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专题02 一元二次方程及其解法
目录：
题型一．一元二次方程的定义
题型二．一元二次方程的一般形式
题型三．一元二次方程的解
题型四．解一元二次方程-直接开平方法
题型五．解一元二次方程-配方法
题型六．解一元二次方程-公式法
题型七．解一元二次方程-因式分解法
题型一．一元二次方程的定义
1．（2025春 杭州校级期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．3x+5y＝0 B．5x+2＝0
C．3x2﹣2025＝0 D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B、是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．（2025春 瑞安市期中）下列关于x的一元二次方程的是（　　）
A．2x＝3 B．x2+1＝0 C．x2+y＝5 D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、2x＝3是一元一次方程，不符合题意；
B、x2+1＝0是一元二次方程，符合题意；
C、x2+y＝5含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、x＝0含有分式，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：B．
3．（2025春 丽水期中）在下列方程中．不属于一元二次方程的是（　　）
A．x2x B．7x2＝0
C．0.3x2+0.2x＝4 D．x（1﹣2x2）＝2x2
【答案】D
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
【解答】解：A、该方程属于一元二次方程，故本选项不符合题意．
B、该方程属于一元二次方程，故本选项不符合题意．
C、该方程属于一元二次方程，故本选项不符合题意．
D、由已知方程得到：﹣2x3﹣2x2+x＝0，属于一元三次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
4．（2025春 上城区校级期中）已知关于x的方程（m+1）x2﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣1 B．m≠0 C．m≤﹣1 D．m≠﹣1
【答案】D
【分析】根据一元二次方程定义可得m+1≠0，再解可得答案．
【解答】解：由题意得：m+1≠0，
解得：m≠﹣1，
故选：D．
题型二．一元二次方程的一般形式
5．（2025春 镇海区校级期中）关于x的一元二次方程9x2+4x＝3的常数项为（　　）
A．4 B．0 C．3 D．﹣3
【答案】D
【分析】先将一元二次方程化为一般形式，然后找出常数项即可．
【解答】解：9x2+4x＝3可化为9x2+4x﹣3＝0，
所以常数项为﹣3，
故选：D．
6．（2025春 余杭区校级期中）将方程5x2﹣4x＝1转化成ax2+bx+c＝0的形式，则方程为（　　）
A．5x2+4x+1＝0 B．5x2+4x﹣1＝0
C．5x2﹣4x+1＝0 D．5x2﹣4x﹣1＝0
【答案】D
【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
【解答】解：将方程5x2﹣4x＝1转化成ax2+bx+c＝0的形式，则方程为5x2﹣4x﹣1＝0．
故选：D．
7．（2025春 拱墅区校级期中）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+m2﹣4＝0的常数项为0，则m的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．0
【答案】A
【分析】由题意常数项为0，可得m2﹣4＝0，根据一元二次方程的定义得出m≠2，即可求解．
【解答】解：由条件可知m2﹣4＝0且m≠2，
∴m＝﹣2．
故选：A．
8．（2025春 义乌市校级期中）把一元二次方程x（x﹣3）＝4化简为一般形式是 x2﹣3x﹣4＝0　 ．
【答案】x2﹣3x﹣4＝0
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．
【解答】解：由原方程，得
x2﹣3x＝4，
即x2﹣3x﹣4＝0．
故答案为：x2﹣3x﹣4＝0．
题型三．一元二次方程的解
9．（2025春 慈溪市期中）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝﹣3，则实数k的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】B
【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于k的方程，从而求得k的值．
【解答】解：把x＝﹣3代入方程得：9+3k﹣6＝0，
解得k＝﹣1．
故选：B．
10．（2025春 浙江期中）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+n＝0的根，则m+n的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【答案】C
【分析】把x＝n代入方程x2+mx+n＝0得n2+mn+n＝0，然后把等式两边除以n可得到m+n的值．
【解答】解：把x＝n代入方程x2+mx+n＝0得n2+mn+n＝0，
∵n≠0，
∴n+m+1＝0，
即m+n＝﹣1．
故选：C．
11．（2025春 丽水期中）已知a是方程x2+3x﹣1＝0的一个根，则（a+4）（a﹣1）的值为（　　）
A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣5
【答案】C
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到a2+3a＝1，再利用乘法公式得到（a+4）（a﹣1）＝a2+3a﹣4，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程x2+3x﹣1＝0的一个根，
∴a2+3a﹣1＝0，
∴a2+3a＝1，
∴（a+4）（a﹣1）＝a2+3a﹣4＝1﹣4＝﹣3．
故选：C．
12．（2025春 乐清市校级期中）若m是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则2026﹣m2+2m的值是（　　）
A．2027 B．2026 C．2025 D．2024
【答案】C
【分析】因为m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，所以将m代入方程可得m2﹣2m﹣1＝0，变形得到m2﹣2m＝1，再将其代入所求式子2026﹣m2+2m进行计算．
