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湘教版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件1.7正方形第1章四边形授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.湘教版数学八年级下册1.7正方形练习题班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟本套练习题围绕正方形的定义、性质（边、角、对角线）及判定方法设计，分层考查基础知识点、逻辑推理及综合应用能力，贴合课时重点，助力巩固所学知识，衔接矩形、菱形的相关知识，培养几何综合素养。一、基础选择题（每题3分，共15分）1.下列说法正确的是（）A.有一个角是直角的菱形是正方形B.有一组邻边相等的矩形是菱形C.正方形是特殊的平行四边形，不是特殊的矩形和菱形D.对角线相等的菱形是矩形2.已知正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA，则下列说法错误的是（）A.四个角都是直角B.对角线相等且互相垂直平分C.对角线平分内角D.对角线互相平行3.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=2，则正方形的边长为（）A. 2 B. 2√2 C. 4 D. 4√24.下列条件中，不能判定四边形ABCD是正方形的是（）A.有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形B.对角线相等且互相垂直的矩形C.对角线互相垂直且平分的菱形D.对角线相等且互相垂直的平行四边形5.已知矩形ABCD是菱形，则矩形ABCD一定是（）A.平行四边形B.正方形C.等腰梯形D.无法确定二、填空题（每题3分，共15分）1.有一组邻边相等且有一个角是________的平行四边形叫做正方形，正方形是特殊的矩形和菱形。2.正方形的性质：四条边都________；四个角都是________；对角线相等、互相________且平分。3.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=________°，OA=3，则正方形的周长为________cm。4.已知正方形的边长为6cm，则它的对角线长为________cm。5.正方形的一条对角线把正方形分成两个________三角形（填“等腰直角”或“等边”）。三、解答题（共70分）1.（10分）如图，在正方形ABCD中，求证：正方形的四条边都相等，四个角都是直角。2.（15分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，求证：AC=BD，AC⊥BD，且AC、BD互相平分。3.（15分）如图，在正方形ABCD中，边长为8cm，求对角线AC、BD的长度及正方形的面积。4.（15分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，求证：矩形ABCD是正方形。5.（15分）已知：如图，在菱形ABCD中，有一个角是直角，求证：菱形ABCD是正方形。参考答案提示一、选择题：1.A 2.D 3.B 4.D 5.B二、填空题：1.直角；2.相等，直角，垂直；3.90，12√2；4.6√2；5.等腰直角三、解答题（略，重点考查正方形的定义、性质及判定方法的应用，证明过程需规范，贴合课时核心知识点，注重逻辑推理和计算准确性，衔接矩形、菱形的相关性质）说明：本套题重点考查正方形的定义、性质及判定方法，贴合课时重难点，衔接前面矩形、菱形的知识，可用于课后巩固练习，培养几何综合推理和计算能力。
观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
你还能举出其他的例子吗？
矩 形
〃
〃
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢
你有什么发现？
正方形的性质
正方形
1
问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么
发现？
正方形
邻边相等
矩形
〃
〃
正方形
〃
〃
菱 形
一个角是直角
正方形
∟
正方形定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
归纳总结
证明：∵四边形 ABCD 是正方形.
∴∠A = 90°， AB = AD (正方形的定义).
又∵正方形是平行四边形，
∴正方形是矩形(矩形的定义)，
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°，
AB = BC = CD = AD.
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形.
求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角.
A
B
C
D
证一证
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC，BD相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵正方形 ABCD 是矩形，
∴AO = BO = CO = DO.
∵正方形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD.
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
性质：1. 正方形的四个角都是直角，四条边相等.
2. 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质，正方形都有.
归纳总结
正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.
由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：
A
B
C
D
知识要点
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
A
D
C
B
O
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC，BD
相交于点 O.
求证： △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO 是全等的
等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AC＝BD，AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO 都
是等腰直角三角形，并且
△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
典例精析
证明 因为四边形 ABCD 为正方形，
所以 AD = CD，∠A =∠DCF = 90°.
因为 DF⊥DE，
所以∠EDF = 90°，即∠1 +∠3 = 90°.
又因为∠2 +∠3 = 90°，所以∠1 = ∠2.
因此△AED≌△CFD(角边角)，
从而 DE = DF.
例2 如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 AB 上任意
一点，过点 D 作 DF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F.
求证：DE = DF.
1
2
3
例3 如图，在正方形 ABCD 中， △BEC 是等边三角形，
求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ △BEC 是等边三角形，
∴BE = CE = BC，∠EBC = ∠ECB = 60°.
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB = BC = CD，∠ABC = ∠DCB = 90°.
