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湖北省武汉市九年级2025年中考数学模拟试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1．（2025·武汉模拟）的倒数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数是．
故选：A．
【分析】
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数．
2．（2025·武汉模拟）“MATH”是“数学”的英文，其中是中心对称的字母是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、没有中心对称点，不是中心对称图形，不符合题意；
B、没有中心对称点，不是中心对称图形，不符合题意；
C、没有中心对称点，不是中心对称图形，不符合题意；
D、有中心对称点，是中心对称图形，符合题意；
故选：D ．
【分析】中心对称是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转1后，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形就关于这个点成中心对称，这个点被称为对称中心．
3．（2025·武汉模拟）小明同学将篮球投进篮筐是（　　）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定事件
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：小明同学将篮球投进篮筐是随机事件，
故选：C．
【分析】事件的分类，在一定条件下必然发生的事件叫必然事件，同样地，在一定条件下必然不会发生的事件叫不可能事件，必然事件和不可能事件都属于确定事件；反之，在一定条件可能发生也可能不发生的事件叫随机事件．
4．（2025·武汉模拟）图中圆锥体的投影是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】正投影
【解析】【解答】解：圆锥体的投影是，
故选：C ．
【分析】圆椎的投影是圆．
5．（2025·武汉模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项正确，符合题意；
C、，原选项计算错误，不符合题意；
D、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：B ．
【分析】同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；
幂的乘方，指数不变，指数相乘；
两数和的完全平方，等于这两数的平方和加上这两数乘积的2倍．
6．（2025·武汉模拟）老师让小武同学随意配制两种溶液，实验室现有氯化钠、硝酸钾、硝酸钠、氯化铵这四种溶质，若在配制溶液时需将所有溶质溶解，则小武同学配制的两种溶液恰为氯化钠溶液和硝酸钠溶液的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：分别用表示氯化钠、硝酸钾、硝酸钠、氯化铵这四种溶质，列表把所有等可能结果表示如下，
共有12种等可能结果，其中是氯化钠溶液和硝酸钠溶液的结果为，共2种，
∴小武同学配制的两种溶液恰为氯化钠溶液和硝酸钠溶液的概率是，
故选：A ．
【分析】两步试验可利用列表法或画树状图法求概率，列表时注意对角线栏目是否填写数据，画树状图时注意不重复不遗漏．
7．（2025·武汉模拟）如图为某同学用计算机中的一个绘图软件画出的反比例函数图象，若此函数图象经过点，则当纵坐标为时x的值是（　　）
A． B．1 C． D．5
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：反比例函数图象经过点，
∴反比例函数解析式为，
∴当时，，
故选：C ．
【分析】由双曲线上点的坐标特征知，同一双曲线上任意两点的横、纵坐标的乘积相等．
8．（2025·武汉模拟）如图所示，在平面中和分别与直线相切，的直径为4，的直径为6，做直线与相切于点A且平行于直线l，直线与相切于点B且平行于直线l，若线段与直线的夹角恰为，则两圆心的距离是（　　）
A．9 B． C． D．10
【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接并延长交直线l于点C，连接并延长交直线l于点D，过点A作于点E，过点P作于点F，连接，
根据题意可得，，，
∴、是矩形，
∴，
∴，
又∵线段与直线的夹角恰为，
∴，
∴，
又∵，，
∴
∴，
故选：C．
【分析】由于切线垂直于过切点的直径，可连接并延长交直线l于点C，连接并延长交直线l于点D，再过点A作于点E，过点P作于点F，连接，则由平行线的性质结合矩形的判定可得四边形、都是矩形，再利用矩形的性质可得BE、DF、OF的长，再解直角三角形可得AE的长，即PF的长可得，最后再利用勾股定理求出PQ长即可．
9．（2025·武汉模拟）如图在中，，在上取一点，使，为中点，与交于点，若，，则的长度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
∵，
∴，
∵点是中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点作，交于点，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，即，
设，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得，，
∴，
故选：C ．
【分析】由直角三角形两锐角互余可得，则过点E作AD的垂线段EG，由等腰三角形三线合一可得AG等于DG等于AD的一半，再借助已知可得AG等于BD的一半等于、，再解直角三角形可得，再由勾股定理可得；又已知点E是AC的四等分点，则过点E作AB的平行线交CD于点H，则由相似三角形的预备定理可得，由相似经可得EH的长，同理可得，再由相似比可得BF与EF的比值，即求出BF在BE中的占比即可．
10．（2025·武汉模拟）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【知识点】探索规律-点的坐标规律；探索规律-函数上点的规律；中心对称的性质
【解析】【解答】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加，
∴，
∴，
∴，而即，
∵，
当时，，即，
∵关于点中心对称的点为，
即当时，，
∴，
故选：D．
【分析】
观察点的坐标特征，由于点A1和A19的横坐标和的2倍恰好是2，即这两点关于点中心对称 ，则其纵坐标的和为0，即y1+y19=0，同理有：y2+y18=0、y3+y17=0、y4+y16=0、y9+y11=0，即所求代数式可转化为y10+y20，再由函数图象上点的坐标特征知、，则由中心对称的性质可得，即原式的值等于1．
二、填空题（共18分，每小题3分，共6题）下列各题不需要写出解答过程，请直接将结果填写在答题卡指定的位置．
