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四川省成都外国语学校2024-2025学年下学期七年级半期考试数学试卷
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．（2025七下·成都期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意；
B、，故该项正确，符合题意；
C、，故该项不正确，不符合题意；
D、，故该项不正确，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则逐项进行判断即可求出答案.
2．（2025七下·成都期中）智能座舱，是当前车企比拼的“红海战场”：多屏联动、舱内游戏、端侧AI…要支持这些功能，需要一颗强大的智能座舱芯片．新上市的小米汽车，选择了高通骁龙8295，该芯片采用工艺，是目前市面上使用的汽车座舱平台中工艺最先进的产品，相当于，数据0.000000005用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000000005=5×10-9；
故答案为：B.
【分析】根据小于1的正数的科学记数法的表示形式为a×10-n，其中1≤a＜10，n为正整数，n是小数点后第一个非零的数前面零的个数（包括整数部分的零）即可求解.
3．（2025七下·成都期中）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（　　）
A．3，3，6 B．6，6，3 C．4，4，4 D．3，4，5
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，所以不能构成三角形，故选项A符合题意；
B、，所以能构成三角形，故选项B不符合题意；
C、，所以能构成三角形，故选项C不符合题意；
D、，所以能构成三角形，故选项D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据三角形的三边关系：两条较短边的和大于最长边，进行求解并判断即可．
4．（2025七下·成都期中）在下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A，，不可以用平方差公式计算，不符合题意；
B，，可以用平方差公式计算，符合题意；
C，，不可以用平方差公式计算，不符合题意；
D，，不可以用平方差公式计算，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用平方差公式的定义及计算方法（两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的乘积）分析求解即可.
5．（2025七下·成都期中）如图，直线、相交于点O，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】先根据对顶角相等得，再根据求解即可．
6．（2025七下·成都期中）如图，下列条件能判定的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A、不能判定任何一组直线平行，A错误；
B、∵，∴，B错误；
C、，不能判定任何一组直线平行，C错误；
D、∵，∴，D正确；
故答案为：D．
【分析】根据内错角相等，两直线平行逐一判断即可．
7．（2025七下·成都期中）如图，将一副三角板按如图方式摆放，，，．若，过点作，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟知平行线的性质是解题关键.
根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等可知：∠DEB=∠ACB=60°，再根据三角形内角和定理可得：∠DEF=180°-∠EDF-∠DFE=45°，由角的和差运算可知：∠BEF=∠BED+∠DEF=105°，再根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补可知：∠MFE=180°-∠BEF=75°，最后由角的和差运算可知：∠MFD=∠MFE-∠DFE=30°，由此可得出答案．
8．（2025七下·成都期中）如图，G为三边中线，，的交点，，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵G为三边中线，，的交点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】先根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，得到，，进而根据求解即可．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．（2025七下·成都期中）计算：　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解；
，
故答案为：．
【分析】根据同底数幂的乘除法进行运算，进而即可求解。
10．（2025七下·成都期中）计算　 　．
【答案】
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】根据积的乘方进行计算求解即可．
11．（2025七下·成都期中）已知，，则的值为　 　．
【答案】16
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，，
，
故答案为：16．
【分析】先根据完全平方公式把式子变形为，再代值计算即可．
12．（2025七下·成都期中）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好的锻炼腹部的肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，点在直线上，，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据两直线平行，同位角相等得到∠FCD，根据两直线平行，内错角相等得到∠ECF，最后根据角的和差关系求解即可．
13．（2025七下·成都期中）为三角形三边长，化简的结果是　 　．
【答案】0
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵a，b，c是三角形的三边长，
∴，
，
，
．
故答案为：0．
【分析】先根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，取绝对值，再进行化简即可．
三、解答题（48分）
14．（2025七下·成都期中）计算：
（1）
（2）．
（3）．
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】整式的混合运算；整数指数幂的运算
【解析】【分析】（1）先根据同底数幂的乘法和积的乘方运算法则计算，再合并同类项即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即可；
（3）先把y-6看成一个整体，根据平方差公式运算，再根据完全平方公式计算求解即可．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
15．（2025七下·成都期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
当，时，
原式．
【知识点】多项式除以单项式；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式和多项式除以单项式法则展开化简，再代值计算即可.
