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湖南省长沙市雅礼教育集团2025年中考二模数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
1．（2025·长沙模拟）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·长沙模拟）全国家电以旧换新活动如火如荼地进行，截至2024年12月24日有2963.8万消费者购买了8大类家电产品约4590万台．数据4590万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·长沙模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·长沙模拟）王维名句：“桃红复含宿雨，柳绿更带朝烟”，描绘了田园生活的美好．将“桃”“红”“柳”“绿”“烟”“雨”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“桃”字所在面相对面上的汉字是（　　）
A．红 B．柳 C．烟 D．雨
5．（2025·长沙模拟）某校举行健美操比赛，甲、乙、丙三个班各选10名学生参加比赛．若参赛学生的平均身高都是1.65米，方差分别是，，，则参赛学生身高比较整齐的班级是（　　）
A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．同样整齐
6．（2025·长沙模拟）将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，． 若，则的度数为 （　　）
A． B． C． D．
7．（2025·长沙模拟）如图，是的直径，点在上，若，则 （　　）
A． B． C． D．
8．（2025·长沙模拟）《孙子算经》是我国古代数学经典著作，书中记载了这样一道题目：今有三人共车，二车空：二人共车、九人步、人与车各几何？其意思是：今有3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行．人与车各多少？若设有人，车辆，则可列方程组是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·长沙模拟）若函数与函数的图象如图所示，则不等式的解集是(　　)
A． B． C． D．
10．（2025·长沙模拟）如图，矩形中，E是中点，于点F，连接，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有(　　)
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（2025·长沙模拟）函数 中，自变量x的取值范围是　 　．
12．（2025·长沙模拟）一个圆锥的侧面积是，它的底面半径是3，则它的母线长等于　 　．
13．（2025·长沙模拟）若是抛物线上的点，则代数式的值为　 　．
14．（2025·长沙模拟）如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，则的度数为　 　°．
15．（2025·长沙模拟）某施工队在修建高铁时，需修建隧道，如图是高铁隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径的长为　 　．
16．（2025·长沙模拟）某教室的储物柜密码由三个不同的数字组成，婷婷、乐乐、香香三人都开过，但都记不清了．婷婷记得：有个数字是2，但不是最后一个数字；乐乐记得：有两个数是5和8，并且它们的位置相邻；香香记得：中间的数字不是8．根据以上信息，可以确定密码是　 　．
三、解答题：本题共9小题，其中17、18、19题每小题6分，20、21题每小题8分， 22、23题每小题9分， 24、25题每小题10分， 共72分．
17．（2025·长沙模拟）计算：
18．（2025·长沙模拟）先化简，再求值：，其中．
19．（2025·长沙模拟）如图，一楼房后有一假山，的坡度为，山坡坡面上点处有一休息亭，测得假山脚与楼房水平距离米，与亭子距离米，小丽从楼房房顶测得的俯角为．
（1）求点到水平地面的距离；
（2）求楼房的高．
20．（2025·长沙模拟）人工智能的应用非常广泛，比如自然语言处理、语音和图象识别、搜索排名、专家系统等．为了解学生对人工智能应用的知晓程度，某校随机抽查部分中学生，进行知识测试，得分用x表示，数据分组为A：，B：，C：，D：，E：，并将测试成绩绘制成如下不完整的统计图，请根据图表信息回答问题：
（1）随机抽查的学生共有______人；扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为______．并补全测试成绩频数分布直方图．
（2）该校约有7000名学生，请估算等级为C的学生约有多少人？
（3）在本次调查中，等级为E的学生中，仅有一名男生和三名女生的测试成绩为满分，若从中随机抽取两人进行活动交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
21．（2025·长沙模拟）如图，等边三角形的边长是4，D，E分别为的中点，延长至点F，使连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求四边形的面积．
22．（2025·长沙模拟）在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．
（1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？
（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？
23．（2025·长沙模拟）如图，为的直径，在位于异侧的上分别取点，，连接，，，，交于点，射线交的延长线于点，延长交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求的长．
24．（2025·长沙模拟）中国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万乘休”．在函数的学习中，常常利用数形结合思想来探究函数的图象与性质．我们不妨约定：图象经过平面直角坐标系中三个象限的函数称为“之一函数”，例如一次函数经过第一、二、三象限，即属于“之一函数”．
（1）在下列关于的函数中，是“之一函数”的是 (填序号)．
①；②；③．
（2）①若关于的二次函数是“之一函数”，与轴交于A，B两点(其中，与轴交于点C，且，求该二次函数的解析式．
②在（1）的条件下，点P是二次函数图象第一象限上的点，问是否存在点P，使得，若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
（3）若关于的二次函数是“之一函数”，其图象与轴交于A、B两点，顶点为点D，与轴交于点C，点M是的中点，点O是坐标原点，已知且，，试求：的最大值．
25．（2025·长沙模拟）已知四边形为菱形，，．
（1）如图1，判断下列说法是否正确，正确请在括号内画“√”，不正确请在括号内画“”．
①菱形的面积等于．（　　）
②若E为边中点，则．（　　）
③该菱形有内切圆，但没有外接圆．（　　）
（2）如图2，点E在边上，F为边上一点，连接，过点E作交边于点P，若E为中点，，求的面积．
（3）如图3，Q为菱形内一动点，连接，满足，求的最大值，及此时四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：对于选项A、B、D中的图形，无法找到某个旋转点使其在旋转180°后与原图形完全重合，因此它们不符合中心对称图形的定义。
选项C中的图形存在一个旋转中心点，当图形绕该点旋转180°时能够与原图形完全重合，因此选项C是中心对称图形。
故选：C．
【分析】本题主要考查中心对称图形的概念判定。根据数学定义，中心对称图形需满足存在一个对称中心点，使图形绕该点旋转180°后与原图形完全重合。解题时需根据这一核心特征对各选项进行逐一分析判断。
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：题目中给出的数据是“4590万”，
