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专题01 二次根式
题型目录
题型一 二次根式的定义
题型二 二次根式有意义的条件
题型三 二次根式的性质与化简
题型四 最简二次根式
题型五 二次根式的乘除法
题型六 二次根式的加减法
题型七 二次根式的混合运算
题型八 二次根式的应用
题型九 二次根式中的阅读材料题
题型一 二次根式的定义
1．（2025春 西湖区校级期中）下列各式中，是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用二次根式的定义：形如（a≥0）的代数式，逐一分析即可得出答案．
【解答】解：A、的根指数是3，不是二次根式，不符合题意；
B、的被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意；
C、的被开方数7一定大于0，符合题意；
D、的中的a可能小于0，不一定为二次根式，不符合题意．
故选：C．
2．（2025春 鹿城区校级期中）当x＝1时，二次根式的值是（　　）
A．2 B．±2 C．4 D．±4
【答案】A
【分析】利用代入法，代入所求的式子即可．
【解答】解：当x＝1时，2．
故选：A．
3．（2025春 玉环市期中）已知是正整数，则自然数n的最小值为（　　）
A．12 B．6 C．4 D．3
【答案】D
【分析】如果带根号的数是正整数，则被开方数为完全平方数，据此求值即可．
【解答】解：∵是正整数，
∴12n是完全平方数，
∵12×3＝36＝62，
∴自然数n的最小值为3．
故选：D．
4．（2025春 龙湾区期中）当x＝﹣6时，二次根式的值为　4　 ．
【答案】4
【分析】把x的值代入已知二次根式中，然后将其化为最简二次根式．
【解答】解：把x＝﹣6代入，得
4．
故答案为：4．
题型二 二次根式有意义的条件
5．（2025春 瑞安市校级期中）若二次根式有意义，则x的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数得出x﹣4≥0，求解即可得解．
【解答】解：根据题意可知，x﹣4≥0，
解得：x≥4，
∴x的值可以是4．
故选：D．
6．（2025春 义乌市校级期中）二次根式中字母x的取值范围为（　　）
A．x≠﹣3 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x＜﹣3
【答案】B
【分析】根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列不等式组求解即可．
【解答】解：根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件得：，
解得：x＞﹣3．
故选：B．
7．（2025春 拱墅区校级期中）若为整数，x为正整数，则满足条件的x的值有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】根据5﹣x≥0，为整数，x为正整数，即可求解．
【解答】解：∵有意义，
∴5﹣x≥0
∴x≤5，
∵为整数，x为正整数，
又∵，，
∴5﹣x＝1或5﹣x＝4或5﹣x＝0，
解得x＝4或x＝1或x＝5，
∴满足条件的x的值有3个，
故选：D．
8．（2025春 慈溪市校级期中）能使等式成立的x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣2 B．x≥1且x≠2 C．x≥2 D．x＞2
【答案】D
【分析】由题意知，x﹣1≥0，x﹣2＞0，求解作答即可．
【解答】解：根据二根式有意义的条件，分式有意义的条件可知：
x﹣1≥0，x﹣2＞0，
解得x＞2，
故选：D．
9．（2025春 丽水期中）已知实数m满足，那么m﹣20242的值为（　　）
A．﹣2025 B．2025 C．2024 D．﹣2024
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件求得m的取值范围，再根据绝对值的性质进行化简并整理，最后两边同时平方后即可求得答案．
【解答】解：∵实数m满足，
∴m﹣2025≥0，
∴m≥2025，
∴2024﹣m＜0，
原式化为m﹣2024m，
整理得：2024，
两边同时平方得：m﹣2025＝20242，
则m﹣20242＝2025，
故选：B．
10．（2025春 北仑区校级期中）代数式中，a的取值范围是a≥2　 ．
【答案】a≥2．
【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，由此计算即可．
【解答】解：根据题意得2a﹣4≥0，
解得a≥2，
故答案为：a≥2．
11．（2025春 椒江区校级期中）当x＝　1（答案不唯一）　 时，是整数．（写出一个符合条件的x的值）
【答案】1（答案不唯一）
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围，即可得到答案．
【解答】解：若二次根式有意义，
则10﹣x≥0，
解得：x≤10，
当x＝1时，是整数，
故答案为：1（答案不唯一）．
12．（2025春 兰溪市校级期中）若a、b都为实数，且，ab＝　1　 ．
【答案】1．
【分析】根据题意可得a＝2，b＝0，继而代入ab中即可求出本题答案．
【解答】解：由条件可得，
解得：a＝2，
∴b＝0，
∴ab＝20＝1，
故答案为：1．
13．（2025春 诸暨市期中）已知实数a，b，c满足，则a+b﹣c的值为　18　 ．
【答案】18．
【分析】先根据二次根式有意义求出a的值，再根据非负数的性质求出b、c的值，问题即可得解．
【解答】解：根据题意得，
解得a＝8，
∵，
∴|c+5|+（b﹣5）2＝0，
∴c+5＝0，b﹣5＝0，
∴c＝﹣5，b＝5，
∴a+b﹣c＝8+5﹣（﹣5）＝8+5+5＝18，
故答案为：18．
14．（2025春 临海市期中）已知，求ab的值．
【答案】64．
【分析】先根据二次根式有意义求出a的值，即可得出b的值，再根据有理数的乘方法则计算即可．
【解答】解：根据题意得，
解得a＝4，
