资源简介

(共17张PPT)
21.3.1　矩形
第2课时
达标组　夯基础
进阶组　提能力
培优组　育素养
达标组　夯基础
知识点1　矩形的判定
1.(2025·平顶山质检)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.添加下列条件,
不能判定四边形ABCD是矩形的为( )
A.AB⊥BC　　　　　　　 B.AC=BD
C.∠BAD+∠BCD=180° D.CD=AD
2.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD,∠OAD=55°,则∠OBA的
度数为( )
A.35° B.40° C.45° D.50°
D
A
3.如图,四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,且AC=8,BD=6,点E,F,G,H分别为边
AB,BC,CD,DA的中点,则四边形EFGH的面积是_______.
　12　
4.(2024·长春中考)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,O是边AB的中点,∠AOD=∠BOC.求证:四边形ABCD是矩形.
【解析】∵O是边AB的中点,∴OA=OB,
在△AOD和△BOC中,,
∴△AOD≌△BOC,∴AD=BC,
∵∠A=∠B=90°,∴AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠A=90°,∴四边形ABCD是矩形.
知识点2　矩形的性质和判定的综合应用
5.如图, ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,△ABO是等边三角形,若AC=8,则平行
四边形ABCD的面积是( )
A.16 B.4
C.8 D.16
6.如图,点D,E,F分别是Rt△ABC三边的中点,∠C=90°,EF=3,DE=5,则BC的长为
______.
D
　8　
7.(2025·北京期中)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点B作BE⊥CD于点E,延长CD到点F,使DF=CE,连接AF.
(1)求证:四边形ABEF是矩形;
(2)连接OF,若AB=7,DE=3,∠ADF=45°,求OF和OD的长度.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD.
∵DF=CE,∴DF+DE=CE+ED,
即FE=CD.∴AB=FE,AB∥FE.
∴四边形ABEF是平行四边形,
又∵BE⊥CD,∴∠BEF=90°.∴四边形ABEF是矩形.
(2)∵四边形ABEF是矩形,
∴∠AFC=90°,AB=FE,BE=AF,
∵AB=7,DE=3,∴FD=4.
∵FD=CE,∴CE=4.
∴FC=11.
在Rt△AFD中,∠AFD=90°.
∵∠ADF=45°,
∴AF=FD=4.
∴BE=AF=4,
在Rt△BDE中,BD==5,
∴OD=BD=,
在Rt△AFC中,∠AFC=90°.
∴AC===.
∵点O是平行四边形ABCD对角线的交点,
∴O为AC中点,
∵在Rt△AFC中,∠AFC=90°,
∴OF=AC=.
进阶组　提能力
8.如图,在平行四边形ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添
加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是( )
A.MB=MO B.OM=AC
C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND
9.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延长
线于点E,已知∠A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是_________.
B
　2　
10.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6.P为边AB上一动点,作PD⊥BC于点D,
PE⊥AC于点E,则DE的最小值为_________.
　3　
11.如图,四边形ABCD中,AD=6 cm,BC=12 cm,∠A=∠B=90°,动点E从点A出发,以
1 cm/s的速度沿AD向点D运动,同时,动点F从点C出发,以2 cm/s的速度沿CB向点B
运动,设运动时间为t s.
(1)当t=______时,四边形CDEF为平行四边形.
(2)当t=______时,四边形ABFE为矩形.
　2　
　4　
培优组　育素养
12.(推理能力、抽象能力、模型观念)(2025·泰州质检)如图,在△ABC中,O是边AC上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,交∠ACB的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)用圆规在图中画出点F;
(2)连接CF,若CE=12,CF=5,求OC的长;
(3)连接AE,AF,当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形 请说明理由.
【解析】(1)以点O为圆心,OE为半径,画弧交MN于点F,则点F即为所求,连接CF,如图,
(2)如图,
∵MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACD的平分线于点F,
∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠FCD,
∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠FCD=180°,∴∠OCE+∠OCF=∠ECF=90°,
∵MN∥BC,∴∠OEC=∠BCE,∠FCD=∠OFC,
∴∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC,
∴EO=CO,FO=CO,∴OE=OF,
在Rt△ECF中,∠ECF=90°,CE=12,CF=5,∴EF===13,
∴OC=EF=6.5;
(3)当点O在边AC上运动到AC中点时,四边形AECF是矩形,
理由如下:连接AE,AF,如图,
当O为AC的中点时,AO=CO,
由(2)可知,EO=FO,
∴四边形AECF是平行四边形,
由(2)可知,∠ECF=90°,
∴平行四边形AECF是矩形.

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21.2.1　平行四边形及其性质
第2课时
达标组　夯基础
进阶组　提能力
培优组　育素养
达标组　夯基础
知识点1　利用平行四边形的性质进行计算和证明
1.如图,在 ABCD中,点E,点F在对角线AC上.要使△ABE≌△CDF,可添加的条件为
( )
A.BE=DF B.AF=CE
C.∠BAE=∠DCF D.∠CAD=∠ACB
2.(2025·长春质检)如图, ABCD的对角线交于点O,且它们的和是32,CD=4,则
△AOB的周长为_______.
B
　20　
3.如图,已知 ABCD的对角线AC,BD交于点O,EF过点O且与AB,CD分别相交于点E,F.
(1)求证:OE=OF;
(2)若∠FEB=90°,BE=6,BD=13,求EF的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD,OA=OC,∴∠EAO=∠FCO,
在△AOE和△COF中,
,
∴△AOE≌△COF(ASA),∴OE=OF.
(2)在 ABCD中,OB=OD=BD=6.5,
在Rt△BOE中,∠BEO=90°,OB=6.5,BE=6,由勾股定理知:
OE===2.5,由(1)知,OE=OF,故EF=2OE=5.
知识点2　平行四边形的面积
4.如图,在 ABCD中,E为边BC延长线上一点,连接AE,DE.若AD=2,CE=4,△ADE的
面积为4,则 ABCD和△ABE的面积分别为( )
A.4,12 B.4,8
C.2,8 D.8,12
5.(2025·上海期中)平行四边形一组邻边长4 cm和8 cm,其中一边上的高是5 cm,则
另一边上的高是___________.
D
　2.5 cm　
6.如图,在 ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,BD⊥AD,AB=10,AD=8,求OB的长度及 ABCD的面积.
【解析】在 ABCD中,BC=AD=8,
AD∥BC,∵BD⊥AD,AB=10,
∴BD===6.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=BD=3,S ABCD=AD·BD=8×6=48.
知识点3　平行线间的距离
7.已知直线a,b,c在同一平面内,且a∥b∥c,a与b的距离为5 cm,b与c的距离为2 cm,
则a与c的距离是( )
A.3 cm B.7 cm
C.3 cm或7 cm D.以上都不对
8.如图,直线AB,CD被直线EF所截,AB∥CD,EG⊥CD于点G,∠EFG=45°,FG=6 cm,
则AB与CD间的距离为______cm.
C
　6　
9.(2025·上饶质检)如图,在 ABCD中,AD=5,BE=8,△DCE的面积为6,求△ABE的面积.
【解析】如图,作DG⊥BE于点G,AH⊥BC于点H,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,BC=AD=5,∴AH=DG.
∵BE=8,∴CE=3,
∵△DCE的面积为6,∴DG·CE=6,
∴DG=4,∴AH=DG=4,
∴S△ABE=BE·AH=×8×4=16.
进阶组　提能力
10.在 ABCD中,AC与BD相交于点O,则下列结论不一定成立的是( )
①S△ADO=S△ABO;
②△ADB≌△CBD;
③∠BAD=2∠BAC;
④AC=BD.
A.①③ B.①② C.③④ D.②③
11.如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥DC交其延长线于点F,若AE=4,AF=6,且
ABCD的周长为40,则 ABCD的面积为( )
A.24 B.36 C.40 D.48
C
D
12.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC=60°,AB=1,点D在BC边上,以AC为对角线的
ADCE中,当DE的长最小时, ADCE的面积为_____.
　
13.如图,m和n是两条相互平行的直线,画出和△ABC面积相等的平行四边形和梯形.