∴AB = BE = CE = CD，∠ABE=∠DCE=30°.
∴△ABE，△DCE是等腰三角形.
∴∠BAE = ∠BEA = ∠CDE = ∠CED = 75°.
∴∠EAD = ∠EDA = 90° - 75° = 15°.
正方形的判定
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
2
已知：如图,在矩形 ABCD 中，AC ， DB 是它的两条对角线，AC⊥DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AO＝CO＝BO＝DO ，∠ADC＝90°.
∵AC⊥DB，
∴ AD＝AB＝BC＝CD.
∴四边形ABCD是正方形.
证一证
A
B
C
D
O
对角线互相垂直的矩形是正方形.
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形.
正方形
菱形
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
对角线相等
已知：如图，在菱形 ABCD 中，AC ，DB 是它的两条对
角线， AC = DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB = BC = CD = AD，AC⊥DB.
∵AC = DB，
∴ AO = BO = CO = DO.
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形.
∴∠DAB = ∠ABC = ∠BCD = ∠ADC = 90°.
∴四边形 ABCD 是正方形.
证一证
A
B
C
D
O
对角线相等的菱形是正方形.
正方形判定的几条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个直角
一组邻边相等
对角线相等
对角线垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等且
一内角是直角
归纳总结
证明 因为四边形 ABCD 是正方形，
所以 AB = BC.
又因为 AA′ = BB′，所以 A'B = B'C.
又因为∠B =∠C = 90°，BB′ = CC'，
所以△BB'A'≌△CC'B' (边角边)，
从而 B'A' = C'B'.
同理可证，△AA'D'≌△DD'C'，△AA'D'≌△BB'A'.
例2 如图，已知点 A'，B'，C'，D' 分别是正方
形 ABCD 四条边上的点，并且 AA'＝BB'＝CC'＝DD'.
求证：四边形 A'B'C'D' 是正方形.
1
2
3
同理可证，△AA'D'≌△DD'C'，△AA'D'≌△BB'A'.
于是 A'D' = D'C' = C'B' = B'A'.
因此四边形 A'B'C'D' 是菱形.
又因为∠1 = ∠3，∠1 +∠2 = 90°，
所以∠2 + ∠3 = 90°，
于是∠D'A'B' = 90°.
因此四边形 A'B'CD' 是正方形.
1
2
3
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ，
∴∠DEC = ∠DFC = 90°.
又∵ ∠C = 90°，
∴四边形 EDFC 是矩形.
过点 D 作 DG⊥AB，垂足为 G.
∵AD 是∠CAB 的平分线，
DE⊥AC，DG⊥AB，
∴ DE = DG. 同理得 DG = DF.
∴ED = DF. ∴四边形 EDFC 是正方形.
例5 如图，在直角三角形ABC中，∠C = 90°，∠A，∠B 的平分线交于点 D. DE⊥AC，DF⊥BC. 求证：四边形 CEDF 为正方形.
A
B
C
D
E
F
G
C
返回
1．
正方形具备而菱形不具备的性质是(　　)
A．对角线互相平分 　　　
B．对角线互相垂直
C．对角线相等 　　　
D．每条对角线平分一组对角
返回
C
2．
如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB的度数为(　　)
A．30°
B．25°
C．22.5°
D．45°
A
返回
3．
在复习特殊四边形的关系时，嘉祺同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是(　　)
A．①处可填AD＝CB
B．②处可填AD⊥AB
C．③处可填∠A＝90°
D．④处可填AD＝AB
4．
3
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从点O出发在线段AC上以1 cm/s的速度反向运动(点E，F分别到达A，C两点时停止运动)，设运动时间为t s．连接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是边长为
6 cm的等边三角形，当t＝________时，四边形DEBF为正方形.
【点拨】
由题意得OE＝OF＝t cm，所以EF＝2t cm.因为菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，所以OB＝OD，AC⊥BD.所以四边形DEBF是菱形．所以当EF＝BD时，四边形DEBF是正方形．因为△ABD是边长为6 cm的等边三角形，所以BD＝6 cm.所以由EF＝BD得2t＝6，解得t＝3.所以当t＝3时，四边形DEBF是正方形．
返回
5．
1
如图，将正方形B的一个顶点与正方形A的对角线的交点重合放置．若正方形A的面积为4，则阴影部分的面积为________.
【点拨】
如图．因为四边形A，B是正方形，所以∠DOE＝∠COF＝90°，OD＝OE，∠CDO＝∠FEO＝45°.所以∠COD＋∠DOF＝90°，∠FOE＋∠DOF＝90°.所以∠COD＝∠FOE.
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1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
正方形的性质
性质
定义
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.

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