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沪科版（2024）八年级下册 18.1 勾股定理 强化训练（参考答案）
【题型1】利用勾股定理证明线段平方关系
【典例】如图，在中，，于H，M为AH上异于A的一点，比较与的大小，则（ ）．
A.大于 B.等于 C.小于 D.大小关系不确定
【答案】C
【解析】∵AH⊥BC，有AB2＝AH2＋BH2，AC2＝AH2＋HC2，
∴AB2 AC2＝BH2 HC2，
又∵MH⊥BC，同理有MB2 MC2＝BH2 HC2，
∴AB2 AC2＝MB2 MC2，
即（AB＋AC）（AB AC）＝（MB＋MC）（MB MC），
又∵M点在△ABC内，∵AB＋AC＞MB＋MC，
则AB AC＜MB MC．
故选C．
【强化训练1】若一个直角三角形的两条直角边各扩大一倍，则其斜边（ ）
A.不变 B.扩大一倍 C.扩大两倍 D.扩大四倍
【答案】B
【解析】设两直角边长度为a，b，斜边为c，则有，此时
当两直角边扩大一倍时，即为2a，2b，则有
此时斜边扩大了一倍.
即应选：B.
【强化训练2】定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝ ．
【答案】或
【解析】在Rt中，，
∴，
当时，
∴，，
∵Rt是“和美三角形”，
∴，
∴，
∴，
∴（负值已舍去），
当，
∴，，
∵Rt是“和美三角形”，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
故或，
故答案为：或．
【强化训练3】如图，在四边形中，，于点，.求证.
【答案】证明：连接.
∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
【题型2】勾股定理的证明方法
【典例】如图，两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形恰好构成一个梯形．甲说：梯形的面积可以表示为，乙说：梯形的面积可以表示为，则有(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：根据题意得，，
∴a2+b2=c2，
故选：B．
【强化训练1】如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形的面积分别是9、25、1、9，则最大正方形的边长是（ ）

A.12 B.44 C. D.无法确定
【答案】C
【解析】解：∵正方形的面积分别是9、25、1、9，由勾股定理得，
正方形H的面积为：9+1=10，
正方形G的面积为：9+25=34，
则正方形E的面积为：34+10=44，
所以正方形E的边长为：
故选：C

【强化训练2】我国古代对于数学的研究非常深刻，它为中华民族乃至人类文明的发展做出了重大贡献．其中，主要记载汉代数学成就，率先提出勾股定理，并在测量太阳高远的方法中给出勾股定理的一般公式的著作是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】“勾三、股四、弦五”这一结论最早在数学著作《周髀算经》中提出来的，故B正确．
故选：B．
【强化训练3】利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 ．
【答案】勾股定理 c2=a2+b2
【解析】如图2，正方形的面积=（a+b）2，
用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×ab+c2，
即（a+b）2=4×ab+c2化简得a2+b2=c2．
这个定理称为：勾股定理．
故答案为：勾股定理，a2+b2=c2
【强化训练4】将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，观察下图，你能写出的等式是 ．

