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湘教版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件1.5.2矩形的判定第1章四边形授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.湘教版数学八年级下册1.5.2矩形的判定练习题班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟本套练习题围绕矩形的三种判定方法（定义法、对角线法、三角直角法）设计，分层考查基础知识点、逻辑推理及应用能力，贴合课时重点，助力巩固所学知识，培养几何判定与推理能力。一、基础选择题（每题3分，共15分）1.下列说法正确的是（）A.有一个角是直角的平行四边形是矩形B.有一个角是直角的四边形是矩形C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直的平行四边形是矩形2.已知平行四边形ABCD中，对角线AC=BD，则平行四边形ABCD是（）A.菱形B.矩形C.正方形D.无法确定3.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，则四边形ABCD是矩形，其判定依据是（）A.定义法B.对角线相等的平行四边形是矩形C.三个角是直角的四边形是矩形D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形4.下列条件中，不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A. AB∥CD，AD∥BC，∠A=90°B. AB=CD，AD=BC，AC=BDC. ∠A=∠B=∠C=∠D D. AB∥CD，AD=BC，∠A=90°5.已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OB，则平行四边形ABCD是（）A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形二、填空题（每题3分，共15分）1.矩形的判定方法1（定义法）：有一个角是________的平行四边形是矩形。2.矩形的判定方法2：对角线________的平行四边形是矩形。3.矩形的判定方法3：有________个角是直角的四边形是矩形。4.如图，在平行四边形ABCD中，若∠ABC=90°，则平行四边形ABCD是________，依据是________。5.已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，OA=OC，OB=OD，则四边形ABCD是________。三、解答题（共70分）1.（10分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=90°，求证：平行四边形ABCD是矩形。2.（15分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，求证：平行四边形ABCD是矩形。3.（15分）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，求证：四边形ABCD是矩形。4.（15分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OD，求证：平行四边形ABCD是矩形。5.（15分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，延长AD至点E，使DE=AD，连接BE、CE。求证：四边形ABEC是矩形。参考答案提示一、选择题：1.A 2.B 3.C 4.D 5.B二、填空题：1.直角；2.相等；3.三；4.矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形；5.矩形三、解答题（略，重点考查矩形的三种判定方法的应用，证明过程需规范，贴合课时核心知识点，注重逻辑推理的严谨性）说明：本套题重点考查矩形的三种判定方法及综合应用，贴合课时重难点，可用于课后巩固练习，培养几何判定、逻辑推理和综合应用能力。思考 工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具(卷尺和量角器)，他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？
这节课我们一起探讨矩形的判定吧.
有三个角是直角的四边形是矩形
类比平行四边形的定义是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.
问题1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.
矩形是特殊的平行四边形.
1
问题2 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
成立
问题3 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.
求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明：由于∠A＝∠B＝∠C＝90°，
所以∠D＝360°－∠A－∠B－∠C＝90°.
因此AD∥BC，AB∥CD.
从而四边形 ABCD 是平行四边形.
又∠A＝90°，
A
B
C
D
证一证
由矩形的定义得，
四边形 ABCD 是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，
∵ ∠A = ∠B = ∠C = 90°，
∴四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
归纳总结
矩形的判定定理：
思考 一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？
有三个角是直角的四边形是矩形.
例1 如图， □ ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E，F，G，H，求证：四边形 EFGH 为矩形．
证明：在□ ABCD 中，AD∥BC，
∴∠DAB + ∠ABC = 180°.
∵AE 与 BG 分别为∠DAB、∠ABC 的平分线，
F
A
B
D
C
H
E
G
∴四边形 EFGH 是矩形．
同理可证∠AED = ∠EHG = 90°.
∴∠AFB = 90°.
∴∠GFE = 90°.
∴ ∠BAE + ∠ABF = ∠DAB+ ∠ABC = 90°.
例2 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为 D，AN 是 △ABC 外角 ∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E，求证：四边形 ADCE 为矩形．
∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM.
＝ (∠BAC＋∠CAM) ＝ 90°.
证明：在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC.
又∵AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC ＝ ∠CEA ＝ 90°.