【解析】∵m和n是两条相互平行的直线,
∴三角形的高、平行四边形的高和梯形的高都相等,
∵三角形的底边长为8,
∴画出底为4的平行四边形,上底和下底的和为8的梯形,如图所示:
(梯形只要满足上底和下底的和为8即可)
培优组　育素养
14.(推理能力、模型观念)【感知】如图①,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线EF分别交边AD,BC于点E,F,易证:OE=OF(不需要证明);
【探究】如图②,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线EF分别交边BA,DC的延长线于E,F,求证:OE=OF;
【应用】连接图②中的DE,BF,其他条件不变,如图③,若AB=2AE,△AOE的面积为1,则四边形BEDF的面积为_______.
【解析】【探究】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,OA=CO,
∴∠OAE=∠OCF,∠E=∠F,
在△AOE和△COF中,
∴△AOE≌△COF(AAS),
∴OE=OF;
【应用】∵AB=2AE,
∴S△AOB=2S△AOE=2,
∴S△BOE=3,
∵OB=OD,
∴S△EOD=S△BOE=3,∴S△DEB=6,
由【探究】知△AOE≌△COF,
∴S△COF=S△AOE=1,同理,S△DFB=6,∴S四边形BEDF=12.
答案:12
本课结束(共17张PPT)
21.3.2　菱形
第1课时
达标组　夯基础
进阶组　提能力
培优组　育素养
达标组　夯基础
知识点1　菱形的性质
1.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,连接OE.若OE=3,则
菱形的边长为( )
A.6 B.8
C.10 D.12
2.在菱形ABCD中,∠ABC=66°,则∠BAC=________.
A
　57°　
3.(2025·西宁中考)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为E,
连接OE.若BD=6,OE=,则菱形ABCD的面积是_________.
4.(2025·福建中考)如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,EF过点O且与边AB,CD
分别相交于点E,F.若OA=2,OD=1,则△AOE与△DOF的面积之和为______.
　6　
　1　
5.(2025·泸州中考)如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边AB,BC上的点,且AE=CF.求证:AF=CE.
【证明】∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,
∵AE=CF,
∴AB-AE=BC-CF,即BE=BF,
在△ABF和△CBE中,
,
∴△ABF≌△CBE(SAS),∴AF=CE.
知识点2　菱形性质的实际应用
6.(2025·武汉期中)乐乐家有一个“中国结”挂饰.他想求两对边间的距离,于是利用
所学的知识抽象出如图所示的菱形ABCD,测得BD=12 cm,∠DAB=60°,直线EF过
点O且与AB垂直,分别与AB,CD交于E,F,则EF的长为( )
A.6 cm B.4 cm
C.10 cm D.4 cm
A
7.(2025·南宁期中)2014年“壮族三月三”被列入国家级非物质文化遗产名录并成为广西法定公众假日,这天在南宁民歌湖举办主题活动,人们身着绚丽的壮锦服饰载歌载舞.其中壮锦披肩十分夺目,上面由一个个彩色丝线绣成的菱形图案组成.小邕的壮锦披肩,图案为菱形.如图,若菱形ABCD中已知两条对角线相交于点O,其中∠BAD=60°,菱形ABCD的周长为24 cm.
(1)求对角线BD的长;
(2)小邕制作菱形ABCD需要多少平方厘米的布料
(裁剪缝边除外).
【解析】(1)∵菱形ABCD的周长为24 cm,
∴AB=AD=6 cm,
∵∠BAD=60°,
∴△ABD为等边三角形,∴BD=6 cm;
(2)∵四边形ABCD是菱形,BD=6 cm,
∴BO=DO=3 cm,
∴AO==3 cm,∴AC=6 cm,
∵AC⊥BD,∴菱形面积为×6×6=18(cm2).
答:制作菱形ABCD需要18 cm2的布料.
进阶组　提能力
8.(2025·绥化中考)如图,在菱形ABCD中,AB=4,对角线BD=4,点P是边CD的中点,
点M是对角线BD上的一个动点,连接PM,CM,则PM+CM
的最小值是_________.
9.(2025·常德期中)如图,某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性,图中
的菱形ABCD是该型号千斤顶的示意图,保持菱形边长不变,可通过改变AC的长
来调节BD的长.已知AB=30 cm,BD的初始长为30 cm,如果要使BD的长达到36 cm,
那么AC的长需要缩短______________cm.
　2　
　(30-48)　
10.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=40°,连接AC,以
点A为圆心,AC长为半径作弧,交直线AD于点E,连接CE,则∠AEC的度数是
_____________.
　10°或80°　
11.如图,AC是菱形ABCD的对角线.
(1)作边AB的垂直平分线,分别与AB,AC交于点E,F(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,连接FB,若∠D=140°,求∠CBF的度数.
【解析】(1)
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ABC=∠D=140°,AB=CB,
∴∠BAC=∠BCA=×(180°-140°)=20°,
∵MN垂直平分AB,
∴AF=BF,∴∠ABF=∠BAC=20°,
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=120°.
培优组　育素养
12.(推理能力、几何直观、模型观念)【问题情境】(1)数学探究课上,某兴趣小组探究含60°角的菱形的性质.如图1,菱形ABCD的边长为4,∠ABC=60°,则∠ABD=_______,BD=_______.
【操作发现】(2)如图2,在图1的基础上,小贤在菱形ABCD的对角线BD上任取一点P(点P不与点B重合),以AP为边向右侧作菱形APEF,且∠APE=60°,连接DF.求证:△ABP≌△ADF;
【拓展延伸】(3)在(2)中,随着点P位置的改变,其他条件不变,∠BDF的度数是否发生变化 若不变,求出∠BDF的度数;若变化,请说明理由.
【解析】(1)连接AC交BD于点O,如图所示:
∵菱形ABCD的边长为4,∠ABC=60°,
∴∠ABD=∠ABC=30°,AC⊥BD,AB=4,BO=DO,
∴AO=AB=×4=2,
∴BO===6,
∴BD=2BO=12;
答案:30°　12
(2)∵四边形ABCD,APEF是菱形,
∴AB=AD,AD∥BC,AP=AF,AF∥PE,
∴∠BAD+∠ABC=180°,∠APE+∠PAF=180°,
∵∠ABC=60°,∠APE=60°,
∴∠BAD=∠PAF=120°,
∴∠BAD-∠PAD=∠PAF-∠PAD,
∴∠BAP=∠DAF,
∴△ABP≌△ADF(SAS);
(3)∠BDF的大小不变,且∠BDF=60°,理由如下:
∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴AB=AD,∠ABD=30°,
∴∠ABD=∠ADB=30°,
∵△ABP≌△ADF,
∴∠ABD=∠ADF=30°,
∴∠BDF=∠ADB+∠ADF=30°+30°=60°.
故∠BDF的大小不变,且∠BDF=60°.
本课结束(共18张PPT)
21.1.2　多边形及其内角和
达标组　夯基础
进阶组　提能力
培优组　育素养
达标组　夯基础
知识点1　多边形的定义及有关概念
1.下列说法正确的是( )
A.由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫作多边形
B.多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角
C.各个角都相等、各条边都相等的多边形是正多边形
D.连接多边形的两个顶点的线段,叫作多边形的对角线
2.如图,将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDGF,则该六边形的
周长一定比原五边形的周长_______.(填“大”或“小”)
C
　小　
3.(2025·昆明期中)过七边形一个顶点可以引出的对角线将多边形分成了______个
三角形,这个多边形共有_______条对角线.
　5　
　14　
知识点2　多边形的内角和与外角和
4.(2025·甘肃中考)如图,一个多边形纸片的内角和为1 620°,按图示的剪法剪去一
个内角后,所得新多边形的边数为( )
A.12　　　 B.11　　　
C.10　　　 D.9
5.(2024·西藏中考)已知正多边形的一个外角为60°,则这个正多边形的内角和为
( )
A.900° B.720°
C.540° D.360°
A
B
6.(2025·兰州中考)图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案,图2是其局部放大示
意图,由正六边形、正方形和正三角形构成,它的轮廓为正十二边形,则图2中
∠ABC的大小是( )
A.90° B.120°
C.135° D.150°
7.(2025·吉林中考)如图,正五边形ABCDE的边AB,DC的延长线交于点F,则∠F的
大小为_______度.
