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湘教版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件1.6.2菱形的判定第1章四边形授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.湘教版数学八年级下册1.6.2菱形的判定练习题班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟本套练习题围绕菱形的三种判定方法（定义法、边相等法、对角线法）设计，分层考查基础知识点、逻辑推理及应用能力，贴合课时重点，助力巩固所学知识，培养几何判定与推理能力。一、基础选择题（每题3分，共15分）1.下列说法正确的是（）A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形B.有一组邻边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.四条边相等的平行四边形是菱形2.已知平行四边形ABCD中，AB=AD，则平行四边形ABCD是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.无法确定3.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，則平行四边形ABCD是菱形，其判定依据是（）A.定义法B.四条边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形4.下列条件中，不能判定四边形ABCD是菱形的是（）A. AB∥CD，AD∥BC，AB=AD B. AB=BC=CD=DAC. AB∥CD，AB=CD，AC⊥BD D. AB∥CD，AD=BC，AC⊥BD5.已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，则四边形ABCD是（）A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形二、填空题（每题3分，共15分）1.菱形的判定方法1（定义法）：有一组________相等的平行四边形是菱形。2.菱形的判定方法2：________条边都相等的四边形是菱形。3.菱形的判定方法3：对角线互相________的平行四边形是菱形。4.如图，在平行四边形ABCD中，若AB=BC，则平行四边形ABCD是________，依据是________。5.已知四边形ABCD的四条边都相等，则四边形ABCD是________，依据是________。三、解答题（共70分）1.（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，求证：平行四边形ABCD是菱形。2.（15分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，求证：平行四边形ABCD是菱形。3.（15分）如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，求证：四边形ABCD是菱形。4.（15分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，求证：平行四边形ABCD是菱形。5.（15分）已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F。求证：四边形AEDF是菱形。参考答案提示一、选择题：1.A 2.B 3.C 4.D 5.A二、填空题：1.邻边；2.四；3.垂直；4.菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形；5.菱形，四条边都相等的四边形是菱形三、解答题（略，重点考查菱形的三种判定方法的应用，证明过程需规范，贴合课时核心知识点，注重逻辑推理的严谨性）说明：本套题重点考查菱形的三种判定方法及综合应用，贴合课时重难点，可用于课后巩固练习，培养几何判定、逻辑推理和综合应用能力。四条边相等的四边形是菱形
1
如图，用 4 支长度相等的铅笔首尾相接组成一个四边形，这个四边形是菱形吗？
为什么
思考
尝试证明一下！
证明：如图，在四边形 ABCD 中，
AB = BC = CD = DA.
因为 AB= D C ， BC = AD.
所以四边形 ABCD 是平行四边形.
又因为AB = BC，
由菱形的定义得，四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD.
求证：四边形 ABCD 是菱形.
证一证
四条边都相等的四边形是菱形.
AB = BC = CD = AD
几何语言描述：
∵在四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD，
∴四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
菱形 ABCD
菱形的判定定理 1：
四边形 ABCD
A
B
C
D
归纳总结
典例精析
例1 如图，在四边形 ABCD 中，线段 BD 垂直平分 AC，且相交于点 O，∠1＝∠2. 求证：四边形ABCD 是菱形.
证明 因为线段 BD 垂直平分 AC，
所以 BA = BC，DA = DC，OA = OC.
在△AOB 和△COD 中，
因为∠1 =∠2，∠AOB=∠COD，OA = OC，
所以△AOB≌△COD (角角边)，
从而 AB = CD，
因此 AB = BC = CD = DA.
于是四边形ABCD是菱形(四条边都相等的四边形是菱形).
1
2
A
B
C
D
O
证明： ∵ ∠1 = ∠2，
AE = AC，AD = AD，
∴ △ACD≌△AED (边角边).
同理△ACF≌△AEF(边角边) .
∴CD = ED， CF = EF.
又∵EF = ED，∴CD = ED = CF = EF，
∴四边形 CDEF 是菱形.
2
例2 如图，在△ABC 中， AD 是角平分线，点 E，F 分别在 AB， AD 上，且 AE = AC，EF = ED.
求证：四边形 CDEF 是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
典例精析
H
G
F
E
D
C
B
A
证明：连接 AC，BD.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AC = BD.
∵点 E，F，G，H 为各边中点，
∴EF = FG = GH = HE.