【解答】解：根据方程根的定义，方程左右两边相等可得：
m2﹣2m﹣1＝0，移项得到m2﹣2m＝1，
对于式子2026﹣m2+2m，可变形为2026﹣（m2﹣2m），
把m2﹣2m＝1代入变形后的式子：
2026﹣（m2﹣2m）＝2026﹣1＝2025，
所以2026﹣m2+2m的值是2025，
故选：C．
13．（2025春 鹿城区校级期中）已知关于x的方程a（x﹣1）（x﹣m）＝0与a（x﹣n）2＝b有相同的解，则m与n之间的等量关系为（　　）
A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m+2n＝﹣1 D．m﹣2n＝﹣1
【答案】D
【分析】由题意易得关于x的方程a（x﹣1）（x﹣m）＝0的解为x＝1或x＝m，那么a（x﹣n）2＝b的解为x＝1或x＝m，将其代入a（x﹣n）2＝b中即可求得答案．
【解答】解：已知关于x的方程a（x﹣1）（x﹣m）＝0，
则x﹣1＝0或x﹣m＝0，
那么x＝1或x＝m，
∵关于x的方程a（x﹣1）（x﹣m）＝0与a（x﹣n）2＝b有相同的解，
∴a（x﹣n）2＝b的解为x＝1或x＝m，
∴a（1﹣n）2＝b，a（m﹣n）2＝b，
则（1﹣n）2＝（m﹣n）2，
那么m﹣n＝n﹣1或m﹣n＝1﹣n，
则m﹣2n＝﹣1或m＝1，
当m＝1时，n＝1，满足m﹣2n＝﹣1，
综上，m﹣2n＝﹣1，
故选：D．
14．（2025春 温州期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝m，则关于x的一元二次方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）必有一根为（　　）
A．﹣m B． C．m D．
【答案】D
【分析】根据x＝m满足方程ax2+bx+c＝0，得到am2+bm+c＝0，两边同时除以m2可确定所求方程的一个根．
【解答】解：∵m是若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）的一个根，
∴am2+bm+c＝0，
∴abc＝0，
∴c（）2﹣（）b+a＝0，
∴是方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）的一个根，
故选：D．
15．（2025春 上城区校级期中）我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（　　）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝﹣3
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
【答案】D
【分析】先把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0看作关于2x+3的一元二次方程，利用题中的解得到2x+3＝1或2x+3＝﹣3，然后解两个一元一次方程即可．
【解答】解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0看作关于2x+3的一元二次方程，
所以2x+3＝1或2x+3＝﹣3，
所以x1＝﹣1，x2＝﹣3．
故选：D．
16．（2025春 余杭区校级期中）已知m是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则m2﹣2m＝　1　 ．
【答案】1．
【分析】根据题意可得：把x＝m代入方程x2﹣2x﹣1＝0中得：m2﹣2m﹣1＝0，从而可得m2﹣2m＝1．
【解答】解：由题意得：
把x＝m代入方程x2﹣2x﹣1＝0中得：
m2﹣2m﹣5＝1，
∴m2﹣2m＝1．
故答案为：1．
17．（2025春 兰溪市校级期中）m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m+2024的值为　2026　 ．
【答案】2026．
【分析】根据题意可得2m2+3m＝1，继而得到本题答案．
【解答】解：由题意得，2m2+3m＝1，
∴4m2+6m+2024＝2（2m2+3m）+2024＝2+2024＝2026，
故答案为：2026．
18．（2025春 龙湾区校级期中）已知关于x的方程9x2+bx+c＝0的解为x1＝2，x2＝3，则关于y的方程9（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为 y1＝3，y2＝4　 ．
【答案】y1＝3，y2＝4．
【分析】把关于y的方程9（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0看作关于（y﹣1）的一元二次方程，则关于（y﹣1）的方程9（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为y﹣1＝2或y﹣1＝3，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：把关于y的方程9（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0看作关于（y﹣1）的一元二次方程，
∵关于x的方程9x2+bx+c＝0的解为x1＝2，x2＝3，
∴关于（y﹣1）的方程9（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为y﹣1＝2或y﹣1＝3，
解得y1＝3，y2＝4，
∴关于y的方程9（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为y1＝3，y2＝4．
故答案为：y1＝3，y2＝4．
19．（2025春 镇海区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a﹣2b+c＝0，我们就称这个一元二次方程为美妙方程．
（1）判断方程2x2﹣x﹣8＝0是否为美妙方程，并说明理由．
（2）已知关于x的美妙方程ax2+2x+c＝0的一个根是﹣1，求这个美妙方程．
【分析】（1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可．
（2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为﹣1，得到关于a，c的方程组即可解决问题．
【解答】解：（1）是美妙方方程．
∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣8，
∴3a﹣2b+c＝6﹣（﹣2）+（﹣8）＝0．
故此方程为美妙方程．
（2）将x＝﹣1代入原方程得，
a﹣2+c＝0①，
∵此方程为美妙方方程，
∴3a﹣4+c＝0②，
由①②得，
∴这个美妙方程为x2+2x+1＝0．
题型四．解一元二次方程-直接开平方法
20．（2025春 杭州校级期中）形如（x+m）2＝n（n≥0）的方程，它的根是（　　）