11．（2025·武汉模拟）随着经济发展和城市化推进，武汉市人口将继续增长，据预测2025年武汉市常住人口达到1400万人，将数据1400万用科学记数法表示是　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1400万用科学记数法表示是，
故答案为：．
【分析】
常用科学记数法把一个绝对值较大的数字表示成的形式，其中，取这个数字整数部分数位个数与1的差．
12．（2025·武汉模拟）计算的结果是　 　．
【答案】
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
，
故答案为： ．
【分析】分式的加减运算，先通分化异分母分式为同分母分式并进行加法运算，再对分子进行整式的加减运算，若分子分解因式后与分母有公因式，还需要约分并化结果为最简分式或整式即可．
13．（2025·武汉模拟）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，抛物线与轴交于一点，则该点坐标是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：抛物线与轴交于点，顶点坐标为，
∴设二次函数解析式为，
把点代入得，，
解得，，
∴二次函数解析式为，
当时，，
∴抛物线与轴交于一点，则该点坐标是，
故答案为： ．
【分析】先利用顶点式求出抛物线的解析式，再令求得对应的函数值即可．
14．（2025·武汉模拟）如图，电流表是测量电流必不可少的工具，把指针旋转中心计为点，针尖计为点，指针顺时针旋转某一度数，针尖为点，连接，若，，则指针的长度是　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：根据题意可得，，如图所示，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴指针的长度是，
故答案为： ．
【分析】由于，则有，再利用等腰三角形三线合一性过点作于点构造直角三角形OBC，则BC等于AB的一半，再解直角三角形分别求出OC、OB即可．
15．（2025·武汉模拟）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；费马点模型
【解析】【解答】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
当点四点共线且时，取得最小值，
∵四边形是正方形，边长为，绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为： ．
【分析】
如图所示，
将绕点顺时针旋转得到，连接，则可证是等边三角形，则可转化为，此时再过点作，交于点，显然当点四点共线且时，取得最小值，此时再利用矩形的判定与性质求出FG，并解直角三角形求出A`F即可．
16．（2025·武汉模拟）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若，则关于x的一元二次方程 无实数解；
④点，在抛物线上，若，，总有，则．
其中正确的是　 　（填写序号）．
【答案】②③④
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线经过（-1，1），（m，1）两点，且．
∴对称轴为直线：， ，
∵，
∴，故①错误，
∵，∴m-(-1)>0-(-1)，即m-(-1)>1，
∴（-1，1），（m，1）两点之间距离大于
又∵
∴时，
∴若，则，故②正确；
由①得，
∴，即，
当时，抛物线解析式为
设顶点纵坐标为：
∵抛物线经过（-1，1），
∴
∴
∴
∵，，对称轴为直线，
∴当时，t取得最大值为2，而，
∴关于x的一元二次方程 无解，故③正确；
由a<0可知抛物线开口向下，点，在抛物线上， ，，总有，
∵，
∴点离较远，
∴对称轴
解得：，故④正确．
故答案为：②③④．
【分析】根据对称性求出抛物线的对称轴，进面可得，即可判断①，根据（-1，1），（m，1)两点之间的距离大于1，即可判断②，根据抛物线经过(-1，1)得出c=b+2，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值，即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴满足的不等式组，解不等式组，即可求解．
三、解答题（共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17．（2025·武汉模拟）求满足不等式组的所有整数解之积．
【答案】解：解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
∴整数解为，
∴所有整数解之积为
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再求出满足条件的所有整数解并进行有理数的乘法运算即可．
18．（2025·武汉模拟）如图，在等边中过顶点作，为上任意一点，连，将绕点逆时针旋转，点对应点为点．
（1）求证：；
（2）连接，请添加一个与线段相关的条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由）
【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵将绕点逆时针旋转，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴
（2）添加条件：（答案不唯一）
【知识点】等边三角形的性质；菱形的判定；旋转的性质；旋转全等模型
【解析】【解答】（2）解：如图所示，
添加条件：，
由（1）的证明可得，，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形，
∴添加条件：（答案不唯一）．
【分析】（1）直接利用旋转全等模型证明即可；
（2）由等腰三角形三线合一知AD垂直平分BC，则CE＝BE；再由四条边相等的四边形是菱形知，只需使AE＝CE，则由旋转的性质结合全等三角形的对应边相等可得CF＝BE＝CE＝AE＝AF，即四边形AECF是菱形；当然也可使AF＝CF，再利用对角线互相垂直平分来判定四边形AECF是菱形，所以答案不唯一．
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵将绕点逆时针旋转，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）解：如图所示，
添加条件：，
由（1）的证明可得，，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形，
∴添加条件：（答案不唯一）．
19．（2025·武汉模拟）为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮次，投中一次计分．随机抽取名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表．
测试成绩频数分布表
成绩/分 频数
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出，的值和样本的众数；
（2）若该校九年级有名学生参加测试，估计得分超过分的学生人数．
【答案】（1），，众数为分
（2）解：（人）
答：该校九年级有名学生参加测试，估计得分超过分的学生人数为人.
