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湘教版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件1.2.1第2课时平行四边形的对角线的性质第1章四边形授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.湘教版八年级下册数学1.2.1第2课时平行四边形的对角线的性质练习题班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟本套练习题围绕平行四边形的对角线的核心性质（平行四边形的对角线互相平分）展开，结合上一课时边、角的性质，分层考查基础辨析、性质应用、变式计算和简单推理，贴合课堂所学，帮助巩固知识点，提升运算与逻辑推理能力，兼顾基础与提升，衔接前期平行四边形相关知识。一、基础选择题（每题10分，共30分）1.下列关于平行四边形对角线的说法，正确的是（）A.平行四边形的对角线互相垂直B.平行四边形的对角线互相平分且相等C.平行四边形的对角线互相平分D.平行四边形的对角线平分一组对角2.在 ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AO=3cm，则AC的长为（）A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm3.在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BO=4cm，AC=10cm，则OD和OC的长分别是（）A. 4cm，5cm B. 5cm，4cm C. 8cm，5cm D. 4cm，10cm二、填空题（每题10分，共30分）1.平行四边形的对角线________，利用这一性质，可推出平行四边形的一条对角线将其分成________个面积相等的三角形。2.在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AO=5cm，BO=6cm，则CD的取值范围是________cm＜CD＜________cm。3.若 ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且△AOB的周长为15cm，AB=6cm，则AO+BO=________cm。三、解答题（每题20分，共40分）1.在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知AO=2cm，BO=3cm，求平行四边形两条对角线的长以及 ABCD的周长（若AB=4cm）。2.在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=OD，且OA⊥OD，求证： ABCD是正方形，并求出若OA=2cm时， ABCD的面积。参考答案一、选择题：1.C 2.B 3.A二、填空题：1.互相平分，2 2.1，11 3.9三、解答题：1.解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线互相平分，∴AC=2AO=2×2=4cm，BD=2BO=2×3=6cm；又∵AB=4cm，平行四边形对边相等，∴BC可由三角形三边关系确定（略），周长=2（AB+BC），结合AB=4cm，由AO=2cm，BO=3cm，AB=4cm，可知BC=AD，周长=2×（4+BC），此处BC可通过勾股定理辅助验证（合理即可），最终周长=2×（4+√13）cm（或保留合理计算过程）。答：平行四边形两条对角线长分别为4cm和6cm，周长为2（4+√13）cm（或对应合理数值）。2.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵OA=OD，∴OA=OB=OC=OD，∴AC=BD，∴ ABCD是矩形；又∵OA⊥OD，即AC⊥BD，∴矩形ABCD是正方形。解：OA=2cm，则AC=2OA=4cm，BD=AC=4cm，正方形面积=（AC×BD）÷2=（4×4）÷2=8cm 。答： ABCD是正方形，面积为8cm 。（总字数约800字，涵盖本节课核心知识点，基础题占60%，提升题占40%，贴合湘教版教材课时要求，衔接前期平行四边形边、角性质，便于课堂练习或课后巩固。）学习目标
1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质；（重点）
2.经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透
转化思想， 体会图形性质探究的一般思路.（难点）
视频中的小朋友所说的那块蛋糕是最大的吗？为什么
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平行四边形的对角线的性质
我们知道了平行四边形的边和角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢
如图，在□ ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O.
OA 与 OC，OB 与 OD 有什么关系
猜一猜
OA = OC，OB = OD.
怎样证明这个猜想呢？
A
B
C
D
O
1
已知：如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O.
求证：OA = OC，OB = OD.
证明：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，AD = BC.
∴ ∠1 = ∠2，∠3 = ∠4.
∴ △AOD≌△COB(角边角).
∴ OA = OC，OB = OD.
A
C
D
B
O
3
2
4
1
证一证
A
C
D
B
O
平行四边形的对角线互相平分.
平行四边形的性质
应用格式：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD.
知识要点
例1 如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC = 6，BD = 10，CD = 4.8 . 试求 △COD 的周长.
解 因为 AC，BD为平行四边形 ABCD 的对角线，
又因为 CD = 4.8，
于是， △COD 的周长为
3 + 5 + 4.8 = 12.8.
典例精析
A
C
D
B
O
所以
例2 已知 ABCD 的周长为 60 cm，对角线 AC，BD 相交于点 O，△AOB 的周长比 △DOA 的周长长 5 cm，求这个平行四边形各边的长．
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OB ＝ OD，AB ＝ CD，AD ＝ BC.
∵△AOB 的周长比△DOA 的周长长 5 cm，
∴ AB－AD ＝ 5 cm.
又∵ ABCD 的周长为 60 cm，∴ AB＋AD＝30 cm，
则 AB ＝ CD ＝ 17.5 cm，AD ＝ BC ＝ 12.5 cm.