∴b＝3，
∴ab＝43＝64．
题型三 二次根式的性质与化简
15．（2025春 温州期中）化简，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】逆用二次根式的乘法法则进行计算，然后根据计算结果进行判断即可．
【解答】解：原式
，
故选：C．
16．（2025春 义乌市期中）若3﹣b，则（　　）
A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3
【答案】D
【分析】结合式子3﹣b可知3﹣b≥0；接下来求解所得不等式便可得出答案．
【解答】解：∵3﹣b，
∴3﹣b≥0，
∴b≤3．
故选：D．
17．（2025春 拱墅区校级期中）下列各式不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式＝﹣2，正确，本选项不符合题意；
B、原式＝﹣3，错误，本选项符合题意；
C、原式＝2，正确，本选项不符合题意；
D、原式＝±3，正确，本选项不符合题意．
故选：B．
18．（2025春 诸暨市期中）若a＜1，则（　　）
A．a B．﹣a C．a﹣2 D．2﹣a
【答案】B
【分析】根据二次公式的性质：|a|和绝对值的性质进行计算即可．
【解答】解：∵a＜1，
∴1﹣a﹣1＝﹣a，
故选：B．
19．（2025春 钱塘区期中）已知﹣1＜a＜0，化简（　　）
A．﹣a+5 B．3a﹣1 C．﹣a﹣5 D．﹣3a+5
【答案】B
【分析】先根据a的取值范围，确定a+2和2a﹣3的正负，然后根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：∵﹣1＜a＜0，
∴a+2＞0，2a﹣3＜0，
∴
＝a+2﹣（3﹣2a）
＝a+2﹣3+2a
＝a+2a﹣3+2
＝3a﹣1，
故选：B．
20．（2025春 北仑区期中）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　）
A．a﹣2b﹣c B．c﹣a C．﹣a+2b+c D．a﹣c
【答案】D
【分析】先根据数轴的定义得出a＞0，c＜b＜0，|c|＞|a|＞|b|，再根据绝对值运算、算术平方根进行化简，然后计算整式的加减即可得．
【解答】解：由题意得：a﹣b﹣c＝a+（﹣b）+（﹣c）＞0，b﹣a＜0，
∴原式＝a+（a﹣b﹣c）﹣（a﹣b）
＝a+a﹣b﹣c﹣a+b
＝a﹣c．
故选：D．
21．（2025春 德清县期中）计算：　1　 ．
【答案】1
【分析】判断1和的大小，根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：∵1，
∴10，
∴1，
故答案为：1．
题型四 最简二次根式
22．（2025春 龙湾区校级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是最简二次根式，故本选项符合题意；
B．的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．的被开方数中的因数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．的被开方数中的因数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．
23．（2025春 宁波期中）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、2是最简二次根式，符合题意；
B、2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、22|x|，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
24．（2025春 龙泉市期中）下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用最简二次根式的概念和二次根式的性质进行化简、辨别．
【解答】解：∵2，
∴不是最简二次根式，
∴选项A不符合题意；
∵，
∴不是最简二次根式，
∴选项B不符合题意；
∵，
∴不是最简二次根式，
∴选项C不符合题意；
∵是最简二次根式，
∴选项D符合题意；
故选：D．
题型五 二次根式的乘除法
25．（2025春 北仑区期中）化简结果正确的是（　　）
A． B． C． D．7
【答案】B
【分析】分子、分母同乘，计算即可．
【解答】解：，
故选：B．
26．（2025春 义乌市期中）计算：　9　 ．
【答案】9．
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：原式9．
故答案为：9．
27．（2025春 鹿城区校级期中）（3）（3）＝　2　 ．
【答案】2
【分析】利用平方差公式直接计算即可．
【解答】解：原式＝9﹣7
＝2．
故答案为：2．
28．（2025春 乳山市期中）已知实数x，y满足．
（1）探究：x与y之间存在怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）计算：求代数式8x2﹣4y2﹣2025的值．
【分析】（1）将式子变形后，再分母有理化得①式：，同理得②式：，将两式相加可得结论；
（2）将x＝y代入原式或①式得：x2＝2035，代入所求式子即可．
【解答】解：（1）根据题意可知，，
∴①，
同理得：②，
①+②得：2x＝2y，
∴x＝y；
（2）把x＝y代入①，得，
∴x2＝2035，
则8x2﹣4y2﹣2025
＝4x2﹣2025
＝8140﹣2025
＝6115．
题型六 二次根式的加减法
29．（2025春 余杭区校级期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的加减法法则计算判断即可．
【解答】解：A、与不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、与不能合并，，故此选项不符合题意；
D、3与不能合并，故此选项不符合题意；
故选：B．