A．x＝± B．x＝±m C．x＝± D．x＝﹣m±
【答案】D
【分析】因为方程的左边是一个完全平方式，且被开方数n≥0，所以可以利用数的开方直接求解．
【解答】解：因为n≥0，开方得x+m＝±，移项得：x＝﹣m±．故选D．
21．（2025春 瑞安市期中）方程x2＝4的解为 x1＝2，x2＝﹣2　 ．
【答案】x1＝2，x2＝﹣2
【分析】利用直接开平方法，求解即可．
【解答】解：开方得，x＝±2，
即x1＝2，x2＝﹣2．
故答案为：x1＝2，x2＝﹣2．
22．（2025春 温州期中）方程x2﹣9＝0的根是 x1＝3，x2＝﹣3　 ．
【答案】x1＝3，x2＝﹣3．
【分析】利用直接开方法求解．
【解答】解：x2﹣9＝0，
∴x2＝9，
∴x1＝3，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．
23．（2025春 拱墅区校级期中）关于x的一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣4，则　　 ．
【答案】．
【分析】根据题意，得出m+1与2m﹣4互为相反数，据此可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为关于x的一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣4，
所以m+1+2m﹣4＝0，
解得m＝1，
即该方程的两个根为±2．
因为方程可化为x2，
所以（±2）2＝4，
则．
故答案为：．
题型五．解一元二次方程-配方法
24．（2025春 嘉兴校级期中）一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0配方后，结果正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝9 C．（x﹣4）2＝21 D．（x﹣4）2＝11
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
【解答】解：原方程移项，得x2﹣4x＝5，
x2﹣4x+4＝9，
配方得（x﹣2）2＝9，
故选：B．
25．（2025春 义乌市校级期中）用配方法解方程x2﹣2＝4x，下列配方正确的是（　　）
A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝2 C．（x+2）2＝6 D．（x﹣2）2＝6
【答案】D
【分析】根据配方法进行运算，即可求解．
【解答】解：由原方程得x2﹣4x＝2，
得x2﹣4x+4＝2+4，
得（x﹣2）2＝6，
故选：D．
26．（2025春 义乌市校级期中）用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x+1）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9
【答案】D
【分析】根据完全平方公式对方程进行配方，即可求得结果．
【解答】解：x2+2x﹣1＝0，
移项得x2+2x＝1，
两边同时加1可得：x2+2x+1＝1+1，
变形得：（x+1）2＝2，
故选：D．
27．（2025春 温州期中）用配方法解方程x2﹣4x﹣11＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝15 B．（x﹣2）2＝7 C．（x﹣4）2＝15 D．（x﹣4）2＝7
【答案】A
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣11＝0，
∴x2﹣4x＝11，
则x2﹣4x+4＝11+4，即（x﹣2）2＝15，
故选：A．
28．（2025春 滨江区期中）用配方法解方程时，变形结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
【解答】解：∵x2x﹣1＝0，
∴x2x＝1，
则x2x1，即（x）2，
故选：D．
29．（2025春 拱墅区期中）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+10＝0，下列变形正确的是（　　）
A．（x﹣8）2＝54 B．（x﹣8）2＝6 C．（x﹣4）2＝﹣6 D．（x﹣4）2＝6
【答案】D
【分析】利用配方法将原方程配方，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：∵x2﹣8x+10＝0，
∴x2﹣8x＝﹣10，
∴x2﹣8x+42＝﹣10+42，
（x﹣4）2＝6，
故选：D．
30．（2025春 鄞州区期中）用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】移项，系数化成1，再配方，即可得出选项．
【解答】解：2x2﹣3x﹣1＝0，
2x2﹣3x＝1，
x2x，
x2x，
（x）2，
故选：C．
31．（2025春 西湖区校级期中）用配方法解一元二次方程x2+6x﹣21＝0时，配方正确的是（　　）
A．（x+3）2＝30 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣3）2＝30 D．（x﹣3）2＝13
【答案】A
【分析】首先把常数项移到等号右边，然后方程两边加上一次项系数的一半，配方即可．
【解答】解：移项，得x2+6x＝21，
配方，x2+6x+9＝30，
即：（x+3）2＝30．
故选：A．
32．（2025春 鄞州区期中）关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣m＝0可通过配方法转化为（x﹣n）2＝6的形式，则m的值为（　　）
A．﹣9 B．9 C．﹣3 D．3
【答案】C
【分析】利用配方法对所给一元二次方程进行变形，再对比即可．
【解答】解：由题知，
x2﹣6x﹣m＝0，
x2﹣6x+9＝m+9，
（x﹣3）2＝m+9，
所以m+9＝6，
解得m＝﹣3．
故选：C．
33．（2025春 西湖区校级期中）用配方法将方程x2﹣4x﹣4＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（　　）
A．﹣2，0 B．2，0 C．﹣2，8 D．2，8
【答案】C
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣4＝0，
∴x2﹣4x＝4，
则x2﹣4x+4＝4+4，即（x﹣2）2＝8，
∴m＝﹣2，n＝8，
故选：C．
34．（2025春 西湖区校级期中）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
【答案】C
【分析】把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方得（x+3）2＝﹣c+9，可得2c＝﹣c+9，解方程即可得c的值．