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：依题意，（人），（人），（人），
∴，
∴，
∵分的人数为个，出现次数最多，
∴众数为分，
【分析】
（1）观察频数分布表与扇形统计图，可根据成绩为分的人数除以占比，求得的值；根据成绩为分的人数的占比，求得，进而求得，即可得出的值；
（2）用样本估计总体，可根据得分超过分的学生的占比乘以即可．
（1）解：依题意，（人），（人），（人），
∴，
∴，
∵分的人数为个，出现次数最多，
∴众数为分，
（2）解：（人）
答：该校九年级有名学生参加测试，估计得分超过分的学生人数为人.
20．（2025·武汉模拟）如图，在中半径，连接，C为平面内一点，连接，，连接并延长交于点D．
（1）求证：为的半径；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴为的半径
（2）解：过点作于点，则，
∵在中半径，，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由等角对等边得OC＝OA即可；
（2）如图：
由圆周角定理可得，再利用已知可得，则；再由等腰直角三角形判定与性质可得，则可过点作于点构造直角三角形，再利用线段的和差关系求出OD，再分别解直角三角形依次求得DE、BD即可．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴为的半径；
（2）解：过点作于点，则，
∵在中半径，，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
21．（2025·武汉模拟）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
（1）在图（1）中，画射线交于点D，使平分的面积；
（2）在（1）的基础上，在射线上画点E，使；
（3）在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转到点C，再画射线交于点G；
（4）在（3）的基础上，将线段绕点G旋转，画对应线段（点A与点M对应，点B与点N对应）．
【答案】（1）解：如图，取格点E，连接AE交BC于点D，则射线即为所求作；
（2）解：如图，分别取格点M、N、G，再连接MN交BG于点F，再连接CF交AG于点E，则点E即为作求作；
（3）解：如图，先取格点F作射线AF交BC于点G，则点F，G即为所求作；
（4）解：如图，分别取格点D、E、P、Q，再分别连接DE交BC于点M、连接PQ交AG于点N，连接MN，则线段MN即为所求作．
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；同侧一线三垂直全等模型；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】（1）由于中线等分三角形面积，可取格点E，连接AE交BC于点D，则四边形ABEC是平行四边形，则射线即为所求作；
（2）分别取格点M、N、G，连接MN、BG，设MN交BG于点F，则由正方形的中心对称性可得MN垂BC，由于点D平分BC，即MN垂直平分BC，则连接CF交AG于点E，由线段垂直平分线的性质定理结合平行四边形的性质可得CB平分；
（3）取格点F，由勾股定理结合一线三垂直全等模型可证，再由全等三角形的性质可得AF＝FC、；
（4）分别取格点D、E、P、Q，连接DE交BC于点M，则DE平行AG，由平行线分线段成比例定理可得BG＝MG，同理再连接PQ交AG于点N，则AG＝NG，连接MN，则由倍长中线构造全等模型可得，则线段MN即为所求作．
（1）如图，作线段，使四边形是矩形，交于点D，做射线，点D即为所求作；
（2）如图，作，作于点Q，连接交于点E，点E即为作求作；
（3）如图，在下方取点F，使，连接，连接并延长，交于点G，点F，G即为所求作；
（4）如图，作，交射线于点M，作，交于点N，连接，线段即为所求作．
22．（2025·武汉模拟）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以，两种农作物为原料开发了一种有机产品，原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过元（是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．
【答案】解：（1）设原料单价为元，则原料单价为元．依题意，得．
解得，，．
经检验，是原方程的根．
∴每盒产品的成本为：（元）．
答：每盒产品的成本为30元．
（2）
；
（3）最大利润为16000元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】