D
　36　
8.(2025·贵港期中)阅读小东和小兰的对话,解决下列问题.
(1)①这个“多加的锐角”是_______度.
②小东求的是几边形的内角和
(2)若这是个正多边形,则这个正多边形的一个内角是多少度
(3)小东将一个正六边形与一个正八边形按如图所示的位置摆放,顶点A,B,C,D四点在同一条直线上,F为公共顶点,试求∠EFG的度数.
【解析】(1)①由题意知,多边形的内角和为180°(n-2),是180°的整数倍,
1 100°÷180°=6……20°,
∴这个“多加的锐角”是20°.
答案:20
②由题意知,180°(n-2)=1 080°,
解得:n=8,
∴小东求的是八边形的内角和.
(2)由题意知,这个正多边形的一个内角是=135°;
(3)∵∠GFC和∠FCD所在图形为正八边形,
∴∠GFC=∠FCD==135°,
∴∠FCB=180°-∠FCD=180°-135°=45°,
∵∠EFB和∠ABF所在图形为正六边形,
∴∠EFB=∠ABF==120°,
∴∠FBC=180°-∠ABF=60°,
由三角形的内角和得:∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=180°-60°-45°=75°,
∴∠EFG=360°-∠EFB-∠GFC-∠BFC
=360°-120°-135°-75°=30°.
进阶组　提能力
9.(2025·廊坊质检)将一个多边形的所有对角线画出来,会形成如图所示的图案,则
这个多边形是( )
A.八边形 B.七边形
C.六边形 D.五边形
10.如图,是正n边形纸片的一部分,其中l,m是正n边形两条边的一部分,若l,m所在
的直线相交形成的锐角为60°,则n的值是( )
A.5 B.6
C.8 D.10
D
B
11.(2025·淮安中考)如图,直线a∥b,正六边形ABCDEF的顶点A,C分别在直线a,b
上,若∠1=40°,则∠2的度数是( )
A.15° B.20° C.30° D.40°
B
12.已知一个多边形纸片的内角和比外角和多540°.
(1)求这个多边形的边数.
(2)将此多边形裁去一个角,直接写出它的边数与外角和.
(3)若这个多边形是正多边形,通过计算说明:每个内角比相邻的外角大还是小 大或小多少度
【解析】(1)设这个多边形的边数为n.根据题意得,(n-2)·180°=360°+540°,解得n=7.
答:这个多边形的边数是7.
(2)七边形裁去一个角,它的边数可以是6或7或8,外角和仍然是360°.
(3)若这个多边形是正七边形,则每个内角为=()°,相邻的外角是()°,则()°-()°=()°,
∴每个内角比相邻的外角大,大()°.
培优组　育素养
13.(几何直观、推理能力、模型观念)(2025·青岛期末)【建立模型】如图1,在∠A内部有一点P,连接BP,CP,求证:∠P=∠1+∠A+∠2;
【尝试应用】如图2,利用上面的结论,直接写出五角星中,∠A+∠B+∠C+∠D
+∠E=_______度;
【拓展创新】如图3,将五角星截去一个角后多出一个角,求∠A+∠B+∠C+∠D+
∠E+∠G的度数.
【提升思维】如图4,将五角星的每个角都截去,则一共得
到10个角,则这10个角的和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F
+∠G+∠H+∠I+∠J的度数是_______度.
【解析】建立模型:延长BP交AC于点M,如图1所示:
由三角形外角性质得:∠BPC=∠1+∠PMC,∠PMC=∠A+∠2,
∴∠BPC=∠1+∠A+∠2;
尝试应用:设BD与CE相交于点N,如图2所示:
由“建立模型”得:∠CND=∠A+∠C+∠D,
∵∠BNE=∠CND,∴∠BNE=∠A+∠C+∠D,
在△BEN中,∠BNE+∠B+∠E=180°,
∴∠A+∠C+∠D+∠B+∠E=180°.
答案:180
拓展创新:延长CA与DG的延长线相交于点K,如图3所示:
∵∠CAG=180°-∠KAG,∠DGA=180°-∠KGA,
∴∠CAG+∠DGA=360°-(∠KAG+∠KGA),
在△KAG中,∠KAG+∠KGA=180°-∠K,
∴∠CAG+∠DGA=360°-(180°-∠K)=180°+∠K,
由“尝试应用”得:∠K+∠B+∠C+∠D+∠E=180°,
∴∠CAG+∠B+∠C+∠D+∠E+∠DGA
=∠CAG+∠DGA+∠B+∠C+∠D+∠E
=180°+∠K+∠B+∠C+∠D+∠E
=180°+180°=360°;
提升思维:由“拓展创新”得:当五角星截去一个角后多出一个角时,此时所有角的和的度数比五角星的内角和多出180°,
∴当五角星截去五个角后多出五个角,此时所有角的和的度数为:180°+5×180°=1 080°.
答案:1 080

本课结束(共17张PPT)
21.3.3　正方形
第1课时
达标组　夯基础
进阶组　提能力
培优组　育素养
达标组　夯基础
知识点1　正方形的性质
1.如图,边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合,
点C的坐标是( )
A.(3,-3) B.(-3,3)
C.(3,3) D.(-3,-3)
2.(2024·福建中考)如图,正方形ABCD的面积为4,点E,F,G,H分别为边AB,BC,
CD,AD的中点,则四边形EFGH的面积为______.
C
　2　
3.(2025·浙江中考)【问题背景】
如图所示,某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分),点E在对角线BD上.
【数学理解】
(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成,请写出△ABE≌△CBE的证明过程.
(2)若裁剪过程中满足DE=DA,求“机翼角”∠BAE的度数.
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CB,∠ABD=∠CBD,
又∵BE=BE,
∴△ABE≌△CBE(SAS);
(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=90°,∠ADB=45°,
∵DE=DA,∴∠DAE=∠DEA,
∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°,
∴∠DAE=∠DEA=67.5°,
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5°.
知识点2　正方形中的折叠问题
4.(2025·青岛质检)如图,在正方形ABCD中,AB=9,G是BC的中点.将△ABG沿AG对
折至△AFG,延长GF交DC于点E,则DE的长是( )
A.2 B.3
C.4 D.5
5.如图,正方形ABCD中,AB=3,点M,N分别在AD,BC上,将正方形沿直线MN翻折,使
点B落在CD上的点E处.当点E为CD的中点时,
则△CEN的面积是_____.
B
　
知识点3　正方形中的最值问题
6.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点P是BC上任意一点,PE⊥BD于
点E,PF⊥AC于点F,若AC=2,则EF的长的最小值为( )
A.2 B.1
C. D.
7.如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的动点,M,N分别是
EF,AF的中点,则MN的最大值为( )
A.2 B.
C. D.
B
B
进阶组　提能力
8.如图,将一块边长为12 cm正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的E点,使
DE=5,折痕为PQ,则PQ的长为( )
A.12 B.13
C.5 D.5
9.七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具,某同学用边长为4 dm的正方形纸
板制作了一副七巧板(如图),由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边
形组成.则图中阴影部分的面积为______dm2.
B
　2　
10.(2025·长沙中考)如图,正方形ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,且BE=DF.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形;
(2)连接EF,若BC=12,BE=5,求EF的长.
【解析】(1)在正方形ABCD中,AB=CD,AB∥CD,
∵BE=DF,
∴AB-BE=CD-DF,
∴AE=CF,
又∵AB∥CD,
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)过点E作EH⊥CD于点H,如图所示:
∴∠EHC=∠EHF=90°,
∵四边形ABCD是正方形,BC=12,
∴AB=BC=CD=AD=12,∠B=∠BCD=90°,
∴∠EHC=∠B=∠BCD=90°,
∴四边形EBCH是矩形,
∴EH=BC=12,CH=BE=5,
∴DH=CD-CH=12-5=7,
∵BE=DF=5,∴HF=DH-DF=7-5=2,
在Rt△EFH中,由勾股定理得:EF===2.