首先要将其转换为具体的数值。
因为“1万”等于 10^4，所以 4590 万 = 4590= 45900000。
接下来用科学记数法表示 45900000。
科学记数法的形式为 a，其中 1|a| < 10，n 为整数。
将 45900000 写成 4.59，
因为 4.59 就等于 45900000。
所以4590 万用科学记数法表示为 4.59。
故选：C．
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数。关键是把“万”转换为数值，再写成 a的形式，其中 1|a| < 10，n 为整数位数减 1。
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；去括号法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，计算结果正确，A不符合题意；
B：，计算过程和结果都正确，B符合题意；C：，展开正确，C不符合题意；
D：，展开公式正确，D不符合题意。
故选：B。
【分析】本题主要考查整式的运算，包括幂的运算性质、同底数幂的乘法法则以及完全平方公式的应用。
4．【答案】D
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】根据正方体的展开图特征分析可知：与"桃"字所在面相对的面上的汉字是"雨"。
故选：D．
【分析】本题主要考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是解题关键。通过分析正方体展开图的特征即可得出答案。
5．【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：三个班级参赛学生的平均身高相同，均为 1.65 米。
方差分别为：= 0.9， = 2.4，= 2.8。
方差越小，说明该组数据的波动越小，身高越整齐。
比较三个方差的大小：0.9 < 2.4 < 2.8，
因此甲班的方差最小，身高最整齐。
故参赛学生身高比较整齐的班级是 甲班。
故选：A。
【分析】本题考查方差的意义。方差反映一组数据的离散程度，方差越小，数据越稳定、越整齐。在平均数相同的情况下，直接比较方差大小即可作出判断。
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：∵，，∴，
∵，∴．
故选：B．
【分析】本题主要考查平行线的性质及其应用。解题的关键在于灵活运用平行线的性质定理。具体步骤如下： 根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等），可得：，再利用角的和差关系进行后续计算。
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
在中，，
∴，
∵点在上，即四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，即，
故选：B ．
【分析】本题主要考查直径所对的圆周角性质以及圆内接四边形的性质，掌握这些知识是解题关键。首先，连接线段AD，根据直径所对圆周角为直角的性质可知，∠ADB=90°；再根据直角三角形两锐角互余的性质，可得∠BAD=70°；最后利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出所求角度。
8．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可列出方程组．
故答案为：B．
【分析】
根据“3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，解答即可．
9．【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；数形结合
【解析】【解答】解：∵反比例函数与一次函数的图象的交点为，，
由函数图象可知，不等式的解集是，
故选：A．
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键在于运用数形结合思想进行分析。具体解法为：确定反比例函数图象位于一次函数图象上方时对应的自变量取值范围即可。
10．【答案】D
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】∵矩形，
∴，，，
∴，
∴
∵E是中点，∴，故①正确；
设，则
∵，∴，
∴，
∴，即，
∴(舍去负值)，
∴，故②错误；
∵，∴，
过点F作于点G，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确，
故，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴故③正确，
故选：D．
【分析】这道题目主要考查了矩形的性质、勾股定理的应用、相似三角形的判定与性质，以及正切值的求解方法.解题时需要注意，正确的解题顺序应该是先推导第④步，再推导第③步，这是解题的关键所在。由得到，继而得到，由此判定①，设，则，证明得，从而求出，再用正切的定义得，由此判断②，过点F作于点G，则，利用，求出和，继而求出，由此判断④，再根据④正确得到，然后用余角的性质和等量代换得到，从而判断③．
11．【答案】x≥3
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案是：x≥3．
【分析】根据二次根式 有意义的条件是a≥0，即可求解．
12．【答案】4
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设母线长为R，底面半径是3，∴，
解得：．
故答案为：4．
【分析】本题主要考查圆锥的侧面积计算，需要掌握圆锥侧面积的公式及其应用。解题步骤：根据题目条件建立方程，代入圆锥侧面积公式，解方程求出未知量，注意要确保单位统一，计算过程准确。
13．【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：已知点 (a， 1) 在抛物线 y = x2 + 3x + 4 上，
则将横坐标 x = a、纵坐标 y = 1 代入抛物线方程，
得：1 = a2 + 3a + 4
移项整理：a2 + 3a + 4 - 1 = 0 \
a2 + 3a + 3 = 0
但这里不需要解 a，而是求 2a2 + 6a 的值。
观察发现 2a2 + 6a = 2(a2 + 3a)。
由 a2 + 3a + 3 = 0 可得 a2 + 3a = -3。
代入得：2a2 + 6a = 2 × (-3) = -6
因此，代数式 2a2 + 6a 的值为 -6。
故答案为：．
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标满足函数解析式，以及整体代入法求代数式的值。将点坐标代入抛物线方程后，不必解出 a，而是通过变形得到 a2 + 3a 的值，再整体代入目标代数式即可求解。
14．【答案】30
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：根据题意可知，垂直平分线的，
，
，
，
，
，
故答案为：30。
【分析】根据题干中的作图方法，可知MN是AB的垂直平分线，由此可得，然后再根据，利用三角形内角和定理求出的度数，即可求出的度数。
15．【答案】13
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：设圆的半径为 r 米。由题意，AB = 24 米，CD = 18 米，且 CD 经过圆心 O 并垂直于弦 AB，垂足为 D。
根据垂径定理，D 为 AB 中点，所以 AD = AB = 12 米。
由图可知，OD = OC - DC = r - 18（注意 C 在圆上，OC = r，且 DC = 18，故 OD = r - 18）。
在 Rt△ AOD 中，由勾股定理：OA2= AD2+ OD2
代入得：r2= 122+ (r - 18)2
展开：r2 = 144 + r2- 36r + 324
两边消去 r2：0 = 144 - 36r + 324
0 = 468 - 36r
解得：36r = 468
r = 13
