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8.6《空间直线、平面的垂直》同步基础练习 （含答案解析）
一、选择题

1.如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则（ ）
A.，且直线、是异面直线
B.，且直线、是异面直线
C.，且直线、是相交直线
D.，且直线、是相交直线

2.若，为空间中两条不同的直线，、为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，，则 D.若，，则

3.堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》.如图，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）.如图，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得到四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑.则在图中，下列说法正确的个数为（ ）
①阳马的四个侧面中恰有个是直角三角形
②鳖臑的四个面均为直角三角形
③堑堵的表面积是阳马的表面积的倍
④堑堵的体积是鳖臑的体积的倍
A. B. C. D.

4.如图，在三棱锥中，不能证明的条件是（ ）
A.平面 B.，
C.，平面平面 D.，

5.如图，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小是( )
A. B. C. D.

6.在正三棱柱中，，是的中点，是棱上的动点，则直线与平面所成角的正切值的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题

7.如图，三棱柱中，底面三角形是正三角形，是的中点，则下列叙述错误的是（ ）
A.与是异面直线 B.与共面
C.与是异面直线 D.与所成的角为

8.如图，在边长为的正方形中，，分别为，的中点，沿、及把这个正方形折成一个四面体，使得、、三点重合于点，得到四面体（如图）．下列结论正确的是（ ）
A.平面平面
B.四面体的体积的为
C.二面角正切值为
D.顶点在底面上的射影为的垂心
三、填空题

9.二面角的取值范围是____________．

10.在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为____________．
四、解答题

11.如图，在四面体中，，，，点为的中点，点为上一点，且，四面体的体积为
（1）求证：平面平面；
（2）若，恰为二面角的平面角，求的面积.

