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湖北曾都一中 2025至 2026学年高一下数学强化训练卷五
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
范围：人教 A版必修 1，2指对函数及三角函数，平面向量 时间：2026-4-7
一、单选题
1．若函数 的图象存在对称轴，则常数 （ ）
A．2 B． C．4 D．
2．已知 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．已知函数 ，对任意 ，都有 ．则下列说法
中正确的是（ ）
A．
B．函数 的图象关于点 对称
C．将 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象
D．若方程 在 上有 2个不相等的实数根，则 m的取值范围是
三、填空题
4．已知 ， 是夹角为 120°的两个单位向量，则 和 的夹角的余弦值
为_________．
5．将以下正确命题的序号填写在横线上___________.
①若 ， ，且 与 夹角为锐角，则 ；
②点 O是三角形 ABC所在平面内一点，且满足 ，则点 O是三角
形 ABC的重心；
1
③若ΔABC中， ，则ΔABC是钝角三角形；
④若 ，则点 P为 ABC的内心.
四、解答题
6．已知函数 ，且 的图
象关于 对称.
(1)求 的值；
(2)将 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移
个单位长度，得到函数 的图象.若 在 上的值域为 ，求 的取值范围.
7．已知函数 ．
(1)求函数 在 上的单调递增区间;
(2)将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，若函数
的图象关于点 成中心对称，在 上的值域为 ，求 的取值范围．
8．已知偶函数 的最小值为 .
(1)求实数 ， 的值;
(2)设 ，证明： 在区间 上存在唯一零点 ，且 ；
(3)设 ，若函数 与 的图象只有一个公共点，求实数 c的取
值范围；
2
9．已知函数 的图象的相邻对称轴之间的距离是 ，将函
数 向右平移 个单位得到的函数为偶函数，且当 时， 取得最大值.
(1)求函数 的解析式；
(2)若函数 的零点为 ，求 ；
(3)方程 在 上有 4个不相等的实数根，求实数 的取值范
围.
《湖北曾都一中 2025 至 2026 学年高一下数学强化训练卷五》参考答案
题号 1 2 3
答案 B B AC
4．
【详解】设 与 的夹角为 ，
因为 ，
， ，
所以 ．
故答案为: .
5．③④
【详解】①若 与 夹角为锐角，则 且 与 不共线，即 ，即 且
，故①不正确；
②由 得， 即 ，同理可得，
，所以点 O是三角形 ABC的垂心，故②不正确；
3
③ 即 ，所以 ，即角 为钝角，所以ΔABC
是钝角三角形，正确；
④因为 ，所以 ，
如图所示，在 中，延长 交 于 ，
设 ， ，由 ，所以有
，即 ，
因为 不共线，所以 ，即 ，因此 ，由角平分线定理的逆定理
可知， 为 的平分线，同理可知， 为 的平分线，故点 P为 ABC的内心，
正确．
故答案为：③④．
6．(1)
(2)
【详解】（1）解：由题意得
，
因为 的图象关于 对称，所以 ，
即 ，
4
又 ，所以 ，
所以 ，
故 ；
（2）解：由题意得 ，
因为 ，所以 ，
因为 在 上的值域为 ，
所以 ，
得 ，
故 的取值范围为 .
7．(1)
(2)
【详解】（1）
因为 ，所以 ．
所以当 ，即： 时，函数 单调递增．
所以函数 的单调递增区间为 .
（2）由题意可知：
因为函数 的图象关于点 成中心对称．
所以 ．解得： ．
因为 ，所以 ．所以 ．
5
当 时， ．因为 在 上的值域为
所以 ．解得： ．所以 的取值范围为 ．
8．
【详解】（1）由 ，得 ，
整理得 ，即 ，
即 对任意 恒成立，所以 ，
所以 ．
设 ，令 ，则 ， 时等号成立，
所以 ，
又 的最小值为 ，所以 ；
（2）由（1）得 ，
所以 ，
令 ，则 在 上单调递减，
故 在 上单调递减，又 在 上单调递增，
所以 在 上单调递减，
当 时， ，又正弦函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递减，
又 ， ，故 ，
6
所以 在 存在唯一零点 ，且 ，
所以 ，
两边取 的指数得：
计算 ，结合 得 ，
故 ，得 ，故 ，
所以 ，
所以 ；
(3)
【详解】（1）由 ，得 ，
整理得 ，即 ，
即 对任意 x恒成立，所以 ，
所以 ．
设 ，令 ，t＞0，则 ，等号成立时 ，
所以 ，
又 的最小值为 1，所以 ；
（2）由（1）知 ，
因为函数 与 的图象有且只有一个公共点，
所以方程 只有一解，即方程 有且只有一个实根，
令 ，则方程 有且只有一个正根，
7
①当 时， ，不合题意；
②当 时，若方程有两相等正根，则 ，
且 ，解得 ；
当 时，函数 ，其定义域为 ，
此时方程 的根为 ，满足条件，
若一个正根和一个负根，则 ，所以 c＞1时，
当 时，函数 的定义域为 ，
因为当 时， ，
所以方程 的正根大于 ，
方程 的正根在定义域内，符合要求，
∴实数 c的取值范围为 ．
9．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题知 ，∴ .又 ，解得 ，∴ .
将函数 向右平移 个单位得到函数
，
∵ 为偶函数，∴ ，解得 .
∵ ，∴ 或 .
8
又当 时， 取得最大值， ，即 .
∴ ，∴ .
（2）由（1）知 ，∴ .
由题知 ，∴ ，
.
∴
.
（3）由（1）知 ，则 时， ，
由正弦函数的图象与性质可知：当 时， 有两个解；当 或
时， 有一个解.
令 ，则方程 在 上有 4个不相等的实数根，等价
于关于 的方程 在 上有 2个不相等的实数根，
∴ ， 解得 ，即实数 的取值范围为 .
9

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