因此，此圆的半径 OA 的长为 13 米。
故答案为：．
【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的应用。根据垂径定理得到弦长的一半，再结合半径与净高的关系表示出圆心到弦的距离，最后在直角三角形中列方程求解半径。
16．【答案】258
【知识点】推理与论证；逻辑推理
【解析】【解答】解：由数字2、5、8组成的三位数共有6种可能排列：258、285、528、582、825、852； 根据婷婷提供的条件"数字2不在末位"，排除末位为2的排列：排除：582、852；剩余：258、285、528、825；根据乐乐提供的条件"数字5和8必须相邻"，筛选符合条件的排列：258（5和8相邻），285（5和8不相邻），528（5和8不相邻），825（5和8相邻），进一步排除后剩余：258、825；最后根据香香提供的条件"中间的数字不是8"，确定最终答案：258（中间是5），825（中间是2），两个排列都满足该条件，但结合之前步骤，825中的5和8不相邻，因此唯一符合条件的密码是258。故答案为：258．
【分析】本题考查排列组合与逻辑推理能力。首先列出所有可能的数字排列组合，然后根据给定的条件逐步排除不符合要求的选项，最终确定正确答案。
17．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据零指数幂、负整数指数、绝对值性质及特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
18．【答案】解∶ 原式
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题考查分式化简求值的运算能力，解题的关键在于熟练掌握分式的基本运算法则。解题步骤如下：先计算括号内的表达式，将分式除法运算转换为乘法运算（即除以一个分式等于乘以它的倒数），进行分式乘法运算，最后完成加减运算，得到最简形式，将给定的m值代入化简后的表达式求值；注意事项： 在运算过程中要注意分式的基本性质，约分时要确保分子分母都化为最简形式，代入数值时要注意使原分式有意义（分母不为零）。
19．【答案】（1）解：过点作的延长线于，
在中，
∵的坡度为，米，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴（米），（米），
答：点到水平地面的距离为8米；
（2）解：过作于点，则米，
由题意得：（米），
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴（米），
∴（米）．
答：楼房的高为48米．
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】本题以楼房与山坡为背景，综合考查坡度（铅直高度与水平距离之比）的意义、勾股定理的应用以及解直角三角形的实际运用。
（1）过点 E 作 EFBC 的延长线于 F，由坡度 i = 1：2 得 CF = 2EF，在 Rt△ CEF 中利用勾股定理列方程求出 EF，即点 E 到水平地面的距离；
（2）过点 E 作 EH AB 于 H，由俯角 45得 △ AHE 为等腰直角三角形，结合已知水平距离 BC 和 CF 求出 AH，再加上 BH = EF 即得楼房 AB 的高。
（1）解：过点作的延长线于，
在中，
∵的坡度为，米，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴（米），（米），
答：点到水平地面的距离为8米；
（2）过作于点，
则米，
由题意得：（米），
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴（米），
∴（米）．
答：楼房的高为48米．
20．【答案】（1）300，，
C组学生人数：（人），测试成绩分布直方图：
（2）解：（人），
答：估计等级为C的学生约有1750人
（3）解：根据题意，列表如下：
女 女 女 男
女 女，女 女，女 男，女
女 女，女 女，女 男，女
女 女，女 男，女
男 女，男 女，男 女，男 男，女
从表格中可以看出，共有12种等可能结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的有6种结果，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．
答：恰好抽到一名男生和一名女生的概率是
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：随机抽查的学生共有（人），
扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为，
故答案为：300，；
【分析】本题综合考查了频数分布直方图与扇形统计图的应用，涉及扇形圆心角计算、中位数定义以及概率求解方法。解题时需结合图形信息，运用数形结合思想进行分析。（1）数据总量与圆心角计算：总人数可通过B等级人数除以其对应圆心角占圆周角(360°)的比例求得；E等级的圆心角度数用公式：×（E等级人数占比）计算。
（2） 频数估计：C等级人数的估计值为总人数乘以C等级在样本中的比例。
（3） 概率求解：采用列举法（列表或树状图）列出所有等可能结果，筛选符合条件的事件数，再根据概率公式计算概率。
（1）解：随机抽查的学生共有（人），
C组学生人数：（人），
测试成绩分布直方图：
扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为，
故答案为：300，；
（2）解：（人），
答：估计等级为C的学生约有1750人；
（3）解：根据题意，列表如下：
女 女 女 男
女
女，女 女，女 男，女
女 女，女
女，女 男，女
女 女，女
男，女
男 女，男 女，男 女，男 男，女
从表格中可以看出，共有12种等可能结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的有6种结果，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．
答：恰好抽到一名男生和一名女生的概率是．
21．【答案】（1）证明：分别为的中点，
为的中位线，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形
（2）解；如图所示，过点D作于H，
∵为的中点，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】本题重点考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形特性以及三角形中位线定理的应用。掌握这些知识点是解题的关键。
（1）首先根据三角形中位线定理可得：，再通过证明，最终依据平行四边形的判定条件得出结论。
（2）过点D作辅助线，根据中点性质得到。由角度关系得出，进而求得，再通过勾股定理计算得，最后根据平行四边形面积公式完成计算。
（1）证明：分别为的中点，
为的中位线，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解；如图所示，过点D作于H，
∵为的中点，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
22．【答案】（1）解：设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，由题意得：，
解得：，
经检验：当时，则，
∴是原方程的解，
∴，
答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元；
（2）解：设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，由（1）及题意得：，
解得：，
∵m是整数，
∴m取最大值为17；
答：购买吊兰的数量最多为17盆．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题以校园绿植采购为背景，综合考查分式方程的应用以及一元一次不等式的实际运用。
（1）设绿萝单价为 x 元，则吊兰单价为 x+5 元，根据“200 元购买绿萝的盆数等于 300 元购买吊兰的盆数”列分式方程，解方程并检验后得出单价；
