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《第十章_概率》单元测试卷 单元基础训练卷 （含答案解析）
一、选择题

1.从个篮球、个排球中任选个球，则下列事件中，是必然事件的是（ ）
A.个都是篮球 B.至少有个是排球
C.个都是排球 D.至少有个是篮球

2.以下现象是随机现象的是（ ）
A.标准大气压下，水加热到，必会沸腾
B.走到十字路口，遇到红灯
C.长和宽分别为、的矩形，其面积为
D.实系数一次方程必有一实根

3.从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于的概率是，质量不小于的概率是，那么质量在范围内的概率是（ ）
A. B. C. D.

4.端午节吃粽子是我国的一个民俗，记事件“甲端午节吃甜粽子”，记事件“乙端午节吃咸粽子”，且，，事件与事件相互独立，则（ ）
A. B. C. D.

5.给出下列命题，其中说法正确的是（ ）
A.若，为两个随机事件，则
B.若事件，，两两互斥，则
C.若，为互斥事件，则
D.若，则

6.已知从甲袋内摸出个红球的概率是，从乙袋内摸出个红球的概率是，从两袋内各摸出个球，则等于（ ）
A.个球不都是红球的概率
B.个球都是红球的概率
C.个球中至少有个红球的概率
D.个球中恰好有个红球的概率

7.某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为，，，且他是否通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则（ ）
A. B. C. D.

8.甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，下列说法错误的是（ ）
A.两人都做对的概率是
B.恰好有一人做对的概率是
C.两人都做错的概率是
D.至少有一人做对的概率是
二、多选题

9.以下对各事件发生的概率判断正确的是（ ）
A.连续抛两枚质地均匀的硬币，有个基本事件，出现一正一反的概率为
B.每个大于的偶数都可以表示为两个素数的和，例如，在不超过的素数中随机选取两个不同的数，其和等于的概率为
C.将一个质地均匀的骰子先后抛掷次，记下两次向上的点数，则点数之和为的概率是
D.从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是

10.如图，一个正八面体的八个面分别标有数字，，，…，，任意抛掷一次该正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，若事件，事件，事件，则（ ）
A.事件，相互独立 B.事件，相互独立
C.事件，相互独立 D.

11.一个正八面体，八个面分别标以数字到，任意抛掷一次这个正八面体，把它与地面接触的面上的数字记为，则，定义事件：，事件：，事件：，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.，，两两相互独立

12.有个相同的球，分别标有数字，，，，从中不放回的随机取两次，每次取个球，表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）
A.，相互独立 B.，相互独立
C.，相互独立 D.，相互独立
三、填空题

13.某科研攻关项目中遇到一个问题，请了甲、乙两位专家单独解决此问题，若甲、乙能解决此问题的概率分别为，，则此问题被解决的概率为__________________

14.如图，用，，这类不同的元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知元件，，正常工作的概率分别为，，，则系统正常工作的概率是 .

15.已知事件，，两两互斥，若，，，则 ．

16.甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第局甲当裁判，在前局中乙恰好当次裁判的概率 ．
四、解答题

17.如图是一个方形迷宫，甲、乙两人分别位于迷宫的，两处，两人同时以每一分钟一格的速度向东、西、南、北四个方向行走，已知甲向东、西行走的概率都为，向南、北行走的概率为和，乙向东、西、南、北四个方向行走的概率均为
（1）求和的值；
（2）问最少几分钟，甲、乙二人相遇？并求出最短时间内可以相遇的概率.

18.某超市做电脑摇奖活动，各奖项中奖概率如图所示．已知甲、乙、丙参加摇奖，假设这人之间的摇奖互不影响．
（1）求甲、乙、丙都中一等奖的概率；
（2）求甲未中奖且乙、丙中奖的概率；
（3）求甲、乙、丙至少有一人中奖的概率．

19.第届亚运会将于年月日至月日举办，本届亚运会共设个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？
这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为、、、，其中对阵其他三个队伍获胜概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时同组，同组．
（1）若，在淘汰赛赛制下，、获得冠军的概率分别为多少？
（2）分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？

20.甲、乙、丙、丁名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者“，负者称为“负者“，第场为决赛，获胜的人是冠军．已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．
（1）求甲获得冠军的概率；
（2）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率．