30．（2025春 杭州期中）下列计算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的加减法则、二次根式的性质分别化简判断即可．
【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
31．（2025春 玉环市期中）.计算：．
【答案】．
【分析】先把各个二次根式化成最简二次根式，然后合并即可．
【解答】解：原式
．
题型七 二次根式的混合运算
32．（2025春 滨江区期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据算术平方根和二次根式的运算法则去判断即可．
【解答】解：A．，故此选项不符合题意；
B．，故此选项符合题意；
C．，故此选项不符合题意；
D．，故此选项不符合题意；
故选：B．
33．（2025春 杭州校级期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二次根式乘除法则，加减法则一一判断即可．
【解答】解：A、，本选项错误不符合题意；
B、2，本选项正确符合题意；
C、2与不是同类二次根式，不能合并，本选项错误不符合题意；
D、32，本选项错误不符合题意．
故选：B．
34．（2025春 兰溪市校级期中）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先求算术平方根和平方的计算，最后再算加法．
（2）先用平方差公式计算乘法，再计算加减法．
【解答】解：（1）
＝3+7
＝10；
（2）
．
35．（2025春 瑞安市校级期中）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）首先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
36．（2025春 温州校级期中）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简二次根式，进行二次根式的乘法运算，再合并同类二次根式即可；
（2）先进行平方差公式的计算，化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）；
（2）4﹣5+5＝4．
37．（2025春 西湖区校级期中）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）先根据完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式24
；
（2）原式＝5﹣21+2
＝6﹣22
＝6．
38．（2025春 西湖区校级期中）计算：
（1）；
（2）（）2．
【分析】（1）先根据二次根式的性质，二次根式的乘法化简，然后合并同类二次根式求解即可；
（2）根据完全平方公式展开，化简二次根式，然后合并同类二次根式求解即可．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式5．
39．（2025春 西湖区校级期中）计算：
（1）6；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的加减进行计算即可求解；
（2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式．
40．（2025春 北仑区校级期中）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先算乘法，再算加减即可；
（2）先利用平方差公式，完全平方公式分别计算出各数，再算加减即可．
【解答】解：（1）
＝4
＝3
＝33
＝6；
（2）
＝6﹣3+1+2+2
＝6+2．
41．（2025春 越城区期中）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先算乘除法，再化简，然后计算减法即可；
（2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）
＝2﹣3
＝﹣1；
（2）
＝2﹣21﹣5+3
＝1﹣2．
42．（2025春 任泽区期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成二次根式的运算．规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示：
（1）接力中，自己负责的一步出现错误的是 　甲、乙、丁　 ；
（2）请给出正确的求解过程．
【分析】（1）根据二次根式的运算，化简运算，逐步判断即可得到结果；
（2）根据二次根式的运算，即可得到结果．
【解答】解：（1）老师—甲，，
故甲的原计算错误；
甲—乙，，
故乙的原计算错误；
乙—丙，，
故丙的原计算正确；
丙—丁，不能再化简，
故丁原计算错误，
∴接力中，自己负责的一步出现错误的是甲、乙、丁，
故答案为：甲、乙、丁；
（2）
．
43．（2025春 威海校级期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）已知，A、B为最简二次根式，且A+B＝C，求．
【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）先根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可；
（3）根据最简二次根式的定义可得2x+1＝x+3，可得：x＝2，进而可得、，然后求出，从而可得10x+3y＝320，进而可得y＝100，然后把x，y的值代入中计算即可．
【解答】解：（1）原式
＝44．
（2）原式
．
（3）由条件可知2x+1＝x+3，可得：x＝2，
∴、，
∵A+B＝C，
∴，
∵，
∴10x+3y＝320，
∴20+3y＝320，
解得：y＝100，
∴，
∴的值为14．
题型八 二次根式的应用
44．（2025春 诸暨市期中）如图，矩形内两个相邻正方形的面积分别为9和3，则阴影部分的面积为（　　）