（2）设吊兰数量为 m 盆，则绿萝数量为 2m 盆，根据总费用不超过 600 元列不等式，解出 m 的最大整数值。
23．【答案】（1）证明：连结，如图，
∵为的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线
（2）解：∵，，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，在中，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题综合考查了圆周角定理、等腰三角形性质、切线判定、勾股定理、三角形外角性质、相似三角形判定与性质、平行线判定与性质等知识点。其中相似三角形的判定与性质是解题的核心要点。（1）首先连接。根据圆周角定理可知，直径所对的圆周角为直角，因此。再利用圆周角定理和等腰三角形性质可得。通过角度计算得出，从而证明直线是圆的切线。
（2）首先根据三角形外角定理得到。通过平行线的判定和性质推导出。运用勾股定理计算得到。最后利用相似三角形的判定和性质完成求解。
（1）证明：连结，如图，
∵为的直径，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴．
24．【答案】（1）③
（2）解：①∵关于的二次函数是“之一函数”，与轴交于，两点(其中，∴，否则必定经过四个象限，不是“之一函数”，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴解析式为．
②存在符合条件的p点，理由如下：
由第①问知，二次函数，
由知：A点在B点左侧，
当时，，
当时，，
故，，，如图所示：
作交于点Q，作轴于点D．
则，
∴，
∵在中，，
∴
∴
∴，
∴，．
∴．
∴，
设直线的解析式是：，
则将点Q、C代入得：，
解得：，
∴直线的解析式是∶
联立方程组得：，
解得：或
∴存在点P，使得，此时点P的坐标是
（3）解：设即的两解是，
∴
∴，
二次函数的顶点是．
∵关于的二次函数是“之一函数”，
∴其图象一定与x轴有两个交点，否则只能过两个象限，且两个交点必须同号，否则会过四个象限，即且
∴同号，
又∵
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
则，
设，
，
，
，
∵，
，
∴时，
【知识点】反比例函数的性质；二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】（1）解：①在正比例函数中，，所以经过一、三象限，不是“之一函数”．②反比例函数要么经过一、三象限，要不经过二、四象限，不是“之一函数”．
③令，解得，
令，得，
所以抛物线，经过点，，，画出草图图下：
所以抛物线经过一、二、四象限，是“之一函数”．
故答案为：③；
【分析】本题综合考查正比例函数、反比例函数和二次函数的图象性质，涉及全等三角形判定、根与系数关系、二次函数顶点公式和待定系数法等知识。题目难度较大，需要较强的运算能力和数形结合思想。
（1）分别用正比例函数、反比例函数和二次函数的图象特征进行判断。正比例函数和反比例函数可直接判断，二次函数需要绘制草图辅助判断。
（2）①根据"之一函数"定义推导条件，将方程变形为，由此得到，最终确定二次函数解析式；
②先确定点A、B、C的坐标，作辅助线交于点Q，作轴于点D。通过证明确定点Q坐标，再用待定系数法求直线的解析式，通过联立方程组求出点P坐标；
（3）先利用根与系数的关系得到，，由顶点公式得到，根据根据“之一函数”函数的定义推导，由得到，再将前面的结论代入得，化简得，设，则，设，则，则当时，．
（1）解：①在正比例函数中，，所以经过一、三象限，不是“之一函数”．
②反比例函数要么经过一、三象限，要不经过二、四象限，不是“之一函数”．
③令，解得，
令，得，
所以抛物线，经过点，，，画出草图图下：
所以抛物线经过一、二、四象限，是“之一函数”．
故答案为：③；
（2）①∵关于的二次函数是“之一函数”，与轴交于，两点(其中，
∴，否则必定经过四个象限，不是“之一函数”，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴解析式为．
②存在符合条件的p点，理由如下：
由第①问知，二次函数，
由知：A点在B点左侧，
当时，，
当时，，
故，，，如图所示：
作交于点Q，作轴于点D．
则，
∴，
∵在中，，
∴
∴
∴，
∴，．
∴．
∴，
设直线的解析式是：，
则将点Q、C代入得：，
解得：，
∴直线的解析式是∶
联立方程组得：，
解得：或
∴存在点P，使得，此时点P的坐标是；
（3）设
即的两解是，
∴
∴，
二次函数的顶点是．
∵关于的二次函数是“之一函数”，
∴其图象一定与x轴有两个交点，否则只能过两个象限，且两个交点必须同号，否则会过四个象限，即且
∴同号，
又∵
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
则，
设，
，
，
，
∵，
，
∴时，
25．【答案】（1）①×，②√，③√
（2）解：如图，连接，
∵四边形为菱形，
∴，
又∵，
∴为等边三角形．
∵E为中点，
∴，，
，
，
，
∵，
∴为等腰直角三角形，
，
过点F作于点M，
设，
则，
∵，且，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
，
，
∴的面积

（3）解：如图，连接．在菱形中，．
又∵．
∴是等边三角形，
∴，．
又∵．
∴动点Q一定在的外接圆的劣弧上，点A、Q、C、D四点共圆．
连接在上取，连接．
∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
，
当为的直径时，的值最大，此时，．
又∵，
∴的最大值为，
此时，四边形的面积为
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；圆的相关概念；解直角三角形；四点共圆模型
【解析】【解答】（1）解：①菱形的面积等于，故×；②∵四边形是为菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
若E为边中点，则．故②√．
③连接交于点，
∵四边形是为菱形，
∴平分，平分，
∴点到边距离相等，
∴该菱形有内切圆，
∵，
∴该菱形没有外接圆．③√．
【分析】本题综合考查了菱形的性质、等边三角形的判定、勾股定理、解直角三角形、圆的内切与外接条件、全等三角形的性质等知识点，需熟练掌握相关几何定理。
（1）菱形的面积公式为对角线乘积的一半，即，因此①正确。由菱形的性质可知，若，则为等边三角形。当E为中点时，根据等腰三角形三线合一的性质，，故②正确。连接与交于点。菱形的对角线平分和，平分和。根据角平分线性质，点到各边的距离相等，因此菱形存在内切圆。但由于，无法保证四顶点共圆，故无外接圆，③正确。
（2）如图，连接，证明为等边三角形．根据E是中点，得出，，解直角三角形得出，证明为等腰直角三角形，得出，过点F作于点M，设，则，再证明为等腰直角三角形，得出，列方程，求出，得出，再根据的面积求解即可；
（3）如图，连接．证明是等边三角形，得出，．结合．得出动点Q一定在的外接圆的劣弧上，点A、Q、C、D四点共圆．连接在上取，连接．证明，得出，证明为等边三角形，得出，即可得，得出当为的直径时，的值最大，此时，．结合，得出的最大值为，此时，四边形的面积为
（1）解：①菱形的面积等于，故×；
②∵四边形是为菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
若E为边中点，则．故②√．
③连接交于点，
∵四边形是为菱形，
∴平分，平分，
∴点到边距离相等，
∴该菱形有内切圆，
∵，
∴该菱形没有外接圆．③√．
（2）解：如图，连接，
∵四边形为菱形，
∴，
又∵，
∴为等边三角形．
∵E为中点，
∴，，
，
，
，
∵，
∴为等腰直角三角形，
，
过点F作于点M，
设，
则，
∵，且，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
，
，
∴的面积；
（3）解：如图，连接．
在菱形中，．
又∵．
∴是等边三角形，
∴，．
又∵．
∴动点Q一定在的外接圆的劣弧上，点A、Q、C、D四点共圆．