∴四边形 EFGH 是菱形.
例3 如图，顺次连接矩形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH，求证：四边形 EFGH 是菱形.
C
A
B
D
E
F
G
H
【变式题】如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH 是什么四边形？
解：四边形 EFGH 是菱形.
又∵AC=BD，
∵点 E，F，G，H 为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形 EFGH 是菱形.
归纳：顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到四边形是菱形.
理由如下：连接 AC，BD.
A
B
C
D
E
F
G
H
拓展1 如图，顺次连接平行四边形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH 是什么四边形？
解：连接 AC，BD.
∵点 E，F，G，H 为各边中点，
∴四边形 EFGH 是平行四边形.
拓展2 如图，若四边形 ABCD 是菱形，顺次连接菱形ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH 是什么四边形？
四边形 EFGH 是矩形.
同学们自己去解答吧
探究：前面已经知道，菱形的两条对角线互相垂直，反过来，两条对角线互相垂直的四边形是菱形吗？两条对角线互相垂直的平行四边形呢？
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
2
如图，在四边形ABCD 中，AC⊥BD，垂足为 O，BO≠OD，于是四边形 ABCD 不是平行四边形，
从而四边形 ABCD 不是菱形.
因此，两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.
证明：如图，在□ABCD 中，AC⊥BD，垂足为 O，
则 OA = OC，
于是直线 BD 是线段 AC 的垂直平分线.
根据线段垂直平分线的性质定理得，
DA = DC
于是□ABCD 是菱形.
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD.
求证：□ABCD 是菱形.
A
B
C
O
D
证一证
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
AC⊥BD
几何语言描述：
∵在□ABCD中，AC⊥BD，
∴ □ABCD 是菱形.
A
B
C
D
菱形 ABCD
A
B
C
D
□ABCD
菱形的判定定理 2：
归纳总结
例3 如图，在□ABCD 中，AC = 6，BD = 8，AD = 5. 求 AB 的长.
所以 OA = AC = 3，OD = BD = 4.
A
B
C
D
O
解 ：因为四边形 ABCD 为平行四边形，
又因为 AD = 5，满足AD = OA + OD ，
所以△DAO 是直角三角形，∠DOA = 90°，
即 DB⊥AC.
于是□ABCD 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
因此 AB = AD = 5.
例4 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边
AD，BC 分别交于点E，F，求证：四边形 AFCE 是菱形．
A
B
C
D
E
F
O
1
2
证明:∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AE∥FC，∴∠1 = ∠2.
∵EF 垂直平分 AC，
∴AO = OC .
又∵∠AOE =∠COF，
∴△AOE≌△COF. ∴EO = FO.
∴四边形 AFCE 是平行四边形.
又∵EF⊥AC，
∴ 四边形 AFCE 是菱形.
例5 如图，在△ABC中，D，E 分别是 AB，AC 的中点，BE＝2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF＝BE，连接 CF.
(1) 求证：四边形 BCFE 是菱形；
(1) 证明：∵D，E 分别是 AB，AC 的中点，
∴DE∥BC 且 2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC.
∴四边形 BCFE 是平行四边形．
又∵EF＝BE，
∴四边形 BCFE 是菱形.
菱形的性质与判定的综合运用
3
(2) 解：∵∠BCF＝120°，
∴∠ECB＝60°.
∴△EBC 是等边三角形.
∴菱形的边长为 4，高为 .
∴菱形的面积为 .
(2) 若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形 BCFE 的面积．
归纳：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．
B
返回
1．
如图，△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻折，得到的△DBC与△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是(　　)
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
返回
A
2．
依据所标数据，下列平行四边形不是菱形的是(　　)
B
返回
3．
[德阳中考]如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点，BD＝AC，四边形EFGH的面积为24，HF＝6，则GH＝(　　)
A．4
B．5
C．8
D．10
4．
返回
菱形
四边形ABCD为矩形，过点A，C作BD的垂线，过点B，D作对角线AC的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为________.
5．
如图，两张宽度均为3 cm的纸条交叉形成的锐角为60°，则四边形ABCD的周长为________cm.
【点拨】
返回
6．
80
[永州期末]如图，E，F分别在BC和CD上，AB＝AE＝AF＝AD＝BC＝CD＝EF，则∠D＝________°.
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四边相等的四边形是菱形
运用定理进行计算和证明
菱形的判定
定义法
判定定理

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