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9.2.1《总体取值规律的估计》同步基础练习 （含答案解析）
一、选择题
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1.某市为了减少水资源浪费，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了200户用户居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则用水量小于1.5立方米的用户数为（???????）
A.20 B.30 C.50 D.60
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2.一个样本容量为600的频数分布表不小心被损坏了一部分．若样本中数据在0.2,0.8内的频率为0.75，则样本中的数据在0.4,0.8内的个数为（???????）
A.225 B.295 C.235 D.305
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3.为了关注学生们的健康成长，学校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A、B、C、D、E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图表，则从图表中不能得出的信息是（???????）
A.样本中A层次身高的女生少于男生
B.样本中B层次身高人数最多
C.样本中D层次身高的学生人数占总人数的17%
D.样本中E层次身高的男生有6人
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4.某校学生会随机抽查了本校100名学生的身高（单位：cm），将得到的数据按[150,160),[160,170), [170,180),[180,190]分为4组，画出如图所示的频率分布直方图，则估计这100名学生中身高低于170cm的人数为（???????）
A.56 B.52 C.48 D.44
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5.有一组样本数据为1，3，5，7，则它的方差为（????????）
A.6 B.25 C.5 D.20
二、多选题
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6.在某市初三年级举行的一次体育考试中(满分100分)，所有考生成绩均在[50,?100]内，按照[50,?60),[60,?70),[70,?80),[80,?90),[90,?100]分成五组，甲、乙两班考生的成绩占比如图所示，则下列说法错误的是（???????）
A.成绩在[70,?80)的考生中，甲班人数多于乙班人数
B.甲班成绩在[80,?90)内人数最多
C.乙班成绩在[70,?80)内人数最多
D.甲班成绩的极差比乙班成绩的极差小
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7.下列四个选项中，正确的是（???????）
A.极差与方差都反映了数据的集中程度
B.方差是没有单位的统计量
C.标准差比较小时，数据比较分散
D.只有两个数据时，极差是标准差的2倍
三、填空题
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8.将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2:3:4:6:4:1，且后三组数据的频数之和等于66，则n=________________.
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9.若k1,k2，...，k8的方差为2，则3k1?2,3k2?2，...，3k8?2的方差为________.
四、解答题
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10.据第七次全国人口普查的数据显示，中国目前正处于轻度老龄化阶段，解决养老难问题也是政府重要的民生工程.某市共有户籍人口800万人，其中60岁及以上的老人约有120万人.为了了解老人们的健康状况，该市从老人中随机抽取600人并对他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理?不健康尚能自理?基本健康?健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，制成如图所示的统计图.
（1）若采用分层抽样的方法从样本中健康状况为不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？
（2）试估算该市80岁及以上老人占该市户籍人口的百分比.
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11.某集团公司为了加强企业管理，树立企业形象，考虑在公司内部对迟到现象进行处罚.现在员工中随机抽取200人进行调查，当不处罚时，有80人会迟到，处罚时，得到如下数据：
处罚金额x（单位：元）
50
100
150
200
迟到的人数y
50
40
20
0
若用表中数据所得频率代替概率.
（1）当处罚金定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低多少？
（2）将选取的200人中会迟到的员工分为A，B两类：A类员工在罚金不超过100元时就会改正行为；B类是其他员工.现对A类与B类员工按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类员工的概率是多少？
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12.某玻璃工艺品加工厂有2条生产线用于生产某款产品，每条生产线一天能生产200件该产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为A等品，低于10分的为B等品．厂家将A等品售价定为2000元/件，B等品售价定为1200元/件．下面是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的评分：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.96
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.34
10.04
10.05
9.95
经计算得x?=116i=116xi=9.98，s2=116i=116xi?x?2=116i=116xi2?x?2=0.045．其中xi为抽取的第i件产品的评分，i=1，2，3，?，16．该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知对一条生产线增加生产工序每年需花费2000万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品评分均提高0.05．已知该厂现有一笔2000万元的资金．
（1）若厂家用这2000万元改进一条生产线，根据随机抽取的16件产品的评分，估计改进后该厂生产的所有产品评分的平均数和方差；
（2）某金融机构向该厂推销一款年收益率为8.2%的理财产品．请你利用所学知识分析，将这2000万元用于购买该款理财产品所获得的收益，与通过改进一条生产线使产品评分提高所增加的收益相对比，一年后哪种方案的收益更大？（一年按365天计算）
参考答案与试题解析
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量
【解析】
根据频数、频率及样本容量的关系即可求得答案．
【解答】
根据直方图可得用水量小于1.5立方米的用户数为200×(0.3+0.2)×0.5=50．
故答案为：C．
2.
【答案】
C
【考点】
频率分布表
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为数据在0.2,0.8内的频率为0.75，所以数据在0.2,0.8内的频数为600×0.75=450，故样本中数据在0.4,0.8内的个数为450?95?120=235．
故选：C.
3.
