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湘教版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件3.6第1课时　建模预测问题及行程问题第3章一次函数授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.湘教版数学八年级下册3.6第1课时建模预测问题及行程问题练习题班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟本套练习题围绕一次函数的实际应用设计，重点考查一次函数建模预测问题、行程问题（相遇、追及、匀速行驶），核心是将实际问题转化为一次函数模型，利用待定系数法求解析式、结合函数性质解决问题，衔接上一课时一次函数与二元一次方程的关系，贴合课时重点，助力巩固所学知识，培养数学建模和实际应用素养。一、基础选择题（每题3分，共15分）1.下列实际问题中，不能用一次函数模型解决的是（）A.匀速行驶的汽车，路程与时间的关系B.单价固定的商品，总费用与购买数量的关系C.正方形的面积与边长的关系D.线性增长的人口预测问题2.甲、乙两车在同一条直线上匀速行驶，甲车速度为60km/h，乙车速度为40km/h，若两车同向行驶，乙车在前，甲车在后，则甲车相对于乙车的速度为（）A. 100km/h B. 20km/h C. -20km/h D. -100km/h3.某商店销售某种商品，每件成本为3元，售价为x元，销售量y（件）与售价x（元）满足一次函数关系y = -10x + 100，则销售该商品的总利润（总利润=销量×（售价-成本））与售价x的关系是（）A.一次函数B.二次函数C.正比例函数D.反比例函数4.甲、乙两车从相距360km的两地相向而行，甲车每小时行65km，乙车每小时行55km，设行驶时间为t小时，两车之间的距离为s km，则s与t的函数关系式为（）A. s = 120t + 360 B. s = -120t + 360（0≤t≤3）C. s = 120t D. s = -120t（0≤t≤3）5.关于一次函数建模解决实际问题，下列说法正确的是（）A.建模时无需考虑自变量的实际取值范围B.只需找到两个已知条件，就能确定一次函数解析式C.预测问题中，可利用一次函数解析式求出未知的对应值D.行程问题中，相遇时两车行驶的路程一定相等二、填空题（每题3分，共15分）1.用一次函数解决实际问题的核心是________，即将实际问题中的两个变量之间的关系转化为一次函数关系式。2.行程问题中，路程、速度、时间的基本关系是________；相向而行时，相对速度为两车速度之________；同向而行时，相对速度为两车速度之________。3.某工厂生产一批零件，每天生产200个，生产天数为x天，生产总量为y个，则y与x的函数关系式为________，该函数是________函数（填“一次”或“正比例”）。4.甲、乙两车同向行驶，甲车速度为70km/h，乙车速度为50km/h，两车相距100km，设甲车行驶时间为t小时，甲车追上乙车时，t的值为________。5.某地区2026年的人口为100万，人口年增长率为1%（线性增长），设经过x年，人口为y万，则y与x的一次函数关系式为________。三、解答题（共70分）1.（10分）某出租车的收费标准为：起步价8元（3千米内），超过3千米后，每千米加收1.2元，设行驶路程为x千米（x≥3），车费为y元。（1）写出y与x之间的一次函数关系式；（2）求行驶10千米时的车费；（3）若车费为14元，求行驶的路程。2.（15分）甲、乙两车从相距480km的A、B两地相向而行，甲车从A地出发，每小时行70km，乙车从B地出发，每小时行50km，两车同时出发，设行驶时间为t小时。（1）写出两车行驶的总路程s与t的函数关系式；（2）求经过多少小时，两车相遇；（3）求出发3小时后，两车之间的距离。3.（15分）某商店销售一种笔记本，销售数据如下表所示，已知销售量y（本）与售价x（元）满足一次函数关系。x（元）| 5 | 6 | 7y（本）| 150 | 120 | 90（1）用待定系数法求y与x之间的一次函数解析式；（2）预测当售价为8元时，销售量为多少本；（3）若该笔记本的成本为3元/本，求售价为6元时的总利润。4.（15分）甲、乙两车同向行驶，甲车从A地出发，每小时行60km，乙车从B地出发，每小时行45km，B地在A地前方120km处，两车同时出发，设行驶时间为t小时。（1）写出甲车与B地的距离s （km）与t的函数关系式；（2）写出乙车与B地的距离s （km）与t的函数关系式；（3）求经过多少小时，甲车追上乙车。5.（15分）某地区的气温随海拔高度的变化呈线性关系，已知海拔高度为1000米时，气温为15℃；海拔高度为2000米时，气温为8℃。（1）设海拔高度为x米，气温为y℃，求y与x之间的一次函数解析式；（2）预测海拔高度为3000米时的气温；（3）当气温为2℃时，求对应的海拔高度（结果保留整数）。参考答案提示一、选择题：1.C 2.B 3.A 4.B 5.C二、填空题：1.建立一次函数模型；2.路程=速度×时间，和，差；3.y=200x，正比例；4.5；5.y=100+1x（或y=x+100）三、解答题（略，重点考查一次函数建模、待定系数法求解析式，结合行程问题、预测问题的实际场景，步骤需规范，注重自变量的实际取值范围，衔接一次函数的图象和性质、待定系数法）说明：本套题重点考查一次函数在建模预测、行程问题中的实际应用，贴合课时重难点，衔接上一课时相关知识，可用于课后巩固练习，培养数学建模、计算和实际应用能力。
建模预测问题
现实生活或具体情境中的很多问题或现象都可以抽象成数学问题，并通过建立合适的数学模型来表示数量关系和变化规律，再求出结果并讨论结果的意义.