培优组　育素养
11.(抽象能力、推理能力、模型观念)(2025·攀枝花中考)如图1,正方形ABCD的边长为2.E,F分别为边BC,CD上的动点,△CEF的周长为4,G是CB延长线上的一点,且GB=DF.
(1)求证:AG⊥AF;
(2)试问∠EAF的大小是否为定值,如果是,请求出该定值;如果不是,请说明理由;
(3)如图2,若M为边BC的中点,过点A作AH⊥EF,垂足为H.连接MH,求MH的最小值.
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠ABC=∠BAD=∠D=90°,
∴∠ABG=90°,
∴∠ABG=∠D=90°,
在△ABG和△ADF中,
,
∴△ABG≌△ADF(SAS),∴∠BAG=∠DAF,
∴∠BAG+∠BAF=∠DAF+∠BAF,
∴∠GAF=∠BAD=90°,∴AG⊥AF;
(2)∵△CEF的周长为4,
∴CF+CE+EF=4,
∵正方形ABCD的边长为2,
∴BC=CD=2,
∴BC+CD=4,
∴CF+CE+EF=BC+CD=BE+CE+CF+DF,
∴EF=BE+DF,
∵GB=DF,
∴EF=BE+DF=BE+GB=EG,
由(1)得△ABG≌△ADF,∠GAF=90°,
∴AG=AF,
在△AEG和△AEF中,
,
∴△AEG≌△AEF(SSS),
∴∠EAG=∠EAF,
∴∠EAG=∠FAG=×90°=45°,
∴∠EAF的大小是定值,定值为45°;
(3)连接AM,
∵正方形ABCD的边长为2,
∴AB=BC=2,∠ABC=90°,
∴AB是△AEG的高,
∵AH⊥EF,
∴AH是△AEF的高,
由(2)得,△AEG≌△AEF,
∴S△AEG=S△AEF,
∴EG·AB=EF·AH,
由(2)得,EG=EF,
∴AH=AB=2,
∵M为边BC的中点,
∴BM=BC=1,
∴AM===,
∵AH+MH≥AM,
∴2+MH≥,
解得MH≥-2,
∴MH的最小值为-2.
本课结束(共17张PPT)
第二十一章　四边形
21.1　四边形及多边形
21.1.1　四边形及其内角和
达标组　夯基础
进阶组　提能力
培优组　育素养
达标组　夯基础
知识点1　四边形的定义及有关概念
1.下列结论正确的是( )
A.在平面内,由四条线段组成的图形叫作四边形
B.由不在同一直线上的四条线段组成的图形叫作四边形
C.在平面内,由不在同一直线上的四条线段组成的图形叫作四边形
D.在平面内,由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形
2.下列图形中,是凸四边形的是( )
3.若长方形的一边长为2m,另一边长为3n,则该长方形的周长为___________.
D
B
　4m+6n　
4.如图.
(1)∠D所在的四边形是_______;
(2)画出图中四边形的对角线;
(3)写出图中的四边形.
【解析】(1)答案:四边形ABCD,四边形AECD
(2)如图所示;
(3)四边形ABCD,四边形AECD.
知识点2　四边形的内角和与外角和
5.(2025·邢台期中)如图,BD是四边形ABCD的对角线,且四边形ABCD的内角和为
m,△ABD与△BCD的内角和相加为n,则( )
A.m>n
B.m=n
C.mD.无法比较m,n大小关系
6.在四边形ABCD中,∠A与∠C互补,∠B=80°,则∠D的度数为( )
A.80° B.90° C.100° D.110°
B
C
7.如图,在四边形ABCD中,∠A=80°,∠D=140°,∠BCD的平分线CE交AB于点E,且EC∥AD,求∠B的度数.
【解析】∵EC∥AD,
∴∠D+∠DCE=180°.
∵∠D=140°,∴∠DCE=40°,
∵CE平分∠DCB,
∴∠DCB=2∠DCE=80°.
∴在四边形ABCD中,∠B=360°-∠A-∠D-∠DCB=60°.
知识点3　四边形的不稳定性
8.如图,伸缩晾衣架利用的几何原理是四边形的_____________.
　不稳定性　
进阶组　提能力
9.如图,将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF,使得点E为BC中点.若△ABC的周长是
12,BC=4,则四边形ABFD的周长为( )
A.13 B.14
C.15 D.16
10.如图,将一个长方形剪去一个角,则剩下的多边形为( )
A.五边形
B.四边形或五边形
C.三角形或五边形
D.三角形或四边形或五边形
D
D
11.(2025·廊坊一模)学校有一块四边形试验田,分割成A,B两块,由图可知,
x-y=______.
12.(易错警示·分类讨论遗漏而致错)已知:BD,CE是△ABC的高,直线BD,CE相交所
成的角中有一个角为56°,则∠BAC的度数为______________.
　0　
　56°或124°　
13.(2025·吕梁期末)规定:有一对相对的角互补的四边形叫作智慧四边形.例如,在四边形ABCD中,若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°,则四边形ABCD是智慧四边形.
(1)如图1,已知四边形ABCD是智慧四边形,其中三个内角∠A,∠B,∠C的比是4∶3∶2,则∠D的度数为_______°.
(2)如图2,D为△ABC内一点,且∠BDC=90°+∠A,△ABC的两个外角∠MBC,∠BCN的平分线交于点E,判断四边形DBEC是否为智慧四边形,并说明理由.
【解析】(1)设∠C=2x°,
∵∠A∶∠B∶∠C=4∶3∶2,∴∠A=4x°,∠B=3x°,
∵四边形ABCD是智慧四边形,∴∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°,
∴4x+2x=180,解得x=30,
∴∠B=3x°=90°,
∴∠D=180°-∠B=90°.
答案:90
(2)四边形DBEC为智慧四边形,理由如下:
∵△ABC的两个外角∠MBC,∠BCN的平分线交于点E,
∴∠CBE=∠MBC,∠BCE=∠NCB,
则∠CBE+∠BCE=∠MBC+∠NCB
=(∠MBC+∠NCB)
=(180°-∠ABC+180°-∠ACB)
=[360°-(180°-∠A)]=(180°+∠A)=90°+∠A,
∵∠CBE+∠BCE+∠E=180°,
∴90°+∠A+∠E=180°,
∴∠E=90°-∠A,
又∵∠BDC=90°+∠A,
∴∠BDC+∠E=180°,
∴四边形DBEC为智慧四边形.
培优组　育素养
14.(几何直观、推理能力、模型观念)在四边形ABCD中,∠A=145°,∠D=75°.
(1)如图1,若∠B=∠C,试求出∠C的度数.
(2)①如图2,若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E,试求出∠BEC的度数.
②在①的条件下,若延长BA,CD交于点F(如图3),将原来条件“∠A=145°,∠D=75°”改为“∠F=40°”,其他条件不变,∠BEC的度数会发生变化吗 若不变,请说明理由;若变化,求出∠BEC的度数.
【解析】(1)∵在四边形ABCD中,∠A=145°,∠D=75°,
∴∠B+∠C=360°-(145°+75°)=140°,
∵∠B=∠C,∴∠C=70°.
(2)①∵在四边形ABCD中,∠A=145°,∠D=75°,
∴∠B+∠C=360°-(145°+75°)=140°,
∵∠ABC和∠BCD的平分线交于点E,
∴∠EBC+∠ECB=70°,
∴∠BEC=180°-70°=110°.

②不变.理由如下:
∵∠F=40°,
∴∠FBC+∠BCF=180°-40°=140°,
∵∠ABC和∠BCD的平分线交于点E,
∴∠EBC+∠ECB=70°,
∴∠BEC=180°-70°=110°.