12.如图，在三棱台中，平面平面， ,.
（1）证明： ;
（2）求平面与平面所成角的余弦值．

13.如图，在正方体中，是的中点．
（1）求异面直线和所成角的大小；
（2）求证： 平面；
（3）求和平面所成角的正弦值．
参考答案与试题解析
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
异面直线的判定
空间中直线与直线之间的位置关系
平面与平面垂直的性质
【解析】
连接，可得是的中点，可得与相交，进而可证，从而可得，从而可得
【解答】
连接，
因为点为正方形的中心，所以是的中点，
所以平面，所以与相交，
因为四边形是正方形，所以，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，因为平面，所以，
又因为是等边三角形，所以，
所以，所以，又因为是的中点，
所以
故选：
2.
【答案】
D
【考点】
面面关系有关命题的判断
平面与平面平行的判定
平面与平面垂直的判定
线面垂直证明线线平行
【解析】
选项，由线面垂直的性质可得正确；选项，由线面平行得到面面平行，进而由线面垂直得到面面垂直，推出正确；选项，先得到，又，则；选项，可举出反例.
【解答】
：若，，则，故正确；
，存在平面，使得且，
因为，所以，故，故正确；
：若，，则，又，则，故正确；
：若，，则或与异面或与相交，故错误
故选：．
3.
【答案】
B
【考点】
棱锥表面积的有关计算
柱体体积的有关计算
锥体体积的有关计算
线面垂直证明线线垂直
【解析】
对于①，根据阳马的定义结合线面垂直的判定与性质分析判断；对于②，根据鳖臑的定义结合线面垂直的判定与性质分析判断；对于③，根据棱柱与棱锥的表面积公式结合已知条件分析判断；对于④，根据棱柱与棱锥的体积公式结合已知条件分析判断.
【解答】
对于①，如图，由题意可知平面，平面，则，
因为平面，平面，所以，
因为平面，平面，所以，
所以阳马的四个侧面都是直角三角形，故①错误；
对于②，如图，由题意可知平面，平面，则，
因为平面，平面，则，
所以鳖臑的四个面均为直角三角形，所以②正确；
对于③，设长方体的长，宽，高分别为，则，
所以堑堵的表面积，
，
阳马的表面积，
，
由于
，
所以堑堵的表面积不是阳马的表面积的倍，即③错误；
对于④，设长方体的长，宽，高分别为，则，
所以堑堵的体积，鳖臑的体积，
所以堑堵的体积是鳖臑的体积的三倍，所以④错误.
故选：
4.
【答案】
D
【考点】
直线与平面垂直
平面与平面垂直
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
由线面垂直的判定定理和性质定理，以及面面垂直的性质定理可得结论．
【解答】
解：由平面，可得，故正确；
由，，，可得平面，则，故正确；
由，平面平面，平面平面，可得平面，则，故正确；
由，，可得为异面直线，的公垂线，不能得到．
故选：．
5.
【答案】
B
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线与所成的角．
【解答】
若为中点，连接，，又是的中点，则，
所以与所成角，
即为与所成角，令正方体棱长为，
则，
在中，则．故选．
6.
【答案】
D
【考点】
直线与平面所成的角
棱柱的结构特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
如图，作，垂足为，连接．
在正三棱柱 中，平面平面 ，
因为平面平面，所以平面，
故为直线与平面所成的角．
当取得最大值时，取得最大值，取得最小值．
不妨设，则，的最小值为，
二、多选题
7.
【答案】
A,B,D
【考点】
异面直线所成的角的概念及辨析
异面直线所成角
【解析】
根据异面直线的定义及异面直线的夹角问题可一一判断.
【解答】
由于与都在平面内，故与共面，错误；
由于在平面内，而与平面相交于点，点不在上，故与是异面直线，错误；
同理与是异面直线，正确；
与所成的角就是与所成的角，而为中点，为正三角形，所以，即与所成为，错误.
故选：
8.
【答案】
B,D
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
平面与平面垂直
二面角的平面角及求法
棱锥的结构特征
【解析】
作辅助线，证为平面与平面的二面角的平面角，显然为锐角，从而判断选项；
先证平面，从而得到锥体的高，计算出所需长度，算出体积即可；
证为平面与平面的二面角的平面角，计算的正切值；
先证为在平面上的射影，由于，只需证，即可．
【解答】
解：如图，作的中点，连结、，过作的垂线交于点，连结，过作的垂线交于点，连结，
由题知，所以，，所以，
为平面与平面的二面角的平面角，
又，平面，平面，，
作法知，，平面，
所以为锥体的高．所以为在平面上的射影，
平面，所以，由作法知，，
平面，平面，，
为平面与平面的二面角的平面角，显然为锐角，故错；
由题知平面，平面，，
又，，，
，，
，
四面体的体积为，故正确；
在直角三角形中：，故不正确；
因为，，
，
所以，
，
，
，由对称性知，又，故正确．
故选：．
三、填空题
9.
【答案】
【考点】
二面角的概念及辨析
【解析】
根据二面角的定义直接作答.
【解答】
二面角的取值范围是
故答案为：
10.
【答案】
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
建立空间直角坐标系，用向量法求解异面直线与所成角的余弦值.
【解答】
设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，则，，
所以，
又因为异面直线所成角的范围为，
故异面直线与所成角的余弦值为，
故答案为：
四、解答题
11.
【答案】
证明见解析；
【考点】
平面与平面垂直的判定
二面角的概念及辨析
【解析】
（1）由题意可得，得，由点为的中点，可得,从而得平面，即可证明平面平面；
（2）由，可得平面，根据四面体的体积为，可得，进而可得，再由恰为二面角的平面角，得由三角形的面积公式可求得，即可求得的面积
【解答】
（1）解：证明：由题意可得为等腰直角三角形，斜边,
所以，
又因为，
所以，
所以，
又因为点为的中点，
所以,
又平面，，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面；
（2）解：因为，，
且平面，，
所以平面，
所以为四面体的高，
所以四面体的体积,
解得，
又因为,
所以，
又因为恰为二面角的平面角，
所以，
所以，
又因为，
解得，
所以,
又因为，
所以
12.
【答案】
【解析】（）证明：作，且交于点，
∵ 面面，面，∴ ,
∴ 在中， ,
∵ ，∴ ，
∴ ，即是直角三角形，
∴ ，∴ 面，∵ 面，∴ ，
∵ 在三棱台中， ， ∴ .
（2）由（1）知 平面，所以是所求二面角的平面角，
由， ，可得，
.
【考点】
余弦定理
两条直线垂直的判定
二面角的平面角及求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）【解析】（）证明：作，且交于点，
∵ 面面，面，∴ ,
∴ 在中， ,
∵ ，∴ ，
（2）∴ ，即是直角三角形，
∴ ，∴ 面，∵ 面，∴ ，
∵ 在三棱台中， ， ∴ .
（2）由（1）知 平面，所以是所求二面角的平面角，
由， ，可得，
.
13.
【答案】
【详解】（）连接，在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，
所以，所以即为异面直线和所成角，
又为等边三角形，所以，所以异面直线和所成角为.
连接，设直线交直线于点，连接，
因为在正方体中，底面是正方形，所以为中点，
又因为为的中点，所以,
又因为平面， 平面，
所以直线平面．
设正方体的棱长为，则,
又,
所以
设点到平面的距离为，则，
即，解得，
设和平面所成角为，则
所以和平面所成角的正弦值为.
【考点】
异面直线及其所成的角
直线与平面平行的判定
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）【详解】（）连接，在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，
所以，所以即为异面直线和所成角，
又为等边三角形，所以，所以异面直线和所成角为.
（2）连接，设直线交直线于点，连接，
因为在正方体中，底面是正方形，所以为中点，
又因为为的中点，所以,
又因为平面， 平面，
所以直线平面．
（3）设正方体的棱长为，则,
又,
所以
设点到平面的距离为，则，
即，解得，
设和平面所成角为，则
所以和平面所成角的正弦值为.
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