（3）∵抛物线的对称轴为=70，开口向下
∴当时，a=70时有最大利润，此时w=16000，即每天的最大利润为16000元；
当时，每天的最大利润为元．
【分析】
（1）设原料单价为元，则原料单价为元．然后由相等关系“用900元收购原料会比用900元收购原料少”列分式方程并求解即可；
（2）由题意知，每天的销量为，单件利润为元，再由题意列函数解析式并整理即可；
（3）由（2）知w是关于x的二次函数且二次项系数为负，即w有最大值，再利用二次函数的性质求出这个最大值即可．
23．（2025·武汉模拟）问题背景 如图（1），在矩形中，E为上一点，F为上一点，且，求证：．
问题探究 如图（2），以为边作等边，G点在的延长线上，当的时候，求与的面积之比．
问题拓展 如图（3），G在的延长线上，连接，当，，时直接写出的长度．
【答案】解：（1）∵在矩形，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图：过F作，过G作，
设，则，
∵等边，
∴，，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）
【知识点】等边三角形的性质；矩形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，解得：，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）根据矩形的性质和垂直的定义结合同角的余角相等，可利用AA证明结论成立；
（2）如图所示：
为便于计算，可设，则，由等边三角形的性质结合已知可得，此时可过点F作EG的垂线段FH，解直角三角形可得FH、EH的长，再利用勾股定理可得GH的长，即等边三角形AEG的边长可得，再过点G作AE的垂线段GK，则利用等边三角形三线合一再解直角三角形可得GK的长，由于等边三角形在三边长相等，则与的面积比转化为FH与GK的比并计算即可；
过F作，过G作，；根据等边三角形的性质和垂直的定义可得，再运用勾股定理可得然后根据等边三角形的性质以及勾股定理可得，最后代入面积公式求解即可；
（3）先解可得CG的长，再利用已知可得FC的长，再解可得与的相似比为，则AD、DE的长均可得，即AB、BG的长可得，再利用勾股定理求出AG即可．
24．（2025·武汉模拟）抛物线交轴于，两点（在的右边），交轴于点．
（1）直接写出点，，的坐标；
（2）如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点作直线，交y轴于点．若平分线段，求点的坐标；
（3）如图（2），点与原点关于点对称，过原点的直线交抛物线于，两点（点在轴下方），线段交抛物线于另一点，连接．若，求直线的解析式．
【答案】（1），，
（2）解：设直线的解析式为
将，代入得，
解得：
∴直线的解析式为
∵
设直线的解析式为
∵在第三象限的抛物线上
设，
∴
∴
∴
设的中点为，则
由，，设直线的解析式为，
将代入得，
，
解得：
∴直线的解析式为，
∵平分线段，
∴在直线上，
∴
解得：（舍去）
当时，
∴；
（3）解：如图所示，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∴
∴
∴
∴
即
∵点与原点关于点对称，
∴，
设直线的解析式为，直线的解析式为
联立直线与抛物线解析式可得，，
即
联立直线与抛物线解析式可得，
即
设，，
∴，，，
∴
，
∵
∴，
将代入得：
∴，
∴，
∴直线解析式为．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：由，
当时，，则
当，
解得：
∵在的右边
∴，，
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征分别令x=0，y=0，代入解析式，解方程即可求出答案.
（2）设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得直线的解析式为，根据直线平行性质设直线的解析式为，设，将点P坐标代入直线解析式，解方程可得，设的中点为，则，设直线的解析式为，根据待定系数法将点B坐标代入直线解析式可得直线的解析式为，根据平分线段，则的中点在直线上，将点的坐标代入直线解析式，即可求出答案.
（3）过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为，根据相似三角形判定定理可得，则，即，根据关于原点对称的点的坐标特征可得，设直线的解析式为，直线的解析式为，联立直线与抛物线解析式可得，联立直线与抛物线解析式可得即，设，，据一元二次方程根与系数的关系，得出，，，可得，代入，化简后得出，即，即可求出答案.
