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湘教版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件1.6.1菱形的性质第1章四边形授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.湘教版数学八年级下册1.6.1菱形的性质练习题班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟本套练习题围绕菱形的定义、性质（边、角、对角线）及应用设计，分层考查基础知识点、逻辑推理及计算能力，贴合课时重点，助力巩固所学知识，培养几何应用与推理能力。一、基础选择题（每题3分，共15分）1.下列说法正确的是（）A.有一组邻边相等的四边形是菱形B.菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质C.菱形的四个角都是直角D.菱形的对角线相等且互相平分2.已知菱形ABCD中，AB=BC，则下列说法错误的是（）A. AB=BC=CD=DA B. AB∥CD，AD∥BC C.对角线AC平分∠BAD D.对角线AC=BD3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=6，BD=8，则菱形的边长为（）A. 5 B. 10 C. 20 D. 40菱形的对角线互相垂直平分，由此可推出菱形是（）A.轴对称图形B.中心对称图形C.既是轴对称图形又是中心对称图形D.既不是轴对称也不是中心对称图形5.已知菱形的一条边长为5cm，一条对角线长为6cm，则另一条对角线长为（）A. 4cm B. 8cm C. 10cm D. 12cm二、填空题（每题3分，共15分）1.有一组________相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形。2.菱形的性质：菱形的四条边都________；菱形的对角线互相________且平分内角。3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=90°，OA=3，OB=4，则菱形的周长为________cm。4.已知菱形的周长为20cm，则它的边长为________cm。5.菱形的一条对角线把菱形分成两个________三角形（填“等腰”或“等边”）。三、解答题（共70分）1.（10分）如图，在菱形ABCD中，求证：菱形的四条边都相等。2.（15分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，求证：AC⊥BD，且AC平分∠BAD、∠BCD。3.（15分）如图，在菱形ABCD中，AB=5cm，对角线AC=6cm，求对角线BD的长度及菱形的面积。4.（15分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4cm，求菱形的对角线长和面积。5.（15分）已知在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，求证：CE=CF。参考答案提示一、选择题：1.B 2.D 3.A 4.C 5.B二、填空题：1.邻边；2.相等，垂直；3.20；4.5；5.等腰三、解答题（略，重点考查菱形的定义、性质证明及应用，证明过程需规范，贴合课时核心知识点，注重逻辑推理和计算准确性）说明：本套题重点考查菱形的定义、边、角、对角线的性质及综合应用，贴合课时重难点，可用于课后巩固练习，培养几何推理和计算能力。
欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
平行
四边形
矩形
前面我们学行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时，就成为了矩形.
有一个角是直角
菱形的性质
1
思考 如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢
平行四边形
定义：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
菱形
邻边相等
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量
上有什么关系 菱形的两条对角线有什么关系
活动2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手中
的图形(如图)，并回答以下问题：
问题1 菱形是轴对称图形吗 如果是，
指出它的对称轴.
是，两条对角线所在直线都是它的对称轴
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对
角线平分一组对角.
求证：(1) AB = BC = CD =AD；
(2) AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB = CD，AD = BC (平行四边形的对边相等).
又∵AB = AD，
∴AB = BC = CD =AD.
A
B
C
O
D
证一证
已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，
AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.
(2)∵AB = AD，
∴△ABD 是等腰三角形.
又∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OB = OD (平行四边形的对角线互相平分).
在等腰△ABD 中，
∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO 平分∠BAD，
即 AC⊥BD，∠DAC = ∠BAC.
同理可证∠DCA = ∠BCA，
∠ADB = ∠CDB，∠ABD = ∠CBD.
A
B
C
O
D
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
对称性：是轴对称图形.
边：四条边都相等.
对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
角：对角相等.
边：对边平行且相等.
对角线：互相平分.
菱形的特殊性质
平行四边形的性质
归纳总结
例1 如图，在菱形 ABCD 中，CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F，求证：AE＝AF.
证明：连接 AC. ∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC 平分∠BAD，
即∠BAC＝∠DAC.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
又∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF. ∴AE＝AF.
归纳：菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
证明：∵四边形 ABCD 为菱形，
∴AD∥BC，AD＝BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB .
∴∠DAE＝∠AEB.
∵AB＝AE，∴∠ABC＝∠AEB，
∴∠ABC＝∠DAE.