连接在上取，连接．
∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
，
当为的直径时，的值最大，此时，．
又∵，
∴的最大值为，
此时，四边形的面积为．
1 / 1湖南省长沙市雅礼教育集团2025年中考二模数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
1．（2025·长沙模拟）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：对于选项A、B、D中的图形，无法找到某个旋转点使其在旋转180°后与原图形完全重合，因此它们不符合中心对称图形的定义。
选项C中的图形存在一个旋转中心点，当图形绕该点旋转180°时能够与原图形完全重合，因此选项C是中心对称图形。
故选：C．
【分析】本题主要考查中心对称图形的概念判定。根据数学定义，中心对称图形需满足存在一个对称中心点，使图形绕该点旋转180°后与原图形完全重合。解题时需根据这一核心特征对各选项进行逐一分析判断。
2．（2025·长沙模拟）全国家电以旧换新活动如火如荼地进行，截至2024年12月24日有2963.8万消费者购买了8大类家电产品约4590万台．数据4590万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：题目中给出的数据是“4590万”，
首先要将其转换为具体的数值。
因为“1万”等于 10^4，所以 4590 万 = 4590= 45900000。
接下来用科学记数法表示 45900000。
科学记数法的形式为 a，其中 1|a| < 10，n 为整数。
将 45900000 写成 4.59，
因为 4.59 就等于 45900000。
所以4590 万用科学记数法表示为 4.59。
故选：C．
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数。关键是把“万”转换为数值，再写成 a的形式，其中 1|a| < 10，n 为整数位数减 1。
3．（2025·长沙模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；去括号法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，计算结果正确，A不符合题意；
B：，计算过程和结果都正确，B符合题意；C：，展开正确，C不符合题意；
D：，展开公式正确，D不符合题意。
故选：B。
【分析】本题主要考查整式的运算，包括幂的运算性质、同底数幂的乘法法则以及完全平方公式的应用。
4．（2025·长沙模拟）王维名句：“桃红复含宿雨，柳绿更带朝烟”，描绘了田园生活的美好．将“桃”“红”“柳”“绿”“烟”“雨”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“桃”字所在面相对面上的汉字是（　　）
A．红 B．柳 C．烟 D．雨
【答案】D
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】根据正方体的展开图特征分析可知：与"桃"字所在面相对的面上的汉字是"雨"。
故选：D．
【分析】本题主要考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是解题关键。通过分析正方体展开图的特征即可得出答案。
5．（2025·长沙模拟）某校举行健美操比赛，甲、乙、丙三个班各选10名学生参加比赛．若参赛学生的平均身高都是1.65米，方差分别是，，，则参赛学生身高比较整齐的班级是（　　）
A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．同样整齐
【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：三个班级参赛学生的平均身高相同，均为 1.65 米。
方差分别为：= 0.9， = 2.4，= 2.8。
方差越小，说明该组数据的波动越小，身高越整齐。
比较三个方差的大小：0.9 < 2.4 < 2.8，
因此甲班的方差最小，身高最整齐。
故参赛学生身高比较整齐的班级是 甲班。
故选：A。
【分析】本题考查方差的意义。方差反映一组数据的离散程度，方差越小，数据越稳定、越整齐。在平均数相同的情况下，直接比较方差大小即可作出判断。
6．（2025·长沙模拟）将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，． 若，则的度数为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：∵，，∴，
∵，∴．
故选：B．
【分析】本题主要考查平行线的性质及其应用。解题的关键在于灵活运用平行线的性质定理。具体步骤如下： 根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等），可得：，再利用角的和差关系进行后续计算。
7．（2025·长沙模拟）如图，是的直径，点在上，若，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
在中，，
∴，
∵点在上，即四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，即，
故选：B ．
【分析】本题主要考查直径所对的圆周角性质以及圆内接四边形的性质，掌握这些知识是解题关键。首先，连接线段AD，根据直径所对圆周角为直角的性质可知，∠ADB=90°；再根据直角三角形两锐角互余的性质，可得∠BAD=70°；最后利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出所求角度。
8．（2025·长沙模拟）《孙子算经》是我国古代数学经典著作，书中记载了这样一道题目：今有三人共车，二车空：二人共车、九人步、人与车各几何？其意思是：今有3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行．人与车各多少？若设有人，车辆，则可列方程组是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可列出方程组．
故答案为：B．
【分析】
根据“3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，解答即可．
9．（2025·长沙模拟）若函数与函数的图象如图所示，则不等式的解集是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；数形结合
【解析】【解答】解：∵反比例函数与一次函数的图象的交点为，，
由函数图象可知，不等式的解集是，
故选：A．
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键在于运用数形结合思想进行分析。具体解法为：确定反比例函数图象位于一次函数图象上方时对应的自变量取值范围即可。
10．（2025·长沙模拟）如图，矩形中，E是中点，于点F，连接，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有(　　)
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①③④
【答案】D
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】∵矩形，
∴，，，
∴，
∴
∵E是中点，∴，故①正确；
设，则
∵，∴，
∴，
∴，即，
∴(舍去负值)，
∴，故②错误；
∵，∴，
过点F作于点G，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确，
故，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴故③正确，
故选：D．