本课结束(共19张PPT)
21.2.3　三角形的中位线
达标组　夯基础
进阶组　提能力
培优组　育素养
达标组　夯基础
知识点1　三角形的中位线
1.(2025·无锡中考)在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点.若DE=4,则BC的长为( )
A.2　　　 B.4　　　
C.6　　　 D.8
2.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,点D,E分别是直角边AC,BC的中点,连接DE,则
∠CED的度数是( )
A.70° B.60°
C.30°　 D.20°
D
B
3.在△ABC中,AB=4,BC=6,AC=8,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,则△DEF的周长为
______.
4.如图,BD是△ABC的中线,E,F分别是BD,BC的中点,连接EF.若AD=6,则EF的长为
______.
　9　
　3　
5.(2025·苏州质检)如图,在△ABC中,AC=2BC,D是AC的中点,E是AB的中点,过点A作∠DAF=∠B,且与DE的延长线交于点F.
(1)求证:△ABC≌△FAD;
(2)若DE=2,求FE的长.
【解析】(1)∵D是AC的中点,E是AB的中点,
∴DE是△ABC的中位线,AD=CD=AC,
∴DE∥BC,∴∠ADF=∠C,
∵AC=2BC,∴BC=AD,
在△ABC与△FAD中,,∴△ABC≌△FAD(ASA);
(2)∵DE是△ABC的中位线,∴BC=2DE=4,则AC=2BC=8,
由(1)知△ABC≌△FAD,
∴FD=AC=8,
∴EF=FD-DE=6.
知识点2　三角形的中位线与其他知识的综合
6.(2024·巴中中考)如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是BC的中点,
AC=4.若 ABCD的周长为12,则△COE的周长为( )
A.4 B.5
C.6 D.8
7.如图,四边形ABCD各边中点分别是E,F,G,H,若对角线AC=24,BD=18,则四边形
EFGH的周长是_______.
B
　42　
8.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连接OE.若
∠ABC=50°,∠BAC=80°,则∠1=________.
　50°　
9.如图,在△ABF中,E是AB的中点,延长BF至D,使得DF=BF,连接AD,延长EF至点C,使得CF=AD,连接CD.
(1)求证:四边形AFCD为平行四边形;
(2)连接AC交DB于点O,若CE⊥DB,EF=1,AE=,求AF,AC的长.
【解析】(1)∵E是AB的中点,DF=FB,
∴EF是△ABD的中位线,
∴EF∥AD,即CF∥AD,
∵CF=AD,∴四边形AFCD为平行四边形;
(2)∵EF是△ABD的中位线,四边形AFCD为平行四边形,
∴AD=CF=2EF=2,EF∥AD,OD=OF=DF,OA=OC=AC,
∵E是AB的中点,∴AB=2AE=2,
∵CE⊥DB,∴AD⊥DB,
∴∠ADB=90°,
∴BD===6,
∵DF=BF,
∴DF=BF=BD=3,
∴OD=OF=,
∴AF===,
OA===,
∴AC=2OA=5.
进阶组　提能力
10.如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,
AD=BC,∠EPF=136°,则∠EFP的度数是( )
A.68° B.34°
C.22° D.44°
11.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ADC的平分线与边AB相交于点P,E
是PD中点,若AD=4,CD=6,则EO的长为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
C
A
12.(2025·铜陵期中)如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=30°,AD与CE是△ABC的两条
高,点F是AC的中点,连接EF,若AD=3,则EF的长为______.

13.如图,在 ABCD中,以点A为圆心,适当长为半径画弧,交AD于点M,交AB于点N,
分别以点M,N为圆心,大于MN长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交DC于点
E,DE=2CE,点F,G分别是AE,BE的中点,若FG=6 cm,则四边形ABCD的周长是
__________.
　3　
　40 cm　
14.(2024·赤峰中考)如图,在△ABC中,D是AB中点.
(1)求作:AC的垂直平分线l(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)若l交AC于点E,连接DE并延长至点F,使EF=2DE,连接BE,CF.补全图形,并证明四边形BCFE是平行四边形.
【解析】(1)直线l如图所示,
(2)补全图形,如图所示,
由作图知,E为AC的中点,
∵D,E分别为AB,AC的中点,∴DE∥BC,DE=BC,
∵EF=2DE,即DE=EF,∴EF=BC,
∵EF∥BC,∴四边形BCFE是平行四边形.
培优组　育素养
15.(几何直观、推理能力、模型观念)(2025·金华期中)如图,在△ABC中,点D是边BC的中点,点E在△ABC内,AE平分∠BAC,CE⊥AE,点F在边AB上,EF∥BC.
(1)求证:四边形BDEF是平行四边形.
(2)若△DEC的面积为4,则四边形BDEF的面积为_______.
(3)判断线段BF,AB,AC之间具有怎样的数量关系 并证明你所得到的结论.
【解析】(1)延长CE交AB于点G,
∵AE⊥CE,∴∠AEG=∠AEC=90°,
∵AE平分∠BAC,∴∠GAE=∠CAE,
在△AEG和△AEC中,
∴△AEG≌△AEC(ASA),∴GE=EC,
∵点D是边BC的中点,∴BD=CD,
∴DE为△CGB的中位线,∴DE∥AB,
∵EF∥BC,∴四边形BDEF是平行四边形;
(2)过点E作EH⊥DC,
∵点D是边BC的中点,∴BD=CD,
∵△DEC的面积为4,
∴S△DEC=DC·EH=4,
∴DC·EH=8.
∵EF∥BC,∴BD·EH=8,
∴四边形BDEF的面积为8.
答案:8
(3)AB-AC=2BF.证明如下:
∵四边形BDEF是平行四边形,
∴BF=DE,
∵点D是边BC的中点,GE=EC,
∴BF=DE=BG,
由(1)知△AEG≌△AEC,
∴AG=AC,
∴AB-AC=2BF.
本课结束(共16张PPT)
21.2.2　平行四边形的判定
达标组　夯基础
进阶组　提能力
培优组　育素养
达标组　夯基础
知识点1　平行四边形的判定
1.如图,在四边形ABCD中,已知AD∥BC,添加下列条件不能判定四边形ABCD是
平行四边形的是( )
A.AD=BC B.AB∥DC
C.AB=DC D.∠A=∠C
2.(2024·济宁中考)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OA=OC,请补充
一个条件_______________________,使四边形ABCD是平行四边形.
C
　OB=OD(答案不唯一)　
3.下列命题:
①一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;
②对角线互相平分的四边形是平行四边形;
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
④一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形.
其中正确的命题是___________(将命题的序号填上即可).
　②③④　
知识点2　平行四边形性质和判定的综合应用
4.(2024·辽宁中考)如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD,若
AC=3,BD=5,则四边形OCED的周长为( )
A.4 B.6
C.8 D.16
5.如图,E,F是 ABCD对角线BD上的两点,请你添加一个适当的条件:____________
____________________________________,使四边形AECF是平行四边形.
C
　BE=DF或
BF=DE或∠BAE=∠DCF(答案不唯一)　
6.如图,已知AD∥BC,AB∥CD,AB=4,BC=6,EF是AC的垂直平分线,分别交AD,AC
于E,F,连接CE,则△CDE的周长是_______.
　10　
7.如图,在 ABCD中,点E,F分别在BA,DC的延长线上,且BE=DF.连接AF,交BC于点H,连接EC.
(1)求证:四边形EAFC是平行四边形.
(2)若∠E=∠D=70°,求∠AHB的度数.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∵BE=DF,
∴AE∥CF,BE-AB=DF-CD,
∴AE=CF,∴四边形EAFC是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠BCF=∠D=70°,
∵四边形EAFC是平行四边形,
∴∠F=∠E=70°,
∴∠AHB=∠CHF=180°-∠F-∠BCF=40°.
进阶组　提能力
8.(2024·河北中考)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程:
已知:如图,△ABC中,AB=AC,AE平分△ABC的外角∠CAN,点M是AC的中点,连接BM并延长交
AE于点D,连接CD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠3.
∵∠CAN=∠ABC+∠3,∠CAN=∠1+∠2,∠1=∠2,
∴①_______.
又∵∠4=∠5,MA=MC,
∴△MAD≌△MCB(②_______).
∴MD=MB,∴四边形ABCD是平行四边形.