【解答】解：x2+6x+c＝0，
x2+6x＝﹣c，
x2+6x+9＝﹣c+9，
（x+3）2＝﹣c+9．
∵（x+3）2＝2c，
∴2c＝﹣c+9，解得c＝3，
故选：C．
35．（2025春 温州期中）一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0可以通过配方法转化为（x﹣p）2＝q的形式，则配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝14 B．（x﹣6）2＝5 C．（x﹣3）2＝5 D．（x﹣3）2＝4
【答案】A
【分析】先移项，再两边都加上9即可．
【解答】解：∵x2﹣6x﹣5＝0，
∴x2﹣6x＝5，
∴x2﹣6x+9＝5+9，即（x﹣3）2＝14，
故选：A．
36．（2025春 杭州期中）已知一元二次方程x2﹣6x+m＝0可以通过配方转化为（x﹣n）2＝1的形式，则m﹣n的值为 　5　 ．
【答案】5．
【分析】将x2﹣6x+m＝0变形，然后根据一元二次方程x2﹣6x+m＝0可以通过配方转化为（x﹣n）2＝1的形式，可以求得m、n的值，再计算m﹣n的值即可．
【解答】解：∵x2﹣6x+m＝0，
∴（x﹣3）2﹣9+m＝0，
∴（x﹣3）2﹣8+m＝1，
∵（x﹣n）2＝1，
∴n＝3，﹣8+m＝0，
∴m＝8，
∴m﹣n＝8﹣3＝5，
故答案为：5．
37．（2025春 义乌市校级期中）解下列方程：
（1）（x﹣1）2＝4；
（2）x2+6x＝﹣3．
【分析】（1）直接利用开平方法解方程即可；
（2）把方程化为x2+6x+9＝﹣3+9，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）直接开平方可得：
x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
解得：x1＝3，x2＝﹣1；
（2）原方程配方可得：
x2+6x+9＝﹣3+9，
∴（x+3）2＝6，
∴，
解得：，．
38．（2025春 浙江期中）解方程：
（1）x2﹣16＝0；
（2）x2﹣4x﹣7＝0．
【分析】（1）先把﹣16移到方程右边，然后利用直接开平方法解方程即可；
（2）先把﹣7移到等号右边，然后利用配方法解方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣16＝0，
x2＝16，
x1＝4，x2＝﹣4；
（2）x2﹣4x﹣7＝0，
x2﹣4x＝7，
x2﹣4x+4＝11，
（x﹣2）2＝11，
，
．
39．（2025春 诸暨市期中）解方程：
（1）x2＝1；
（2）x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【解答】解：（1）x2＝1，
∴x＝±1，
∴x1＝1，x2＝﹣1；
（2）x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝2，即（x﹣1）2＝2，
∴x﹣1，
∴．
40．（2025春 上城区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，连接CD．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E，连接CE．
（1）求∠DCE的度数．
（2）设BC＝a，AC＝b．
①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根吗？说明理由．
②若D为AE的中点，求的值．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出答案；
（2）①直接利用勾股定理得出AB的长，再利用配方法解方程得出答案；
②直接利用勾股定理得出等式求出答案．
【解答】解：（1）∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC，
∵AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACE﹣∠DCE＝90°，
又∵在△DCE中，∠BDC+∠AEC+∠DCE＝180°，
则90°+2∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝45°．
（2）①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根．
理由如下：
由勾股定理得：，
∴
解关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0，
（x+b）2＝a2+b2，
得，
∴线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根；
②∵D为AE的中点，
∴，
由勾股定理得：，
则b2﹣ab＝0，
故b﹣a＝0，
整理得：．
题型六．解一元二次方程-公式法
41．（2025春 北仑区校级期中）用公式法解方程x2﹣3＝5x时，a，b，c的值依次是（　　）
A．0，﹣3，5 B．1，﹣3，5 C．1，5，﹣3 D．1，﹣5，﹣3
【答案】D
【分析】整理成一般式即可得出答案．
【解答】解：整理成一般式得：x2﹣5x﹣3＝0，
∴a＝1，b＝﹣5，c＝﹣3，
故选：D．
42．（2025春 西湖区校级期中）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　）
A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0
C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0
【答案】A
【分析】判断出a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，可得结论．
【解答】解：由题意a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1．
故选：A．
43．（2025春 温州校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣2）x+a﹣4＝0（a＞0），设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于a的函数，且y＝x1﹣ax2，若y＞0，则（　　）
A．0＜a＜3 B．0＜a＜5 C．a＞3 D．a＞5
【答案】B
【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，利用一元二方程的求根公式求出两根，进而用含a的代数式表示出y，即可得出结论．
【解答】解：ax2﹣2（a﹣2）x+a﹣4＝0（a＞0）是关于x的一元二次方程，
Δ＝[﹣2（a﹣2）]2﹣4a（a﹣4）＝16＞0，
