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8.3《简单几何体的表面积与体积》同步基础练习 （含答案解析）
一、选择题

1.某施工队要给一个正四棱锥形的屋顶铺设油毡进行防水，已知该四棱锥的高为，底面边长是，接缝处忽略不计，则需要油毡的面积为（ ）
A. B. C. D.

2.已知正方体的棱长为，过点，，的平面把该正方体分割成两个几何体，则这两个几何体的表面积之和为（ ）
A. B. C. D.

3.据《九章算术》记载，我国匠人常需计算不同几何体表面积或体积的比例以优化用料，例如，制作圆锥形与球形装饰物时，需比较两者的表面积以确定所需涂漆或覆盖材料的用量．若圆锥的底面直径和母线都等于球的直径，则圆锥与球的表面积之比为（ ）
A. B. C. D.

4.一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.

5.将边长为的正方形沿对角线进行翻折，使得二面角的大小为，连接，得到四面体，则该四面体的外接球体积与四面体的体积的比值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题

6.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ）
A.圆柱的侧面积为
B.圆锥的侧面积为
C.圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和
D.三个几何体的表面积中，球的表面积最小

7.若将张铁皮进行任意无重叠地切割，分别可以焊接成底面半径均为，高均为的一个密闭圆锥和一个密闭圆柱、上下底面半径分别为，高为的一个密闭圆台及直径为的一个球（不考虑损耗），则体积与其表面积之比最大的是（ ）
A.球 B.圆锥 C.圆柱 D.圆台
三、填空题

8.一个封闭的正三棱柱容器，内装水若干，水面高度为（如图，底面处于水平状态）.将容器放倒（如图，一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点分别为所在棱的中点，则该正三棱柱容器的高为__________________.

9.已知正四棱锥的底面边长为，且其侧面积是底面积的倍，则此正四棱锥的体积为____________.
四、解答题

10.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得圆台的母线长为，两底面面积分别为和求：
（1）圆台的体积；
（2）圆台所在圆锥的表面积；

11.某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面相同，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计．已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为
（1）求这种“笼具”的体积；
（2）现用的纱网材料制作这种“笼具”，问至多可以制作多少个“笼具”？（假设纱网材料没有浪费，结果保留整数．）

