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湖北省武汉市硚口区2025年九年级第一次模拟考试数学试题
一、下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1．（2025·硚口模拟）下列四个数最小的是（　　）
A．5 B．1 C．0 D．
2．（2025·硚口模拟）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·硚口模拟）不透明的袋子中只有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出2个球、下列事件是必然事件的是（　　）
A．2个球都是黑球 B．2个球都是白球
C．2个球中有黑球 D．2个球中有白球
4．（2025·硚口模拟）如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·硚口模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·硚口模拟）如图，在中，分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连接，若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·硚口模拟）在生产生活中，经常用到杠杆平衡，其原理为：阻力阻力臂动力动力臂．现已知牛，米，牛，米，则与的函数关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·硚口模拟）四张背面无差别的卡片，正面分别写着数字1，2，3，4．从中随机一次抽取两张卡片，则两张卡片上的数字的和是偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·硚口模拟）如图，是的直径，是的弦，是的中点，，垂足为，若，则的长是（　　）
A．2 B． C．3 D．
10．（2025·硚口模拟）如图，抛物线与轴交于点，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，与轴交于点，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是（　　）
A．18 B．20 C．36 D．24
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·硚口模拟）2025年3月，有3000多名记者报名采访全国两会，数量进一步增长，将数据3000用科学记数法表示是　 　．
12．（2025·硚口模拟）计算的结果是　 　．
13．（2025·硚口模拟）我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记录的二十四节气如图所示，从夏至到冬至“晷长”逐渐变大，相邻两个节气“晷长”变化的量均相同．若秋分的“晷长”是7.5尺，霜降的“晷长”是9.5尺，则小雪的“晷长”是　 　尺．
14．（2025·硚口模拟）如图，两扇相同的窗户从关闭状态．向外推开相同的角度后，形成通风的缝隙，已知米．，则点，之间的距离是　 　米．（参考数据：）
15．（2025·硚口模拟）如图，一块材料的形状是等腰，，，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在边上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长是　 　．
16．（2025·硚口模拟）抛物线（，，是常数，）经过点，下列五个结论：
①抛物线的对称轴是直线；
②若，则抛物线经过两个定点；
③若，则抛物线与轴有且只有一个公共点；
④若点，，在抛物线上，且，则；
⑤若，关于的不等式的解集恰好有5个整数解，则．
其中正确的结论是　 　．（填写序号）
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2025·硚口模拟）求满足不等式组的整数解．
18．（2025·硚口模拟）如图，在中，点，分别在和上，且经过对角线的中点．
（1）求证：；
（2）连接和，请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由）
19．（2025·硚口模拟）学校举行“爱我中华，朗诵经典”班级朗诵比赛，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行分析，把成绩（满分分）分成四个等级（，，，）进行统计，并绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据信息作答：
（1）随机抽取了________名学生，扇形统计图中，________，“等级”所对应的扇形圆心角的大小是________；
（2）补全条形统计图，随机抽取学生的成绩的中位数落在________等级；
（3）如果全校一共有人参加朗诵比赛，根据抽样调查的结果，估计成绩不低于分的人数．
20．（2025·硚口模拟）如图，是的切线，为切点，是直径，是弦，连接，，．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，交于点，连接，若，．
①求的长；
②直接写出的长．
21．（2025·硚口模拟）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过两条．
（1）在图1中，画出的高；
（2）在（1）的基础上，在上画点，连接，使；
（3）在图2中，画；
（4）在（3）的基础上，在上画点，使．
22．（2025·硚口模拟）某超市购入一批进价为40元/箱的牛奶进行销售，销售单价不低于45元，且不高于60元．经市场调查发现：日销售量（箱）与销售单价（元）（为正整数）是一次函数关系，如图所示．
（1）求与的函数关系式；
（2）牛奶销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若日销售利润不少于375元，直接写出所有满足条件的销售单价．
23．（2025·硚口模拟）如图，是四边形的对角线，已知．
（1）如图1，点在的延长线上，若，求证：；
（2）如图2，若，求证：；
（3）如图3，若，，直接写出的值（用含的式子表示）．
24．（2025·硚口模拟）如图1，抛物线交轴于点，（点在点的左边），交轴于点．
（1）直接写出点，，的坐标；
（2）如图2，连接，点在抛物线对称轴上，将线段绕点旋转得到对应线段，若线段的中点恰好在抛物线上，求点的坐标；
（3）如图3，将直线向上平移2个单位长度得到直线，点在直线上，过点画两条不平行于轴的直线，，直线与抛物线仅有一个公共点，直线与抛物线仅有一个公共点，求证：直线经过定点，并求该定点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴是最小的数，
故选A．
【分析】本题主要考查了有理数比较大小，熟知正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．【答案】B
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
3．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A. 2个球都是黑球是不可能事件，不符合题意；
B. 2个球都是白球是随机事件，不符合题意；
C. 2个球中有黑球是随机事件，不符合题意；
D. 2个球中有白球是必然事件，符合题意；
故答案为：D．
【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件. 不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小对每个选项逐一判断求解即可.