【答案】
【解析】大正方形的边长为，因此面积可以表示为，
大正方形的面积可以用小正方形的面积加四周四个直角三角形的面积，因此大正方形面积可以表示为，
因此，
即，
∴．
故答案为：．
【强化训练5】清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》，对“三边长为3，4，5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数(面积)，以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现代的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3，4，5的整数倍，设其面积为S，则求其边长的方法为：第一步：＝；第二步：＝k；第三步：分别用3，4，5乘以，得三边长”．
(1)当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；
(2)你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程．
【答案】(1)当s＝150时，m＝＝25，k＝＝5．
∴3×5＝15，4×5＝20，5×5＝25，
∴直角三角形的三边长分别为15，20，25．
(2)正确，设直角三角形的三边长分别为3k，4k，5k，
∴s＝×3k×4k＝6k ，
∴k＝，
∴三边长分别为3，4，5.
【强化训练6】（）测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：
根据已经得到的数据，请猜想三边的长度之间的关系．
【答案】解：测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：
根据已经得到的数据，猜想三边的长度之间的关系．
【题型3】利用勾股定理解三角形
【典例】如图，做一个长、宽的矩形木框，需在对角的顶点间钉一根木条用来加固，则木条的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】木条的长为，
故选A．
【强化训练1】已知直角三角形的两条直角边的长分别为1，3，则斜边的长是（ ）
A.2 B. C. D.
【答案】D
【解析】已知直角三角形的两条直角边的长分别为1，3，则斜边的长是．
故选D．
【强化训练2】一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ．
【答案】6，8，10
【解析】解：设中间的偶数是x，则另外两个是，根据勾股定理，得
，
解得或0（0不符合题意，应舍去），
所以它的三边是6，8，10．
故答案为：6，8，10
【强化训练3】如图，在ΔABC中，AB＝AC＝10，BC＝8．用尺规作图作BC边上的中线AD（保留作图痕迹，不要求写作法、证明），并求AD的长．
【答案】解：（1）
（2）在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC
在Rt△ABD中，AB＝10，BD＝4，
.
【题型4】求梯子滑落高度
【典例】如图，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角间的距离为3米，梯子滑动后停在的位置上，测得的长为1米，则梯子顶端A下落了（　　）
A.1米 B.2米 C.3米 D.5米
【答案】A
【解析】中，米
中，米，梯子长，
米，
米；
故选A．
【强化训练1】如图，一根长为5m的竹竿AB斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B离墙壁距离3m，则该竹竿的顶端A离地竖直高度为（　　）
A.2m B.3m C.4m D.m
【答案】C
【解析】由题意得：，，，
则，
即该竹竿的顶端离地竖直高度为，
故选：C．
【强化训练2】某数学兴趣小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为15cm，则底部边缘A处与E之间的距离为（ ）

A.20cm B.18cm C.12cm D.10cm
【答案】A
【解析】依题意，，
在中，，
∵，，
在中，，
故选：A．
【强化训练3】使用13米长的梯子登建筑物，如果梯子的底部离建筑物的底部的距离不能小于5米，问该梯子最多可登上 米高的建筑物．
【答案】12
【解析】如图，梯子AB=13米，
若梯子的底部离建筑物的底部的距离BC不能小于5米，
则AC≤=12米，
故答案为：12．

【强化训练4】如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离为2米，顶端B距墙顶的距离为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为3米，顶端E距墙顶D的距离为2米，点在一条直线上，点在一条直线上，．求：

(1)墙的高度；
(2)竹竿的长度．
【答案】（1）解：设墙高x米，则米，米，
在中，，
在中，，
由题意可知，
∴，
解得：，
答：墙的高度为4米；
（2）解：米．
答：竹竿的长度为米．
【强化训练5】如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计）， 右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD的高.
【答案】解：设AD＝xm，则由题意可得
AB＝(x－0.5)m，AE＝(x－1)m，
在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，
即(x－1)2＋1.52＝(x－0.5)2，
解得x＝3．
即秋千支柱AD的高为3m．
【题型5】求电杆或旗杆高度
【典例】小刚想测量教学楼的高度，他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了，当他把绳子的下端拉开后，发现绳子下端刚好接触地面，则教学楼的高度是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，为教学楼的高度，为绳子的长度，则，，
∵，
∴根据勾股定理得，
∴，
解得：，
即教学楼的高度为8米．
故选：D．
【强化训练1】小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ）
A.13m B.12m C.10m D.8m
【答案】B
【解析】根据题意，画出图形，m，如下图：
设旗杆的高为：x m ，则绳子的长为m ，
在 中，由勾股定理得：
，
即
解得： ，
即旗杆的高为m．
故选：B
【强化训练2】如图，小明想要测量学校旗杆AB的高度，他发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，从而测得绳子比旗杆长a米，小明将这根绳子拉直，绳子的末端落在地面的点C处，点C距离旗杆底部b米（），则旗杆AB的高度为 米（用含a，b的代数式表示）．
【答案】
【解析】设AB=x米，则有AC=（x+a）米，根据勾股定理得：
，
解得：
∴，
故答案为．
【强化训练3】如图，台风过后，某希望小学的旗杆在离地面某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部处，已知旗杆原长，你能求出旗杆在离底部什么位置折断吗？请说明理由
【答案】解：设旗杆在离底部米处的位置折断，
由图可知：，
解得：
即：旗杆在离底部米处的位置折断．
【题型6】求台阶上地毯长度
【典例】如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）
A. B.3 C. D.
【答案】D
【解析】解：将台阶展开，如图，
因为DC=AE+BE=3+1=4，AD=2，
所以AC2=DC2+AD2=20，
所以AC=，
故选：D．
【强化训练1】在高5m，长13m 的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要（ ）
A.13m B.5m C.12m D.17m
【答案】D
【解析】由勾股定理，，
则地毯总长为12+5=17（m），
故选：D．
【强化训练2】如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（ ）