A．8﹣3 B．9﹣3 C．33 D．32
【答案】C
【分析】根据有理数的乘方求出两个正方形的面积，然后根据阴影部分的面积的和为一个矩形的面积列式计算即可得解．
【解答】解：∵两个相邻的正方形，面积分别为3和9，
∴两个正方形的边长分别为，3，
∴阴影部分的面积（3）＝33．
故选：C．
45．（2025春 龙泉市期中）如图，长方形ABCD内相邻的两个正方形面积分别为9，3．
（1）求图中AD的长．
（2）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据两个正方形的面积，可以求得它们的边长，然后即可计算出AD的长；
（2）根据图形和（1）中计算出的两个正方形的边长，可以计算出图中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）∵两个正方形面积分别为9，3，
∴两个正方形的边长分别为，，
∴，
即AD的长为3；
（2）由图可得，
图中阴影部分的面积为：（3）＝33．
46．（2025春 定海区期中）根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内时间只经过秒（c＝3×105千米/秒，v是宇宙飞船的速度）．假定宇宙飞船的速度是2.4×105千米/秒时，当地面经过5分钟时，宇宙飞船内经过多少时间？
【分析】依据题意，当地面时间经过△t秒时，飞船内的时间为，故当地面时间经过5分钟即300秒时，结合，从而可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵光速c＝3×105千米/秒，宇宙飞船的速度为v＝2.4×105千米/秒，且当地面时间经过△t秒时，飞船内的时间为，
∴当地面时间经过5分钟即300秒时，．
∴．
∴飞船内经过的时间为：180（秒）．
47．（2025春 温州期中）已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，BC，求
（1）Rt△ABC的面积．
（2）斜边AB的长．
（3）求AB边上的高．
【分析】（1）根据三角形的面积公式可以解答本题；
（2）根据勾股定理可以解答本题；
（3）根据等积法可以解答本题．
【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，BC，
∴Rt△ABC的面积4，
即Rt△ABC的面积是4；
（2）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，BC，
∴AB2，
即AB的长是2；
（3）∵Rt△ABC的面积是4，AB＝2，
∴AB边上的高是：，
即AB边上的高是．
48．（2025春 柯桥区期中）某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为m，宽AB为m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（1）m，宽为（1）m．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【分析】（1）长方形ABCD的周长是2（）（m）；
（2）先求出空白部分的面积，再根据通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖列式计算即可．
【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2（）＝2（98）＝34（m），
答：长方形ABCD的周长是34（m）；
（2）购买地砖需要花费＝50×[98（1）（1）]
＝50×（144﹣12）
＝50×132
＝6600（元）；
答：购买地砖需要花费6600元．
题型九 二次根式中的阅读材料题
49．（2025春 北仑区校级期中）定义：若两个二次根式m，n满足m n＝p，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”．
（1）若m与是关于10的友好二次根式，求m；
（2）若与是关于6的友好二次根式，求m．
【分析】（1）根据新定义得到m＝10，然后解方程即可；
（2）根据新定义得到（2）（6m）＝6，然后解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得m＝10，
所以m2；
（2）根据题意得（2）（6m）＝6，
12+2m﹣62m＝6，
（22）m＝66，
（1）m＝33，
m3．
50．（2025春 杭州期中）定义：若两个二次根式a，b满足a b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
（1）若与是关于c的共轭二次根式，则c＝ 　6　 ；
（2）若a与是关于4的共轭二次根式，求a的值；
（3）若与是关于12的共轭二次根式，求m的值．
【分析】（1）（2）根据已知条件中的新定义，列出算式进行计算即可；
（3）根据已知条件中的新定义，列出关于m的方程，解方程求出m即可．（　　）
【解答】解：（1）∵与是关于c的共轭二次根式，
∴c，
故答案为：6；
（2）∵a与是关于4的共轭二次根式，
∴，
∴；
（2）∵与是关于12的共轭二次根式，
∴，
，
，
，
∴m＝﹣2．
51．（2025春 越城区期中）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果ax+b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0，且b＝0，运用上述知识解决下列问题：
（1）如果，其中a、b为有理数，那么a＝ 　﹣2　 ，b＝ 　3　 ；
（2）如果，其中a、b为有理数，求a+8b的算术平方根；
（3）若a、b都是有理数，且，试求a+b的立方根．
【分析】（1）根据范例解答即可；
（2）根据题给计算方法计算即可；
（3）根据题给计算方法计算即可．
【解答】解：（1）如果，其中a、b为有理数，则a＝﹣2，b＝3；
故答案为：﹣2；3；
（2）由条件可知a+b＝4，2b﹣a＝5，