由求根公式，得x，
∴x＝1或，
∵a＞0，x1＞x2，
∴x1＝1，，
∴，
解得a＜5，
∴0＜a＜5；
故选：B．
44．（2025春 拱墅区期中）解方程：
（1）（x+1）2﹣4＝0；
（2）x2﹣3x﹣2＝0．
【分析】（1）先变形方程得到（x+1）2＝4，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
【解答】解：（1）（x+1）2＝4，
x+1＝±2，
所以x1＝1，x2＝﹣3；
（2）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，
∴Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝17，
∴x，
∴x1，x2．
45．（2025春 慈溪市期中）解方程：
（1）x2+x＝4x；
（2）2x2﹣3x﹣1＝0．
【分析】（1）方程利用因式分解法求解即可；
（2）方程利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）x2+x＝4x，
x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝0，x2＝3；
（2）2x2﹣3x﹣1＝0，
这里a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∵b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，
∴x，
解得，．
46．（2025春 萧山区期中）解下列一元二次方程：
（1）x2﹣4x+2＝0；
（2）2x（x﹣3）+x＝3．
【分析】（1）用配方法解一元二次方程即可；
（2）用公式法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x＝﹣2，
x2﹣4x+4＝﹣2+4，
（x﹣2）2＝2，
x﹣2＝±，
∴x1＝2，x2＝2；
（2）2x（x﹣3）+x＝3，
2x2﹣6x+x﹣3＝0，
2x2﹣5x﹣3＝0，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣3）＝25+24＝49，
∴x，
∴x1＝3，x2．
题型七．解一元二次方程-因式分解法
47．（2025春 上城区校级期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为2和﹣3，则分解因式ax2+bx+c等于（　　）
A．（x﹣2）（x+3） B．（ax﹣2）（x+3）
C．a（x﹣2）（x+3） D．（x+2）（x﹣3）
【答案】C
【分析】由题意得出方程ax2+bx+c＝0（a≠0）可以化为a（x﹣2）（x+3）＝0，即可得出答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为2和﹣3，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）可以化为a（x﹣2）（x+3）＝0，
∴ax2+bx+c＝a（x﹣2）（x+3），
故选：C．
48．（2025春 龙泉市期中）若Rt△ABC的两边长是方程x2﹣10x+24＝0的两个根，则Rt△ABC的斜边长为（　　）
A．6 B．或 C．6或 D．6或
【答案】C
【分析】首先用因式分解法解方程，求出方程的解，再分析所有情况，利用勾股定理即可求出斜边．
【解答】解：x2﹣10x+24＝0，
（x﹣4）（x﹣6）＝0，
∴x1＝4，x2＝6，
∵Rt△ABC的两直角边的长都是方程x2﹣10x+24＝0的根，
∴有以下情况：
（1）两直角边是4，6，由勾股定理得：
斜边为：2，
（2）一直角边是4，一斜边是6，
故选：C．
49．（2025春 南湖区期中）已知某三角形的两边长恰是一元二次方程x2﹣10x+16＝0的两根，则该三角形第三边长可能是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】先求出方程的解，设第三边为x，根据三角形的三边关系定理得出8﹣2＜x＜8+2，求出6＜x＜10，再逐个判断即可．
【解答】解：x2﹣10x+16＝0，
（x﹣2）（x﹣8）＝0，
x﹣2＝0或x﹣8＝0，
解得：x1＝2，x2＝8，
即三角形的两边为2和8，
设第三边为x，
则由三角形的三边关系定理得：8﹣2＜x＜8+2，
即6＜x＜10，
即只有选项C符合题意，选项A、选项B、选项D都不符合题意；
故选：C．
50．（2025春 西湖区校级期中）已知方程（x+a）（x+b）＝0有M个解，方程（ax+1）（bx+1）＝0有N个解，其中a≠b，则（　　）
A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2
C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1
【答案】C
【分析】对于方程（x+a）（x+b）＝0，根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的原理，可直接求解，方程（ax+1）（bx+1）＝0，同样依据上述原理求解，但需要分a＝0，b＝0以及a≠0且b≠0等不同情况讨论，再确定两个方程解的个数M和N之间的关系．
【解答】解：（x+a）（x+b）＝0，可得x+a＝0或x+b＝0，即x＝﹣a或x＝﹣b，
∵a≠b，
∴M＝2，
当a＝0，b≠0时，方程变为bx+1＝0．解得x，此时N＝1，
当a≠0，b＝0时，方程变为ax+1＝0，解得x，此时N＝1，
当a≠0，b≠0时，方程变为ax+1＝0或bx+1＝0解得x或x，此时N＝2，
∴当a＝0或b＝0时，M＝2，N＝1，M＝N+1；当a≠0且b≠0时，M＝2，N＝2，M＝N．
∴M＝N或M＝N+1．
故选：C．
51．（2025春 温州期中）一元二次方程x2＝x的根 x1＝0，x2＝1　 ．
【答案】x1＝0，x2＝1
【分析】先移项，然后利用提取公因式法对等式的左边进行因式分解．
【解答】解：由原方程得x2﹣x＝0，
整理得x（x﹣1）＝0，
则x＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝0，x2＝1．
故答案为：x1＝0，x2＝1．
52．（2025春 嘉兴校级期中）已知等腰三角形的底边长为3，腰长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则这个三角形的周长为 　7或11　 ．
【答案】7或11．
【分析】利用十字相乘法解出方程，分腰长为2和腰长为4两种情况计算即可．
【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0，得x1＝2，x2＝4，
当腰长为2时，2+2＞3，
则三角形的周长为：2+2+3＝7，
当腰长为4时，3+4＞4，
则三角形的周长为：4+4+3＝11，