4．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看几何体得到的图形是下面一个长方形，上面是一个圆柱体的侧面也是长方形，
故选：B．
【分析】
从正面观察物体得到的图形叫主视图，注意被遮挡住的线要用虚线表示．
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，计算错误，故选项不符合题意；
B．，计算错误，故选项不符合题意；
C．，计算错误，故选项不符合题意；
D．，计算正确，故选项符合题意；
故选：D
【分析】两数和的完全平方等于这两数的平方和加上这两数乘积的2倍；
同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；
同底数幂的除法，底数不变，指数相减；
幂的乘方，底数不变，指数相乘.-
6．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据尺规作图作线段垂线可得，
，平分，
根据垂直平分线性质得，
，
，
是的外角，
即，
，
，
故选D．
【分析】由基本尺规作图知EF垂直平分AB，则DA＝DB，再由等边对等得，再利用三角形外角的性质即可．
7．【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵阻力阻力臂动力动力臂，已知阻力和阻力臂分别是20牛和5米，
∴动力关于动力臂的函数解析式为：，
则，是反比例函数，B选项符合，
故选：B．
【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可．
8．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中两个数字的和为偶数的结果数有4种，
∴这两张卡片上的数字的和为偶数的概率是，
故选：B．
【分析】两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目是否填写数据．
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图所示，连接交于点，
是的中点，
，，
在和中：
，
，
，
设的半径为，则，
则在中：，
即，
解得，
，
故选C．
【分析】由于平分弦的直径垂直这条弦，故连接交于点，则OM垂直平分BC，再利用AAS可证明和全等，则，再设的半径为，则OE可用含r的代数式表示，再在中应用勾股定理即可．
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将代入抛物线，
得或，即，
故抛物线向右每次平移距离为4，
设，，，，，的横坐标分别为，，，，，，
，同时在抛物线和直线上，
即，的横坐标为的根，
，
，
，
直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和．
故选C．
【分析】先利用抛物线上点的坐标特征可得，则抛物线C2是把抛物线C1向右平移4个单位长度得到的，同理抛物线C3是把抛物线C2向右平移4个单位长度得到的，则利用抛物线的平移规律可分别得到抛物线C2、C3的解析式，再分别联立抛物线与直线的解析式可得关于x的一元二次方程，则交点B1、B2的横坐标是方程的两个实数根，再利用一元二次方程根与系数的关系可得其横坐标的和，同理再求出其余四个点的横坐标的和并把结果相加即可．
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】常用科学记数法把一个绝对值较大的数字表示成的形式，其中，取这个数字整数部分数位个数与1的差．
12．【答案】
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】同分母分式的加减运算，分母不变，把分子相加减，再对分子分母分别分解因式并约分，再化结果为最简分式或整式．
13．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设小雪的“晷长”是尺，
相邻两个节气“晷长”变化的量均相同，
，
解得：，
小雪的“晷长”是尺，
故答案为：．
【分析】设小雪的“晷长”是尺，由等量关系“相邻两个节气“晷长”变化的量均相同可得”列方程并求解即可．
14．【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：如图所示，作于点，于点，
则，
，
所以．
故答案为．
【分析】分别作于点，于点构造直角三角形ACE和BDF，再分别解直角三角形求出、的长，再利用线段的和差关系求出CD即可．
15．【答案】
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应三线；等腰三角形的性质-三线合一；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图所示，作于交EF于点K，设EF=x.
∵，
∴
∴，
四边形是正方形，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】
如图，过点A作BC的垂线段AO，设正方形的边长FG=x，则由等腰三角形三线合一结合勾股定理可得AO=4，则EF上的高为4-x，再利用正方形的性质结合三角形相似的预备定理证明，再由相似三角形的性质列式并计算即可．
16．【答案】②③⑤
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①：当时，，
则抛物线经过点，
又抛物线经过点，
抛物线的对称轴是直线，故①错误；
②：当时，抛物线经过点，点，故②正确；
③：若，即抛物线，将点带入抛物线得：，
，
则，
则抛物线与轴有且只有一个公共点，故③正确；
④：如图所示，抛物线的对称轴是直线，
又，
抛物线开口向上，
或者，故④错误；
⑤：抛物线的对称轴是直线，，
，
若关于的不等式的解集恰好有5个整数解，即，，，，；
则当时，，当时，，即，
解得，故⑤正确；
故答案为②③⑤．
【分析】① 由于抛物线总交y轴于点，则由抛物线的对称性知其对称轴为直线；
② 当时，抛物线必经过和两点；
③ 由抛物线上点的坐标特征知，当时，即，则抛物线解析式为，即抛物线的顶点在x轴上；
④由于到对称轴距离越远对应的函数值越大，则抛物线开口向上，则点B到直线的距离大于点A到该直线的距离且小于点C到该直线的距离，故或者 ；
⑤ 若，则且抛物线开口向下，则不等式的5个整数解只能为，，，，，再由二次函数的性质可得当当时、当时，即可得关于c的不等式组并求解即可．
17．【答案】解：解不等式①得：；
解不等式②得：；
不等式组的解集是．
是整数，的取值是，0，1，2，3
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到 ”确定不等式组的解集，再写出满足条件的所有整数解即可．