解得a＝1，b＝3，
∴a+8b＝1+24＝25，
∴a+8b的算术平方根为5；
（3）由条件可知，解得，
a+b＝1或﹣9，
∴a+b的立方根为1或．
52．（2025春 贡井区校级期中）【阅读材料】
利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，解决下列问题：
【问题解决】
（1）已知，a为整数，求a的值；
（2）已知，a和b均为整数，求ab的值；
【拓展延伸】
（3）化简：．
【分析】（1）将4﹣2变形，即可得到a的值；
（2）将（）2展开，即可得到ab的值；
（3）将所求式子变形，再计算加减法即可．
【解答】解：（1）4﹣2
＝3﹣21
＝（1）2
＝（1）2，
∵，a为整数，
∴a＝1；
（2）（）2
＝10﹣22
＝12﹣4，
∵，a和b均为整数，
∴a＝12，b＝﹣4，
∴ab＝12×（﹣4）＝﹣48；
（3）
1
＝1．
53．（2025春 元氏县校级期中）阅读与思考：请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务．
比较与的大小 嘉嘉的思路：将两个式子分别平方后，再进行比较． 淇淇的思路：以为三边构造一个△ABC，再利用三角形的三边关系进行比较．
任务：
（1）填空：　11+2　 ；
（2）①判断△ABC的形状，并说明理由；
②利用三角形的三边关系判断与的大小；
（3）延伸拓展：直接判断与的大小．
【分析】（1）根据完全平方公式计算即可；
（2）①根据勾股定理逆定理可以判断△ABC的形状；
②根据三角形三边关系可以判断与的大小；
（3）仿照（2）中的方法可以判断与的大小．
【解答】解：（1）
＝5+26
＝11+2，
故答案为：11+2；
（2）①△ABC是直角三角形，
理由：∵，
∴，
∴△ABC是直角三角形；
②∵三角形任意两边之和大于第三边，
∴；
（3），
理由：∵（2）2+（）2＝12+6＝18，（3）2＝18，
∴（2）2+（）2＝（3）2，
∴线段2，，3可以构成直角三角形，
∴．
54．（2025春 饶平县期中）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的．
例如化简，
∵5＝3+2且6＝3×2，
∴
．
（1）横线填上适当的数： 　　 ；
（2）化简：；
（3）当x≥1时，求的值．
【分析】（1）根据题目中的例子，利用完全平方公式开方即可；
（2）根据题目中的例子，将所求式子变形，然后开方即可；
（3）将所求式子变形，然后开方，再算减法即可．
【解答】解：（1）
，
故答案为：；
（2）
；
（3）∵x≥1，
∴
1
＝1．
55．（2025秋 都昌县期中）问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法．
例：已知，求的值．
解：由得x＝2024，
∴y＝2025，∴．
（1）尝试应用：若x，y为实数，且，化简：；
（2）拓展创新：已知，求a﹣b的值．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解；
（2）根据二次根式有意义的条件可求出ab＝10，从而得到a+b＝7，再根据完全平方公式的变形，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：x＝3，
∴y＞2，
∴1﹣y＜0，
∴1；
（2）由题意得：，
解得：ab＝10，
∴b＝﹣a+7，
∴a+b＝7，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝72﹣4×10＝9，
∴a﹣b＝±3．
56．（2025春 拱墅区校级期中）有一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等．
（1）猜想的结果并证明；
（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，n≥2）表示含有上述规律的等式，并给出证明；
（3）按此规律，若（a，b为正整数），则a+b的值为 　71　 ．
【分析】（1）先把被开方数化成假分数，然后把二次根式化简即可；
（2）根据已知条件和（1）中的式子用正整数n表示含有已知条件规律的等式，进行证明即可；
（3）根据（2）中的规律，求出a，b，再代入a+b进行计算即可．
【解答】解：（1），证明如下：
；
（2），证明如下：
；
（3）∵（a，b为正整数），
∴a＝8，b＝82﹣1＝64﹣1＝63，
∴a+b＝8+63＝71，
故答案为：71．
57．（2025秋 榕城区期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b其中a、b、m、n均为整数），则有a+b．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a，用含m、n的式子分别表示a、b，则a＝ m2+3n2 ，b＝ 　2mn ；
（2）7+4的算术平方根为 　　 ；
（3）若a+6，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（4）化简：．
【分析】（1）根据完全平方公式将等式右边展开，合并，再与等式左边比较即可求解；
（2）利用完全平方公式的运算法则将给出的式子进行变形，然后再进行求解即可；
（3）利用完全平方公式的运算法则将给出的式子进行化简，得出相关等式，分类讨论即可；
（4）先计算的值，再求出结果的算术平方根，即可解答．
【解答】解：，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn，
故答案为：m2+3n2，2mn；
，
故答案为：；
，
∴a＝m2+3n2，2mn＝6，即mn＝3，
∵a、m、n 均为正整数，
∴m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，
∴当m＝1，n＝3时，a＝m2+3n2＝1+3×9＝28；
当m＝3，n＝1时，a＝m2+3n2＝9+3×1＝12；
∴a的值为28或12；
，
∴．