16．（2025七下·成都期中）推理填空
如图，在中，于点，于点，．求证：．
证明：，（已知），
（ ① ）
② （ ③ ）
④ （ ⑤ ）
又（已知）
⑥ （ ⑦ ）
．（ ⑧ ）
【答案】证明：∵，，
∴（垂直定义），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴（等量代换）．
故答案为：①垂直定义，②，③同位角相等，两直线平行，④；⑤两直线平行，同位角相等，⑥，⑦两直线平行，内错角相等，⑧等量代换．
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】根据垂直的定义、平行线的性质和判断逐一写出即可．
17．（2025七下·成都期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC.
(1)若∠BAC＝80°，∠C＝30°，求∠DAE的度数；
(2)若∠B＝80°，∠C＝40°，求∠DAE的度数；
(3)探究：小明认为如果只知道∠B－∠C＝40°，也能得出∠DAE的度数．你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
【答案】解：（1）∵∠BAC=80°，∠C=30°，
∴∠B=70°．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=20°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=40°，
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=40°﹣20°=20°；
（2）∵∠B=80°，AD⊥BC，
∴∠BAD=10°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C）=×60°=30°，
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=30°﹣10°=20°；
（3）∠DAE=（∠B﹣∠C）=20°．
理由如下：
∵AD⊥BC，∴∠BAD=90°﹣∠B．
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C），
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠B）=（∠B﹣∠C）=20°．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据三角形的内角和定理求出∠B，进而求出∠BAD，再根据AE平分∠BAC得到∠BAE最后根据角的和差关系求解即可．
（2）先根据三角形的内角和求出∠BAD，再根据AE平分∠BAC和三角形内角和定理求出∠BAE，再根据角的和差关系求解即可．
（3）先根据三角形的内角和求出∠BAD，再根据AE平分∠BAC和三角形内角和定理求出∠BAE，再根据角的和差关系求解即可．
18．（2025七下·成都期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1．
（1）利用多项式与多项式相乘的法则．计算：________；
（2）选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应取________张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是________（用含a，b的代数式表示）；
（3）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图．并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为________；
（4）选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复的叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，则a与b有什么关系？________（直接写出答案）
【答案】（1）
（2）4，
（3）
（4）
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：
（2）∵，
∴应该取4张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是，
故答案为：4，
（3）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图．则中间正方形D的面积可以表示为，正方形D的边长为，
∴由此可检验的等量关系为，
故答案为：
（4）解：设，
由题意可得，，
则，
∵，
∴，即，
∵，
∴恒成立，
∴，
即，
故答案为：
【分析】（1）根据多项式乘以多项式运算法则求解即可；
（2）根据完全平方公式求解即可；
（3）根据中间正方形面积的两种求法，写出关系式得到等量关系即可；
（4）先求出，，再根据计算求解即可．
四、填空题（每小题4分，共20分）
19．（2025七下·成都期中）若，，则　 　．
【答案】20
【知识点】同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：．
故答案为：20．
【分析】根据同底数幂的乘法逆用和幂的乘方的逆用计算求解即可.
20．（2025七下·成都期中）已知多项式ax+b与2x2-x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为6，则ab的值为　 　.
【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵(ax+b)(2x2 x+2)=2ax3+(2b a)x2+(2a b)x+2b，
又∵展开式中不含x的一次项，且常数项为6，
∴，
解得：，
∴.
故答案为：.
