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2025-2026学年高三下学期 3月数学自我赋能检测试题 5．如图所示，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，若∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，则异面直线 B1C1与
AC所成角的大小为（ ）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答
题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
A．45° B．60° C．30° D．90°
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150分，考试用时 120分钟.
6．点 P（x，y）在圆 x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0上，则 的最小值是（ ）
一．选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 A． B． C． D．
符合题目要求的。
7．汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独
1． （ ） 特的艺术．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图，以“国”字为例，现
A． B． C． D． 有 5张分别写有一种书体的临摹纸，将其全部分给 3名书法爱好者，每人至少 1张，则不同
的分法种数为（ ）
2．下列函数是偶函数的是（ ）
A．f（x）＝x2 B．f（x）＝2x
C．f（x）＝log2x D．f（x）＝sin2x
3．已知{an}为等差数列，a3＝2，a4＝6，则 a5+a6＝（ ） A．60 B．90 C．120 D．150
A．36 B．24 C．18 D．12
8．已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1，F2，过坐标原点 O的直
4．棉花的纤维长度是衡量棉花质量的重要指标．在一批棉花中随机抽测 20根棉花的纤维长度
线 l与 C相交于 A，B两点，若点 A在第一象限，且|OA|＝|OF2|，|AF1|＝2|BF |，则双曲线 C
（单位：mm 1），按从小到大排序结果如下：
的离心率为（ ）
82 86 113 115 140 143 146 170 175 195
202 206 233 236 238 255 260 263 264 265 A． B．2 C． D．
请你估计这批棉花的第 5百分位数是（ ） 二．多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
A．84 B．86 C．99.5 D．115 题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
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（多选）9．已知直线 m，n和平面α，β，且 m⊥n，α∥β，则下列四个选项中正确的有（ ） 经过 4次移动后回到出发点的概率为 ．
A．若 m∥α，则过 n可作唯一平面与β垂直
B．若 m与α所成角为 60°，则过 n可作唯一平面与β垂直 四．解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
C．若 m⊥α，则过 n可作唯一平面与β垂直 15．（13分）在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 ．
D．若 m⊥α，则过 n可作唯一平面与β平行
（1）求 A；
（多选）10．已知抛物线 C：y2＝4x的焦点 F，直线 AB与抛物线交于 A，B两点．分别作抛物
（2）若△ABC是锐角三角形，c＝4，求△ABC面积的取值范围．
线在 A，B两点处的切线，两切线交于点 P，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．若 AB过焦点 F，则|AB|最小值为 4
16．（15分）学校编程社团组织“代码调试挑战”，成员连续完成两段独立的基础代码调试记为
B．若 AB过焦点 F，则△ABP一定为直角三角形
完成一次挑战，且两段代码均调试成功才算一次挑战成功．已知成员M在每次挑战中调试第
C．若 AB中点 M的横坐标为 4，则|AB|最大值为 12
一段代码成功的概率为 ．若第一段代码调试成功，成员M信心提升，则调试第二段代码成
D．若点 P在直线 x＝﹣4上，则 OA⊥OB
（多选）11．若函数 f（x）满足对任意 x，y∈R，恒有 f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），则称 功的概率为 ；若第一段代码调试未成功，成员M会更谨慎，则调试第二段代码成功的概率
函数 f（x）为“类余弦型”函数．已知函数 f（x）为“类余弦型”函数，且对任意非零实数 为 ．
x，f（x）＞1．则下列结论正确的是（ ）
（1）求成员 M在一次挑战中调试第二段代码成功的概率．
A．f（0）＝1
（2）该社团组织规定每个成员每次挑战成功可获 100元奖励，每次挑战只调试成功两段代
B．若 ，则 码中的一段可获 50元奖励．若成员M进行 2次“代码调试挑战”，每次挑战成功与否相互独
C．函数 f（x）为偶函数 立．设成员 M获得的奖励总金额为随机变量 X，求 X的数学期望 E（X）．
D．对于任意正整数 k，f（（k+1）x）＞f（kx）恒成立
三．填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 17．（15分）设函数 ．
12．已知集合 A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}， ，则 A∩B＝ ． （1）若 a＝1，求 f（x）的单调区间；
13．已知函数 在 x∈[0， π]上存在零点，则实数 a的最小值 （2）若对任意 x∈（1，e]，都有 ，求实数 a的取值范围．
为 ．
14．平面上有一个点，等可能地向前、后、左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，则