A.65 B.85 C.90 D.150
【答案】B
【解析】 由图可知：，
∵米，米，
∴米，
由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度（米），铅直的防滑毯的长度（米），
∴至少需防滑毯的长为：（米），
∵防滑毯宽为5米
∴至少需防滑毯的面积为：（平方米）．
故选：．
【强化训练3】如图，要将楼梯铺上地毯，则需要 米的地毯．

【答案】7
【解析】根据勾股定理，另一直角边（米），
∴（米），
则需要7米的地毯
故答案为：7
【强化训练4】如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到）
【答案】解：如图，由勾股定理得，，
∴米，
∴米，
答：地毯的长度至少需要米．
【强化训练5】如图，要修建一个育苗棚，棚高，棚宽，棚的长为，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
【答案】解：棚高，棚宽，设棚顶的宽为b，
则，
棚的长d为，
∴．
【题型7】解决航海问题
【典例】已知一轮船以18海里/小时的速度从港口出发向西南方向航行，另一轮船以24海里/小时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口1.5后，两轮船相距（ ）
A.30海里 B.35海里 C.40海里 D.45海里
【答案】D
【解析】∵两船行驶的方向是西南方向和东南方向，
∴∠BAC＝90°，
两小时后，两艘船分别行驶了18×1.5＝27，24×1.5＝36海里，
根据勾股定理得：＝45（海里）．
故选：D．

【强化训练1】如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号以每小时16海里的速度向北偏东方向航行，“海天”号以每小时12海里的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，它们离港口半小时后分别位于、处，且相距10海里，则“海天”号航行的方向是（ ）
A.北偏东 B.北偏西 C.北偏西 D.北偏西
【答案】B
【解析】根据题意，得（海里），（海里），（海里）．
∵，即，
∴．
由“远航号”沿东北方向航行可知，，则，即“海天”号沿北偏西方向航行．
故选：B．
【强化训练2】两只蜗牛从同一地点同时出发，一只以的速度向北直行，一只以的速度向东直行，后两只蜗牛相距（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，
∵一只以的速度向北直行，一只以的速度向东直行，
∴夹角为直角，
∵，
∴后两只蜗牛相距，
故选：A．
【强化训练3】某船向东航行6海里可到达A码头，向南航行8海里可到达B码头，则A，B码头相距 海里．
【答案】10
【解析】如图，由题意可得：
故答案为：10
【强化训练4】如图，若河岸的两边平行，河宽米，河岸上B，C两点之间的距离为600米．一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，船的速度为200米/分钟，求船从A到B处需多少时间？
【答案】解：在中，，
∵米，米，
∴米，
∵船的速度为200米/分钟，
∴船从A到B处需要的时间为（分钟），
答：船从A到B处需5分钟．
【强化训练5】如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，以每小时12海里的速度向B岛驶去．乙船沿南偏东55°的方向向C岛驶去，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？
【答案】解：设乙船的航速是x海里/时，
由甲船的速度和航行时间可得海里，
由乙船的速度和航行时间可得海里，
∵，
∴是直角三角形，
由勾股定理可得，
∴，
∴，
故乙船的航速是9海里/时；沪科版（2024）八年级下册 18.1 勾股定理 强化训练
【题型1】利用勾股定理证明线段平方关系
【典例】如图，在中，，于H，M为AH上异于A的一点，比较与的大小，则（ ）．
A.大于 B.等于 C.小于 D.大小关系不确定
【强化训练1】若一个直角三角形的两条直角边各扩大一倍，则其斜边（ ）
A.不变 B.扩大一倍 C.扩大两倍 D.扩大四倍
【强化训练2】定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝ ．
【强化训练3】如图，在四边形中，，于点，.求证.
【题型2】勾股定理的证明方法
【典例】如图，两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形恰好构成一个梯形．甲说：梯形的面积可以表示为，乙说：梯形的面积可以表示为，则有(　　)
A. B. C. D.
【强化训练1】如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形的面积分别是9、25、1、9，则最大正方形的边长是（ ）

A.12 B.44 C. D.无法确定
【强化训练2】我国古代对于数学的研究非常深刻，它为中华民族乃至人类文明的发展做出了重大贡献．其中，主要记载汉代数学成就，率先提出勾股定理，并在测量太阳高远的方法中给出勾股定理的一般公式的著作是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 ．
【强化训练4】将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，观察下图，你能写出的等式是 ．

