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湖北省武昌实验中学2025-2026学年高一下学期3月阶段性检测数学试卷
一、单选题
1．已知一个扇形的弧长为6，面积为9，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．2
2．已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
3．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．在边长为4的正方形中，动圆Q的半径为1、圆心在线段（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，在中，为上一点，且满足，若则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．的值为（ ）
A． B． C．1 D．
7．已知函数（）在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
二、多选题
9．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．已知、均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得
B．已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
C．若且，则
D．若平面内有四个点、、、，则必有
10．已知，下列说法正确的是（ ）
A．若，在区间上单调
B．若关于直线轴对称，则
C．若，且为的一个对称中心，则
D．若，在区间上的最大值与最小值的差的最大值是
11．已知，，是互不相等的非零向量，其中，是互相垂直的单位向量，，记，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则O，A，B，C四点在同一个圆上
B．若，则的最大值为2
C．若，则的最大值为
D．若，则的最小值为
三、填空题
12．已知，则________
13．已知点为所在平面内一点，若，则_______.
14．如图，在中，已知，，，直线过的重心，且与边、分别交于、两点，则的最小值为________．
四、解答题
15．已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象，若，求函数在上的取值范围.
16．如图，在等腰梯形中，是边上一点（含端点），与交于点，若，且设.

(1)若，求的值；
(2)求的取值范围.
17．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表：
时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00
水深 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
（1）请用一个函数近似地描述这个港口的水深y与时间t的函数关系；
（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米.
①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？
②如果该船是货船，在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于台风等天气原因该船必须在10:00之前离开该港口，为了使卸下的货物尽可能多而且能安全驶离该港口，那么该船在什么整点时刻必须停止卸货（忽略出港所需时间）？
18．如图，是单位圆（圆心为）上两动点，是劣弧（含端点）上的动点.记（均为实数
(1)若到弦的距离是，
（i）当点恰好运动到劣弧的中点时，求的值；
（ii）求的取值范围；
(2)若，记向量和向量的夹角为，求的最小值.
19．已知函数的部分图象如图所示，其中为坐标原点，是的图象与轴的交点，分别为图象的最高点和最低点，均是的图象与轴的交点．
(1)求的长度及的值；
(2)设点的横坐标为，若对任意的，任意的，恒成立，求的取值范围；
(3)若函数，且关于的方程在上恰有3个不相等的解，求的取值范围．
参考答案
1．D
2．D
3．C
4．A
5．B
6．A
7．C
8．B
9．AD
10．BCD
11．AD
12．
13．
14．
15．（1）因为，
所以的最小正周期为；
令，则，
所以的单调增区间为.
（2）的图象向左平移个单位长度得到，
再向上平移1个单位长度得到，
所以.令，
因为，
又因为，所以.
所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
即函数在上的取值范围是.
16．（1）由三点共线，且，可知，
在等腰梯形中，由，，
可得，
又，所以，
所以，
因为三点共线，所以向量共线，
可得，结合，解得，
所以.
（2）由（1）知，又，
则，
分别过作的垂线，垂足分别为，

因为等腰梯形中，，
所以，可得，
又，得，
所以，，
可得
，
又是边上一点（含端点），，则，
所以.
17．解析（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图.如图.

根据图象，可考虑用函数刻画水深与时间之间的对应关系.
由数据和散点图可以得出，，，.
由，得，
所以这个港口水深y与时间t的关系可用近似描述.
（2）①由题意得，时就可以进出港，令得，所以，解得，
又，∴或.
由于该船1:00进港，所以可以17:00离港，
又在1:00到17:00这段时间内，水深最浅时为9:00，且该时刻水深为7米，大于6.5米，
所以在同一天安全出港，在港内停留的最长时间是16个小时.
②设在x时刻货船航行的安全水深为y，那么.
在同一坐标系下画出与的图象.

设,
由且知，为了安全，货船在整点时刻6时必须停止御货.
18．（1）解：由到弦的距离是，可得，故
（i）由圆的几何性质得，
故
（ii）记劣弧的中点为，且
①
②
①+②得
进一步得：
，
其中
故的取值范围为：
（2）解：记，由两边平方，得
，又，∴
∴
故
又和向量的夹角为，
记，
显然关于单调递增，
所以当时，.
19．（1）将点坐标代入函数解析式可得：，即，
又，所以，所以，
易知，函数的最大值为3，最小值为，周期为，
记，则，所以.
令得，
所以或，即或，
由图可知，，所以
（2）对任意的，任意的，恒成立，
等价于在区间上的最小值大于在上恒成立.
由（1）可知，，当时，，
所以，所以，即，
所以，即在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
由余弦函数性质可知，.
（3），
令，则，
解得或，即或，
即或（舍去），所以，
所以或或或，
即或或或，
则方程的非负实数根由小到大为，
因为方程在上恰有3个不相等的解，
所以，即的取值范围为.

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