下面有一个实际问题，你能否利用已学的知识给予解决？
1
伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，测量两指指尖间的最大距离，这个距离简称为指尖距. 假设指尖距与身高具有如下关系：
指尖距 x (cm) 19 20 21
身高 y (cm) 151 160 169
(1) 身高 y 与指尖距 x 之间可用函数关系式刻画吗？如可以，其表达式是怎样的？
思考
(2) 若李华的指距为 22 cm 时，你能估计他的身高吗？
指尖距 x (cm) 19 20 21
身高 y (cm) 151 160 169
解：(1) 由上表三组数据可知，身高 y 与指尖距 x 之间存在一个对应关系，并且指尖距每增加 1 cm，身高对应增加 9 cm，于是可以尝试用一次函数来刻画.
设身高 y 与指尖距 x 之间的一次函数表达式为 y＝kx＋b
(k，b 为常数，k≠0).
19k + b = 151，
20k + b = 160.
解得 k＝9，b＝-20. 于是 y＝9x - 20.
将 x＝21，y＝169 代入上式，也符合.
故 y＝9x - 20就是身高 y 与指尖距 x 之间的函数表达式.
将 x＝19，y＝151 与 x＝20，y＝160 代人上式，得
(2) 当 x = 22 时， y = 9×22 - 20 = 178.
因此，李华的身高大约是 178 cm.
(2) 若李华的指距为 22 cm 时，你能估计他的身高吗？
建立一次函数模型步骤：
(1) 确定自变量和因变量(用两个字母)；
(2) 根据自变量和因变量的关系设解析式；
(3) 找点列方程或方程组；
(4) 求出待定的系数；
(5) 写出解析式；
(6) 代值检验.
归纳总结
利用一次函数解决行程问题
2
例1 已知甲、乙两地相距 40 km，小徐 8∶00 骑自
行车由甲地去乙地，平均车速为 8 km/h；小李10∶00 坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为 40 km/h.设小徐所用的时间为 x h，小徐离甲地的距离为 y1 km，小李离甲地的距离为 y2 km.
(1) 分别写出 y1， y2 与 x 之间的函数解析式；
解 (1) 由“路程＝速度×时间”可知 y1＝8x，自变量 x 的取值范围是 0≤x≤5.
由于小李比小徐晚出发 2 h，因此小李所用时间为(x－2) h，
从而 y2＝40(x－2)，自变量 x 的取值范围是 2≤x≤3.
(1) 分别写出 y1， y2 与 x 之间的函数解析式；
1
2
3
4
5
8
16
24
32
40
y2＝40(x-2)
y1＝8x
(2) 在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地.
(2) 将以上两个函数的图象画在同一平面直角坐标系中，如图所示.
过点 M(0，40) 作射线 l 与 x轴平行，它先与 y2＝40(x－2)相交，这表明小李先到达乙地.
l
M
8
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1．
电力公司想要估计某种风力发电塔的建造成本和所带来的利润，调查小组提出用如图的公式估计财务营收，其中F(元)为财务营收，x(年)为时间．根据公式，至少需要________年才能收回成本．
2．
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀的软管制作简易计时装置．如图，综合实践小组先在甲容器里加满水，此时水面高度为30 cm，开始放水后每隔10 min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据大致如下表所示：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm 30 29 28 27 26
【建立模型】请利用表格中的数据求水面高度h与流水时间t的函数表达式；
【模型应用】当流水时间为2 h时，水面高度h为________cm；
【设计刻度】请你简要写出时间刻度的设计方案．
18
在容器外壁每隔1 cm标记一次刻度，这样水面每降低一个刻度，就代表时间经过了10 min.
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3．
利用以下素材解决任务．
商品利润问题 素材1 某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现：
①这种商品在未来40天内的日销售量m(件)与时间t(天)的关系为m＝－2t＋96.
商品利润问题 素材2 ②未来40天内，该商品每天的单价y(元/件)与时间t(天)(t为整数)之间关系的函数图象如图所示．
任务1 经计算得，当0任务2 请预测未来40天中哪一天的单价是26元/件？
【点拨】
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4．
甲、乙两名同学周末相约骑自行车去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，甲比乙早出发5 min.甲骑行 20 min后，乙以原速的1.5倍继续骑行，经过一段时间，乙先到达B地，甲一直保持原速前往B地，在此过程中，甲、乙两人相距的路程y(m)与甲骑行的时间x(min)之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是(　　)
A．甲的骑行速度是250 m/min
B． A，B两地的总路程为22.5 km
C．乙出发60 min后追上甲
D．甲比乙晚5 min到达B地
【点拨】
由题图知甲5 min骑行1 250 m，故甲的骑行速度为1 250÷5＝250(m/min)，故选项A正确，不符合题意．设乙的速度为a m/min，则有20×250－15a＝2 000，解得a＝200，所以乙的速度为200 m/min.因为甲骑行20 min后，乙以原速的1.5倍，即1.5×200＝300(m/min)继续骑行，且乙先到达B地，所以A，B两地的总路程为(20－5)×200＋(85－20)×300＝22 500(m)＝22.5 km，故B正确，不符合题意．
【答案】C
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一次函数模型的应用
①将实验得到的数据在平面直角坐标系中描出
②观察这些点的特征，确定选用的函数模型，并根据已知数据求出具体的函数表达式
③进行检验
④应用这个函数模型解决问题

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