12.如图，在正四棱锥中，，
（1）求四棱锥的体积；
（2）求四棱锥的表面积.
参考答案与试题解析
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
棱锥表面积的有关计算
【解析】
利用勾股定理求出斜高，然后求出侧面积即可.
【解答】
设该正四棱锥的斜高为．
高为，底面边长是，
根据勾股定理得，
该正四棱锥的侧面积为，即需要油毡的面积为．
故选：
2.
【答案】
C
【考点】
棱柱表面积的有关计算
【解析】
正方体的结构特征及三棱柱的表面积计算即可.
【解答】
由题意知，过点，，的平面为平面，
所以这两个几何体的表面积之和等于正方体的表面积加上长方形的面积的倍，
正方体的表面积为，长方形的面积为，
所以这两个几何体的表面积之和为
故选：
3.
【答案】
C
【考点】
圆锥表面积的有关计算
球的表面积的有关计算
【解析】
设圆锥底面圆半径为，球的半径为，再计算球与圆锥的表面积和它们的比值.
【解答】
设圆锥底面圆半径为，球的半径为，
由题意知，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，
所以，
，
所以圆锥与球的表面积之比为
故选：
4.
【答案】
C
【考点】
圆锥中截面的有关计算
球的截面的性质及计算
球的体积的有关计算
【解析】
根据题意求出圆锥的底面半径，高，母线长，再结合圆锥的轴截面构造等式即可求出.
【解答】
设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，有，
可得 ，
圆锥的轴截面如图，设体积最大的球的半径为，
有，有，解得，
故该球的最大体积为．
故选：
5.
【答案】
D
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
球的表面积和体积
球内接多面体
【解析】
根据题意得到翻折后四面体是个直角三角形构成的，所以外接球球心在斜边的中点处，可得到半径进而求得体积，由翻折特性可知平面，又可求体积.
【解答】
翻折后所得图形如下图所示，易知的中点为球心，
故该四面体的外接球体积，
又，平面，，
所以平面，
二面角的大小为，，
,
故所求体积之比为.
二、多选题
6.
【答案】
A,B,C
【考点】
柱体体积的有关计算
锥体体积的有关计算
球的体积的有关计算
球的表面积的有关计算
【解析】
根据球、圆锥、圆柱的表面积公式，体积公式逐项计算可得结论.
【解答】
对于：圆柱的侧面积为，所以选项正确．
对于：圆锥的侧面积为，所以选项正确．
对于：圆锥的体积为，圆柱的体积为，
球的体积为，所以圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和，所以选项正确．
对于：球的表面积为，圆柱的表面积为，
圆锥的表面积为，所以圆锥的表面积最小，故错误.
故选：
7.
【答案】
A,C
【考点】
圆柱表面积的有关计算
锥体体积的有关计算
台体体积的有关计算
球的体积的有关计算
【解析】
分别计算圆锥，圆柱，圆台，球的体积表面积，并求得体积与表面积之比，进行判断即可.
【解答】
圆锥的体积为：，表面积为：，
所以，
圆柱的体积为：，表面积为：，
所以，
圆台的体积为：，
表面积为：，
所以，
球的体积为：，
表面积为：，
所以，
所以圆柱、球的体积与其表面积之比最大.
故选：
三、填空题
8.
【答案】
【考点】
柱体体积的有关计算
【解析】
设正三棱柱的底面积为，高为，利用等体积法求出即可.
【解答】
设正三棱柱的底面积为，高为，则水的体积，
因为分别为所在棱的中点，所以，，
所以图中水的体积为，又，
，解得
所以该正三棱柱容器的高为
故答案为：
9.
【答案】
【考点】
棱锥表面积的有关计算
锥体体积的有关计算
【解析】
利用正四棱锥的侧面积是底面积的倍求出侧面的高，进而求出锥体的高，代入体积公式求解即可.
【解答】
如图，在正四棱锥中，为四棱锥的高，为侧面的高，
因为正四棱锥的底面边长为，且侧面积是底面积的倍，
所以，解得，所以，
所以
故答案为：
四、解答题
10.
【答案】
【考点】
圆锥表面积的有关计算
台体体积的有关计算
【解析】
（1）作出圆锥的轴截面示意图，求得上下底面圆的半径，进而结合母线长可求圆锥的高,即可由体积公式求解；
（2）利用比例关系计算出圆锥的母线长，再根据圆锥的表面积公式即可计算出其表面积.
【解答】
（1）解：圆锥的轴截面示意图如下图所示：
因为圆台的上底面面积为，所以上底面圆的半径，
因为圆台的下底面面积为，所以下底面圆的半径，
所以，所以圆台的高；
故圆台的体积为
（2）设圆锥的母线长为，圆台的母线长为，
由上图可知：，所以，
所以圆锥的侧面积为，圆锥的底面积为，
所以圆锥的表面积为
11.
【答案】
个
【考点】
圆柱表面积的有关计算
柱体体积的有关计算
【解析】
（1）根据题意，结合圆锥和圆柱的体积公式，即可求解；
（2）根据题意，求得该组合体的表面积，结合题意，即可求解.
【解答】
（1）解：设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为，
由题意，，
则，
这种“笼具”的体积为．
（2）由可知，圆柱的侧面积为，
圆柱的底面积为，圆锥的侧面积为，
这种“笼具”的表面积为，
至多可以制作个“笼具”．
12.
【答案】
【考点】
棱锥表面积的有关计算
锥体体积的有关计算
【解析】
（1）根据题意，先求四棱锥的高，结合锥体体积公式，即可求解；
（2）根据题意，结合棱锥表面积求法，即可求解.
【解答】
（1）解：连接，，记，连接，
如图所示.棱锥为正四棱锥，
所以平面，
又平面，
所以，
因为,即,
所以，
所以四棱锥的体积
（2）取的中点，连接，，如图所示.
因为平面，
平面，
所以，且,
所以，
所以四棱锥的表面积
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