【分析】这道题目主要考查了矩形的性质、勾股定理的应用、相似三角形的判定与性质，以及正切值的求解方法.解题时需要注意，正确的解题顺序应该是先推导第④步，再推导第③步，这是解题的关键所在。由得到，继而得到，由此判定①，设，则，证明得，从而求出，再用正切的定义得，由此判断②，过点F作于点G，则，利用，求出和，继而求出，由此判断④，再根据④正确得到，然后用余角的性质和等量代换得到，从而判断③．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（2025·长沙模拟）函数 中，自变量x的取值范围是　 　．
【答案】x≥3
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案是：x≥3．
【分析】根据二次根式 有意义的条件是a≥0，即可求解．
12．（2025·长沙模拟）一个圆锥的侧面积是，它的底面半径是3，则它的母线长等于　 　．
【答案】4
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设母线长为R，底面半径是3，∴，
解得：．
故答案为：4．
【分析】本题主要考查圆锥的侧面积计算，需要掌握圆锥侧面积的公式及其应用。解题步骤：根据题目条件建立方程，代入圆锥侧面积公式，解方程求出未知量，注意要确保单位统一，计算过程准确。
13．（2025·长沙模拟）若是抛物线上的点，则代数式的值为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：已知点 (a， 1) 在抛物线 y = x2 + 3x + 4 上，
则将横坐标 x = a、纵坐标 y = 1 代入抛物线方程，
得：1 = a2 + 3a + 4
移项整理：a2 + 3a + 4 - 1 = 0 \
a2 + 3a + 3 = 0
但这里不需要解 a，而是求 2a2 + 6a 的值。
观察发现 2a2 + 6a = 2(a2 + 3a)。
由 a2 + 3a + 3 = 0 可得 a2 + 3a = -3。
代入得：2a2 + 6a = 2 × (-3) = -6
因此，代数式 2a2 + 6a 的值为 -6。
故答案为：．
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标满足函数解析式，以及整体代入法求代数式的值。将点坐标代入抛物线方程后，不必解出 a，而是通过变形得到 a2 + 3a 的值，再整体代入目标代数式即可求解。
14．（2025·长沙模拟）如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，则的度数为　 　°．
【答案】30
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：根据题意可知，垂直平分线的，
，
，
，
，
，
故答案为：30。
【分析】根据题干中的作图方法，可知MN是AB的垂直平分线，由此可得，然后再根据，利用三角形内角和定理求出的度数，即可求出的度数。
15．（2025·长沙模拟）某施工队在修建高铁时，需修建隧道，如图是高铁隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径的长为　 　．
【答案】13
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：设圆的半径为 r 米。由题意，AB = 24 米，CD = 18 米，且 CD 经过圆心 O 并垂直于弦 AB，垂足为 D。
根据垂径定理，D 为 AB 中点，所以 AD = AB = 12 米。
由图可知，OD = OC - DC = r - 18（注意 C 在圆上，OC = r，且 DC = 18，故 OD = r - 18）。
在 Rt△ AOD 中，由勾股定理：OA2= AD2+ OD2
代入得：r2= 122+ (r - 18)2
展开：r2 = 144 + r2- 36r + 324
两边消去 r2：0 = 144 - 36r + 324
0 = 468 - 36r
解得：36r = 468
r = 13
因此，此圆的半径 OA 的长为 13 米。
故答案为：．
【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的应用。根据垂径定理得到弦长的一半，再结合半径与净高的关系表示出圆心到弦的距离，最后在直角三角形中列方程求解半径。
16．（2025·长沙模拟）某教室的储物柜密码由三个不同的数字组成，婷婷、乐乐、香香三人都开过，但都记不清了．婷婷记得：有个数字是2，但不是最后一个数字；乐乐记得：有两个数是5和8，并且它们的位置相邻；香香记得：中间的数字不是8．根据以上信息，可以确定密码是　 　．
【答案】258
【知识点】推理与论证；逻辑推理
【解析】【解答】解：由数字2、5、8组成的三位数共有6种可能排列：258、285、528、582、825、852； 根据婷婷提供的条件"数字2不在末位"，排除末位为2的排列：排除：582、852；剩余：258、285、528、825；根据乐乐提供的条件"数字5和8必须相邻"，筛选符合条件的排列：258（5和8相邻），285（5和8不相邻），528（5和8不相邻），825（5和8相邻），进一步排除后剩余：258、825；最后根据香香提供的条件"中间的数字不是8"，确定最终答案：258（中间是5），825（中间是2），两个排列都满足该条件，但结合之前步骤，825中的5和8不相邻，因此唯一符合条件的密码是258。故答案为：258．
【分析】本题考查排列组合与逻辑推理能力。首先列出所有可能的数字排列组合，然后根据给定的条件逐步排除不符合要求的选项，最终确定正确答案。
三、解答题：本题共9小题，其中17、18、19题每小题6分，20、21题每小题8分， 22、23题每小题9分， 24、25题每小题10分， 共72分．
17．（2025·长沙模拟）计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据零指数幂、负整数指数、绝对值性质及特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
18．（2025·长沙模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解∶ 原式
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题考查分式化简求值的运算能力，解题的关键在于熟练掌握分式的基本运算法则。解题步骤如下：先计算括号内的表达式，将分式除法运算转换为乘法运算（即除以一个分式等于乘以它的倒数），进行分式乘法运算，最后完成加减运算，得到最简形式，将给定的m值代入化简后的表达式求值；注意事项： 在运算过程中要注意分式的基本性质，约分时要确保分子分母都化为最简形式，代入数值时要注意使原分式有意义（分母不为零）。
19．（2025·长沙模拟）如图，一楼房后有一假山，的坡度为，山坡坡面上点处有一休息亭，测得假山脚与楼房水平距离米，与亭子距离米，小丽从楼房房顶测得的俯角为．
（1）求点到水平地面的距离；
（2）求楼房的高．
【答案】（1）解：过点作的延长线于，
在中，
∵的坡度为，米，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴（米），（米），
答：点到水平地面的距离为8米；
（2）解：过作于点，则米，
由题意得：（米），
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴（米），
∴（米）．
答：楼房的高为48米．
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】本题以楼房与山坡为背景，综合考查坡度（铅直高度与水平距离之比）的意义、勾股定理的应用以及解直角三角形的实际运用。
（1）过点 E 作 EFBC 的延长线于 F，由坡度 i = 1：2 得 CF = 2EF，在 Rt△ CEF 中利用勾股定理列方程求出 EF，即点 E 到水平地面的距离；
（2）过点 E 作 EH AB 于 H，由俯角 45得 △ AHE 为等腰直角三角形，结合已知水平距离 BC 和 CF 求出 AH，再加上 BH = EF 即得楼房 AB 的高。
（1）解：过点作的延长线于，
在中，
∵的坡度为，米，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴（米），（米），
答：点到水平地面的距离为8米；