（1）解：由，
当时，，则
当，
解得：
∵在的右边
∴，，
（2）解：设直线的解析式为
将，代入得，
解得：
∴直线的解析式为
∵
设直线的解析式为
∵在第三象限的抛物线上
设，
∴
∴
∴
设的中点为，则
由，，设直线的解析式为，
将代入得，
，
解得：
∴直线的解析式为，
∵平分线段，
∴在直线上，
∴
解得：（舍去）
当时，
∴；
（3）解：如图所示，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∴
∴
∴
∴
即
∵点与原点关于点对称，
∴，
设直线的解析式为，直线的解析式为
联立直线与抛物线解析式可得，，
即
联立直线与抛物线解析式可得，
即
设，，
∴，，，
∴
，
∵
∴，
将代入得：
∴，
∴，
∴直线解析式为．
1 / 1湖北省武汉市九年级2025年中考数学模拟试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1．（2025·武汉模拟）的倒数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·武汉模拟）“MATH”是“数学”的英文，其中是中心对称的字母是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·武汉模拟）小明同学将篮球投进篮筐是（　　）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定事件
4．（2025·武汉模拟）图中圆锥体的投影是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·武汉模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·武汉模拟）老师让小武同学随意配制两种溶液，实验室现有氯化钠、硝酸钾、硝酸钠、氯化铵这四种溶质，若在配制溶液时需将所有溶质溶解，则小武同学配制的两种溶液恰为氯化钠溶液和硝酸钠溶液的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·武汉模拟）如图为某同学用计算机中的一个绘图软件画出的反比例函数图象，若此函数图象经过点，则当纵坐标为时x的值是（　　）
A． B．1 C． D．5
8．（2025·武汉模拟）如图所示，在平面中和分别与直线相切，的直径为4，的直径为6，做直线与相切于点A且平行于直线l，直线与相切于点B且平行于直线l，若线段与直线的夹角恰为，则两圆心的距离是（　　）
A．9 B． C． D．10
9．（2025·武汉模拟）如图在中，，在上取一点，使，为中点，与交于点，若，，则的长度是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·武汉模拟）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（　　）
A． B． C．0 D．1
二、填空题（共18分，每小题3分，共6题）下列各题不需要写出解答过程，请直接将结果填写在答题卡指定的位置．
11．（2025·武汉模拟）随着经济发展和城市化推进，武汉市人口将继续增长，据预测2025年武汉市常住人口达到1400万人，将数据1400万用科学记数法表示是　 　．
12．（2025·武汉模拟）计算的结果是　 　．
13．（2025·武汉模拟）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，抛物线与轴交于一点，则该点坐标是　 　．
14．（2025·武汉模拟）如图，电流表是测量电流必不可少的工具，把指针旋转中心计为点，针尖计为点，指针顺时针旋转某一度数，针尖为点，连接，若，，则指针的长度是　 　．
15．（2025·武汉模拟）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是　 　．
16．（2025·武汉模拟）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若，则关于x的一元二次方程 无实数解；
④点，在抛物线上，若，，总有，则．
其中正确的是　 　（填写序号）．
三、解答题（共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17．（2025·武汉模拟）求满足不等式组的所有整数解之积．
18．（2025·武汉模拟）如图，在等边中过顶点作，为上任意一点，连，将绕点逆时针旋转，点对应点为点．
（1）求证：；
（2）连接，请添加一个与线段相关的条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由）
19．（2025·武汉模拟）为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮次，投中一次计分．随机抽取名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表．
测试成绩频数分布表
成绩/分 频数
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出，的值和样本的众数；
（2）若该校九年级有名学生参加测试，估计得分超过分的学生人数．
20．（2025·武汉模拟）如图，在中半径，连接，C为平面内一点，连接，，连接并延长交于点D．
（1）求证：为的半径；
（2）若，，求的长度．
21．（2025·武汉模拟）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
（1）在图（1）中，画射线交于点D，使平分的面积；
（2）在（1）的基础上，在射线上画点E，使；
（3）在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转到点C，再画射线交于点G；
（4）在（3）的基础上，将线段绕点G旋转，画对应线段（点A与点M对应，点B与点N对应）．
22．（2025·武汉模拟）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以，两种农作物为原料开发了一种有机产品，原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过元（是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．
23．（2025·武汉模拟）问题背景 如图（1），在矩形中，E为上一点，F为上一点，且，求证：．
问题探究 如图（2），以为边作等边，G点在的延长线上，当的时候，求与的面积之比．