21.为了选派学生参加“市中学生知识竞赛”，某校对本校名学生进行选拔性测试，得到成绩的频率分布直方图（如图）．规定：成绩大于或等于分的学生有参赛资格，成绩分以下（不包括分）的学生则被淘汰．
（1）求获得参赛资格的学生人数；
（2）根据频率分布直方图，估算这名学生测试的平均成绩（同组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：
方案一：每人从道备选题中任意抽出道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰；
方案二：每人从道备选题中任意抽出道，若至少答对其中道，则可参加复赛，否则被淘汰．已知学生甲只会道备选题中的道，那么甲选择哪种答题方案，进入复赛的可能性更大？并说明理由．

22.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和．假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
（1）求甲、乙各射击一次均击中目标的概率；
（2）求甲射击次，恰有次连续击中目标的概率；
（3）若乙在射击中出现连续次未击中目标就会被终止射击，求乙恰好射击次后被终止射击的概率．
参考答案与试题解析
2025届高中数学人教A版（2019）必修第二册《第十章 概率》单元测试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
随机事件
【解析】
根据给定条件，利用随机事件、不可能事件、必然事件的定义逐项判断作答．
【解答】
解：依题意，选出的个球：“个都是篮球”与“至少有个是排球”可能发生，也可不发生，它们是随机事件，，都不是；
因只有个排球，所以选出个球不可能都是排球，“个都是排球”是不可能事件，不是；
因只有个排球，所以选出的个球至少有个是篮球，“至少有个是篮球”是必然事件，是．
故选：．
2.
【答案】
B
【考点】
随机事件
【解析】
根据随机事件的概念判断即可．
【解答】
解：．标准大气压下，水加热到必会沸腾，是必然事件；
．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；
．长和宽分别为、的矩形，其面积为，是必然事件；
．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．
故选：．
3.
【答案】
B
【考点】
互斥事件的概率加法公式
【解析】
根据所给质量小于的概率是，质量不小于的概率是，写出质量在范围内的概率，用去减已知的概率，得到结果．
【解答】
解：记“取到质量小于的羽毛球”为事件，
“取到质量不小于的羽毛球”为事件，
“取到质量在范围内的羽毛球”为事件
易知事件，，互斥，且为必然事件，
所以，
即．
故选：．
4.
【答案】
B
【考点】
概率的基本性质
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式及概率的基本性质计算即得.
【解答】
由事件与事件相互独立，得，
所以
故选：
5.
【答案】
C
【考点】
事件的运算及其含义
概率的基本性质
互斥事件的概率加法公式
【解析】
选项，可举出反例；选项，根据得到正确；选项，根据概率的性质得到
【解答】
对于：当，为两个互斥事件时，才有，
当，不互斥时，，选项错误；
对于：当事件，，两两互斥，且时，才有，所以错误；
对于：当，为互斥事件时，，选项正确；
对于：由概率的性质可知，若，则，选项错误；
故选：
6.
【答案】
C
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果．
【解答】
解：对于，个球不都是红球的概率为，故错误；
对于，个球都是红球的概率为，故错误；
对于，个球中至少有个红球的概率为，故正确；
对于，个球中恰好有个红球的概率为，故错误．
故选：．
7.
【答案】
B
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
根据独立事件同时发生的概率公式，列式求解.
【解答】
因至少通过一个社团考核的概率为，则三个社团都没有通过的概率为，依题意，
得 即， 解得
故选：
8.
【答案】
C
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
对立事件的概率公式及运用
【解析】
根据相互独立事件的积事件的概率乘法公式，独立事件的的概率公式即可求解．
【解答】
解：由于甲做对的概率为，乙做对的概率为，
故两人都做对的概率是，所以正确；
恰好有一人做对的概率是，故正确；
两人都做错的概率是，故错误；
至少有一人做对的概率是，故正确．
故选：．
二、多选题
9.
【答案】
B,C,D
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
．列举所有的基本事件，得到概率，判断选项；．首先列举素数，再根据组合数，写出概率；．列举满足条件的基本事件，求概率；．根据组合数写出概率，判断选项．
【解答】
解：．连续抛两枚质地均匀的硬币，有个基本事件，包含两正，两反，先反再正，先正再反，出现一正一反的概率，故不正确；
．不超过的素数包含，，，，，，共个数字，随机选取两个不同的数字，和等于的包含，则概率为，故正确；
．将一个质地均匀的骰子先后抛掷次，共种情况，点数之和为包含，，，，，共种，所以点数之和为的概率，故正确；