故答案为：7或11．
53．（2025春 北仑区校级期中）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：ad﹣bc，上述记号叫做2阶行列式，若，则x＝　0或　 ．
【答案】0或．
【分析】根据题意，得出关于x的一元二次方程，再进行计算即可．
【解答】解：由得，
（x+1）2﹣x（1﹣x）＝1，
x2+2x+1﹣x+x2＝1，
2x2+x＝0，
x（2x+1）＝0，
则x＝0或2x+1＝0，
所以x＝0或．
故答案为：0或．
54．（2025春 温州期中）刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+b﹣1．例如，把 （3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1＝6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数﹣1，则m的值是　0或2　 ．
【答案】0或2．
【分析】按照相应的运算方法与顺序，让得到的含m的一元二次方程的结果为﹣1，列式求值即可．
【解答】解：由题意得：m2+（﹣2m）﹣1＝﹣1，
m2﹣2m＝0，
m（m﹣2）＝0，
解得m＝0或2．
故答案为：0或2．
55．（2025春 慈溪市期中）对于实数m，n，先定义一种运算“ ”如下：，若x （﹣2）＝10，则实数x的值为 　3　 ．
【答案】3
【分析】分两种情况：当x≥﹣2时，当x＜﹣2时，然后按照定义新运算，进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当x≥﹣2时，
∵x （﹣2）＝10，
∴x2+x﹣2＝10，
x2+x﹣12＝0，
（x+4）（x﹣3）＝0，
x+4＝0或x﹣3＝0，
x1＝﹣4（舍去），x2＝3，
当x＜﹣2时，
∵x （﹣2）＝10，
∴（﹣2）2+x﹣2＝10，
x＝8（舍去），
综上所述：x＝3，
故答案为：3．
56．（2025春 瑞安市校级期中）解方程：
（1）x2﹣4x＝0；
（2）x2+3x＝10．
【分析】（1）直接提取公因式x，用因式分解法求解即可；
（2）把10移到左边，再用十字相乘法分解因式，求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，x（x﹣4）＝0，
x＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝0，x2＝4；
（2）由题意得，x2+3x﹣10＝0，
（x﹣2）（x+5）＝10，
x﹣2＝0或x+5＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣5．
57．（2025春 兰溪市校级期中）解下列方程：
（1）x2＝﹣5x；
（2）x2﹣4x+3＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）x2＝﹣5x，
移项得x2+5x＝0，
∴x（x+5）＝0，
则x＝0或x+5＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣5；
（2）x2﹣4x+3＝0．
∴（x﹣3）（x﹣1）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝1，x2＝3．
58．（2025春 温州校级期中）解方程：
（1）；
（2）x2﹣10x+16＝0．
【分析】（1）提公因式法进行因式分解后，再进行求解即可；
（2）利用十字相乘法进行因式分解后，再进行求解即可．
【解答】解：（1），
，
x＝0或x0，
；
（2）x2﹣10x+16＝0，
（x﹣2）（x﹣8）＝0，
x﹣2＝0或x﹣8＝0，
x1＝2，x2＝8．
59．（2025春 西湖区校级期中）解下列方程：
（1）x（x+2）＝（x+2）；
（2）2x2﹣3x+1＝0．
【分析】（1）根据因式分解法求解即可；
（2）根据因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x（x+2）＝（x+2），
∴x（x+2）﹣（x+2）＝0，
∴（x+2）（x﹣1）＝0，
∴x+2＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝1；
（2）2x2﹣3x+1＝0，
（2x﹣1）（x﹣1）＝0，
∴x1＝1，．
60．（2025春 余姚市期中）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
解方程：（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）．
解：方程两边同除以（3x﹣1），得3x﹣1＝2…第一步
移项，合并同类项，得3x＝3…第二步
系数化为1，得x＝1…第三步
任务：
（1）小明的解法从第 　一　 步开始出现错误；
（2）请写出此题的正确解题过程．
【分析】（1）根据解题过程结合等式的性质即可解答；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）从第一步开始出现错误，
故答案为：一；
（2）由题意得（3x﹣1）2﹣2（3x﹣1）＝0，
∴（3x﹣1﹣2）（3x﹣1）＝0，
∴（3x﹣3）（3x﹣1）＝0，
∴3x﹣3＝0或3x﹣1＝0，
∴x1＝1，．
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专题02 一元二次方程及其解法
目录：
题型一．一元二次方程的定义
题型二．一元二次方程的一般形式
题型三．一元二次方程的解
题型四．解一元二次方程-直接开平方法
题型五．解一元二次方程-配方法
题型六．解一元二次方程-公式法
题型七．解一元二次方程-因式分解法
题型一．一元二次方程的定义
1．（2025春 杭州校级期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．3x+5y＝0 B．5x+2＝0
C．3x2﹣2025＝0 D．
2．（2025春 瑞安市期中）下列关于x的一元二次方程的是（　　）
A．2x＝3 B．x2+1＝0 C．x2+y＝5 D．
3．（2025春 丽水期中）在下列方程中．不属于一元二次方程的是（　　）
A．x2x B．7x2＝0
C．0.3x2+0.2x＝4 D．x（1﹣2x2）＝2x2
4．（2025春 上城区校级期中）已知关于x的方程（m+1）x2﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣1 B．m≠0 C．m≤﹣1 D．m≠﹣1
题型二．一元二次方程的一般形式
5．（2025春 镇海区校级期中）关于x的一元二次方程9x2+4x＝3的常数项为（　　）
A．4 B．0 C．3 D．﹣3
6．（2025春 余杭区校级期中）将方程5x2﹣4x＝1转化成ax2+bx+c＝0的形式，则方程为（　　）