18．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，．
∵是的中点，
∴．
∴
（2）答：添加，
理由：∵，
，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先由平行四边形的对边平行可得出，，再由中点的概念可利用证明三角形全等即可；
（2）由（1）的结论知AE＝CF，则可证四边形AECF是平行四边形，再由对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判定；当然也可以使AE＝CE，用四条边相等的四边形是菱形进行判定，答案不唯一．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，．
∵是的中点，
∴．
∴．
（2）添加，
理由：∵，
，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
添加，
理由：∵，
，
在中
，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
，
∴四边形是菱形；
添加平分，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
．
∵是的中点，
∴，．
在和中
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
综上所述：添加或或平分（答案不唯一）．
19．【答案】（1）；；
（2）解：由（1）可得：等级的人数为人， 作图可得：
∵总人数为人，
∴中位数为第个人和第个人的成绩平均值，
∴中位数落在等级；
故答案为：B；
（3）解：由题意可得：（人），
答：成绩不低于分的人数为人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由图可得：等级的人数为人，占了总数的，
所以：总人数为：（人）
所以：的人数为：（人）
所以：
所以：所对应的扇形圆心角的大小是：
故答案为：；；
（2）解：因为：总人数为人，
所以：中位数为第个人和第个人的成绩平均值，
所以：中位数落在等级；
故答案为：B；
【分析】本题主要考查条形统计图和扇形统计图的应用，以及数据分析能力。解题的关键在于从扇形统计图和条形统计图中提取有效信息并进行整合。（1）根据等级的人数和其在总体中的占比计算出总人数，求出等级的人数。计算等级在总体中的占比，最后用等级的占比来确定对应的圆心角度数。
(2)在第一问的基础上，利用求得的等级人数绘制相应的条形图。同时根据数据的分布特征确定中位数的位置并计算其数值。
(3)通过总人数乘以分数在分以上的学生所占比例，得出符合条件的学生人数。
（1）解：由图可得：等级的人数为人，占了总数的，
∴总人数为：（人）
∴的人数为：（人）
∴
∴所对应的扇形圆心角的大小是：
故答案为：；；
（2）解：由（1）可得：等级的人数为人， 作图可得：
∵总人数为人，
∴中位数为第个人和第个人的成绩平均值，
∴中位数落在等级；
故答案为：B；
（3）解：由题意可得：（人），
答：成绩不低于分的人数为人．
20．【答案】（1）证明：如图，连接，
是的切线，
，
是的直径，
，
，即，
，
又，，
，
，
，
是的半径，
是的切线
（2）解：①，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
又，
；
【知识点】垂径定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（2）
②垂直平分，
，
，
由（1）得：，
，
，
，
，
，
．
【分析】（1）先由圆周角定理的推论可得，再由平行线的性质可得OP垂直AC，则由垂径定理可得DA＝DC，即OP垂直平分AC，再由线段垂直平分线的性质得PA＝PC，则可利用SSS证明，所以，再由切线的性质与判定即可；
（2）①先由两组对边分别平行可得四边形PCBD是平行四边形，则BC＝PD＝2，再由中位线定理可得OD＝1；
②由切线的性质结合垂径定理可利用AA证，再利用相似比计算即可．
（1）证明：如图，连接，
是的切线，
，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：①，，
四边形是平行四边形，
，
，是的切线，
，
又，
垂直平分，
，
又，
是的中位线，
；
②垂直平分，
，
，
由（1）得：，
，
，
，
，
，
．
21．【答案】（1）解：如图1：线段即为所求．
（2）解：如图1：点G即为所求．
（3）解：如图2：即为所求．
（4）解：如图：点E即为所求．
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质；等腰梯形的性质；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）分别取格点D、E、H，连接DE、BH，BH交AC于点F，则由正方形的性质结合一线三垂直全等模型可得BH垂直DE，即BF垂直AC：
（2）先取格点E、H，则由一线三垂直全等模型可得EH垂直且等于BH，再取EH中点D，连接BD交AC于点G，再由正切的定义即可；
（3）取格点D，则由平行四边形的判定即可；
（4）取格点M，则同勾股定理可得MD＝MC，连接MC交AB于点E，则可判定四边形ADCE是等腰梯形，则DE＝AC．
（1）解：如图1：线段即为所求．
（2）解：如图1：点G即为所求．
（3）解：如图2：即为所求．
（4）解：如图：点E即为所求．
22．【答案】（1）解：设，将，带入解析式，
得：，
解得，
即．
（2）解：设日销售利润为，
则，
易得当销售单价为50元时，该经销商所获日销售利润最大，最大利润是400元．
（3）元、元、元、元、元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（3）解：日销售利润为，
由题意得，即，
化简得，即，
为正整数，
满足条件的销售单价为、、、、．
【分析】
（1）设每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数解析式为，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据“每天利润每件利润每天的销售量”建立方程，可得到利润w是关于x的二次函数，再根据二次函数的增减性即可求解；
（3）根据利润的表达式列不等式，再求这个不等式的正整数解即可．
（1）解：设，将，带入解析式，
得：，
解得，
即．
（2）解：设日销售利润为，
则，
易得当销售单价为50元时，该经销商所获日销售利润最大，最大利润是400元．
（3）解：日销售利润为，
由题意得，即，
化简得，即，
为正整数，
满足条件的销售单价为、、、、．
23．【答案】（1）解：，
，
，
，
又，
，

（2）证明：如图所示，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E.