【分析】先根据多项式与多项式相乘的法则展开，再根据展开式中不含x的一次项，且常数项为6列出二元一次方程组，求出a，b，最后代值求解即可．
21．（2025七下·成都期中）当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”．如果一个直角三角形为“特征三角形”，那么它的“特征角”的度数是　 　．
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；分类讨论
【解析】【解答】解：当直角为特征角时，一个锐角的度数为，符合题意；
当锐角为特征角时，则：，
∴，
∴；
故答案为：或．
【分析】分直角为特征角和锐角是特征角两种情况进行求解即可．
22．（2025七下·成都期中）已知a、b、c满足a-b+c=7，ab+bc+b+c2+16=0则的值是　 　．
【答案】
【知识点】偶次方的非负性；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵a-b+c=7，
∴a+c=7+b，
∵ab+bc+b+c2+16=0，
∴b(7+b)+b+c2+16=0，
∴b2+8b+16+c2=0，
∴(b+4)2+c2=0，
∴b=-4，c=0，
∴a=3，
∴=；
故答案为：.
【分析】先根据因式分解和配方法进行变形得到(b+4)2+c2=0，再根据偶次方的非负性质得到a、b、c，最后进行计算即可．
23．（2025七下·成都期中）如图， 线段，是线段外一点，连接、，、分别是、的中点，连接、交于点．当四边形的面积为10时，线段的最小值为　 　．
【答案】6
【知识点】垂线段最短及其应用；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：过作于，连接，延长交于，如图所示，
、分别是、的中点，
，S△BCD，
=S△BCD，
∴S△BCF==10，
、分别是、的中点，
∴，S△CEF =S△AEF．
∴+S△CEF+S△AEF，
∴，
∴，
，
，
，
线段的最小值是6．
故答案为：6．
【分析】根据三角形的中线等分三角形的两块面积求出S△BCF==10，进而得到，再求出AH求解即可.
五、解答题（30分）
24．（2025七下·成都期中）定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的数，记作．
（1）根据数的定义，填空：______________，______________．
（2）数有如下运算性质：，，其中．
根据运算性质，计算：
①若，求；
②若已知，，试求，的值（用、、表示）．
【答案】（1）1，
（2）解：
，
，
；
，
；
【知识点】整式的加减运算；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：（1）∵，
，
，
，
故答案为：1，；
【分析】（1）根据新定义进行计算求解即可；
（2）①先根据新定义进行计算求出，再代值根据新定义求解即可；
②先根据运算性质进行转化为，，再根据新定义计算求解即可.
（1）解：∵，
，
，
，
故答案为：1，；
（2），
，
；
，
；
．
25．（2025七下·成都期中）直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数；
②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；
（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数．
【答案】解：（1）①∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，
∵∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠ABE＝∠ABO＝30°，∠BAE＝∠BAO＝15°，
∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°．
②∠AEB的大小不会发生变化．理由如下：
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠ABE＝∠ABO，∠BAE＝∠BAO，
∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO
＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣×90°＝135°．
(2)∠ABO的度数为60°或45°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）∠ABO的度数为60°或45°．理由如下：
∵∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，
∴∠OAE+∠OAF＝（∠BAO+∠GAO）＝90°，即∠EAF＝90°，
又∵∠BOA＝90°，
∴∠GAO＞90°，
①∵∠E＝∠EAF＝30°，
∠EOQ＝45°，∠OAE+∠E＝∠EOQ＝45°，
∴∠OAE＝15°，
∠OAE＝∠BAO＝（90﹣∠ABO）
∴∠ABO＝60°．
②∵∠F＝3∠E，∠EAF=90°
∴∠E+∠F=90°
∴∠E=22.5°
∴∠EFA=90-22.5°=67.5°
∵∠EOQ＝∠EOM= ∠AOE= 45°，
∴∠BAO＝180°-(180°-45°-67.5°)×2=45°
∴∠ABO=90°-45°=45°.
【分析】（1）①先根据垂直和三角形内角和定理求出∠BAO，再根据角分线的定义求出∠ABE和∠BAE，最后在根据三角形的内角和定理求解即可；
②先根据角分线的定义求出∠ABE和∠BAE，再根据三角形的内角和定理得到AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE，进行计算即可；
（2）先根据角平分线的定义和平角求出∠EAF，再分∠E＝∠EAF和∠F＝3∠E两种情况讨论即可.