问题拓展 如图（3），G在的延长线上，连接，当，，时直接写出的长度．
24．（2025·武汉模拟）抛物线交轴于，两点（在的右边），交轴于点．
（1）直接写出点，，的坐标；
（2）如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点作直线，交y轴于点．若平分线段，求点的坐标；
（3）如图（2），点与原点关于点对称，过原点的直线交抛物线于，两点（点在轴下方），线段交抛物线于另一点，连接．若，求直线的解析式．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数是．
故选：A．
【分析】
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数．
2．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、没有中心对称点，不是中心对称图形，不符合题意；
B、没有中心对称点，不是中心对称图形，不符合题意；
C、没有中心对称点，不是中心对称图形，不符合题意；
D、有中心对称点，是中心对称图形，符合题意；
故选：D ．
【分析】中心对称是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转1后，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形就关于这个点成中心对称，这个点被称为对称中心．
3．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：小明同学将篮球投进篮筐是随机事件，
故选：C．
【分析】事件的分类，在一定条件下必然发生的事件叫必然事件，同样地，在一定条件下必然不会发生的事件叫不可能事件，必然事件和不可能事件都属于确定事件；反之，在一定条件可能发生也可能不发生的事件叫随机事件．
4．【答案】C
【知识点】正投影
【解析】【解答】解：圆锥体的投影是，
故选：C ．
【分析】圆椎的投影是圆．
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项正确，符合题意；
C、，原选项计算错误，不符合题意；
D、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：B ．
【分析】同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；
幂的乘方，指数不变，指数相乘；
两数和的完全平方，等于这两数的平方和加上这两数乘积的2倍．
6．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：分别用表示氯化钠、硝酸钾、硝酸钠、氯化铵这四种溶质，列表把所有等可能结果表示如下，
共有12种等可能结果，其中是氯化钠溶液和硝酸钠溶液的结果为，共2种，
∴小武同学配制的两种溶液恰为氯化钠溶液和硝酸钠溶液的概率是，
故选：A ．
【分析】两步试验可利用列表法或画树状图法求概率，列表时注意对角线栏目是否填写数据，画树状图时注意不重复不遗漏．
7．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：反比例函数图象经过点，
∴反比例函数解析式为，
∴当时，，
故选：C ．
【分析】由双曲线上点的坐标特征知，同一双曲线上任意两点的横、纵坐标的乘积相等．
8．【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接并延长交直线l于点C，连接并延长交直线l于点D，过点A作于点E，过点P作于点F，连接，
根据题意可得，，，
∴、是矩形，
∴，
∴，
又∵线段与直线的夹角恰为，
∴，
∴，
又∵，，
∴
∴，
故选：C．
【分析】由于切线垂直于过切点的直径，可连接并延长交直线l于点C，连接并延长交直线l于点D，再过点A作于点E，过点P作于点F，连接，则由平行线的性质结合矩形的判定可得四边形、都是矩形，再利用矩形的性质可得BE、DF、OF的长，再解直角三角形可得AE的长，即PF的长可得，最后再利用勾股定理求出PQ长即可．
9．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
∵，
∴，
∵点是中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点作，交于点，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，即，
设，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得，，
∴，
故选：C ．
【分析】由直角三角形两锐角互余可得，则过点E作AD的垂线段EG，由等腰三角形三线合一可得AG等于DG等于AD的一半，再借助已知可得AG等于BD的一半等于、，再解直角三角形可得，再由勾股定理可得；又已知点E是AC的四等分点，则过点E作AB的平行线交CD于点H，则由相似三角形的预备定理可得，由相似经可得EH的长，同理可得，再由相似比可得BF与EF的比值，即求出BF在BE中的占比即可．
10．【答案】D
【知识点】探索规律-点的坐标规律；探索规律-函数上点的规律；中心对称的性质
【解析】【解答】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加，
∴，
∴，
∴，而即，
∵，
当时，，即，
∵关于点中心对称的点为，
即当时，，
∴，
故选：D．
【分析】
观察点的坐标特征，由于点A1和A19的横坐标和的2倍恰好是2，即这两点关于点中心对称 ，则其纵坐标的和为0，即y1+y19=0，同理有：y2+y18=0、y3+y17=0、y4+y16=0、y9+y11=0，即所求代数式可转化为y10+y20，再由函数图象上点的坐标特征知、，则由中心对称的性质可得，即原式的值等于1．
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1400万用科学记数法表示是，
故答案为：．
【分析】
常用科学记数法把一个绝对值较大的数字表示成的形式，其中，取这个数字整数部分数位个数与1的差．
12．【答案】
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
，
故答案为： ．
【分析】分式的加减运算，先通分化异分母分式为同分母分式并进行加法运算，再对分子进行整式的加减运算，若分子分解因式后与分母有公因式，还需要约分并化结果为最简分式或整式即可．
13．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：抛物线与轴交于点，顶点坐标为，