∴四边形 ADCE 为矩形．
1.在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的 4 位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是 （　　）
A．测量对角线是否相等
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中三个角是否都为直角
D
练一练
上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想“对角线相等的四边形是矩形”，你觉得对吗？
对角线相等的平行四边形是矩形
思考 你能证明这一猜想吗？
我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
不对，等腰梯形的对角线也相等.
不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
2
证明：由于 OA = OC，OB = OD，
所以四边形 ABCD 是平行四边形，
从而 AB = DC，AB∥DC.
又 AC = BD，BC = CB，
所以△ABC≌△DCB (边边边)，从而∠ABC =∠DCB.
又由 AB∥DC 得，∠ABC +∠DCB = 180°，
已知：如图，在□ABCD 中，AC， DB 是它的两条对角线， AC = DB. 求证：□ABCD 是矩形.
A
B
C
D
证一证
于是 ∠ABC = ×180° = 90°.
因此，平行四边形 ABCD 是矩形.
O
矩形的判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：
在平行四边形 ABCD 中，
∵AC = BD，
∴平行四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
知识要点
思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，那么窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
　 例3 如图，在 　ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA = OD，∠OAD = 50°．求∠OAB 的度数．
　
A　
B　
C　
D　
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA = OC = AC，
OB=OD= BD.
又∵OA = OD，
∴AC = BD.
∴四边形 ABCD 是矩形.
∴∠BAD = 90°.
又∵∠OAD = 50°，
∴∠OAB = 40°.
例3 如图，在□ABCD 中，它的两条对角线相交于点O.
(1) 如果□ABCD 是矩形，试问：△OBC 是什么样的三角形？
　
A　
B　
C　
D　
O
解：(1)因为□ABCD 是矩形，
所以 AC 与 DB 相等且互相平分，
于是 OB = DB = AC = OC，
所以△OBC 是等腰三角形.
(2) 如果△OBC 是等腰三角形，且 OB = OC，那么□ABCD 是矩形吗？
解：(2) 因为△OBC 是等腰三角形，且OB = OC，
所以 AC = 2OC = 2OB = BD.
因此，□ABCD 是矩形.
　
A　
B　
C　
D　
O
例4 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点O，E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 上的一点，且 AE＝BF＝CG＝DH. 求证：四边形 EFGH 是矩形.
B
C
D
E
F
G
H
O
A
证明：
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC＝BD (矩形的对角线相等)，
AO＝BO＝CO＝DO (矩形的对角线互相平分).
∵ AE＝BF＝CG＝DH，
∴ OE＝OF＝OG＝OH.
∴四边形 EFGH 是平行四边形.
∵EO＋OG＝FO＋OH，即 EG＝FH，
∴四边形 EFGH 是矩形.
D
返回
1．
[德阳中考]如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是(　　)
A．AB∥CD
B．AB＝BC
C．∠ABC＝∠ADC
D．AC＝BD
返回
D
2．
在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形相框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4名同学拟定的方案，其中正确的是(　　)
A．测量对角线是否互相平分
B．测量对角线是否相等
C．测量一组对角是否为直角
D．测量四边形的其中三个角是否都为直角
C
返回
3．
[临沂模拟]如图，在 ABCD中，DE⊥BC于点E，用尺规在AD上作出点F，使得四边形BEDF为矩形，则下列说法正确的是(　　)
小洛：如图①，连接AC，
BD交于点O，连接EO并延长，交AD于点F，连接BF.
小宇：如图②，在AD上截取DF＝BE，连接BF.
A．小洛的作法正确 B．小宇的作法正确
C．两人作法都正确 D．两人作法都不正确
4．
返回
如图，在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC满足条件：____________时，四边形PEMF为矩形.
5．
返回
24
如图，将矩形ABCD的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，则矩形ABCD的面积是________.
6．
4
如图，∠BAC＝30°，点P是∠BAC的平分线上一点，PM∥AC交AB 于点M，PD⊥AC于点D，若PM＝8，则PD＝________.
【点拨】
返回
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
定义
判定定理

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