【强化训练5】清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》，对“三边长为3，4，5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数(面积)，以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现代的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3，4，5的整数倍，设其面积为S，则求其边长的方法为：第一步：＝；第二步：＝k；第三步：分别用3，4，5乘以，得三边长”．
(1)当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；
(2)你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程．
【强化训练6】（）测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：
根据已经得到的数据，请猜想三边的长度之间的关系．
【题型3】利用勾股定理解三角形
【典例】如图，做一个长、宽的矩形木框，需在对角的顶点间钉一根木条用来加固，则木条的长为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】已知直角三角形的两条直角边的长分别为1，3，则斜边的长是（ ）
A.2 B. C. D.
【强化训练2】一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ．
【强化训练3】如图，在ΔABC中，AB＝AC＝10，BC＝8．用尺规作图作BC边上的中线AD（保留作图痕迹，不要求写作法、证明），并求AD的长．
【题型4】求梯子滑落高度
【典例】如图，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角间的距离为3米，梯子滑动后停在的位置上，测得的长为1米，则梯子顶端A下落了（　　）
A.1米 B.2米 C.3米 D.5米
【强化训练1】如图，一根长为5m的竹竿AB斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B离墙壁距离3m，则该竹竿的顶端A离地竖直高度为（　　）
A.2m B.3m C.4m D.m
【强化训练2】某数学兴趣小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为15cm，则底部边缘A处与E之间的距离为（ ）

A.20cm B.18cm C.12cm D.10cm
【强化训练3】使用13米长的梯子登建筑物，如果梯子的底部离建筑物的底部的距离不能小于5米，问该梯子最多可登上 米高的建筑物．
【强化训练4】如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离为2米，顶端B距墙顶的距离为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为3米，顶端E距墙顶D的距离为2米，点在一条直线上，点在一条直线上，．求：

(1)墙的高度；
(2)竹竿的长度．
【强化训练5】如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计）， 右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD的高.
【题型5】求电杆或旗杆高度
【典例】小刚想测量教学楼的高度，他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了，当他把绳子的下端拉开后，发现绳子下端刚好接触地面，则教学楼的高度是（　　）
A. B. C. D.
【强化训练1】小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ）
A.13m B.12m C.10m D.8m
【强化训练2】如图，小明想要测量学校旗杆AB的高度，他发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，从而测得绳子比旗杆长a米，小明将这根绳子拉直，绳子的末端落在地面的点C处，点C距离旗杆底部b米（），则旗杆AB的高度为 米（用含a，b的代数式表示）．
【强化训练3】如图，台风过后，某希望小学的旗杆在离地面某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部处，已知旗杆原长，你能求出旗杆在离底部什么位置折断吗？请说明理由
【题型6】求台阶上地毯长度
【典例】如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）
A. B.3 C. D.
【强化训练1】在高5m，长13m 的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要（ ）
A.13m B.5m C.12m D.17m
【强化训练2】如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（ ）

A.65 B.85 C.90 D.150
【强化训练3】如图，要将楼梯铺上地毯，则需要 米的地毯．

【强化训练4】如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到）
【强化训练5】如图，要修建一个育苗棚，棚高，棚宽，棚的长为，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
【题型7】解决航海问题
【典例】已知一轮船以18海里/小时的速度从港口出发向西南方向航行，另一轮船以24海里/小时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口1.5后，两轮船相距（ ）
A.30海里 B.35海里 C.40海里 D.45海里
【强化训练1】如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号以每小时16海里的速度向北偏东方向航行，“海天”号以每小时12海里的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，它们离港口半小时后分别位于、处，且相距10海里，则“海天”号航行的方向是（ ）
A.北偏东 B.北偏西 C.北偏西 D.北偏西
【强化训练2】两只蜗牛从同一地点同时出发，一只以的速度向北直行，一只以的速度向东直行，后两只蜗牛相距（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】某船向东航行6海里可到达A码头，向南航行8海里可到达B码头，则A，B码头相距 海里．
【强化训练4】如图，若河岸的两边平行，河宽米，河岸上B，C两点之间的距离为600米．一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，船的速度为200米/分钟，求船从A到B处需多少时间？
【强化训练5】如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，以每小时12海里的速度向B岛驶去．乙船沿南偏东55°的方向向C岛驶去，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？

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