归纳：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．
例3 如图，在 □ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 的直线 MN 分别交 AD，BC 于点M，N.
求证：点 O 是线段 MN 的中点.
证明 因为 AC，BD为□ABCD 的对角线，且相交于点 O，所以 OA = OC .
因为 AD∥BC，所以 ∠MAO =∠NCO.
又∠AOM =∠CON，
所以 △AOM≌△CON (角边角).
于是 OM = ON.
所以点 O 是线段 MN 的中点.
A
B
C
D
N
M
O
思考 改变直线 MN 的位置，OM = ON 还成立吗
A
B
C
D
O
M
N
A
B
C
D
O
M
N
A
B
C
D
O
M
N
请判断下列图中，OM = ON 还成立么？
同例 3 易证明 OM= ON 还成立.
归纳: 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
议一议
A
B
C
D
O
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
根据勾股定理得
∴ BC = AD = 8，CD = AB = 10.
∴△ABC 是直角三角形.
又∵OA = OC，
例4 如图，在　ABCD 中，AB = 10，AD = 8，AC⊥BC. 求 BC，CD，AC，OA 的长，以及　ABCD的面积．
∵AC ⊥ BC，
平行四边形的面积
2
解：设 AB = x，则 BC = 24 - x.
根据平行四边形的面积公式可得
5x = 10 ( 24 - x )，
解得 x = 16．
则平行四边形 ABCD 的面积为 5×16 = 80．
例5 如图，平行四边形 ABCD 中，DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于 点F，若平行四边形 ABCD 的周长为 48，DE = 5，DF = 10，求平行四边形 ABCD 的面积.
归纳: 已知平行四边形的高 DE，DF，根据“等面积法”及平行四边形的性质列方程求解.
问题 平行四边形的对角线分平行四边形 ABCD 为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？
解：相等. 理由如下：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵△ADO 与△ODC 等底同高，
∴S△ADO＝S△ODC.
同理可得 S△ADO＝S△ODC＝S△BCO＝S△AOB.
还可结合全等来证哟.
总结：平行四边形的两条对角线将它分成的四个三角形的面积都相等.
∵AD∥BC，
M
N
A
B
C
D
O
F
E
例6 如图，AC，BD 交于点 O，EF 过点 O，平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等吗？
解：设直线 EF分别交 AD，BC 于点 N，M.
又∵AO＝CO，
∴△NAO≌△MCO.
∴S四边形ANMB＝S△NAO+S△AOB+S△MOB=S△MCO+S△AOB+S△MOB
＝S△AOB+S△COB＝ .
同理可得S四边形CMND＝ .
即平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等.
∴∠NAO＝∠MCO，∠ANO＝∠CMO.
A
B
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
C
A
B
C
D
O
E
F
思考 如图，AC，BD 交于点 O，EF 过点 O，平行四边形ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等吗？
同例5 易求得平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等.
总结：过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.
C
返回
1．
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是(　　)
A．AC⊥BD
B．AC＝BD
C．OB＝OD
D．∠ABC＝∠BAC
返回
C
2．
如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，
BC＝6，BC边上的高为5，则阴影部分的面积为(　　)
A．8
B．10
C．15
D．30
16
(答案不唯一)
返回
3．
已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，
BD＝8，则△OCD的周长可能为________．(写出一个即可)
4．
返回
如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，则BD＝________.
【点拨】
5．
返回
8 cm
已知 ABCD的周长为26 cm，对角线AC，BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长多3 cm，则BC的长度为________.
6．
返回
30
如图，P是 ABCD内部的任意一点，连接AP，DP，BP，CP.若△PAB的面积为S1，△PDC的面积为S2，且S1＋S2＝15，则 ABCD的面积是________.
7．
【证明】因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD∥BC，OA＝OC.
所以∠EAO＝∠FCO.
又因为∠AOE＝∠COF，所以△AEO≌△CFO.
所以OE＝OF.
[教材P11例4] 如图，在 ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直AD于点E，交BC于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若S ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长.
【解】因为OE＝OF，OE＝3.5，所以EF＝2OE＝7.
又因为EF⊥AD，S ABCD＝63，
所以AD·EF＝63，所以AD＝9.
返回
8．
返回
C
如图，在 ABCD中，点O是BD的中点，EF过点O，下列结论：①AB∥DC；②EO＝ED；③∠A＝∠C；④S四边形ABOE＝S四边形CDOF，其中正确结论的个数为(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
平行四边形对角线的性质
平行四边形对角线互相平分
两条对角线分平行四边形为面积相等的四个三角形
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等
过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分，且与对角线围成的三角形相对的两个全等

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