【答案】
D
【考点】
根据条形统计图解决实际问题
根据扇形统计图解决实际问题
【解析】
结合已知和两个统计图表，对每一个选项逐一分析判断得解.
【解答】
对于A选项，样本中女生人数为4+12+10+8+6=40人，则样本中男生人数为60人，
样本中A层次身高的男生人数为60×15%=9人，女生人数为4人，
所以，样本中A层次身高的女生少于男生，A对；
对于B选项，因为男生中B层次的比例最大，女生中B层次的比例最大，
所以样本中B层次身高人数最多，B对；
对于C选项，样本中D层次身高的女生有8人，男生D层次的有60×15%=9，
所以样本中D层次身高的学生人数占总人数为比例为8+9100=17%，C对；
对于D选项，样本中E层次身高的女生有60×5%=3人，D错.
故选：D.
4.
【答案】
A
【考点】
频率分布直方图的实际应用
由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量
【解析】
利用频率和为1求参数，再估计身高低于170cm的人数.
【解答】
由图可得10×(0.012+m+2m+0.040)=1，得m=0.016，
所以估计这100名学生中身高低于170cm的人数为100×10×(0.016+0.040)=56．
故选：A
5.
【答案】
C
【考点】
极差、方差与标准差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为这组样本数据的平均数为4，所以它的方差为14×32+12+12+32=5
二、多选题
6.
【答案】
A,C,D
【考点】
频率分布折线图、密度曲线
极差、方差与标准差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
对于A，由图知，每一组中的成绩占比都是以各自班级的总人数为基数的，所以每一组中的甲班、乙班人数不能从所占的百分比来判断，故A错误；
对于BC，由图可知甲班成绩主要集中在[80,?90)，乙班成绩主要集中在[60,70),B正确，C错误；
对于D，由图可知甲班成绩的极差和乙班成绩的极差的大小无法确定，故D错误.
故选：ACD
7.
【答案】
A,D
【考点】
极差、方差与标准差
【解析】
根据极差、方差以及标准差的定义逐项分析判断.
【解答】
对于A：根据极差、方差的定义可知：极差与方差都反映了数据的集中程度，一般来说，极差、方差越大，稳定性越差，故A正确；对于B：方差的单位是样本数据单位的平方，故B错误；
对于C：标准差比较小时，数据比较集中，故C错误；
对于D：设两个数据分别为x1，x2，则极差等于x2?x1，平均数为x1+x22，
标准差等于12x1?x1+x222+x2?x1+x222=12x2?x1，
即极差是标准差的2倍，故D正确．
故选：AD.
三、填空题
8.
【答案】
120
【考点】
频率分布直方图的实际应用
由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量
【解析】
运用频率的概念结合条件列式子即得.
【解答】
根据题意，频率＝频数比总数，知道频率之比为频数之比，后三组频数之比6:4:1.
频数分别设为6k,4k,k，则总数为n=20k，则6k+4k+k=66，
解得k=6，则n=120.
故答案为：120.
9.
【答案】
18?
【考点】
极差、方差与标准差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为k1,k2，...，k8的方差为2，
所以3k1?2,3k2?2，...，3k8?2的方差为32×2=18.
四、解答题
10.
【答案】
80岁及以上老人应抽取3人，80岁以下老人应抽取5人
2.5%
【考点】
根据条形统计图解决实际问题
抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算
【解析】
（1）根据统计图可列表求出四种健康状况的80岁以下人数和80岁及以上人数，然后利用分层抽样求解即可；
（2）利用老年人所占比例以及样本中80岁及以上老人的占比即可求解.
【解答】
（1）解：整理数据如下表：
健康状况
健康
基本健康
不健康尚能自理
不能自理
80岁及以上人数
20
45
20
15
80岁以下人数
200
225
50
25
根据分层抽样的知识，从样本中健康状况为不能自理的老人中抽取8人，
80岁及以上老人应抽取8×1525+15=3（人），
80岁以下老人应抽取8×2525+15=5（人）；
（2）在600人中，80岁及以上老人的占比为15+20+45+20600=16，
因为户籍人口800万人，其中60岁及以上的老人约有120万人，
所以80岁及以上老人占该市户籍人口的百分比估值为120800×16×100%=2.5%.
11.
【答案】
15(II)16
【考点】
频率分布表
【解析】
（1）根据表格中的数据，得到P(A)=40200=15，即可得到结论；
（2）设从A类员工抽出的两人分别为A1，A2，设从B类员工抽出的两人分别为B1，B2，
设“从A类与B类员工按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M，列举出基本事件的总数，利用古典概型的概率计算，即可求解．
【解答】
（1）解：设“当罚金定为100元时，迟到的员工改正行为”为事件A，则P(A)=40200=15，
不处罚时，迟到的概率为：80200=25.
∴当罚金定为100元时，比不制定处罚，员工迟到的概率会降低15.