26．（2025七下·成都期中）如图，直线，点、分别在直线、上（自左向右分别为点、、和点、、），，射线自射线的位置开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转，当射线旋转到的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为秒．
（1）如图1，直接写出下列答案：
①的度数是________________；
②当旋转时间_______________秒时，射线过点．
（2）如图2，若，求此时对应的旋转时间的值．
（3）若两条射线和所在直线交于点，
①如图3，若点在与之间，求的度数（用含的代数式表示）；
②若射线在的左侧，当时，求的值．
【答案】（1）①②
（2）解：∵射线自射线的位置开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，
∴设，
，
，
又∵射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转，
∴当秒后，旋转了 即：
，
，
，
∴此时对应的旋转时间的值是秒
（3）解：①∵根据题意有：，
，
在中，，
，
；
②∵的旋转速度要比的旋转速度快，
∴当射线在的左侧时，两条射线和所在直线交于点，如图所示，
，
，
，
，
，
∴在中，，
即：，
，
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）①，
，
故答案为：；
②∵射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转，
∴当秒后，过点时，旋转了，
∴此时，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）①根据两直线平行，同旁内角互补求解即可；
②根据秒后，过点时，旋转了，列出一元一次方程，求解即可；
（2）根据两直线平行，内错角相等得到，根据秒后，过点时，旋转了，列出一元一次方程，求解即可；
（3）①根据三角形的内角和定理列出一元一次方程求解即可；
②先根据角的和差关系得到∠ABP，再根据三角形的内角和定理列出一元一次方程求解即可；
（1）解：①，
，
故答案为：；
②∵射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转，
∴当秒后，过点时，旋转了，
∴此时，
，
，
故答案为：；
（2）解：∵射线自射线的位置开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，
∴设，
，
，
又∵射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转，
∴当秒后，旋转了 即：
，
，
，
∴此时对应的旋转时间的值是秒；
（3）解：①
∵根据题意有：，
，
在中，，
，
；
②∵的旋转速度要比的旋转速度快，
∴当射线在的左侧时，两条射线和所在直线交于点，如图所示，
，
，
，
，
，
∴在中，，
即：，
，
．
1 / 1四川省成都外国语学校2024-2025学年下学期七年级半期考试数学试卷
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．（2025七下·成都期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·成都期中）智能座舱，是当前车企比拼的“红海战场”：多屏联动、舱内游戏、端侧AI…要支持这些功能，需要一颗强大的智能座舱芯片．新上市的小米汽车，选择了高通骁龙8295，该芯片采用工艺，是目前市面上使用的汽车座舱平台中工艺最先进的产品，相当于，数据0.000000005用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·成都期中）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（　　）
A．3，3，6 B．6，6，3 C．4，4，4 D．3，4，5
4．（2025七下·成都期中）在下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025七下·成都期中）如图，直线、相交于点O，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·成都期中）如图，下列条件能判定的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025七下·成都期中）如图，将一副三角板按如图方式摆放，，，．若，过点作，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·成都期中）如图，G为三边中线，，的交点，，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．（2025七下·成都期中）计算：　 　．
10．（2025七下·成都期中）计算　 　．
11．（2025七下·成都期中）已知，，则的值为　 　．
12．（2025七下·成都期中）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好的锻炼腹部的肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，点在直线上，，，则的度数为　 　．
13．（2025七下·成都期中）为三角形三边长，化简的结果是　 　．
三、解答题（48分）
14．（2025七下·成都期中）计算：
（1）
（2）．
（3）．
15．（2025七下·成都期中）先化简，再求值：，其中，．
16．（2025七下·成都期中）推理填空
如图，在中，于点，于点，．求证：．
证明：，（已知），
（ ① ）
② （ ③ ）
④ （ ⑤ ）
又（已知）
⑥ （ ⑦ ）
．（ ⑧ ）
17．（2025七下·成都期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC.
(1)若∠BAC＝80°，∠C＝30°，求∠DAE的度数；
(2)若∠B＝80°，∠C＝40°，求∠DAE的度数；
(3)探究：小明认为如果只知道∠B－∠C＝40°，也能得出∠DAE的度数．你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
18．（2025七下·成都期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1．
（1）利用多项式与多项式相乘的法则．计算：________；
（2）选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应取________张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是________（用含a，b的代数式表示）；
（3）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图．并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为________；
（4）选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复的叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，则a与b有什么关系？________（直接写出答案）
四、填空题（每小题4分，共20分）
19．（2025七下·成都期中）若，，则　 　．
20．（2025七下·成都期中）已知多项式ax+b与2x2-x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为6，则ab的值为　 　.