58．（2025春 浦北县期中）阅读材料：形如式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有．
例如：化简．
解：．
由于4+3＝7，4×3＝12，即，，
所以．
请根据以上材料解答下列问题：
（1）化简：①；
②；
（2）计算：．
【分析】（1）根据已知条件中方法，把被开方数写成一个完全平方式，然后利用二次根式的性质进行化简即可；
（2）根据已知条件中方法，把被开方数写成一个完全平方式，然后利用二次根式的性质进行化简，最后分母有理化即可．
【解答】解：（1）①∵3+1＝4，3×1＝3，即，，
∴；
②∵15+4＝19，15×4＝60，即，，
∴；
（2）原式
＝1．
59．（2025春 东莞市校级期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，则其中三角形的面积S．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设p，那么其三角形的面积S，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦一秦九韶公式．
（1）如图1，若△ABC的三边长依次为BC＝a＝5，AC＝b＝6，AB＝c＝7，
①利用以上任一公式（任选一个公式即可），求该三角形的面积S；
②除了利用以上公式，你还可以用什么办法求出该三角形的面积S？请写出求解过程；
（2）如图2，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝8，AD＝7，求该四边形的面积．
【分析】（1）法一根据海伦公式即可得到结论；法二根据秦九韶公式即可得到结论；
（2）连接AC，过A作AE⊥CD于E，由勾股定理求出AC，设CE＝x，则DE＝7﹣x，由勾股定理得出方程，解方程求出CE，再由勾股定理求出AE，四边形的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积，即可得出结果．
【解答】解：（1）①法一：海伦公式
∵a＝5，b＝6，c＝7，
∴p（a+b+c）＝9，
∴S6；
法二：秦九韶公式
∵a＝5，b＝6，c＝7，
∴S
＝6；
②过点B作BH⊥AC于H，设AH＝x，则CH＝6﹣x，
在Rt△BHA中，BH2＝72﹣x2，
在Rt△BHC中，BH2＝52﹣（6﹣x）2，
∴72﹣x2＝52﹣（6﹣x）2，
解x＝5，
∴BH2，
∴S；
（2）解：连接AC，如图：
∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC5，
在△ACD中，P，
∴
，
∴该四边形的面积＝S△ABC+S△ACD＝6+10．
60．（2025春 锡山区校级期中）阅读下面内容：
我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：
当a＞0，b＞0时，∵；
∴，当且仅当a＝b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，的最小值为　2　 ；
（2）当x＞3时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD的面积的最小值．
【分析】（1）当x＞0时，直接根据公式计算即可；
（2）将原式化为：，再利用公式计算的形式，计算即可；
（3）设S△AOD＝x，根据等高三角形的性质得出，结合图形确定S四边形ABCD＝S△AOB+S△COD+S△BOC+S△AOD，代入计算，利用题中性质求解即可．
【解答】解：（1）当x＞0时，，
∴的最小值为2；
故答案为：2；
（2）∵x＞3，
∴，
而，
当时，
∴（x﹣3）2＝4，
解得：x＝5或x＝1（不符合题意，舍去），
即x＝5时，等号成立，
∴y≥4，
∴当x＝5时，有最小值，为4．
（3）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，
设S△AOD＝x，
∵△AOD与△AOB同高，△COD与△BOC同高，
∴S△AOB：S△AOD＝BO：OD＝S△BOC：S△COD，
由题知S△AOB＝4，S△COD＝9，
∴4：x＝S△BOC：9，
∴，
∵S四边形ABCD＝S△AOB+S△COD+S△BOC+S△AOD
，
∵，
∴S四边形ABCD≥13+12＝25，
∴四边形ABCD面积的最小值为25．
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专题01 二次根式
题型目录
题型一 二次根式的定义
题型二 二次根式有意义的条件
题型三 二次根式的性质与化简
题型四 最简二次根式
题型五 二次根式的乘除法
题型六 二次根式的加减法
题型七 二次根式的混合运算
题型八 二次根式的应用
题型九 二次根式中的阅读材料题
题型一 二次根式的定义
1．（2025春 西湖区校级期中）下列各式中，是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025春 鹿城区校级期中）当x＝1时，二次根式的值是（　　）
A．2 B．±2 C．4 D．±4
3．（2025春 玉环市期中）已知是正整数，则自然数n的最小值为（　　）
A．12 B．6 C．4 D．3
4．（2025春 龙湾区期中）当x＝﹣6时，二次根式的值为　 　 ．
题型二 二次根式有意义的条件
5．（2025春 瑞安市校级期中）若二次根式有意义，则x的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2025春 义乌市校级期中）二次根式中字母x的取值范围为（　　）
A．x≠﹣3 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x＜﹣3
7．（2025春 拱墅区校级期中）若为整数，x为正整数，则满足条件的x的值有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2025春 慈溪市校级期中）能使等式成立的x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣2 B．x≥1且x≠2 C．x≥2 D．x＞2