（3）
【知识点】解直角三角形—边角关系；旋转全等模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】（3）解：如图所示：过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E，再过点D作AB的垂线段DF，连接AC.
、、
、
、
【分析】
（1）由已知可得，再分别由同角的补角相等、同角的余角相等可利用AA证明结论成立；
（2）如图，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E，则由（1）的结论知，则由相似的性质知，解直角三角形可得两三角形的相似比为，即，则等量代换可得，再解直角三角形BDE即可；
（3） 如图所示：过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E，再过点D作AB的垂线段DF，连接AC，先由等腰三角形三线合一可得DF垂直平行AB，再结合已知可得DF平行BC，则，再解直角三角形可得AD与AB的数量关系，再由（1）的结论可得，则由相似的性质等量代换可得，再利用勾股定理可得AC与AB的数量关系，再利用旋转全等模型证，等量代换可得，再由三角形的内角和可得，再利用勾股定理求出BC的长，再解直角三角形即可求得的正切值即可，需要注意的的度数不确定，即k的值可能大于1也可能小于1，因此结果需要带上绝对值符号．
（1）解：，
，
，
，
又，
，
．
（2）解：如图所示，连接，以为半径作圆，
易得点、点在圆上，
四边形为圆内接四边形，
根据同弦所对圆周角相等，设，，，，，，，，，，
如图所示，分别将，，的边长与、、相乘，得：
将上述三个三角形拼接，得：
，
新图形为平行四边形，
，
即，即，
又弦所对圆周角，
，，
，
．
（3）解：
，
如图所示，作等腰三角形，为锐角，，，设，，
则，，
，
，
，
，
根据上述结论，，
则，
如图所示，作矩形，设，
则，
根据上述结论，，
，
，
答：．
24．【答案】（1），，
（2）解：设线段的中点为，如图，
，，
，，
线段绕点旋转得到对应线段，
与关于点对称，
点关于点对称，
，，
抛物线的对称轴为，
，
，解得，
把代入，得，
，
，
；
（3）解：∵，
∴直线解析式为：，
∴平移后直线，
设直线解析式为，直线解析式为，直线解析式为，，，
∵直线与抛物线仅有一个公共点，
∴联立，整理得方程有两等根，
∴，，
∴，，
同理可得，，
联立直线与可得，
解得，
代入可得，
∵在直线上，即
∴，
整理得，
联立与抛物线可得，
整理得
∴，
∴代入得，
整理得，
∴直线解析式为，
∴当时，，即过定点，
∴直线经过定点，该定点的坐标
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象的平移变换；二次函数的对称性及应用；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】
（1）
解：令，则，解得，
，，
令，则，
；
【分析】
（1）由抛物线上点的坐标特征可分别令解一元二次方程，令求出的值即可；
（2）由于线段BC与EF关于点D成中心对称，则BC的中点必然关于点M也中心对称且对称中心为点D，设BC的中点为N，可利用中点坐标公式求出点N的坐标，由于点D在抛物线的对称轴上，则M、N两点的到对称轴的距离相等，即可求出点M的横坐标，又因为点M在抛物线上，再利用抛物线上点的坐标特征可得其纵坐标，再利用中点坐标公式求出点D的坐标即可；
（3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再利用直线平移规律可得直线l的解析式为，再设直线解析式为，直线解析式为，直线解析式为，再联立直线PG与抛物线的解析式可得关于x的一元二次方程，则该方程有两个相等的实数根，即可得点G的坐标，同理可得点H的坐标；由于直线PG与PH都经过点P，则联立两直线的解析式可得P点坐标，再利用直线上点的坐标特征G、H两点横坐标之间的数量关系，再联立直线GH与抛物线的解析式，利用根与系数关系结合前面的结论并整可得直线GH的解析式为，显然当时，即直线GH过定点．
（1）解：令，则，解得，
，，
令，则，
；
（2）解：设线段的中点为，如图，
，，
，，
线段绕点旋转得到对应线段，
与关于点对称，
点关于点对称，
，，
抛物线的对称轴为，
，
，解得，
把代入，得，
，
，
；
（3）解：∵，
∴直线解析式为：，
∴平移后直线，
设直线解析式为，直线解析式为，直线解析式为，，，
∵直线与抛物线仅有一个公共点，
∴联立，整理得方程有两等根，
∴，，
∴，，
同理可得，，
联立直线与可得，
解得，
代入可得，
∵在直线上，即
∴，
整理得，
联立与抛物线可得，
整理得
∴，
∴代入得，
整理得，
∴直线解析式为，
∴当时，，即过定点，
∴直线经过定点，该定点的坐标．
1 / 1湖北省武汉市硚口区2025年九年级第一次模拟考试数学试题
一、下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1．（2025·硚口模拟）下列四个数最小的是（　　）
A．5 B．1 C．0 D．
【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴是最小的数，
故选A．
【分析】本题主要考查了有理数比较大小，熟知正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．（2025·硚口模拟）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
3．（2025·硚口模拟）不透明的袋子中只有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出2个球、下列事件是必然事件的是（　　）
A．2个球都是黑球 B．2个球都是白球
C．2个球中有黑球 D．2个球中有白球
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A. 2个球都是黑球是不可能事件，不符合题意；
B. 2个球都是白球是随机事件，不符合题意；
C. 2个球中有黑球是随机事件，不符合题意；
D. 2个球中有白球是必然事件，符合题意；
故答案为：D．
【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件. 不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小对每个选项逐一判断求解即可.