（2）过作于点，
则米，
由题意得：（米），
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴（米），
∴（米）．
答：楼房的高为48米．
20．（2025·长沙模拟）人工智能的应用非常广泛，比如自然语言处理、语音和图象识别、搜索排名、专家系统等．为了解学生对人工智能应用的知晓程度，某校随机抽查部分中学生，进行知识测试，得分用x表示，数据分组为A：，B：，C：，D：，E：，并将测试成绩绘制成如下不完整的统计图，请根据图表信息回答问题：
（1）随机抽查的学生共有______人；扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为______．并补全测试成绩频数分布直方图．
（2）该校约有7000名学生，请估算等级为C的学生约有多少人？
（3）在本次调查中，等级为E的学生中，仅有一名男生和三名女生的测试成绩为满分，若从中随机抽取两人进行活动交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）300，，
C组学生人数：（人），测试成绩分布直方图：
（2）解：（人），
答：估计等级为C的学生约有1750人
（3）解：根据题意，列表如下：
女 女 女 男
女 女，女 女，女 男，女
女 女，女 女，女 男，女
女 女，女 男，女
男 女，男 女，男 女，男 男，女
从表格中可以看出，共有12种等可能结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的有6种结果，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．
答：恰好抽到一名男生和一名女生的概率是
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：随机抽查的学生共有（人），
扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为，
故答案为：300，；
【分析】本题综合考查了频数分布直方图与扇形统计图的应用，涉及扇形圆心角计算、中位数定义以及概率求解方法。解题时需结合图形信息，运用数形结合思想进行分析。（1）数据总量与圆心角计算：总人数可通过B等级人数除以其对应圆心角占圆周角(360°)的比例求得；E等级的圆心角度数用公式：×（E等级人数占比）计算。
（2） 频数估计：C等级人数的估计值为总人数乘以C等级在样本中的比例。
（3） 概率求解：采用列举法（列表或树状图）列出所有等可能结果，筛选符合条件的事件数，再根据概率公式计算概率。
（1）解：随机抽查的学生共有（人），
C组学生人数：（人），
测试成绩分布直方图：
扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为，
故答案为：300，；
（2）解：（人），
答：估计等级为C的学生约有1750人；
（3）解：根据题意，列表如下：
女 女 女 男
女
女，女 女，女 男，女
女 女，女
女，女 男，女
女 女，女
男，女
男 女，男 女，男 女，男 男，女
从表格中可以看出，共有12种等可能结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的有6种结果，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．
答：恰好抽到一名男生和一名女生的概率是．
21．（2025·长沙模拟）如图，等边三角形的边长是4，D，E分别为的中点，延长至点F，使连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）证明：分别为的中点，
为的中位线，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形
（2）解；如图所示，过点D作于H，
∵为的中点，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】本题重点考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形特性以及三角形中位线定理的应用。掌握这些知识点是解题的关键。
（1）首先根据三角形中位线定理可得：，再通过证明，最终依据平行四边形的判定条件得出结论。
（2）过点D作辅助线，根据中点性质得到。由角度关系得出，进而求得，再通过勾股定理计算得，最后根据平行四边形面积公式完成计算。
（1）证明：分别为的中点，
为的中位线，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解；如图所示，过点D作于H，
∵为的中点，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
22．（2025·长沙模拟）在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．
（1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？
（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？
【答案】（1）解：设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，由题意得：，
解得：，
经检验：当时，则，
∴是原方程的解，
∴，
答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元；
（2）解：设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，由（1）及题意得：，
解得：，
∵m是整数，
∴m取最大值为17；
答：购买吊兰的数量最多为17盆．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题以校园绿植采购为背景，综合考查分式方程的应用以及一元一次不等式的实际运用。
（1）设绿萝单价为 x 元，则吊兰单价为 x+5 元，根据“200 元购买绿萝的盆数等于 300 元购买吊兰的盆数”列分式方程，解方程并检验后得出单价；
（2）设吊兰数量为 m 盆，则绿萝数量为 2m 盆，根据总费用不超过 600 元列不等式，解出 m 的最大整数值。
23．（2025·长沙模拟）如图，为的直径，在位于异侧的上分别取点，，连接，，，，交于点，射线交的延长线于点，延长交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：连结，如图，
∵为的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线
（2）解：∵，，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，在中，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题综合考查了圆周角定理、等腰三角形性质、切线判定、勾股定理、三角形外角性质、相似三角形判定与性质、平行线判定与性质等知识点。其中相似三角形的判定与性质是解题的核心要点。（1）首先连接。根据圆周角定理可知，直径所对的圆周角为直角，因此。再利用圆周角定理和等腰三角形性质可得。通过角度计算得出，从而证明直线是圆的切线。
（2）首先根据三角形外角定理得到。通过平行线的判定和性质推导出。运用勾股定理计算得到。最后利用相似三角形的判定和性质完成求解。
（1）证明：连结，如图，
∵为的直径，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴．
24．（2025·长沙模拟）中国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万乘休”．在函数的学习中，常常利用数形结合思想来探究函数的图象与性质．我们不妨约定：图象经过平面直角坐标系中三个象限的函数称为“之一函数”，例如一次函数经过第一、二、三象限，即属于“之一函数”．
（1）在下列关于的函数中，是“之一函数”的是 (填序号)．
①；②；③．