21．（2025七下·成都期中）当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”．如果一个直角三角形为“特征三角形”，那么它的“特征角”的度数是　 　．
22．（2025七下·成都期中）已知a、b、c满足a-b+c=7，ab+bc+b+c2+16=0则的值是　 　．
23．（2025七下·成都期中）如图， 线段，是线段外一点，连接、，、分别是、的中点，连接、交于点．当四边形的面积为10时，线段的最小值为　 　．
五、解答题（30分）
24．（2025七下·成都期中）定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的数，记作．
（1）根据数的定义，填空：______________，______________．
（2）数有如下运算性质：，，其中．
根据运算性质，计算：
①若，求；
②若已知，，试求，的值（用、、表示）．
25．（2025七下·成都期中）直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数；
②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；
（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数．
26．（2025七下·成都期中）如图，直线，点、分别在直线、上（自左向右分别为点、、和点、、），，射线自射线的位置开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转，当射线旋转到的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为秒．
（1）如图1，直接写出下列答案：
①的度数是________________；
②当旋转时间_______________秒时，射线过点．
（2）如图2，若，求此时对应的旋转时间的值．
（3）若两条射线和所在直线交于点，
①如图3，若点在与之间，求的度数（用含的代数式表示）；
②若射线在的左侧，当时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意；
B、，故该项正确，符合题意；
C、，故该项不正确，不符合题意；
D、，故该项不正确，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000000005=5×10-9；
故答案为：B.
【分析】根据小于1的正数的科学记数法的表示形式为a×10-n，其中1≤a＜10，n为正整数，n是小数点后第一个非零的数前面零的个数（包括整数部分的零）即可求解.
3．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，所以不能构成三角形，故选项A符合题意；
B、，所以能构成三角形，故选项B不符合题意；
C、，所以能构成三角形，故选项C不符合题意；
D、，所以能构成三角形，故选项D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据三角形的三边关系：两条较短边的和大于最长边，进行求解并判断即可．
4．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A，，不可以用平方差公式计算，不符合题意；
B，，可以用平方差公式计算，符合题意；
C，，不可以用平方差公式计算，不符合题意；
D，，不可以用平方差公式计算，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用平方差公式的定义及计算方法（两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的乘积）分析求解即可.
5．【答案】C
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】先根据对顶角相等得，再根据求解即可．
6．【答案】D
【知识点】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A、不能判定任何一组直线平行，A错误；
B、∵，∴，B错误；
C、，不能判定任何一组直线平行，C错误；
D、∵，∴，D正确；
故答案为：D．
【分析】根据内错角相等，两直线平行逐一判断即可．
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟知平行线的性质是解题关键.
根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等可知：∠DEB=∠ACB=60°，再根据三角形内角和定理可得：∠DEF=180°-∠EDF-∠DFE=45°，由角的和差运算可知：∠BEF=∠BED+∠DEF=105°，再根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补可知：∠MFE=180°-∠BEF=75°，最后由角的和差运算可知：∠MFD=∠MFE-∠DFE=30°，由此可得出答案．
8．【答案】A
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵G为三边中线，，的交点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】先根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，得到，，进而根据求解即可．
9．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解；
，
故答案为：．
【分析】根据同底数幂的乘除法进行运算，进而即可求解。
10．【答案】
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】根据积的乘方进行计算求解即可．
11．【答案】16
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，，
，
故答案为：16．
【分析】先根据完全平方公式把式子变形为，再代值计算即可．
12．【答案】
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据两直线平行，同位角相等得到∠FCD，根据两直线平行，内错角相等得到∠ECF，最后根据角的和差关系求解即可．
13．【答案】0
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵a，b，c是三角形的三边长，
∴，
，
，
．
故答案为：0．
【分析】先根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，取绝对值，再进行化简即可．
14．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】整式的混合运算；整数指数幂的运算
【解析】【分析】（1）先根据同底数幂的乘法和积的乘方运算法则计算，再合并同类项即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即可；
（3）先把y-6看成一个整体，根据平方差公式运算，再根据完全平方公式计算求解即可．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
15．【答案】解：
当，时，
原式．
【知识点】多项式除以单项式；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式和多项式除以单项式法则展开化简，再代值计算即可.