∴设二次函数解析式为，
把点代入得，，
解得，，
∴二次函数解析式为，
当时，，
∴抛物线与轴交于一点，则该点坐标是，
故答案为： ．
【分析】先利用顶点式求出抛物线的解析式，再令求得对应的函数值即可．
14．【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：根据题意可得，，如图所示，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴指针的长度是，
故答案为： ．
【分析】由于，则有，再利用等腰三角形三线合一性过点作于点构造直角三角形OBC，则BC等于AB的一半，再解直角三角形分别求出OC、OB即可．
15．【答案】
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；费马点模型
【解析】【解答】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
当点四点共线且时，取得最小值，
∵四边形是正方形，边长为，绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为： ．
【分析】
如图所示，
将绕点顺时针旋转得到，连接，则可证是等边三角形，则可转化为，此时再过点作，交于点，显然当点四点共线且时，取得最小值，此时再利用矩形的判定与性质求出FG，并解直角三角形求出A`F即可．
16．【答案】②③④
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线经过（-1，1），（m，1）两点，且．
∴对称轴为直线：， ，
∵，
∴，故①错误，
∵，∴m-(-1)>0-(-1)，即m-(-1)>1，
∴（-1，1），（m，1）两点之间距离大于
又∵
∴时，
∴若，则，故②正确；
由①得，
∴，即，
当时，抛物线解析式为
设顶点纵坐标为：
∵抛物线经过（-1，1），
∴
∴
∴
∵，，对称轴为直线，
∴当时，t取得最大值为2，而，
∴关于x的一元二次方程 无解，故③正确；
由a<0可知抛物线开口向下，点，在抛物线上， ，，总有，
∵，
∴点离较远，
∴对称轴
解得：，故④正确．
故答案为：②③④．
【分析】根据对称性求出抛物线的对称轴，进面可得，即可判断①，根据（-1，1），（m，1)两点之间的距离大于1，即可判断②，根据抛物线经过(-1，1)得出c=b+2，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值，即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴满足的不等式组，解不等式组，即可求解．
17．【答案】解：解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
∴整数解为，
∴所有整数解之积为
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再求出满足条件的所有整数解并进行有理数的乘法运算即可．
18．【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵将绕点逆时针旋转，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴
（2）添加条件：（答案不唯一）
【知识点】等边三角形的性质；菱形的判定；旋转的性质；旋转全等模型
【解析】【解答】（2）解：如图所示，
添加条件：，
由（1）的证明可得，，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形，
∴添加条件：（答案不唯一）．
【分析】（1）直接利用旋转全等模型证明即可；
（2）由等腰三角形三线合一知AD垂直平分BC，则CE＝BE；再由四条边相等的四边形是菱形知，只需使AE＝CE，则由旋转的性质结合全等三角形的对应边相等可得CF＝BE＝CE＝AE＝AF，即四边形AECF是菱形；当然也可使AF＝CF，再利用对角线互相垂直平分来判定四边形AECF是菱形，所以答案不唯一．
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵将绕点逆时针旋转，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）解：如图所示，
添加条件：，
由（1）的证明可得，，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形，
∴添加条件：（答案不唯一）．
19．【答案】（1），，众数为分
（2）解：（人）
答：该校九年级有名学生参加测试，估计得分超过分的学生人数为人.
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：依题意，（人），（人），（人），
∴，
∴，
∵分的人数为个，出现次数最多，
∴众数为分，
【分析】
（1）观察频数分布表与扇形统计图，可根据成绩为分的人数除以占比，求得的值；根据成绩为分的人数的占比，求得，进而求得，即可得出的值；
（2）用样本估计总体，可根据得分超过分的学生的占比乘以即可．
（1）解：依题意，（人），（人），（人），
∴，
∴，
∵分的人数为个，出现次数最多，
∴众数为分，
（2）解：（人）
答：该校九年级有名学生参加测试，估计得分超过分的学生人数为人.
20．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴为的半径
（2）解：过点作于点，则，
∵在中半径，，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由等角对等边得OC＝OA即可；
（2）如图：
由圆周角定理可得，再利用已知可得，则；再由等腰直角三角形判定与性质可得，则可过点作于点构造直角三角形，再利用线段的和差关系求出OD，再分别解直角三角形依次求得DE、BD即可．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴为的半径；
（2）解：过点作于点，则，
∵在中半径，，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
21．【答案】（1）解：如图，取格点E，连接AE交BC于点D，则射线即为所求作；
（2）解：如图，分别取格点M、N、G，再连接MN交BG于点F，再连接CF交AG于点E，则点E即为作求作；
（3）解：如图，先取格点F作射线AF交BC于点G，则点F，G即为所求作；