9．（2025春 丽水期中）已知实数m满足，那么m﹣20242的值为（　　）
A．﹣2025 B．2025 C．2024 D．﹣2024
10．（2025春 北仑区校级期中）代数式中，a的取值范围是　 　 ．
11．（2025春 椒江区校级期中）当x＝　 　 时，是整数．（写出一个符合条件的x的值）
12．（2025春 兰溪市校级期中）若a、b都为实数，且，ab＝　 　 ．
13．（2025春 诸暨市期中）已知实数a，b，c满足，则a+b﹣c的值为　 　 ．
14．（2025春 临海市期中）已知，求ab的值．
题型三 二次根式的性质与化简
15．（2025春 温州期中）化简，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
16．（2025春 义乌市期中）若3﹣b，则（　　）
A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3
17．（2025春 拱墅区校级期中）下列各式不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
18．（2025春 诸暨市期中）若a＜1，则（　　）
A．a B．﹣a C．a﹣2 D．2﹣a
19．（2025春 钱塘区期中）已知﹣1＜a＜0，化简（　　）
A．﹣a+5 B．3a﹣1 C．﹣a﹣5 D．﹣3a+5
20．（2025春 北仑区期中）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　）
A．a﹣2b﹣c B．c﹣a C．﹣a+2b+c D．a﹣c
21．（2025春 德清县期中）计算：　 　 ．
题型四 最简二次根式
22．（2025春 龙湾区校级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
23．（2025春 宁波期中）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
24．（2025春 龙泉市期中）下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
题型五 二次根式的乘除法
25．（2025春 北仑区期中）化简结果正确的是（　　）
A． B． C． D．7
26．（2025春 义乌市期中）计算：　 　 ．
27．（2025春 鹿城区校级期中）（3）（3）＝　 　 ．
28．（2025春 乳山市期中）已知实数x，y满足．
（1）探究：x与y之间存在怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）计算：求代数式8x2﹣4y2﹣2025的值．
题型六 二次根式的加减法
29．（2025春 余杭区校级期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
30．（2025春 杭州期中）下列计算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
31．（2025春 玉环市期中）.计算：．
题型七 二次根式的混合运算
32．（2025春 滨江区期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
33．（2025春 杭州校级期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
34．（2025春 兰溪市校级期中）计算：
（1）；
（2）．
35．（2025春 瑞安市校级期中）计算：
（1）；
（2）．
36．（2025春 温州校级期中）计算：
（1）；
（2）．
37．（2025春 西湖区校级期中）计算：
（1）；
（2）．
38．（2025春 西湖区校级期中）计算：
（1）；
（2）（）2．
39．（2025春 西湖区校级期中）计算：
（1）6；
（2）．
40．（2025春 北仑区校级期中）计算：
（1）；
（2）．
41．（2025春 越城区期中）计算：
（1）；
（2）．
42．（2025春 任泽区期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成二次根式的运算．规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示：
（1）接力中，自己负责的一步出现错误的是 　 　 ；
（2）请给出正确的求解过程．
43．（2025春 威海校级期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）已知，A、B为最简二次根式，且A+B＝C，求．
题型八 二次根式的应用
44．（2025春 诸暨市期中）如图，矩形内两个相邻正方形的面积分别为9和3，则阴影部分的面积为（　　）
A．8﹣3 B．9﹣3 C．33 D．32
45．（2025春 龙泉市期中）如图，长方形ABCD内相邻的两个正方形面积分别为9，3．
（1）求图中AD的长．
（2）求图中阴影部分的面积．
46．（2025春 定海区期中）根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内时间只经过秒（c＝3×105千米/秒，v是宇宙飞船的速度）．假定宇宙飞船的速度是2.4×105千米/秒时，当地面经过5分钟时，宇宙飞船内经过多少时间？
47．（2025春 温州期中）已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，BC，求
（1）Rt△ABC的面积．
（2）斜边AB的长．
（3）求AB边上的高．
48．（2025春 柯桥区期中）某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为m，宽AB为m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（1）m，宽为（1）m．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