16．【答案】证明：∵，，
∴（垂直定义），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴（等量代换）．
故答案为：①垂直定义，②，③同位角相等，两直线平行，④；⑤两直线平行，同位角相等，⑥，⑦两直线平行，内错角相等，⑧等量代换．
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】根据垂直的定义、平行线的性质和判断逐一写出即可．
17．【答案】解：（1）∵∠BAC=80°，∠C=30°，
∴∠B=70°．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=20°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=40°，
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=40°﹣20°=20°；
（2）∵∠B=80°，AD⊥BC，
∴∠BAD=10°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C）=×60°=30°，
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=30°﹣10°=20°；
（3）∠DAE=（∠B﹣∠C）=20°．
理由如下：
∵AD⊥BC，∴∠BAD=90°﹣∠B．
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C），
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠B）=（∠B﹣∠C）=20°．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据三角形的内角和定理求出∠B，进而求出∠BAD，再根据AE平分∠BAC得到∠BAE最后根据角的和差关系求解即可．
（2）先根据三角形的内角和求出∠BAD，再根据AE平分∠BAC和三角形内角和定理求出∠BAE，再根据角的和差关系求解即可．
（3）先根据三角形的内角和求出∠BAD，再根据AE平分∠BAC和三角形内角和定理求出∠BAE，再根据角的和差关系求解即可．
18．【答案】（1）
（2）4，
（3）
（4）
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：
（2）∵，
∴应该取4张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是，
故答案为：4，
（3）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图．则中间正方形D的面积可以表示为，正方形D的边长为，
∴由此可检验的等量关系为，
故答案为：
（4）解：设，
由题意可得，，
则，
∵，
∴，即，
∵，
∴恒成立，
∴，
即，
故答案为：
【分析】（1）根据多项式乘以多项式运算法则求解即可；
（2）根据完全平方公式求解即可；
（3）根据中间正方形面积的两种求法，写出关系式得到等量关系即可；
（4）先求出，，再根据计算求解即可．
19．【答案】20
【知识点】同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：．
故答案为：20．
【分析】根据同底数幂的乘法逆用和幂的乘方的逆用计算求解即可.
20．【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵(ax+b)(2x2 x+2)=2ax3+(2b a)x2+(2a b)x+2b，
又∵展开式中不含x的一次项，且常数项为6，
∴，
解得：，
∴.
故答案为：.
【分析】先根据多项式与多项式相乘的法则展开，再根据展开式中不含x的一次项，且常数项为6列出二元一次方程组，求出a，b，最后代值求解即可．
21．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；分类讨论
【解析】【解答】解：当直角为特征角时，一个锐角的度数为，符合题意；
当锐角为特征角时，则：，
∴，
∴；
故答案为：或．
【分析】分直角为特征角和锐角是特征角两种情况进行求解即可．
22．【答案】
【知识点】偶次方的非负性；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵a-b+c=7，
∴a+c=7+b，
∵ab+bc+b+c2+16=0，
∴b(7+b)+b+c2+16=0，
∴b2+8b+16+c2=0，
∴(b+4)2+c2=0，
∴b=-4，c=0，
∴a=3，
∴=；
故答案为：.
【分析】先根据因式分解和配方法进行变形得到(b+4)2+c2=0，再根据偶次方的非负性质得到a、b、c，最后进行计算即可．
23．【答案】6
【知识点】垂线段最短及其应用；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：过作于，连接，延长交于，如图所示，
、分别是、的中点，
，S△BCD，
=S△BCD，
∴S△BCF==10，
、分别是、的中点，
∴，S△CEF =S△AEF．
∴+S△CEF+S△AEF，
∴，
∴，
，
，
，
线段的最小值是6．
故答案为：6．
【分析】根据三角形的中线等分三角形的两块面积求出S△BCF==10，进而得到，再求出AH求解即可.