若以上解答过程正确,①,②应分别为( )
A.∠1=∠3,AAS B.∠1=∠3,ASA
C.∠2=∠3,AAS D.∠2=∠3,ASA
D
9.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC且AD=9 cm,
BC=7 cm,点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以1 cm/s的速度由A向D运动,点Q以
2 cm/s的速度由C向B运动,Q运动到B处停止运动,_______s后直线PQ将四边形
ABCD截出一个平行四边形.
10.已知点A(3,0),B(-1,0),C(2,3),以A,B,C为顶点画平行四边形,则第四个顶点D的
个数是______.
或3　
　3　
11.(2024·达州中考)如图,线段AC,BD相交于点O且AB∥CD,AE⊥BD于点E.
(1)尺规作图:过点C作BD的垂线,垂足为点F,连接AF,CE;(不写作法,保留作图痕迹,并标明相应的字母)
(2)若AB=CD,请判断四边形AECF的形状,并说明理由.(若前问未完成,可画草图完成此问)
【解析】(1)如图所示,即为所求;
(2)四边形AECF是平行四边形,理由如下:
∵AB∥CD,∴∠B=∠D,
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEB=∠AED=∠CFE=∠CFD=90°,
又∵AB=CD,
∴△ABE≌△CDF(AAS),AE∥CF,
∴AE=CF,
∴四边形AECF是平行四边形.
培优组　育素养
12.(推理能力、几何直观、模型观念)(2025·杭州期中)如图,在 ABCD中,点E是BC边的中点,连接AE并延长与DC的延长线交于F.
(1)求证:四边形ABFC是平行四边形;
(2)若AF平分∠BAD,∠D=60°,AD=12,求 ABCD的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠ABE=∠FCE,
∵点E是BC边的中点,∴BE=CE,
在△ABE和△FCE中,
∴△AEB≌△FCE(ASA),
∴AB=CF,
又∵AB∥CF,∴四边形ABFC是平行四边形;
(2)∵AB∥CD,
∴∠D+∠BAD=180°,∵∠D=60°,
∴∠BAD=120°,∵AF平分∠BAD,
∴∠FAD=60°,
∴△ADF是等边三角形.
∵四边形ABFC是平行四边形,∴AB=CF,
∵CD=AB,∴CF=CD,
∴∠ACD=90°,∴∠CAD=30°,
∵AD=12,∴CD=6,∴AC==6,
∴S ABCD=CD·AC=6×6=36.
本课结束(共18张PPT)
21.3.2　菱形
第2课时
达标组　夯基础
进阶组　提能力
培优组　育素养
达标组　夯基础
知识点1　菱形的判定
1.(2025·内江中考)按如下步骤作四边形ABCD:(1)画∠EAF;(2)以点A为圆心,1个
单位长为半径画弧,分别交AE,AF于点B,D;(3)分别以点B和点D为圆心,1个单位长
为半径画弧,两弧交于点C;(4)连接BC,DC,BD.若∠A=40°,则∠BDC的度数是( )
A.64°　　　B.66°　　　C.68°　　　D.70°
D
2.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边
形ABCD为菱形的是( )
A.AB=BC B.AC=BC
C.∠B=60° D.∠ACB=60°
3.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AB=CD,AC与BD相交于点O,请添加一个条件
_______________________,使四边形ABCD是菱形.
A
　AD=AB(答案不唯一)　
知识点2　菱形性质和判定的综合应用
4.(2025·湖南中考)如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD互相垂直平分,AB=3,则
四边形ABCD的周长为( )
A.6　　　B.9　　　C.12　　　D.18
C
5.周末,小颖和妈妈买回来一盏简单而精致的吊灯,其截面如图所示,四边形ABCD
是一个菱形内框架,四边形AECF是其外部框架,且点E,B,D,F在同一直线上,
BE=DF.
(1)求证:四边形外框AECF是菱形;
(2)若外框AECF的周长为160 cm,EF=64 cm,BE=14 cm,求AB的长.
【解析】(1)连接AC,交EF于点O,
∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC,OD=OB,AC⊥BD,
∵BE=DF,∴OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵AC⊥BD,∴四边形AECF是菱形;
(2)∵四边形AECF是菱形,周长为160 cm,EF=64 cm,
∴AE=40 cm,OE=OF=32 cm,AC⊥EF,
∴OB=OE-BE=32-14=18(cm),∠AOB=90°,
∴OA===24(cm),
∴AB===30(cm),
∴AB的长为30 cm.
进阶组　提能力
6.如图,AD是△ABC的中线,增加下列条件,能判断 ADCE是菱形的是( )
A.AB=AE B.∠DAE=90°
C.AB=AC D.∠BAC=90°
7.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD,点M,N分别是
AD,AO的中点,连接MN.若MN的长为2,则四边形OCED的周长为( )
A.4 B.8
C.16 D.32
D
C
8.如图,在 ABCD中,BC的垂直平分线EO交AD于点E,交BC于点O,连接BE,CE,过
点C作CF∥BE,交EO的延长线于点F,连接BF.若AD=8,CE=5,则四边形BFCE的面
积为_______.
9.如图,在 ABCD中,AB=AD,点E是AB上一点,连接CE,DE,
且BC=CE,若∠BCE=40°,则∠ADE=________.
　24　
　15°　
10.(2025·贵州中考)如图,在 ABCD中,E为对角线AC上的中点,连接BE,且BE⊥AC,垂足为E.延长BC至F,使CF=CE,连接EF,FD,且EF交CD于点G.
(1)求证: ABCD是菱形;
(2)若BE=EF,EC=4,求△DCF的面积.
【解析】(1)∵E为对角线AC上的中点,且BE⊥AC,
∴BE垂直平分AC,
∴BA=BC,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ ABCD是菱形;
(2)如图:
∵BE=EF,CE=CF=4,
∴∠3=∠2=∠1,
设∠3=∠2=∠1=α
∴∠4=∠1+∠2=2α,
∵BE⊥AC,
∴∠3+∠4=90°,
∴α+2α=90°,解得α=30°,
∴∠4=60°,
∵BE⊥AC,
∴BC=2CE=2×4=8,
∵BC=BA,
∴△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=∠BAC=60°,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,CD=BC=8,
∴∠FCG=∠ABC,∠ECG=∠BAC,
∴∠FCG=∠ECG.
∵CF=CE=4,
∴CG⊥EF,
∵∠2=30°,
∴CG=CF=2,
∴FG==2,
∴S△DCF=CD·FG=×8×2=8.
培优组　育素养
11.(几何直观、推理能力、模型观念)如图①,在 ABCD中,AB=5,BC=13,BC边上的高为4.求作菱形AEFG,使点E在边AD上,点F,G在边BC上.
(1) ABCD的面积为_______;
(2)如图②,小明先在边AD上取一点E,然后以点A为圆心,AE长为半径画弧,交BC于点G,最后在BC上截取GF=AE,连接EF,得到四边形AEFG.请你证明小明所作的四边形AEFG是菱形;
(3)如图③,当点F与点C重合时,求AE的长.
【解析】(1)∵在 ABCD中,BC=13,BC边上的高为4,∴S ABCD=13×4=52;
答案:52
(2)由作图可知,AE=AG=FG,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∵点E在边AD上,点F,G在边BC上,
∴AE∥FG,又AE=FG,
∴四边形AEFG是平行四边形,
又AE=AG,
∴四边形AEFG是菱形.
(3)如图,当C,F重合时,连接AF,过点A作AT⊥BF于点T,
∵AB=5,BC=13,BC边上的高为4,即AT=4,
∴BT===3,
∴FT=13-3=10,
∵四边形AEFG是菱形,
∴设AG=GF=AE=x,
∴TG=10-x,
根据勾股定理得:x2=42+(10-x)2,
x=5.8,
即AE=5.8.