（2）①若关于的二次函数是“之一函数”，与轴交于A，B两点(其中，与轴交于点C，且，求该二次函数的解析式．
②在（1）的条件下，点P是二次函数图象第一象限上的点，问是否存在点P，使得，若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
（3）若关于的二次函数是“之一函数”，其图象与轴交于A、B两点，顶点为点D，与轴交于点C，点M是的中点，点O是坐标原点，已知且，，试求：的最大值．
【答案】（1）③
（2）解：①∵关于的二次函数是“之一函数”，与轴交于，两点(其中，∴，否则必定经过四个象限，不是“之一函数”，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴解析式为．
②存在符合条件的p点，理由如下：
由第①问知，二次函数，
由知：A点在B点左侧，
当时，，
当时，，
故，，，如图所示：
作交于点Q，作轴于点D．
则，
∴，
∵在中，，
∴
∴
∴，
∴，．
∴．
∴，
设直线的解析式是：，
则将点Q、C代入得：，
解得：，
∴直线的解析式是∶
联立方程组得：，
解得：或
∴存在点P，使得，此时点P的坐标是
（3）解：设即的两解是，
∴
∴，
二次函数的顶点是．
∵关于的二次函数是“之一函数”，
∴其图象一定与x轴有两个交点，否则只能过两个象限，且两个交点必须同号，否则会过四个象限，即且
∴同号，
又∵
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
则，
设，
，
，
，
∵，
，
∴时，
【知识点】反比例函数的性质；二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】（1）解：①在正比例函数中，，所以经过一、三象限，不是“之一函数”．②反比例函数要么经过一、三象限，要不经过二、四象限，不是“之一函数”．
③令，解得，
令，得，
所以抛物线，经过点，，，画出草图图下：
所以抛物线经过一、二、四象限，是“之一函数”．
故答案为：③；
【分析】本题综合考查正比例函数、反比例函数和二次函数的图象性质，涉及全等三角形判定、根与系数关系、二次函数顶点公式和待定系数法等知识。题目难度较大，需要较强的运算能力和数形结合思想。
（1）分别用正比例函数、反比例函数和二次函数的图象特征进行判断。正比例函数和反比例函数可直接判断，二次函数需要绘制草图辅助判断。
（2）①根据"之一函数"定义推导条件，将方程变形为，由此得到，最终确定二次函数解析式；
②先确定点A、B、C的坐标，作辅助线交于点Q，作轴于点D。通过证明确定点Q坐标，再用待定系数法求直线的解析式，通过联立方程组求出点P坐标；
（3）先利用根与系数的关系得到，，由顶点公式得到，根据根据“之一函数”函数的定义推导，由得到，再将前面的结论代入得，化简得，设，则，设，则，则当时，．
（1）解：①在正比例函数中，，所以经过一、三象限，不是“之一函数”．
②反比例函数要么经过一、三象限，要不经过二、四象限，不是“之一函数”．
③令，解得，
令，得，
所以抛物线，经过点，，，画出草图图下：
所以抛物线经过一、二、四象限，是“之一函数”．
故答案为：③；
（2）①∵关于的二次函数是“之一函数”，与轴交于，两点(其中，
∴，否则必定经过四个象限，不是“之一函数”，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴解析式为．
②存在符合条件的p点，理由如下：
由第①问知，二次函数，
由知：A点在B点左侧，
当时，，
当时，，
故，，，如图所示：
作交于点Q，作轴于点D．
则，
∴，
∵在中，，
∴
∴
∴，
∴，．
∴．
∴，
设直线的解析式是：，
则将点Q、C代入得：，
解得：，
∴直线的解析式是∶
联立方程组得：，
解得：或
∴存在点P，使得，此时点P的坐标是；
（3）设
即的两解是，
∴
∴，
二次函数的顶点是．
∵关于的二次函数是“之一函数”，
∴其图象一定与x轴有两个交点，否则只能过两个象限，且两个交点必须同号，否则会过四个象限，即且
∴同号，
又∵
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
则，
设，
，
，
，
∵，
，
∴时，
25．（2025·长沙模拟）已知四边形为菱形，，．
（1）如图1，判断下列说法是否正确，正确请在括号内画“√”，不正确请在括号内画“”．
①菱形的面积等于．（　　）
②若E为边中点，则．（　　）
③该菱形有内切圆，但没有外接圆．（　　）
（2）如图2，点E在边上，F为边上一点，连接，过点E作交边于点P，若E为中点，，求的面积．
（3）如图3，Q为菱形内一动点，连接，满足，求的最大值，及此时四边形的面积．
【答案】（1）①×，②√，③√
（2）解：如图，连接，
∵四边形为菱形，
∴，
又∵，
∴为等边三角形．
∵E为中点，
∴，，
，
，
，
∵，
∴为等腰直角三角形，
，
过点F作于点M，
设，
则，
∵，且，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
，
，
∴的面积

（3）解：如图，连接．在菱形中，．
又∵．
∴是等边三角形，
∴，．
又∵．
∴动点Q一定在的外接圆的劣弧上，点A、Q、C、D四点共圆．
连接在上取，连接．
∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
，
当为的直径时，的值最大，此时，．
又∵，
∴的最大值为，
此时，四边形的面积为
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；圆的相关概念；解直角三角形；四点共圆模型
【解析】【解答】（1）解：①菱形的面积等于，故×；②∵四边形是为菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
若E为边中点，则．故②√．
③连接交于点，
∵四边形是为菱形，
∴平分，平分，
∴点到边距离相等，
∴该菱形有内切圆，
∵，
∴该菱形没有外接圆．③√．
【分析】本题综合考查了菱形的性质、等边三角形的判定、勾股定理、解直角三角形、圆的内切与外接条件、全等三角形的性质等知识点，需熟练掌握相关几何定理。
（1）菱形的面积公式为对角线乘积的一半，即，因此①正确。由菱形的性质可知，若，则为等边三角形。当E为中点时，根据等腰三角形三线合一的性质，，故②正确。连接与交于点。菱形的对角线平分和，平分和。根据角平分线性质，点到各边的距离相等，因此菱形存在内切圆。但由于，无法保证四顶点共圆，故无外接圆，③正确。
（2）如图，连接，证明为等边三角形．根据E是中点，得出，，解直角三角形得出，证明为等腰直角三角形，得出，过点F作于点M，设，则，再证明为等腰直角三角形，得出，列方程，求出，得出，再根据的面积求解即可；
（3）如图，连接．证明是等边三角形，得出，．结合．得出动点Q一定在的外接圆的劣弧上，点A、Q、C、D四点共圆．连接在上取，连接．证明，得出，证明为等边三角形，得出，即可得，得出当为的直径时，的值最大，此时，．结合，得出的最大值为，此时，四边形的面积为
（1）解：①菱形的面积等于，故×；
②∵四边形是为菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
若E为边中点，则．故②√．
③连接交于点，
∵四边形是为菱形，
∴平分，平分，
∴点到边距离相等，
∴该菱形有内切圆，
∵，
∴该菱形没有外接圆．③√．
（2）解：如图，连接，
∵四边形为菱形，
∴，
又∵，
∴为等边三角形．
∵E为中点，
∴，，
，
，
，
∵，
∴为等腰直角三角形，
，
过点F作于点M，
设，
则，
∵，且，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
，
，
∴的面积；
（3）解：如图，连接．
在菱形中，．
又∵．
∴是等边三角形，
∴，．
又∵．
∴动点Q一定在的外接圆的劣弧上，点A、Q、C、D四点共圆．
连接在上取，连接．
∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
，
当为的直径时，的值最大，此时，．
又∵，
∴的最大值为，
此时，四边形的面积为．
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