24．【答案】（1）1，
（2）解：
，
，
；
，
；
【知识点】整式的加减运算；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：（1）∵，
，
，
，
故答案为：1，；
【分析】（1）根据新定义进行计算求解即可；
（2）①先根据新定义进行计算求出，再代值根据新定义求解即可；
②先根据运算性质进行转化为，，再根据新定义计算求解即可.
（1）解：∵，
，
，
，
故答案为：1，；
（2），
，
；
，
；
．
25．【答案】解：（1）①∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，
∵∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠ABE＝∠ABO＝30°，∠BAE＝∠BAO＝15°，
∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°．
②∠AEB的大小不会发生变化．理由如下：
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠ABE＝∠ABO，∠BAE＝∠BAO，
∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO
＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣×90°＝135°．
(2)∠ABO的度数为60°或45°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）∠ABO的度数为60°或45°．理由如下：
∵∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，
∴∠OAE+∠OAF＝（∠BAO+∠GAO）＝90°，即∠EAF＝90°，
又∵∠BOA＝90°，
∴∠GAO＞90°，
①∵∠E＝∠EAF＝30°，
∠EOQ＝45°，∠OAE+∠E＝∠EOQ＝45°，
∴∠OAE＝15°，
∠OAE＝∠BAO＝（90﹣∠ABO）
∴∠ABO＝60°．
②∵∠F＝3∠E，∠EAF=90°
∴∠E+∠F=90°
∴∠E=22.5°
∴∠EFA=90-22.5°=67.5°
∵∠EOQ＝∠EOM= ∠AOE= 45°，
∴∠BAO＝180°-(180°-45°-67.5°)×2=45°
∴∠ABO=90°-45°=45°.
【分析】（1）①先根据垂直和三角形内角和定理求出∠BAO，再根据角分线的定义求出∠ABE和∠BAE，最后在根据三角形的内角和定理求解即可；
②先根据角分线的定义求出∠ABE和∠BAE，再根据三角形的内角和定理得到AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE，进行计算即可；
（2）先根据角平分线的定义和平角求出∠EAF，再分∠E＝∠EAF和∠F＝3∠E两种情况讨论即可.
26．【答案】（1）①②
（2）解：∵射线自射线的位置开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，
∴设，
，
，
又∵射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转，
∴当秒后，旋转了 即：
，
，
，
∴此时对应的旋转时间的值是秒
（3）解：①∵根据题意有：，
，
在中，，
，
；
②∵的旋转速度要比的旋转速度快，
∴当射线在的左侧时，两条射线和所在直线交于点，如图所示，
，
，
，
，
，
∴在中，，
即：，
，
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）①，
，
故答案为：；
②∵射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转，
∴当秒后，过点时，旋转了，
∴此时，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）①根据两直线平行，同旁内角互补求解即可；
②根据秒后，过点时，旋转了，列出一元一次方程，求解即可；
（2）根据两直线平行，内错角相等得到，根据秒后，过点时，旋转了，列出一元一次方程，求解即可；
（3）①根据三角形的内角和定理列出一元一次方程求解即可；
②先根据角的和差关系得到∠ABP，再根据三角形的内角和定理列出一元一次方程求解即可；
（1）解：①，
，
故答案为：；
②∵射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转，
∴当秒后，过点时，旋转了，
∴此时，
，
，
故答案为：；
（2）解：∵射线自射线的位置开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，
∴设，
，
，
又∵射线自射线开始以每秒的速度绕点沿逆时针方向旋转，
∴当秒后，旋转了 即：
，
，
，
∴此时对应的旋转时间的值是秒；
（3）解：①
∵根据题意有：，
，
在中，，
，
；
②∵的旋转速度要比的旋转速度快，
∴当射线在的左侧时，两条射线和所在直线交于点，如图所示，
，
，
，
，
，
∴在中，，
即：，
，
．
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