（4）解：如图，分别取格点D、E、P、Q，再分别连接DE交BC于点M、连接PQ交AG于点N，连接MN，则线段MN即为所求作．
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；同侧一线三垂直全等模型；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】（1）由于中线等分三角形面积，可取格点E，连接AE交BC于点D，则四边形ABEC是平行四边形，则射线即为所求作；
（2）分别取格点M、N、G，连接MN、BG，设MN交BG于点F，则由正方形的中心对称性可得MN垂BC，由于点D平分BC，即MN垂直平分BC，则连接CF交AG于点E，由线段垂直平分线的性质定理结合平行四边形的性质可得CB平分；
（3）取格点F，由勾股定理结合一线三垂直全等模型可证，再由全等三角形的性质可得AF＝FC、；
（4）分别取格点D、E、P、Q，连接DE交BC于点M，则DE平行AG，由平行线分线段成比例定理可得BG＝MG，同理再连接PQ交AG于点N，则AG＝NG，连接MN，则由倍长中线构造全等模型可得，则线段MN即为所求作．
（1）如图，作线段，使四边形是矩形，交于点D，做射线，点D即为所求作；
（2）如图，作，作于点Q，连接交于点E，点E即为作求作；
（3）如图，在下方取点F，使，连接，连接并延长，交于点G，点F，G即为所求作；
（4）如图，作，交射线于点M，作，交于点N，连接，线段即为所求作．
22．【答案】解：（1）设原料单价为元，则原料单价为元．依题意，得．
解得，，．
经检验，是原方程的根．
∴每盒产品的成本为：（元）．
答：每盒产品的成本为30元．
（2）
；
（3）最大利润为16000元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】
（3）∵抛物线的对称轴为=70，开口向下
∴当时，a=70时有最大利润，此时w=16000，即每天的最大利润为16000元；
当时，每天的最大利润为元．
【分析】
（1）设原料单价为元，则原料单价为元．然后由相等关系“用900元收购原料会比用900元收购原料少”列分式方程并求解即可；
（2）由题意知，每天的销量为，单件利润为元，再由题意列函数解析式并整理即可；
（3）由（2）知w是关于x的二次函数且二次项系数为负，即w有最大值，再利用二次函数的性质求出这个最大值即可．
23．【答案】解：（1）∵在矩形，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图：过F作，过G作，
设，则，
∵等边，
∴，，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）
【知识点】等边三角形的性质；矩形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，解得：，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）根据矩形的性质和垂直的定义结合同角的余角相等，可利用AA证明结论成立；
（2）如图所示：
为便于计算，可设，则，由等边三角形的性质结合已知可得，此时可过点F作EG的垂线段FH，解直角三角形可得FH、EH的长，再利用勾股定理可得GH的长，即等边三角形AEG的边长可得，再过点G作AE的垂线段GK，则利用等边三角形三线合一再解直角三角形可得GK的长，由于等边三角形在三边长相等，则与的面积比转化为FH与GK的比并计算即可；
过F作，过G作，；根据等边三角形的性质和垂直的定义可得，再运用勾股定理可得然后根据等边三角形的性质以及勾股定理可得，最后代入面积公式求解即可；
（3）先解可得CG的长，再利用已知可得FC的长，再解可得与的相似比为，则AD、DE的长均可得，即AB、BG的长可得，再利用勾股定理求出AG即可．
24．【答案】（1），，
（2）解：设直线的解析式为
将，代入得，
解得：
∴直线的解析式为
∵
设直线的解析式为
∵在第三象限的抛物线上
设，
∴
∴
∴
设的中点为，则
由，，设直线的解析式为，
将代入得，
，
解得：
∴直线的解析式为，
∵平分线段，
∴在直线上，
∴
解得：（舍去）
当时，
∴；
（3）解：如图所示，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∴
∴
∴
∴
即
∵点与原点关于点对称，
∴，
设直线的解析式为，直线的解析式为
联立直线与抛物线解析式可得，，
即
联立直线与抛物线解析式可得，
即
设，，
∴，，，
∴
，
∵
∴，
将代入得：
∴，
∴，
∴直线解析式为．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：由，
当时，，则
当，
解得：
∵在的右边
∴，，
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征分别令x=0，y=0，代入解析式，解方程即可求出答案.
（2）设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得直线的解析式为，根据直线平行性质设直线的解析式为，设，将点P坐标代入直线解析式，解方程可得，设的中点为，则，设直线的解析式为，根据待定系数法将点B坐标代入直线解析式可得直线的解析式为，根据平分线段，则的中点在直线上，将点的坐标代入直线解析式，即可求出答案.
（3）过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为，根据相似三角形判定定理可得，则，即，根据关于原点对称的点的坐标特征可得，设直线的解析式为，直线的解析式为，联立直线与抛物线解析式可得，联立直线与抛物线解析式可得即，设，，据一元二次方程根与系数的关系，得出，，，可得，代入，化简后得出，即，即可求出答案.
（1）解：由，
当时，，则
当，
解得：
∵在的右边
∴，，
（2）解：设直线的解析式为
将，代入得，
解得：
∴直线的解析式为
∵
设直线的解析式为
∵在第三象限的抛物线上
设，
∴
∴
∴
设的中点为，则
由，，设直线的解析式为，
将代入得，
，
解得：
∴直线的解析式为，
∵平分线段，
∴在直线上，
∴
解得：（舍去）
当时，
∴；
（3）解：如图所示，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∴
∴
∴
∴
即
∵点与原点关于点对称，
∴，
设直线的解析式为，直线的解析式为
联立直线与抛物线解析式可得，，
即
联立直线与抛物线解析式可得，
即
设，，
∴，，，
∴
，
∵
∴，
将代入得：
∴，
∴，
∴直线解析式为．
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