A．5x2+4x+1＝0 B．5x2+4x﹣1＝0
C．5x2﹣4x+1＝0 D．5x2﹣4x﹣1＝0
7．（2025春 拱墅区校级期中）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+m2﹣4＝0的常数项为0，则m的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．0
8．（2025春 义乌市校级期中）把一元二次方程x（x﹣3）＝4化简为一般形式是 　 　 ．
题型三．一元二次方程的解
9．（2025春 慈溪市期中）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝﹣3，则实数k的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
10．（2025春 浙江期中）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+n＝0的根，则m+n的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2
11．（2025春 丽水期中）已知a是方程x2+3x﹣1＝0的一个根，则（a+4）（a﹣1）的值为（　　）
A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣5
12．（2025春 乐清市校级期中）若m是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则2026﹣m2+2m的值是（　　）
A．2027 B．2026 C．2025 D．2024
13．（2025春 鹿城区校级期中）已知关于x的方程a（x﹣1）（x﹣m）＝0与a（x﹣n）2＝b有相同的解，则m与n之间的等量关系为（　　）
A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m+2n＝﹣1 D．m﹣2n＝﹣1
14．（2025春 温州期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝m，则关于x的一元二次方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）必有一根为（　　）
A．﹣m B． C．m D．
15．（2025春 上城区校级期中）我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（　　）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝﹣3
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
16．（2025春 余杭区校级期中）已知m是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则m2﹣2m＝　 　 ．
17．（2025春 兰溪市校级期中）m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m+2024的值为　 　 ．
18．（2025春 龙湾区校级期中）已知关于x的方程9x2+bx+c＝0的解为x1＝2，x2＝3，则关于y的方程9（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为 　 　 ．
19．（2025春 镇海区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a﹣2b+c＝0，我们就称这个一元二次方程为美妙方程．
（1）判断方程2x2﹣x﹣8＝0是否为美妙方程，并说明理由．
（2）已知关于x的美妙方程ax2+2x+c＝0的一个根是﹣1，求这个美妙方程．
题型四．解一元二次方程-直接开平方法
20．（2025春 杭州校级期中）形如（x+m）2＝n（n≥0）的方程，它的根是（　　）
A．x＝± B．x＝±m C．x＝± D．x＝﹣m±
21．（2025春 瑞安市期中）方程x2＝4的解为 　 　 ．
22．（2025春 温州期中）方程x2﹣9＝0的根是 　 　 ．
23．（2025春 拱墅区校级期中）关于x的一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣4，则　 　 ．
题型五．解一元二次方程-配方法
24．（2025春 嘉兴校级期中）一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0配方后，结果正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝9 C．（x﹣4）2＝21 D．（x﹣4）2＝11
25．（2025春 义乌市校级期中）用配方法解方程x2﹣2＝4x，下列配方正确的是（　　）
A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝2 C．（x+2）2＝6 D．（x﹣2）2＝6
26．（2025春 义乌市校级期中）用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x+1）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9
27．（2025春 温州期中）用配方法解方程x2﹣4x﹣11＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝15 B．（x﹣2）2＝7 C．（x﹣4）2＝15 D．（x﹣4）2＝7
28．（2025春 滨江区期中）用配方法解方程时，变形结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
29．（2025春 拱墅区期中）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+10＝0，下列变形正确的是（　　）
A．（x﹣8）2＝54 B．（x﹣8）2＝6 C．（x﹣4）2＝﹣6 D．（x﹣4）2＝6
30．（2025春 鄞州区期中）用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（　　）
A． B．
C． D．
31．（2025春 西湖区校级期中）用配方法解一元二次方程x2+6x﹣21＝0时，配方正确的是（　　）
A．（x+3）2＝30 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣3）2＝30 D．（x﹣3）2＝13
32．（2025春 鄞州区期中）关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣m＝0可通过配方法转化为（x﹣n）2＝6的形式，则m的值为（　　）