4．（2025·硚口模拟）如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看几何体得到的图形是下面一个长方形，上面是一个圆柱体的侧面也是长方形，
故选：B．
【分析】
从正面观察物体得到的图形叫主视图，注意被遮挡住的线要用虚线表示．
5．（2025·硚口模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，计算错误，故选项不符合题意；
B．，计算错误，故选项不符合题意；
C．，计算错误，故选项不符合题意；
D．，计算正确，故选项符合题意；
故选：D
【分析】两数和的完全平方等于这两数的平方和加上这两数乘积的2倍；
同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；
同底数幂的除法，底数不变，指数相减；
幂的乘方，底数不变，指数相乘.-
6．（2025·硚口模拟）如图，在中，分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连接，若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据尺规作图作线段垂线可得，
，平分，
根据垂直平分线性质得，
，
，
是的外角，
即，
，
，
故选D．
【分析】由基本尺规作图知EF垂直平分AB，则DA＝DB，再由等边对等得，再利用三角形外角的性质即可．
7．（2025·硚口模拟）在生产生活中，经常用到杠杆平衡，其原理为：阻力阻力臂动力动力臂．现已知牛，米，牛，米，则与的函数关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵阻力阻力臂动力动力臂，已知阻力和阻力臂分别是20牛和5米，
∴动力关于动力臂的函数解析式为：，
则，是反比例函数，B选项符合，
故选：B．
【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可．
8．（2025·硚口模拟）四张背面无差别的卡片，正面分别写着数字1，2，3，4．从中随机一次抽取两张卡片，则两张卡片上的数字的和是偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中两个数字的和为偶数的结果数有4种，
∴这两张卡片上的数字的和为偶数的概率是，
故选：B．
【分析】两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目是否填写数据．
9．（2025·硚口模拟）如图，是的直径，是的弦，是的中点，，垂足为，若，则的长是（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图所示，连接交于点，
是的中点，
，，
在和中：
，
，
，
设的半径为，则，
则在中：，
即，
解得，
，
故选C．
【分析】由于平分弦的直径垂直这条弦，故连接交于点，则OM垂直平分BC，再利用AAS可证明和全等，则，再设的半径为，则OE可用含r的代数式表示，再在中应用勾股定理即可．
10．（2025·硚口模拟）如图，抛物线与轴交于点，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，与轴交于点，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是（　　）
A．18 B．20 C．36 D．24
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将代入抛物线，
得或，即，
故抛物线向右每次平移距离为4，
设，，，，，的横坐标分别为，，，，，，
，同时在抛物线和直线上，
即，的横坐标为的根，
，
，
，
直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和．
故选C．
【分析】先利用抛物线上点的坐标特征可得，则抛物线C2是把抛物线C1向右平移4个单位长度得到的，同理抛物线C3是把抛物线C2向右平移4个单位长度得到的，则利用抛物线的平移规律可分别得到抛物线C2、C3的解析式，再分别联立抛物线与直线的解析式可得关于x的一元二次方程，则交点B1、B2的横坐标是方程的两个实数根，再利用一元二次方程根与系数的关系可得其横坐标的和，同理再求出其余四个点的横坐标的和并把结果相加即可．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·硚口模拟）2025年3月，有3000多名记者报名采访全国两会，数量进一步增长，将数据3000用科学记数法表示是　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】常用科学记数法把一个绝对值较大的数字表示成的形式，其中，取这个数字整数部分数位个数与1的差．
12．（2025·硚口模拟）计算的结果是　 　．
【答案】
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】同分母分式的加减运算，分母不变，把分子相加减，再对分子分母分别分解因式并约分，再化结果为最简分式或整式．
13．（2025·硚口模拟）我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记录的二十四节气如图所示，从夏至到冬至“晷长”逐渐变大，相邻两个节气“晷长”变化的量均相同．若秋分的“晷长”是7.5尺，霜降的“晷长”是9.5尺，则小雪的“晷长”是　 　尺．
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设小雪的“晷长”是尺，
相邻两个节气“晷长”变化的量均相同，
，
解得：，
小雪的“晷长”是尺，
故答案为：．
【分析】设小雪的“晷长”是尺，由等量关系“相邻两个节气“晷长”变化的量均相同可得”列方程并求解即可．
14．（2025·硚口模拟）如图，两扇相同的窗户从关闭状态．向外推开相同的角度后，形成通风的缝隙，已知米．，则点，之间的距离是　 　米．（参考数据：）
【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：如图所示，作于点，于点，
则，
，
所以．
故答案为．
【分析】分别作于点，于点构造直角三角形ACE和BDF，再分别解直角三角形求出、的长，再利用线段的和差关系求出CD即可．
15．（2025·硚口模拟）如图，一块材料的形状是等腰，，，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在边上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长是　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应三线；等腰三角形的性质-三线合一；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图所示，作于交EF于点K，设EF=x.
