1，点为上一点，点．对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．如图，已知点，点，点为点的“对应点”，则　 　
【答案】
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：利用网格，画出以下示意图，如图所示：
由题意可知，，，
过点作轴于点，
在 PMO和 MP T中
（AAS）
，
点，点，
，
过点关于点的对称点为，，
故答案为：．
【分析】由题意可知，，，过点作轴于点，由同角的余角相等可得，结合已知条件，用角角边可证明，由全等三角形的对应边相等可得，，于是可得，过点关于点的对称点为，然后可得点坐标，再根据两点间的距离公式计算即可求解．
三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
17．（2025·江阳模拟）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得20250=1，由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-1=3，由特殊的锐角三角函数值可得sin45°=，然后根据实数的运算法则计算即可求解．
18．（2025·江阳模拟）如图，在中，为边上一点，为的中点，过点作，与延长线交于点．
求证：．
【答案】证明：，
，，
为中点，
在与中，
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】由两直线平行内错角相等可得，，由线段中点的定义可得，用角角边可证，然后根据全等三角形的对应边相等即可求解．
19．（2025·江阳模拟）化简：
【答案】解：
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分子、分母进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分即可.
四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
20．（2025·江阳模拟）某校为了解学生寒假参与社会实践活动时长情况，随机抽取部分学生对社会实践活动时长（用表示，单位）进行调查．经过整理，将数据分成四组（组：；组：；组：；组：），并绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）求被抽取的学生共有多少人？并补全条形统计图；
（2）若该校共有学生人，求参与社会实践活动时间不小于的学生有多少人？
（3）组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行访谈，请用树状图或列表法．求所抽取的两人恰好是两名男生的概率．
【答案】（1）解：∵，
∴被抽取的学生共有人，
∴组学生人数为人，
补全条形统计图如下：
（2）解：，
答：参与社会实践活动时间不小于的学生有人
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中所选的两人恰好是两名男生的结果有种，
∴所选的两人恰好是两名男生的概率为

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（）根据样本容量=频数÷百分比可求出被抽取的学生人数；由样本容量=各小组频数之和可求出组学生人数，然后可补全条形统计图；
（）用样本估计总体可求解；
（）由题意画出树状图，根据树状图的信息可知，共有种等可能的结果，其中所选的两人恰好是两名男生的结果有种，然后根据概率公式即可求解.
（1）解：∵，
∴被抽取的学生共有人，
∴组学生人数为人，
补全条形统计图如下：
（2）解：，
答：参与社会实践活动时间不小于的学生有人；
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中所选的两人恰好是两名男生的结果有种，
∴所选的两人恰好是两名男生的概率为．
21．（2025·江阳模拟）某批发商计划购进甲、乙两种水果，已知每千克甲种水果的进价比每千克乙种水果的进价多2元，用360元购进甲种水果的质量恰好与用300元购进乙种水果的质量相同．
（1）求该批发商购进甲、乙两种水果的单价各是多少元？
（2）若该批发商计划购进甲、乙两种水果共500千克，且决定将甲种水果以每千克16元，乙种水果以每千克13元的价格对外出售，若要获得总利润不低于1800元，则至少应购进甲种水果多少千克？
【答案】（1）解：设每千克乙种水果的进价是元，则每千克甲种水果的进价是元，根据题意得
解得，
检验：是原方程的解且符合题意，
则甲种水果单价为元，
答：甲种水果单价是12元，乙种水果单价是10元
（2）设购进甲种水果y千克，则购进乙种水果千克，根据题意得．
总利润：．
解得，
答：至少应购进甲种水果300千克
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每千克乙种水果的进价是元，则每千克甲种水果的进价是元，根据题中的相等关系“用360元购进甲种水果的质量=用300元购进乙种水果的质量”列关于x的分式方程，解方程并检验即可求解；
（2）设购进甲种水果y千克，则购进乙种水果千克，根据题中的不等关系“总利润≥1800元”并结合总利润 = 甲水果利润 + 乙水果利润可列关于y的不等式，解不等式即可求解.
（1）解：设每千克乙种水果的进价是元，则每千克甲种水果的进价是元，根据题意得
解得，
检验：是原方程的解且符合题意，
则甲种水果单价为元，
所以甲种水果单价是12元，乙种水果单价是10元．
（2）设购进甲种水果y千克，则购进乙种水果千克，根据题意得．
总利润：．
解得，
所以，至少应购进甲种水果300千克．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
22．（2025·江阳模拟）小明在某景区测量古楼的高度．他在古楼前的空地上选取水平线，已知点处有一坡度，长度为的斜坡，坡顶处有一长度为4米的水平观景台．小明分别在，处测得楼顶的仰角为，．根据以上数据，请你帮助小明求古楼的高度．（结果保留两位小数，参考数据：，，）
【答案】解：过作于，直线与交于点，如图，
设斜坡的垂直高度为米，
∵坡度，
∴水平宽度为米，
在中，，，
∴，
解得或（负值舍去），
∴米，米．
∵在处测得楼顶的仰角为，
∴，
∵在处测得楼顶的仰角为，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴古楼的高度（米）
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过作于，直线与交于点，由坡度可设设斜坡的垂直高度为米，水平宽度为米，在中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，在Rt AGD中，根据锐角三角函数tan∠ADG=可得DG=AG，在Rt AGE中，根据锐角三角函数tan∠AEG=将EG用含AG的代数式表示出来，然后根据线段的和差可列关于AG的方程，解方程求出AG的值，最后根据古楼的高度计算即可求解．
23．（2025·江阳模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为1．将直线沿轴向上平移2个单位长度后与反比例函数图象交于点，．
（1）求该反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）连接，，求的面积．
【答案】（1）解：∵点在一次函数上，且点的横坐标为1，
∴将代入，可得，
∴．
又∵点在反比例函数上，