．由题意可知取出的产品全是正品的概率，故正确．
故选：．
10.
【答案】
B,C,D
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
根据事件的运算法则得到各个事件的概率，选项，根据独立事件所满足的条件进行判断；选项，根据事件概率计算即可．
【解答】
解：因为事件，事件，事件，
所以，，，，
所以，，，，，
选项，，事件，不相互独立，错误；
选项，，事件，相互独立，正确；
选项，，事件，相互独立，正确；
选项，，正确．
故选：．
11.
【答案】
B,C
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
古典概型及其概率计算公式
【解析】
根据各事件的交补集中的事件数，应用古典概型求概率的方法求、、、，由两两相互独立事件的概率性质判断、、是否相互独立．
【解答】
解：由题意，，，，
，同理，，
由，则，故错误；
由，则，故正确；
由，则，而，故正确；
因为，，，所以事件，，不两两相互独立，故错误．
故选：．
12.
【答案】
B,C
【考点】
相互独立事件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
BC
三、填空题
13.
【答案】
【考点】
概率的基本性质
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
利用概率的基本性质及相互独立事件的概率公式计算即得.
【解答】
记事件“甲专家独立解决”，事件“乙专家独立解决”，
则，而相互独立，即，
所以，即问题被解决的概率为
故答案为：
14.
【答案】
【考点】
相互独立事件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
设元件，，正常工作分别为事件，，，则，，，
，中至少有一个正常工作的概率为：，
则系统正常工作概率为：．
故答案为：
15.
【答案】
【考点】
互斥事件的概率加法公式
【解析】
先利用互斥事件的概率公式求出，再利用互斥事件的概率公式求解即可．
【解答】
解：因为事件，，两两互斥，所以，
因为，所以，
又因为，所以．
故答案为：．
16.
【答案】
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
互斥事件的概率加法公式
【解析】
前局中乙恰好当次裁判的事件是乙在第二局当裁判与在第三局当裁判事件的和，它们互斥，分别求出它们的概率而得解．
【解答】
解：前局中，因第局甲当裁判，则乙恰好当次裁判的事件，是乙第二局当裁判的事件与乙第三局当裁判的事件的和，它们互斥，
乙第二局当裁判的事件是乙在第一局输，则；
乙第三局当裁判的事件是乙在第一局胜，第二局输，则，
所以
故答案为：．
四、解答题
17.
【答案】
；
分钟；
【考点】
相互独立事件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）；又
（2）根据方形迷宫，以及甲、乙两人所处位置可知，最少需要分钟，甲乙二人可以相遇（如图，，三处相遇）；
设在，，三处相遇的概率分别为，，，
则，
，
，
，
即所求的概率为
18.
【答案】
解：（）甲、乙、丙都中一等奖的概率为
甲未中奖且乙、丙中奖的概率为
甲、乙、丙至少有一人中奖的概率为
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
对立事件的概率公式及运用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）解：（）甲、乙、丙都中一等奖的概率为
（2）甲未中奖且乙、丙中奖的概率为
（3）甲、乙、丙至少有一人中奖的概率为
19.
【答案】
获得冠军的概率分别为，；
淘汰赛赛制下获得冠军的概率为，“双败赛制”赛制下获得冠军的概率为，双败赛制下对强者更有利.
【考点】
相互独立事件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出，获得冠军的概率为，
获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出，
获得冠军的概率为
（2）淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为，“双败赛制”赛制下，讨论进入胜者组、败者组两种情况，
当进入胜者组，若在胜者组失败，后两局都胜，方可得冠军；
若在胜者组胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军；
当进入败者组，后三局都胜，方可得冠军；
综上，获得冠军的概率
令，
若为强队，则，故，
所以，双败赛制下对强者更有利.
20.
【答案】
解：甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：
胜胜胜；负胜胜胜；胜负胜胜，
所以甲获得冠军的概率为；
若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：
甲：胜胜，乙：负胜胜；
甲：负胜胜，乙：胜胜，
所以甲与乙在决赛相遇的概率为
若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第场和第场相遇，两人参加的比赛的结果有两种情况：
乙：胜胜，丙：胜负胜；
乙：胜负胜，丙：胜胜，