∵，
∴
∴，
四边形是正方形，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】
如图，过点A作BC的垂线段AO，设正方形的边长FG=x，则由等腰三角形三线合一结合勾股定理可得AO=4，则EF上的高为4-x，再利用正方形的性质结合三角形相似的预备定理证明，再由相似三角形的性质列式并计算即可．
16．（2025·硚口模拟）抛物线（，，是常数，）经过点，下列五个结论：
①抛物线的对称轴是直线；
②若，则抛物线经过两个定点；
③若，则抛物线与轴有且只有一个公共点；
④若点，，在抛物线上，且，则；
⑤若，关于的不等式的解集恰好有5个整数解，则．
其中正确的结论是　 　．（填写序号）
【答案】②③⑤
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①：当时，，
则抛物线经过点，
又抛物线经过点，
抛物线的对称轴是直线，故①错误；
②：当时，抛物线经过点，点，故②正确；
③：若，即抛物线，将点带入抛物线得：，
，
则，
则抛物线与轴有且只有一个公共点，故③正确；
④：如图所示，抛物线的对称轴是直线，
又，
抛物线开口向上，
或者，故④错误；
⑤：抛物线的对称轴是直线，，
，
若关于的不等式的解集恰好有5个整数解，即，，，，；
则当时，，当时，，即，
解得，故⑤正确；
故答案为②③⑤．
【分析】① 由于抛物线总交y轴于点，则由抛物线的对称性知其对称轴为直线；
② 当时，抛物线必经过和两点；
③ 由抛物线上点的坐标特征知，当时，即，则抛物线解析式为，即抛物线的顶点在x轴上；
④由于到对称轴距离越远对应的函数值越大，则抛物线开口向上，则点B到直线的距离大于点A到该直线的距离且小于点C到该直线的距离，故或者 ；
⑤ 若，则且抛物线开口向下，则不等式的5个整数解只能为，，，，，再由二次函数的性质可得当当时、当时，即可得关于c的不等式组并求解即可．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2025·硚口模拟）求满足不等式组的整数解．
【答案】解：解不等式①得：；
解不等式②得：；
不等式组的解集是．
是整数，的取值是，0，1，2，3
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到 ”确定不等式组的解集，再写出满足条件的所有整数解即可．
18．（2025·硚口模拟）如图，在中，点，分别在和上，且经过对角线的中点．
（1）求证：；
（2）连接和，请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由）
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，．
∵是的中点，
∴．
∴
（2）答：添加，
理由：∵，
，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先由平行四边形的对边平行可得出，，再由中点的概念可利用证明三角形全等即可；
（2）由（1）的结论知AE＝CF，则可证四边形AECF是平行四边形，再由对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判定；当然也可以使AE＝CE，用四条边相等的四边形是菱形进行判定，答案不唯一．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，．
∵是的中点，
∴．
∴．
（2）添加，
理由：∵，
，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
添加，
理由：∵，
，
在中
，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
，
∴四边形是菱形；
添加平分，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
．
∵是的中点，
∴，．
在和中
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
综上所述：添加或或平分（答案不唯一）．
19．（2025·硚口模拟）学校举行“爱我中华，朗诵经典”班级朗诵比赛，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行分析，把成绩（满分分）分成四个等级（，，，）进行统计，并绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据信息作答：
（1）随机抽取了________名学生，扇形统计图中，________，“等级”所对应的扇形圆心角的大小是________；
（2）补全条形统计图，随机抽取学生的成绩的中位数落在________等级；
（3）如果全校一共有人参加朗诵比赛，根据抽样调查的结果，估计成绩不低于分的人数．
【答案】（1）；；
（2）解：由（1）可得：等级的人数为人， 作图可得：
∵总人数为人，
∴中位数为第个人和第个人的成绩平均值，
∴中位数落在等级；
故答案为：B；
（3）解：由题意可得：（人），
答：成绩不低于分的人数为人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由图可得：等级的人数为人，占了总数的，
所以：总人数为：（人）
所以：的人数为：（人）
所以：
所以：所对应的扇形圆心角的大小是：
故答案为：；；
（2）解：因为：总人数为人，
所以：中位数为第个人和第个人的成绩平均值，
所以：中位数落在等级；
故答案为：B；
【分析】本题主要考查条形统计图和扇形统计图的应用，以及数据分析能力。解题的关键在于从扇形统计图和条形统计图中提取有效信息并进行整合。（1）根据等级的人数和其在总体中的占比计算出总人数，求出等级的人数。计算等级在总体中的占比，最后用等级的占比来确定对应的圆心角度数。
(2)在第一问的基础上，利用求得的等级人数绘制相应的条形图。同时根据数据的分布特征确定中位数的位置并计算其数值。