∴把代入，可得，
∴反比例函数的表达式为；
联立方程得到，
即，解得，，
∴
（2）解：∵直线沿轴向上平移2个单位长度，得到平移后的直线表达式为，
∴联立，得，即：，
解得，
∴D、E横坐标的差的绝对值，
过作轴交于，
∵当时，，则，
∴，
∴．
答：三角形ADE的面积为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】
（1）将点A的横坐标代入直线解析式可求得．把代入可求得k的值；
一次函数和反比例函数解析式联立解方程组即可求解；
（2）先求出直线平移后的直线表达式为，联立求得D、E横坐标的差的绝对值为，过作轴交于，则，由线段的和差AF=yF-yA可求得AF的值，然后根据三角形ADE的面积的构成计算即可求解．
（1）解：∵点在一次函数上，且点的横坐标为1，
∴将代入，可得，
∴．
又∵点在反比例函数上，
∴把代入，可得，
∴反比例函数的表达式为；
联立方程得到，
即，解得，，
∴；
（2）解：∵直线沿轴向上平移2个单位长度，得到平移后的直线表达式为，
∴联立，得，即：，
解得，
∴D、E横坐标的差的绝对值，
过作轴交于，
∵当时，，则，
∴，
∴．
六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．（2025·江阳模拟）如图，已知内接于，是的直径，点在上，且，交于点，点是延长线上的点，且．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，于点，连接．求，的长．
【答案】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
即，
∴，
即，
，
即是的切线
（2）解： 由（1）得，
∵，
∴，
∴，
即．
设，则，
根据勾股定理，得，
∴，
根据勾股定理得，则．
过点B作，交于点G，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
解得．
根据勾股定理得，
即，
解得，
∴．
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
根据勾股定理，得；
过点D作，交于点P，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
根据勾股定理，得
【知识点】切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，先根据已知条件得，再根据等边对等角得，进而得出，即可证明，然后根据圆的切线的定义即可判断求解；
（2）先证明，再设，可表示，，接下来表示，然后根据勾股定理可得，则，过点B作，进而得出，即可得，再说明，根据相似三角形的性质表示，接下来根据勾股定理求出x，可得，然后证明求出，即可求出；过点D作，先求出，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等得比例式可求得的值，由线段的和差HP=AH-AP求出的值，在Rt PDH中，根据勾股定理计算即可求解．
（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
即，
∴，
即，
，
即是的切线；
（2）解： 由（1）得，
∵，
∴，
∴，
即．
设，则，
根据勾股定理，得，
∴，
根据勾股定理得，则．
过点B作，交于点G，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
解得．
根据勾股定理得，
即，
解得，
∴．
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
根据勾股定理，得；
过点D作，交于点P，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
根据勾股定理，得．
25．（2025·江阳模拟）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，．点是该抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如图1，若点在第一象限，点在的延长线上，当时，求点的坐标：
（3）如图2，若点在第四象限，直线与交于点，过点作轴交于点，当是等腰三角形时，求线段的长．
【答案】（1）解：已知抛物线与轴交于点，，
设抛物线的交点式为，
把代入，可得：即，
解得，
所以抛物线的表达式为
（2）解：如图，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在轴上取点，连接，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，把点代入，可得，
∴直线的解析式为，
解方程组，得或，，
∵点在第一象限，
∴点的坐标是
（3）解：设直线交y轴于点，如图，
轴，
，，
若为等腰三角形，则也为等腰三角形，
，，
直线的解析式为，
设，
，
直线的解析式为，
解方程组，
得，
点的坐标是，
，，，
当时，，解得：（舍去正值），
此时直线的解析式为，
解方程组，得或，
点的坐标是，此时点的坐标是，
，
当时，，解得或（舍）或（舍），
此时直线的解析式为，
解方程组，得或，
点的坐标是，此时点的坐标是，
；
当时，，解得或（舍去），
此时直线的解析式为，
解方程组，得或，
点的坐标是，此时点的坐标是，
；
综上可得，或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理的逆定理；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）由题意，用待定系数法即可求解；
（2）由题意，用勾股定理的逆定理可判断，由同角的余角相等可得，在轴上取点，连接，由题意易得是等腰直角三角形，可得，由角的和差可得，根据“内错角相等，两直线平行”可得，然后用待定系数法分别求出直线与的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组即可求解；
（3）设直线交y轴于点，如图，由题意可得为等腰三角形，则也为等腰三角形，设，求出直线和直线的解析式后，将两直线解析式联立解方程组可将点的坐标用含m的代数式表示出来，根据两点间的距离公式分别将CG2、CD2、DG2用含m的代数式表示出来，然后分三种情况：①当时，②当时，③当时，可得关于m的方程，解方程即可求解．
（1）解：已知抛物线与轴交于点，，设抛物线的交点式为，
把代入，可得：即，解得，
所以抛物线的表达式为．
（2）解：如图，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在轴上取点，连接，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，把点代入，可得，
∴直线的解析式为，
解方程组，得或，，
∵点在第一象限，
∴点的坐标是．
（3）解：设直线交y轴于点，如图，
轴，
，，
若为等腰三角形，则也为等腰三角形，
，，
直线的解析式为，
设，
，
直线的解析式为，
解方程组，得，
点的坐标是，
，，，
当时，，解得：（舍去正值），
此时直线的解析式为，
解方程组，得或，
点的坐标是，此时点的坐标是，
，
当时，，解得或（舍）或（舍），
此时直线的解析式为，
解方程组，得或，
点的坐标是，此时点的坐标是，
；
当时，，解得或（舍去），
此时直线的解析式为，
解方程组，得或，
点的坐标是，此时点的坐标是，
；
综上，或或．
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