（2）由题意知，A类员工和B类员工各有40人，分别从A类员工和B类员工各抽出两人，
设从A类员工抽出的两人分别为A1，A2，设从B类员工抽出的两人分别为B1，B2，
设“从A类与B类员工按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M，
则事件M中首先抽出A1的事件有A1,A2,B1,B2，A1,A2,B2,B1，A1,B1,A2,B2，A1,B1,B2,A2，A1,B2,A2,B1，A1,B2,B1,A2共6种，
同理首先抽出A2，B1，B2的事件也各有6种，故事件M共有4×6=24种，
设“抽取4人中前两位均为B类员工”为事件N，则事件N有B1,B2,A1,A2，B1,B2,A2,A1，B2,B1,A1,A2，B2,B1,A2,A1共4种，
∴P(N)=424=16，
∴抽取4人中前两位均为B类员工的概率是16.
12.
【答案】
解：设一条生产线改进前一天生产出的产品评分为yi(i=1,2,3,???,200)，
改进后生产出的产品评分为zi(i=1,2,3,???,200)，其中zi=yi+0.05，
由已知得，用样本估计总体可知y?=9.98，所以z?=y?+0.05=10.03，
所以估计改进一条生产线后该厂生产的所有产品评分的平均数为：9.98×200+10.03×200400=10.005，
由已知得，用样本估计总体可知sy2=0.045，
所以sz2=1200i=1?200zi?z?2=1200i=1200yi+0.05?(y?+0.05)2=sy2=0.045，
估计改进后该厂生产的所有产品评分的方差为：
1400i=1200yi2+i=1200zi2?10.0052=1400i=1200yi2?200y?2+200y?2+i=1200zi2?200z?2+200z?2?10.0052??(?)
因为sy2=1200i=1200yi2?y?2，所以i=1200yi2?200y?2=200sy2，
同理i=1200zi2?200z?=200sz2，
所以(?)式=1400200sy2+200y?2+200sz2+200z?2?10.0052
=sy2+sz22+y?2+z?22?10.0052
=0.045+9.982?10.00522+10.032?10.00522
=0.045+?0.025(9.98+10.005)2+0.025(10.03+10.005)2
=0.045+0.0252=0.045625．
若将这2000万元用于改进一条生产线，16件产品中，改进后B等品升为A等品的有6件产品，所以因产品评分提高而增加的比例为616=38，
所以将这2000万元用于改进一条生产线，一年后因产品评分提高而增加的收益为：(2000?1200)×38×200×365?2000×104=190×104（元）；
将这2000万元购买该款理财产品，一年后的收益为：2000×104×(1+8.2%)?2000×104=164×104（元），
因为190×104>164×104，所以将这2000万元用于改进一条生产线一年后收益更大．
【考点】
极差、方差与标准差
【解析】
（1）首先求得改进后的生产线的产品评分的平均数z?，由此求得改进一条生产线后该厂生产的所有产品评分的平均数，根据方差的计算公式，计算出改进一条生产线后该厂生产的所有产品评分的方差．
（2）分别计算出改进生产线和投资理财产品的一年收益，由此确定收益更大的方案．
【解答】
（1）解：设一条生产线改进前一天生产出的产品评分为yi(i=1,2,3,???,200)，
改进后生产出的产品评分为zi(i=1,2,3,???,200)，其中zi=yi+0.05，
由已知得，用样本估计总体可知y?=9.98，所以z?=y?+0.05=10.03，
所以估计改进一条生产线后该厂生产的所有产品评分的平均数为：9.98×200+10.03×200400=10.005，
由已知得，用样本估计总体可知sy2=0.045，
所以sz2=1200i=1?200zi?z?2=1200i=1200yi+0.05?(y?+0.05)2=sy2=0.045，
估计改进后该厂生产的所有产品评分的方差为：
1400i=1200yi2+i=1200zi2?10.0052=1400i=1200yi2?200y?2+200y?2+i=1200zi2?200z?2+200z?2?10.0052??(?)
因为sy2=1200i=1200yi2?y?2，所以i=1200yi2?200y?2=200sy2，
同理i=1200zi2?200z?=200sz2，
所以(?)式=1400200sy2+200y?2+200sz2+200z?2?10.0052
=sy2+sz22+y?2+z?22?10.0052
=0.045+9.982?10.00522+10.032?10.00522
=0.045+?0.025(9.98+10.005)2+0.025(10.03+10.005)2
=0.045+0.0252=0.045625．
（2）若将这2000万元用于改进一条生产线，16件产品中，改进后B等品升为A等品的有6件产品，所以因产品评分提高而增加的比例为616=38，
所以将这2000万元用于改进一条生产线，一年后因产品评分提高而增加的收益为：(2000?1200)×38×200×365?2000×104=190×104（元）；
将这2000万元购买该款理财产品，一年后的收益为：2000×104×(1+8.2%)?2000×104=164×104（元），
因为190×104>164×104，所以将这2000万元用于改进一条生产线一年后收益更大．

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