(3)通过总人数乘以分数在分以上的学生所占比例，得出符合条件的学生人数。
（1）解：由图可得：等级的人数为人，占了总数的，
∴总人数为：（人）
∴的人数为：（人）
∴
∴所对应的扇形圆心角的大小是：
故答案为：；；
（2）解：由（1）可得：等级的人数为人， 作图可得：
∵总人数为人，
∴中位数为第个人和第个人的成绩平均值，
∴中位数落在等级；
故答案为：B；
（3）解：由题意可得：（人），
答：成绩不低于分的人数为人．
20．（2025·硚口模拟）如图，是的切线，为切点，是直径，是弦，连接，，．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，交于点，连接，若，．
①求的长；
②直接写出的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
是的切线，
，
是的直径，
，
，即，
，
又，，
，
，
，
是的半径，
是的切线
（2）解：①，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
又，
；
【知识点】垂径定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（2）
②垂直平分，
，
，
由（1）得：，
，
，
，
，
，
．
【分析】（1）先由圆周角定理的推论可得，再由平行线的性质可得OP垂直AC，则由垂径定理可得DA＝DC，即OP垂直平分AC，再由线段垂直平分线的性质得PA＝PC，则可利用SSS证明，所以，再由切线的性质与判定即可；
（2）①先由两组对边分别平行可得四边形PCBD是平行四边形，则BC＝PD＝2，再由中位线定理可得OD＝1；
②由切线的性质结合垂径定理可利用AA证，再利用相似比计算即可．
（1）证明：如图，连接，
是的切线，
，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：①，，
四边形是平行四边形，
，
，是的切线，
，
又，
垂直平分，
，
又，
是的中位线，
；
②垂直平分，
，
，
由（1）得：，
，
，
，
，
，
．
21．（2025·硚口模拟）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过两条．
（1）在图1中，画出的高；
（2）在（1）的基础上，在上画点，连接，使；
（3）在图2中，画；
（4）在（3）的基础上，在上画点，使．
【答案】（1）解：如图1：线段即为所求．
（2）解：如图1：点G即为所求．
（3）解：如图2：即为所求．
（4）解：如图：点E即为所求．
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质；等腰梯形的性质；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）分别取格点D、E、H，连接DE、BH，BH交AC于点F，则由正方形的性质结合一线三垂直全等模型可得BH垂直DE，即BF垂直AC：
（2）先取格点E、H，则由一线三垂直全等模型可得EH垂直且等于BH，再取EH中点D，连接BD交AC于点G，再由正切的定义即可；
（3）取格点D，则由平行四边形的判定即可；
（4）取格点M，则同勾股定理可得MD＝MC，连接MC交AB于点E，则可判定四边形ADCE是等腰梯形，则DE＝AC．
（1）解：如图1：线段即为所求．
（2）解：如图1：点G即为所求．
（3）解：如图2：即为所求．
（4）解：如图：点E即为所求．
22．（2025·硚口模拟）某超市购入一批进价为40元/箱的牛奶进行销售，销售单价不低于45元，且不高于60元．经市场调查发现：日销售量（箱）与销售单价（元）（为正整数）是一次函数关系，如图所示．
（1）求与的函数关系式；
（2）牛奶销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若日销售利润不少于375元，直接写出所有满足条件的销售单价．
【答案】（1）解：设，将，带入解析式，
得：，
解得，
即．
（2）解：设日销售利润为，
则，
易得当销售单价为50元时，该经销商所获日销售利润最大，最大利润是400元．
（3）元、元、元、元、元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（3）解：日销售利润为，
由题意得，即，
化简得，即，
为正整数，
满足条件的销售单价为、、、、．
【分析】
（1）设每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数解析式为，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据“每天利润每件利润每天的销售量”建立方程，可得到利润w是关于x的二次函数，再根据二次函数的增减性即可求解；
（3）根据利润的表达式列不等式，再求这个不等式的正整数解即可．
（1）解：设，将，带入解析式，
得：，
解得，
即．
（2）解：设日销售利润为，
则，
易得当销售单价为50元时，该经销商所获日销售利润最大，最大利润是400元．
（3）解：日销售利润为，
由题意得，即，
化简得，即，
为正整数，
满足条件的销售单价为、、、、．
23．（2025·硚口模拟）如图，是四边形的对角线，已知．
（1）如图1，点在的延长线上，若，求证：；
（2）如图2，若，求证：；
（3）如图3，若，，直接写出的值（用含的式子表示）．
【答案】（1）解：，
，
，
，
又，
，

（2）证明：如图所示，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E.

（3）
【知识点】解直角三角形—边角关系；旋转全等模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】（3）解：如图所示：过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E，再过点D作AB的垂线段DF，连接AC.