本课结束(共18张PPT)
21.3.3　正方形
第2课时
达标组　夯基础
进阶组　提能力
培优组　育素养
达标组　夯基础
知识点1　正方形的判定
1.(2025·咸宁质检)如图,四边形ABCD的两条对角线相交于点O,AC与BD相等且互
相平分.添加下列条件,不能判定四边形ABCD为正方形的是( )
A.AC⊥BD
B.AB=AD
C.OA=BD
D.∠ABD=∠CBD
C
2.(2025·乐山中考)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加
两个条件使得四边形ABCD是正方形,现有三个条件可供选择:①AC⊥BD;
②AC=BD;③∠ADC=90°.则正确的组合是_________(只需填一种组合序号即可).
　①②　
3.如图,△ABC中,∠ABC=90°,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.求证:四边形DEBF是正方形.
【解析】∵DE⊥AB,DF⊥BC,
∴∠DEB=∠DFB=90°,
又∵∠ABC=90°,∴四边形BEDF为矩形,
∵BD是∠ABC的平分线,且DE⊥AB,DF⊥BC,
∴DE=DF,∴矩形BEDF为正方形.
知识点2　正方形的性质和判定的综合应用
4.如图,矩形纸片ABCD中,AB=6 cm,BC=9 cm.现将其沿AE对折,使得点B在边AD
上的点F处,折痕与边BC交于点E,则CE的长为( )
A.6 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm
C
5.小智根据四边形的不稳定性制作了一个探究特殊四边形的学具,他用四根长度
相同的木条在两端用螺栓两两连接,构成一个可以活动的四边形.他先将学具制
成如图1所示的四边形ABCD,并测得∠B=60°,对角线AC=20 cm,再将学具制成如
图2所示四边形A'B'C'D',并测得∠B'=90°,则图2中对角线A'C'的长为( )
A.20 cm B.40 cm
C.20 cm D.20 cm
C
6.如图,四边形ABCD是平行四边形,AB=BC,AB⊥BC,E是边CD延长线上的动点,连接AE,过点C作CF⊥AE于点F.当F是AE的中点,且CE=8时,求△CEF的面积.
【解析】连接AC,如图所示:
∵CF⊥AE于点F,点F为AE的中点,
∴CF为线段AE的垂直平分线,
∴AC=CE=8,AF=EF,
∴S△AFC=S△EFC=S△AEC,
∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC,
∴平行四边形ABCD为菱形,又∵AB⊥BC,
∴菱形ABCD为正方形.
∵AD=DC,∠ADC=90°,
在Rt△ACD中,由勾股定理得:AD2+CD2=AC2,
∴AD2=AC2=×=64,
∴AD=8,
∴S△EFC=S△AEC=×CE·AD=16.
进阶组　提能力
7.如图,将正方形ABCD剪去4个全等的直角三角形(图中阴影部分),得到边长为c
的四边形EFGH,下列等式成立的是( )
A.a+b=c B.c2=(a+b)2·4ab
C.c2=(a+b)(a-b) D.a2+b2=c2
8.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,两直角边AB=7,BC=24,在三角形内有一点P到各边
的距离相等,则AP的长为( )
A.3 B.4
C.5 D.2
D
C
9.如图所示,将一张矩形纸片沿虚线对折两次,当剪刀与纸片的夹角∠ABC=45°时,
已知AB=4 cm,则剪下来图形的周长为_____________.
10.如图,点E,F,G,H分别是正方形ABCD四条边上的点,EF,GH相交于点O,且
OA=4,EF⊥AB,GH⊥BC,BE=BH,则四边形BEOH与四边形DFOG的面积之和为
_______.
　16 cm　
　16　
11.如图,∠ACB=∠AED=90°,AC=FE,AB平分∠CAE,AB∥DF.
(1)求证:四边形ABDF是平行四边形;
(2)过点B作BG⊥AE于点G,若CB=AF,请判断四边形BGED的形状并进行证明.
【解析】(1)∵AB平分∠CAE,
∴∠CAB=∠BAF,
∵AB∥DF,∴∠EFD=∠BAF,
∴∠CAB=∠EFD,
在△ACB和△FED中,,
∴△ACB≌△FED(ASA),∴AB=FD,
∵AB∥DF,∴四边形ABDF是平行四边形.
(2)四边形BGED是正方形.
过点B作BG⊥AE于点G,
∴∠BGE=∠DEG=90°,
∵四边形ABDF是平行四边形.
∴BD∥AE,BD=AF,
∴∠GBD+∠BGE=180°,∠DEG+∠EDB=180°,
∴∠GBD=90°,∠EDB=90°,
由(1)△ACB≌△FED,∴CB=ED,
∵CB=AF,∴ED=AF,∴BD=ED,
∴四边形BGED是正方形.
培优组　育素养
12.(抽象能力、运算能力、模型观念)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE.
(1)求证:CE=AD;
(2)当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形
说明你的理由;
(3)若D为AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形 请说明你的理由.
【解析】(1)∵DE⊥BC,∴∠DFB=90°,
∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DFB,
∴AC∥DE,
∵MN∥AB,即CE∥AD,
∴四边形ADEC是平行四边形,
∴CE=AD;
(2)四边形BECD是菱形,理由:
∵D为AB中点,
∴AD=BD,
∵CE=AD,∴BD=CE,
∵BD∥CE,∴四边形BECD是平行四边形,
∵∠ACB=90°,D为AB中点,
∴CD=BD,
∴平行四边形BECD是菱形;
(3)当∠A=45°时,四边形BECD是正方形,理由:
∵∠ACB=90°,∠A=45°,
∴∠ABC=∠A=45°,
∴AC=BC,
∵D为AB中点,∴CD⊥AB,
∴∠CDB=90°,
∵四边形BECD是菱形,
∴菱形BECD是正方形,即当∠A=45°时,四边形BECD是正方形.
本课结束(共20张PPT)
21.3　特殊的平行四边形
21.3.1　矩形
第1课时
达标组　夯基础
进阶组　提能力
培优组　育素养
达标组　夯基础
知识点1　矩形的性质
1.(2024·成都中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论
一定正确的是( )
A.AB=AD　　　　　 B.AC⊥BD
C.AC=BD D.∠ACB=∠ACD
2.如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE.若∠ADB=40°,则∠E的
度数为( )
A.10° B.20°
C.25° D.30°
C
B
3.(2025·绥化中考)一个矩形的一条对角线长为10,两条对角线的一个交角为60°,
则这个矩形的面积是( )
A.25 B.25
C.25 D.50
4.在矩形ABCD中,E,F分别在BC和CD上,∠EAF=45°,若AB=3,BC=4,BE=1,AE⊥EF,
则EF=_______.
B
　
知识点2　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
5.(2025·扬州质检)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,直线a经过点A和边BC的中点D,
直线b经过点C,且b∥a,若∠B=23°,则∠1的度数为( )
A.46° B.67° C.60° D.57°
B
6.如图,DE是△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=7,BC=10,则EF=( )
A.4 B.3 C.2.5 D.1.5
7.(2025·福建中考)某房梁如图所示,立柱AD⊥BC,E,F分别是斜梁AB,AC的中点.
若AB=AC=8 m,则DE的长为______m.
D
　4　
8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,CE是AB边上的中线,
与AD交于点F.若∠B=40°,则∠AFC的度数为_________.
　105°　
9.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,点E为AB的中点,连接DE.已知BC=10,AD=12,求BD,DE的长.
【解析】∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=BC.
∵BC=10,∴BD=5.
∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,
∴在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2,
∵AD=12,∴AB===13,
∵E为AB的中点,∴DE=AB=.
进阶组　提能力
10.(2025·廊坊质检)如图,在矩形ABCD中,M为AD上的一点,且BM⊥CM,P,Q分别
为BM,CM的中点,连接AP,PQ,DQ.若AP=4,DQ=3,则四边形APQD的周长为( )
A.24 B.12
C.17 D.22
11.(2025·兰州中考)如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分
别在边AB,BC上,连接EF交对角线BD于点P.若P为EF的中点,∠ADB=35°,则
∠DPE=( )
A.95° B.100°
C.110° D.145°
D
C
12.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)(2024·牡丹江中考)矩形ABCD的面积是90,对
角线AC,BD交于点O,点E是BC边的三等分点,连接DE,点P是DE的中点,OP=3,连
接CP,则PC+PE的值为______________.