A．﹣9 B．9 C．﹣3 D．3
33．（2025春 西湖区校级期中）用配方法将方程x2﹣4x﹣4＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（　　）
A．﹣2，0 B．2，0 C．﹣2，8 D．2，8
34．（2025春 西湖区校级期中）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
35．（2025春 温州期中）一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0可以通过配方法转化为（x﹣p）2＝q的形式，则配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝14 B．（x﹣6）2＝5 C．（x﹣3）2＝5 D．（x﹣3）2＝4
36．（2025春 杭州期中）已知一元二次方程x2﹣6x+m＝0可以通过配方转化为（x﹣n）2＝1的形式，则m﹣n的值为 　 　 ．
37．（2025春 义乌市校级期中）解下列方程：
（1）（x﹣1）2＝4；
（2）x2+6x＝﹣3．
38．（2025春 浙江期中）解方程：
（1）x2﹣16＝0；
（2）x2﹣4x﹣7＝0．
39．（2025春 诸暨市期中）解方程：
（1）x2＝1；
（2）x2﹣2x﹣1＝0．
40．（2025春 上城区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，连接CD．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E，连接CE．
（1）求∠DCE的度数．
（2）设BC＝a，AC＝b．
①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根吗？说明理由．
②若D为AE的中点，求的值．
题型六．解一元二次方程-公式法
41．（2025春 北仑区校级期中）用公式法解方程x2﹣3＝5x时，a，b，c的值依次是（　　）
A．0，﹣3，5 B．1，﹣3，5 C．1，5，﹣3 D．1，﹣5，﹣3
42．（2025春 西湖区校级期中）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　）
A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0
C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0
43．（2025春 温州校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣2）x+a﹣4＝0（a＞0），设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于a的函数，且y＝x1﹣ax2，若y＞0，则（　　）
A．0＜a＜3 B．0＜a＜5 C．a＞3 D．a＞5
44．（2025春 拱墅区期中）解方程：
（1）（x+1）2﹣4＝0；
（2）x2﹣3x﹣2＝0．
45．（2025春 慈溪市期中）解方程：
（1）x2+x＝4x；
（2）2x2﹣3x﹣1＝0．
46．（2025春 萧山区期中）解下列一元二次方程：
（1）x2﹣4x+2＝0；
（2）2x（x﹣3）+x＝3．
题型七．解一元二次方程-因式分解法
47．（2025春 上城区校级期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为2和﹣3，则分解因式ax2+bx+c等于（　　）
A．（x﹣2）（x+3） B．（ax﹣2）（x+3）
C．a（x﹣2）（x+3） D．（x+2）（x﹣3）
48．（2025春 龙泉市期中）若Rt△ABC的两边长是方程x2﹣10x+24＝0的两个根，则Rt△ABC的斜边长为（　　）
A．6 B．或 C．6或 D．6或
49．（2025春 南湖区期中）已知某三角形的两边长恰是一元二次方程x2﹣10x+16＝0的两根，则该三角形第三边长可能是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
50．（2025春 西湖区校级期中）已知方程（x+a）（x+b）＝0有M个解，方程（ax+1）（bx+1）＝0有N个解，其中a≠b，则（　　）
A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2
C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1
51．（2025春 温州期中）一元二次方程x2＝x的根 　 　 ．
52．（2025春 嘉兴校级期中）已知等腰三角形的底边长为3，腰长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则这个三角形的周长为 　 　 ．
53．（2025春 北仑区校级期中）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：ad﹣bc，上述记号叫做2阶行列式，若，则x＝　 　 ．
54．（2025春 温州期中）刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+b﹣1．例如，把 （3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1＝6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数﹣1，则m的值是　 　 ．
55．（2025春 慈溪市期中）对于实数m，n，先定义一种运算“ ”如下：，若x （﹣2）＝10，则实数x的值为 　 　 ．
56．（2025春 瑞安市校级期中）解方程：
（1）x2﹣4x＝0；
（2）x2+3x＝10．
57．（2025春 兰溪市校级期中）解下列方程：
（1）x2＝﹣5x；
（2）x2﹣4x+3＝0．
58．（2025春 温州校级期中）解方程：
（1）；
（2）x2﹣10x+16＝0．
59．（2025春 西湖区校级期中）解下列方程：
（1）x（x+2）＝（x+2）；
（2）2x2﹣3x+1＝0．
60．（2025春 余姚市期中）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
解方程：（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）．
解：方程两边同除以（3x﹣1），得3x﹣1＝2…第一步
移项，合并同类项，得3x＝3…第二步
系数化为1，得x＝1…第三步
任务：
（1）小明的解法从第 　 　 步开始出现错误；
（2）请写出此题的正确解题过程．
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