题型九 二次根式中的阅读材料题
49．（2025春 北仑区校级期中）定义：若两个二次根式m，n满足m n＝p，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”．
（1）若m与是关于10的友好二次根式，求m；
（2）若与是关于6的友好二次根式，求m．
50．（2025春 杭州期中）定义：若两个二次根式a，b满足a b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
（1）若与是关于c的共轭二次根式，则c＝ 　 　 ；
（2）若a与是关于4的共轭二次根式，求a的值；
（3）若与是关于12的共轭二次根式，求m的值．
51．（2025春 越城区期中）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果ax+b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0，且b＝0，运用上述知识解决下列问题：
（1）如果，其中a、b为有理数，那么a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ；
（2）如果，其中a、b为有理数，求a+8b的算术平方根；
（3）若a、b都是有理数，且，试求a+b的立方根．
52．（2025春 贡井区校级期中）【阅读材料】
利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，解决下列问题：
【问题解决】
（1）已知，a为整数，求a的值；
（2）已知，a和b均为整数，求ab的值；
【拓展延伸】
（3）化简：．
53．（2025春 元氏县校级期中）阅读与思考：请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务．
比较与的大小 嘉嘉的思路：将两个式子分别平方后，再进行比较． 淇淇的思路：以为三边构造一个△ABC，再利用三角形的三边关系进行比较．
任务：
（1）填空：　 　 ；
（2）①判断△ABC的形状，并说明理由；
②利用三角形的三边关系判断与的大小；
（3）延伸拓展：直接判断与的大小．
54．（2025春 饶平县期中）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的．
例如化简，
∵5＝3+2且6＝3×2，
∴
．
（1）横线填上适当的数： 　 　 ；
（2）化简：；
（3）当x≥1时，求的值．
55．（2025秋 都昌县期中）问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法．
例：已知，求的值．
解：由得x＝2024，
∴y＝2025，∴．
（1）尝试应用：若x，y为实数，且，化简：；
（2）拓展创新：已知，求a﹣b的值．
56．（2025春 拱墅区校级期中）有一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等．
（1）猜想的结果并证明；
（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，n≥2）表示含有上述规律的等式，并给出证明；
（3）按此规律，若（a，b为正整数），则a+b的值为 　 　 ．
57．（2025秋 榕城区期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b其中a、b、m、n均为整数），则有a+b．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a，用含m、n的式子分别表示a、b，则a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ；
（2）7+4的算术平方根为 　 　 ；
（3）若a+6，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（4）化简：．
58．（2025春 浦北县期中）阅读材料：形如式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有．
例如：化简．
解：．
由于4+3＝7，4×3＝12，即，，
所以．
请根据以上材料解答下列问题：
（1）化简：①；
②；
（2）计算：．
59．（2025春 东莞市校级期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，则其中三角形的面积S．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设p，那么其三角形的面积S，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦一秦九韶公式．
（1）如图1，若△ABC的三边长依次为BC＝a＝5，AC＝b＝6，AB＝c＝7，
①利用以上任一公式（任选一个公式即可），求该三角形的面积S；
②除了利用以上公式，你还可以用什么办法求出该三角形的面积S？请写出求解过程；
（2）如图2，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝8，AD＝7，求该四边形的面积．
60．（2025春 锡山区校级期中）阅读下面内容：
我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：
当a＞0，b＞0时，∵；
∴，当且仅当a＝b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，的最小值为　 　 ；
（2）当x＞3时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD的面积的最小值．
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