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18．（17分）在平面四边形 ABCD中，△BCD为边长为 2的正三角形，△ABD为等腰三角形且
AB⊥BD，将△BCD沿 BD向上翻折至△BPD，其中 P为动点．
（1）若 AP＝AD，证明：AB⊥平面 BPD；
（2）当直线 AP与平面 ABD所成角的正弦值取到最大值时，求点 A到平面 BPD的距离．
19．（17分）已知椭圆 的离心率为 分别为椭圆的左顶点和
上顶点，F1为左焦点，且△F1AB的面积为 ．
（Ⅰ）求椭圆 M的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆 M的右顶点为 C，P是椭圆 M上不与顶点重合的动点．
（i）若点 P（1，y0）（y0＞0），点 D在椭圆 M上且位于 x轴下方，设△APC和△DPC的面
积分别为 S1，S2．若 ，求点 D的坐标；
（ii）若直线 AB与直线 CP交于点 Q，直线 BP交 x轴于点 N，设直线 QN和直线 QC的斜率
为 kQN，kQC，求证：2kQN﹣kQC为定值，并求出此定值．
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参考答案 （2）由正弦定理可得 ，
一．选择题
所以 ，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
故 ，
答案 A A B A A C D C
而因为△ABC为锐角三角形，
二．多选题 故 ，解得 ，
题号 9 10 11
从而 ，所以 ，
答案 BC ABD ACD
故 的取值范围是 ．
三．填空题
12 {0 1 2 3} 16．解：（1）设事件 A为“第一段代码调试成功”，事件 B为“第二段代码调试成功”，． ， ， ， ．
已知 ，则 ， ， ，
13． ．
则 ，
14． ．
即 ．
四．解答题 （2）挑战成功（两段都成功）的概率 ；
15．解：（1）因为 ， 第一段成功、第二段失败 ，
所以由正弦定理可得 ， 第一段失败、第二段成功 ，
又 sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
所以只成功一段的概率 ，
所以 ，
两段都失败的概率 ，
因为 B为三角形内角，sinB＞0，
设一次挑战的奖励为 X1，则 ，
所以 ，可得 ，
因为两次挑战相互独立，所以 ．
因为 A∈（0，π），所以 ；
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17．解：（1）当 a＝1时， ，定义域为（0，+∞）， ∴AB⊥平面 BPD．
（2）∵AB⊥BD，AB⊥平面 BPD，
f'（x）＝lnx+x 1＝lnx，
∴以 B为原点，分别以直线 AB，BD为 x，y轴，过 B作平面 ABD的垂线作为 z轴，建立如
由 f'（x）＜0，可得 0＜x＜1，由 f'（x）＞0，可得 x＞1，
图所示的空间直角坐标系，
所以 f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）．
∵△BPD为边长为 2的正三角形，△ABD为等腰三角形且 AB⊥BD，
（2）对任意 x∈（1，e]，都有 ， ∴B（0，0，0），D（0，2，0），A（2，0，0），设 P（x，y，z），
即对任意 x∈（1，e]，都有 ， ∵△BPD为边长为 2的正三角形，∴P（x，1，z），∴ ，
因为 x∈（1，e]，lnx＞0，所以任意 x∈（1，e]，都有 ．
∴x2+z2＝3，设 ，则 ，
设 ，则 a＜g（x）min，x∈（1，e]，
∴ ，
∵平面 ABD的法向量为 ，
设 ，所以 h（x）在（1，e]上单调递减， 设直线 AP与平面 ABD所成的角为α，
所以 h（x）＜h（1）＝0，即 g'（x）＜0，
则 ，
所以 g（x）在（1，e]上单调递减，
所以 ，所以 a＜1 ，即 a的取值范围是 ．
设 ，
18．解：（1）证明：∵△BCD为边长为 2的正三角形， 设 ，∵﹣1≤cosθ≤1，
∴BD＝BC＝CD＝2， ∴ ，
∵△ABD为等腰三角形且 AB⊥BD，∴AB＝AD，
∴ ， ， ，
∵AP＝AD，∴AP＝AB，
∵△BPD≌△BCD，∴BP＝BD＝2， ∴ ，
∵在△ABP中，AP＝AB，BP＝2，∴△ABP为等腰三角形，
转化为 ，
∵取 BP中点 E，连接 AE，∴AE⊥BP，
∵ ，
∵AB⊥BD，BP 平面 BPD，BD 平面 BPD，BD∩BP＝B，
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∴ ，当且仅当 时，即 t＝4时，等号成立，
∵ ，∴ ，∴ ，
即 时， ，则 ，
则 ，即 ，
即 ，
19．解：（Ⅰ）由题意得 ，
则直线 AP与平面 ABD所成角的正弦值取到最大值为 时， ，
又 c2＝a2﹣b2，
∴ ，则 ，
设点 A到平面 BPD的距离为 d， 解得 ，
点 P到平面 ABD的距离为 ，
∴椭圆 M的标准方程为 ；
∵VP﹣ABD＝VA﹣PBD，
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）可得 C（2，0），点 P（1，y0）（y0＞0）在椭圆 M上，代入椭圆方程得
∴ ，
，
∵ ，
连接 PC，如下图所示：
，
∴ ，
∴点 A到平面 BPD的距离为 ．
因为 ，
所以 ，
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所以 OD∥PC，所以 ， 依题意 B、P不重合，所以 8k2﹣6≠0，即 ，
所以直线 OD的方程为 ，
所以 ，
联立 ，解得 或 （舍去）， ∴直线 BP的方程为 ，
所以 D（1， ）； 令 y＝0，即 ，
证明：（ⅱ）设直线 QC的斜率为 k，则直线 QC的方程为：y＝k（x﹣2），
解得 ，所以 ，
所以 kQN k ，
所以 为定值．
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因为 ，A（﹣2，0），
所以直线 AB的方程为 ，
由 ，解得 ，
所以 ，
由 ，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0，
由Δ＝256k4﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）＞0，则 ，
所以 ，
则 ，所以 ，
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