13.如图,在矩形ABCD中,点E在边BC上,点F是AE的中点,AB=8,AD=DE=10,则BF
的长为_________.
　13或　
　2　
14.如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E是BC上一点,且AE平分∠BAD交BD于点F,∠1=15°,
(1)∠BAO=_______,∠2=_______.
(2)求证:OE=EF.
(3)求证:△BEF ≌△COE.
【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠BAD=90°,OB=OD,OA=OC,AC=BD,
∴OB=OC=OA,
∴∠OCB=∠OBC,
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE=45°,
∴∠AEB=180°-90°-45°=45°,
∵∠1=15°,
∴∠BAO=45°+15°=60°,
∵OA=OB,
∴△AOB是等边三角形,
∴AB=OB,∠ABO=60°,
∴∠CBO=90°-60°=30°,
∵∠BAE=∠AEB=45°,
∴AB=BE,∴OB=BE,
∴∠OEB=∠EOB=(180°-30°)=75°,
∵∠AEB=45°,∴∠2=∠OEB-∠AEB=30°.
答案:60°　30°
(2)∵∠2=30°,∠BOE=75°,
∴∠EFO=180°-75°-30°=75°,
∴∠EOF=∠EFO,
∴EO=EF;
(3)∵OB=OC,∠OBC=30°,
∴∠OBC=∠OCB=30°,
∵∠BEO=75°=∠EFO,
∴∠BFE=∠OEC=180°-75°=105°,
∵BE=OB,OB=OC,
∴BE=OC,∴△BEF ≌△COE.
培优组　育素养
15.(几何直观、推理能力、模型观念)如图,∠BOD=45°,BO=DO,点A在OB上,四边形ABCD是矩形,连接AC,BD交于点E,连接OE交AD于点F.
(1)求证:OE⊥BD.
(2)若点G是线段OF的中点,
补全图形并求证:△AEG为等腰直角三角形.
(3)求证:DF=AF.
【证明】(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴BE=DE,
∵BO=DO,∴OE⊥BD.
(2)如图,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=∠OAD=90°,DE=BD,AE=AC,BD=AC,∴DE=AE.
又∵OE⊥BD,
∴∠DEF=∠DAO=90°.
∴∠EOB+∠EBO=90°,∠BDA+∠DBA=90°,
∴∠EOB=∠BDA,
∴△AOF≌△ADB,∴OF=BD,
∵点G是线段OF的中点,
∴OG=AG=OF=BD=DE,
∴AG=AE,
∴△AEG为等腰三角形.
∵AG=OG,∴∠OAG=∠EOA,
∵∠ADB=∠EOA,
∴∠OAG=∠ADB,
∵DE=AE,∴∠ADB=∠DAC,
∴∠OAG=∠DAC,
∵∠OAG+∠DAG=∠OAD=90°,
∴∠DAC+∠DAG=90°,
即∠EAG=90°.
∴△AEG为等腰直角三角形.
(3)∵BO=DO,BE=DE,∠BOD=45°,
∴∠AOF=∠BOD=22.5°=∠ADB,
由(2)可知,△AOF≌△ADB.
∴AF=AB,设OA=AD=2a(a>0),
∴OB=OD==2a,
∴AF=AB=OB-OA=2a-2a=(2-2)a,
∴DF=AD-AF=2a-(2-2)a=(4-2)a,
∴==,∴DF=AF.
本课结束(共16张PPT)
21.2　平行四边形
21.2.1　平行四边形及其性质
第1课时
达标组　夯基础
进阶组　提能力
培优组　育素养
达标组　夯基础
知识点1　利用平行线的性质进行计算
1.(2025·贵州中考)如图,小红想将一张矩形纸片沿AD,BC剪下后得到一个 ABCD,
若∠1=70°,则∠2的度数是( )
A.20° B.70° C.80° D.110°
B
2.(2025·合肥期中)如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC⊥AB,
若AB=4,AC=6,则BD的长为( )
A.2 B.5 C.8 D.10
3.如图,在 ABCD中,∠ADC=120°,对角线BD⊥AB.若AB=4 cm,则线段AD的长为
______cm.
D
　8　
4.如图,在 ABCD中,AC=BC,DE⊥AC于点E,若∠B=70°,求∠ADE的度数.
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD∥BC,AD=BC,∠ADC=∠B=70°,
∵AC=BC,∴AD=AC,
∴∠ACD=∠ADC=70°,
∵DE⊥AC,∴∠EDC=90°-∠ACD=20°,
∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=70°-20°=50°.
知识点2　利用平行线的性质进行证明
5.(2025·厦门质检)如图,在 ABCD中,点F是BC延长线上一点,连接AF交CD于点E,
下列选项中与∠CEF相等的是( )
A.∠ADC B.∠DCF
C.∠BAF D.∠AEC
6.(2025·北京期中)如图,在 ABCD中,下列结论不一定成立的是( )
A.∠1=∠2 B.∠ABC=∠CDA
C.AC=BD D.AB=CD
C
C
7.(2025·西安质检)在 ABCD中,点E是BC上一点,连接AE,DE,且AE=BE,延长EA至点F,使得EF=BC,连接BF.求证:BF=DE.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴∠DAE=∠FEB,
∵EF=BC,∴EF=AD,
在△BEF和△EAD中,,
∴△BEF≌△EAD(SAS),∴BF=DE.
进阶组　提能力
8.如图, ABCO的顶点坐标分别是O(0,0),A(a,0),C(b,c),则点B的坐标为( )
A.(b-c,c) B.(a+b,c)
C.(a+c,c) D.(b+c,c)
9.(2025·濮阳期中)如图, ABCD的对角线AC的垂直平分线交AD于点E,连接CE.若
ABCD的周长为36 cm,则△CDE的周长为( )
A.12 cm B.24 cm
C.15 cm D.18 cm
B
D
10.如图,在 ABCD和 DCFE中,AD=DE,且∠BAD=65°,∠F=105°,则∠DAE的度数
为________.
11.(易错警示题·忽视分类讨论而漏解)平行四边形一个内角的平分线分对边为3
和4两部分,则平行四边形的周长为___________.
　20°　
　20或22　
12.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,分别过点A,C作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,AC平分∠DAE.
(1)当∠AOE=60°时,求∠ACB的大小;
(2)求证:BE=DF.
【解析】(1)∵AE⊥BD,∴∠AEO=90°,
∵∠AOE=60°,∴∠EAO=30°,
∵AC平分∠DAE,∴∠DAC=∠EAO=30°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC=30°;
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABE=∠CDF,
∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEB=∠CFD=90°,
在△AEB和△CFD中,
∴△AEB≌△CFD(AAS),
∴BE=DF.
培优组　育素养
13.(几何直观、推理能力、模型观念)(2025·上海质检)如图,在 ABCD中,BE,DG分别平分∠ABC,∠ADC,交AC于点E,G.
(1)求证:△AGD≌△CEB;
(2)过点E作EF⊥AB,垂足为F.若 ABCD的周长为48,EF=8,求 ABCD的面积.
【解析】(1)∵BE,DG分别平分∠ABC,∠ADC,交AC于点E,G,
∴∠ADG=∠ADC,∠CBE=∠ABC,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ADC=∠ABC,AD∥CB,AD=CB,
∴∠ADG=∠CBE,∠DAG=∠BCE,
在△AGD和△CEB中,
∴△AGD≌△CEB(ASA);
(2)过点E作EH⊥BC于点H,如图所示:
∵BE平分∠ABC,EF⊥AB于点F,
∴EH=EF=8,
∵AB=CD,BC=DA,且 ABCD的周长为48,
∴2AB+2BC=48,∴AB+BC=24,
∴S△ABC=S△ABE+S△CBE=AB·EF+BC·EH=×8(AB+BC)=×8×24=96,
在△ABC和△CDA中,
∴△ABC≌△CDA(SSS),
∴S△ABC=S△CDA=96,
∴S ABCD=S△ABC+S△CDA=96+96=192.
本课结束

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