、、
、
、
【分析】
（1）由已知可得，再分别由同角的补角相等、同角的余角相等可利用AA证明结论成立；
（2）如图，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E，则由（1）的结论知，则由相似的性质知，解直角三角形可得两三角形的相似比为，即，则等量代换可得，再解直角三角形BDE即可；
（3） 如图所示：过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E，再过点D作AB的垂线段DF，连接AC，先由等腰三角形三线合一可得DF垂直平行AB，再结合已知可得DF平行BC，则，再解直角三角形可得AD与AB的数量关系，再由（1）的结论可得，则由相似的性质等量代换可得，再利用勾股定理可得AC与AB的数量关系，再利用旋转全等模型证，等量代换可得，再由三角形的内角和可得，再利用勾股定理求出BC的长，再解直角三角形即可求得的正切值即可，需要注意的的度数不确定，即k的值可能大于1也可能小于1，因此结果需要带上绝对值符号．
（1）解：，
，
，
，
又，
，
．
（2）解：如图所示，连接，以为半径作圆，
易得点、点在圆上，
四边形为圆内接四边形，
根据同弦所对圆周角相等，设，，，，，，，，，，
如图所示，分别将，，的边长与、、相乘，得：
将上述三个三角形拼接，得：
，
新图形为平行四边形，
，
即，即，
又弦所对圆周角，
，，
，
．
（3）解：
，
如图所示，作等腰三角形，为锐角，，，设，，
则，，
，
，
，
，
根据上述结论，，
则，
如图所示，作矩形，设，
则，
根据上述结论，，
，
，
答：．
24．（2025·硚口模拟）如图1，抛物线交轴于点，（点在点的左边），交轴于点．
（1）直接写出点，，的坐标；
（2）如图2，连接，点在抛物线对称轴上，将线段绕点旋转得到对应线段，若线段的中点恰好在抛物线上，求点的坐标；
（3）如图3，将直线向上平移2个单位长度得到直线，点在直线上，过点画两条不平行于轴的直线，，直线与抛物线仅有一个公共点，直线与抛物线仅有一个公共点，求证：直线经过定点，并求该定点的坐标．
【答案】（1），，
（2）解：设线段的中点为，如图，
，，
，，
线段绕点旋转得到对应线段，
与关于点对称，
点关于点对称，
，，
抛物线的对称轴为，
，
，解得，
把代入，得，
，
，
；
（3）解：∵，
∴直线解析式为：，
∴平移后直线，
设直线解析式为，直线解析式为，直线解析式为，，，
∵直线与抛物线仅有一个公共点，
∴联立，整理得方程有两等根，
∴，，
∴，，
同理可得，，
联立直线与可得，
解得，
代入可得，
∵在直线上，即
∴，
整理得，
联立与抛物线可得，
整理得
∴，
∴代入得，
整理得，
∴直线解析式为，
∴当时，，即过定点，
∴直线经过定点，该定点的坐标
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象的平移变换；二次函数的对称性及应用；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】
（1）
解：令，则，解得，
，，
令，则，
；
【分析】
（1）由抛物线上点的坐标特征可分别令解一元二次方程，令求出的值即可；
（2）由于线段BC与EF关于点D成中心对称，则BC的中点必然关于点M也中心对称且对称中心为点D，设BC的中点为N，可利用中点坐标公式求出点N的坐标，由于点D在抛物线的对称轴上，则M、N两点的到对称轴的距离相等，即可求出点M的横坐标，又因为点M在抛物线上，再利用抛物线上点的坐标特征可得其纵坐标，再利用中点坐标公式求出点D的坐标即可；
（3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再利用直线平移规律可得直线l的解析式为，再设直线解析式为，直线解析式为，直线解析式为，再联立直线PG与抛物线的解析式可得关于x的一元二次方程，则该方程有两个相等的实数根，即可得点G的坐标，同理可得点H的坐标；由于直线PG与PH都经过点P，则联立两直线的解析式可得P点坐标，再利用直线上点的坐标特征G、H两点横坐标之间的数量关系，再联立直线GH与抛物线的解析式，利用根与系数关系结合前面的结论并整可得直线GH的解析式为，显然当时，即直线GH过定点．
（1）解：令，则，解得，
，，
令，则，
；
（2）解：设线段的中点为，如图，
，，
，，
线段绕点旋转得到对应线段，
与关于点对称，
点关于点对称，
，，
抛物线的对称轴为，
，
，解得，
把代入，得，
，
，
；
（3）解：∵，
∴直线解析式为：，
∴平移后直线，
设直线解析式为，直线解析式为，直线解析式为，，，
∵直线与抛物线仅有一个公共点，
∴联立，整理得方程有两等根，
∴，，
∴，，
同理可得，，
联立直线与可得，
解得，
代入可得，
∵在直线上，即
∴，
整理得，
联立与抛物线可得，
整理得
∴，
∴代入得，
整理得，
∴直线解析式为，
∴当时，，即过定点，
∴直线经过定点，该定点的坐标．
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