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.
又∵AD＝BA ，
∴△AOD≌△BEA . ∴AO＝BE .
例2 如图，E 为菱形 ABCD 边 BC 上一点，且 AB = AE，AE 交 BD 于 点O，且∠DAE = 2∠BAE，求证：OA = EB.
A
B
C
D
O
E
1. 如图，在菱形 ABCD 中，已知∠A＝60°，AB＝5，则
△ABD 的周长是 (　　)
A. 10 B. 12 C. 15 D. 20
C
2. 如图，菱形 ABCD 的周长为 48 cm，对角线 AC，BD 相交于 O 点，E 是 AD 的中点，连接 OE，则线段 OE 的长为_______.
第1题图
第2题图
6 cm
练一练
思考：菱形是不是中心对称图形 如果是，那么对称中心是什么？
菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
由于菱形是平行四边形，因此
O
填空:把图中的菱形ABCD作关于直线DB的轴对称，则
(1) 点 A 的像是______， 点 C 的像是_____，
点 D 的像是_____，点 B 的像是_____，
(2) 边 AD 的像是 ，边 CD 的像是 ，
边 AB 的像边是 ，边 CB 的像是 .
点 C
点 A
边 CD
点 B
点 D
边 AD
边 CB
边 AB
想一想：你能得到什么结论？
菱形是轴对称图形，两条对角
线所在直线都是它的对称轴.
菱形的面积
问题1 菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形 ABCD 的面积呢
A
B
C
D
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形 ABCD 的面积呢
能. 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，
则 S菱形ABCD = 底×高
= BC·AE.
E
2
问题2 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD.
∴S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC
= AC·BO + AC·DO
= AC(BO + DO)
= AC·BD.
你有什么发现？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
例3 菱形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 的长度分别为 4 cm， 3 cm，如图所示，求菱形 ABCD 的面积和周长.
因此，菱形 ABCD 的周长为 2.5×4＝10 (cm).
典例精析
解：菱形 ABCD 的面积
在 Rt△ABO 中，
由勾股定理得
例4 如图，在菱形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点，且在△AOB 中，OA＝5，OB＝12. 求菱形 ABCD 两对边的距离 h.
解：在 Rt△AOB 中，OA＝5，OB＝12，
∴S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12 ＝ 30.
∴S菱形ABCD＝ 4S△AOB＝ 4×30 ＝ 120.
又∵菱形两组对边的距离相等，
∴ S菱形ABCD＝AB·h＝13h.
∴13h＝120，得 h＝ .
B
返回
1．
要使 ABCD为菱形，还需添加的条件是(　　)
A．AB＝CD
B．AB＝BC
C．AD＝BC
D．AC＝BD
返回
C
2．
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是(　　)
A．AB＝AD
B．AC⊥BD
C．AC＝BD
D．∠DAC＝∠BAC
D
返回
3．
如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为(　　)
4．
【点拨】
【答案】A
返回
5．
返回
2:1(或1:2)
6．
返回
中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，徐明家有一个菱形中国结装饰如图，测得BD＝6 cm，AB＝5 cm，直线EF⊥AB交两对边于点E，F，则线段EF的长为________cm.
7．
【证明】因为四边形ABCD是菱形，
所以AB＝AD，∠B＝∠D.
因为AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
所以∠AEB＝∠AFD＝90°.
所以△ABE≌△ADF.所以AE＝AF.
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF.
(1)求证：AE＝AF；
(2)若∠B＝60°，求∠AEF的度数.
【解】因为四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
所以∠BAD＝120°.
因为∠AEB＝90°，∠B＝60°，所以∠BAE＝30°.
由(1)知△ABE≌△ADF，所以∠BAE＝∠DAF＝30°.
所以∠EAF＝120°－30°－30°＝60°.又因为AE＝AF，
所以△AEF是等边三角形．所以∠AEF＝60°.
菱形的性质
菱形的性质
有关
计算
边
1. 周长 = 边长的四倍
2. 面积 = 底×高 = 两条对角线
乘积的一半
角
对角线
1. 两组对边平行且相等；
2. 四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1. 两条对角线互相垂直平分；
2. 每一条对角线平分一组对角
是中心对称图形和轴对称图形
对称性

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