同时考虑甲在第场和第场的结果，乙与丙在第场和第场相遇的概率为
丁与丙的情况相同；
所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
互斥事件的概率加法公式
【解析】
（1）甲获得冠军，有三种途径，第一种连胜三场，第二种先胜一场，然后输一场胜两场，第三种先输一场，再连赢三场，求三种情况的概率之和即可；
（2）如果甲进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇，有三种可能，甲乙、乙丙、乙丁，求三种情况的概率之和即可．
【解答】
（1）解：甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：
胜胜胜；负胜胜胜；胜负胜胜，
所以甲获得冠军的概率为；
（2）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：
甲：胜胜，乙：负胜胜；
甲：负胜胜，乙：胜胜，
所以甲与乙在决赛相遇的概率为
若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第场和第场相遇，两人参加的比赛的结果有两种情况：
乙：胜胜，丙：胜负胜；
乙：胜负胜，丙：胜胜，
同时考虑甲在第场和第场的结果，乙与丙在第场和第场相遇的概率为
丁与丙的情况相同；
所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为
21.
【答案】
解：获得参赛资格的人数是：．
平均成绩：，
所以这名学生测试的平均成绩．
道备选题中学生甲会的道分别记为，，，不会的道分别记为，．
方案一：学生甲从道备选题中任意抽出道的结果有：，，，，，共种，
抽中会的备选题的结果有，，，共种，
所以学生甲可参加复赛的概率．
方案二：学生甲从道备选题中任意抽出道的结果有：，，，，，，，，，，共种，
抽中至少道会的备选题的结果有：，，，，，，，共种，
所以学生甲可参加复赛的概率，
因为，所以学生甲选方案二进入复赛的可能性更大．
【考点】
频率分布直方图
古典概型及其概率计算公式
【解析】
（1）由频率分布直方图能求出获得参赛资格的人数．
（2）由频率分布直方图能求出平均成绩．
（3）道备选题中学生甲会的道分别记为，，，不会的道分别记为，．
方案一：学生甲从道备选题中任意抽出道的结果有：，，，，，共种，抽中会的备选题的结果有，，，共种，由此能求出学生甲可参加复赛的概率．
方案二：利用列举法得到学生甲从道备选题中任意抽出道的结果有种，抽中至少道会的备选题的结果有种，从而学生甲选方案二进入复赛的可能性更大．
【解答】
（1）解：获得参赛资格的人数是：．
（2）平均成绩：，
所以这名学生测试的平均成绩．
（3）道备选题中学生甲会的道分别记为，，，不会的道分别记为，．
方案一：学生甲从道备选题中任意抽出道的结果有：，，，，，共种，
抽中会的备选题的结果有，，，共种，
所以学生甲可参加复赛的概率．
方案二：学生甲从道备选题中任意抽出道的结果有：，，，，，，，，，，共种，
抽中至少道会的备选题的结果有：，，，，，，，共种，
所以学生甲可参加复赛的概率，
因为，所以学生甲选方案二进入复赛的可能性更大．
22.
【答案】
解：用事件表示“甲击中目标”，事件表示“乙击中目标”.
依题意知，事件和事件相互独立，
因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为；
用事件表示“甲第次射击击中目标”，并记“甲射击次，恰有次连续击中目标”为事件，
则，且与是互斥事件.
由于，，，之间相互独立，所以与，，且之间也相互独立.
由于，所以，
故
所以甲射击次，恰有次连续击中目标的概率为；
用事件表示“乙第次射击击中目标”，事件表示“乙在第次射击后被终止射击”，
则，且与是互斥事件.
由于，，，之间相互独立，所以与，，且之间也相互独立.
因为，所以，
故
所以乙恰好射击次后被终止射击的概率为
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
互斥事件的概率加法公式
对立事件的概率公式及运用
【解析】
（1）由于两人射击是否击中目标相互之间没有影响，所以由相互独立事件的概率公式求解即可；
（2）记事件表示“甲第次射击击中目标”，并记“甲射击次，恰有次连续击中目标”为事件，则，且与是互斥事件，再由独立事件和互斥事件的概率求解即可；
（3）记事件表示“乙第次射击击中目标”，事件表示“乙在第次射击后被终止射击”，则，且与是互斥事件，再利用由独立事件和互斥事件的概率求解即可．
【解答】
（1）解：用事件表示“甲击中目标”，事件表示“乙击中目标”.
依题意知，事件和事件相互独立，
因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为；
（2）用事件表示“甲第次射击击中目标”，并记“甲射击次，恰有次连续击中目标”为事件，
则，且与是互斥事件.
由于，，，之间相互独立，所以与，，且之间也相互独立.
由于，所以，
故
所以甲射击次，恰有次连续击中目标的概率为；
（3）用事件表示“乙第次射击击中目标”，事件表示“乙在第次射击后被终止射击”，
则，且与是互斥事件.
由于，，，之间相互独立，所以与，，且之间也相互独立.
因为，所以，
故
所以乙恰好射击次后被终止射击的概率为
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