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沪科版（2024）八年级下册 18.2 勾股定理的逆定理 强化训练（参考答案）
【题型1】判断三边能否构成直角三角形
【典例】以下各组数为三角形的三条边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A.2，，4 B.4，5，6 C.2，3，4 D.1，，
【答案】D
【解析】解：A、∵22+（）2=6≠42，故此选项错误；
B、∵42+52=41≠62，故此选项错误；
C、∵22+32=13≠42，故此选项错误；
D、∵12+（）2=3=（）2，故此选项正确．
故选D．
【强化训练1】学了“勾股定理”后，甲、乙两位同学的观点如下：
甲：如果是直角三角形，那么一定成立；
乙：在中，如果，那么不是直角三角形．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A.甲对，乙错 B.甲错，乙对 C.两人都错 D.两人都对
【答案】C
【解析】中，不确定谁是直角边和斜边，
所以如果是直角三角形，那么不一定成立，故甲说法错误；
在中，如果，但是可以，那么也是直角三角形，故乙说法错误，
∴两人都错，
故选：C．
【强化训练2】如果线段能组成一个直角三角形，那么 组成直角三角形．(填“能”或“不能”)．
【答案】能
【解析】设c为斜边，则由勾股定理得：，两边同乘以，得，
即 ，根据勾股定理的逆定理可得能组成直角三角形．
故答案为：能
【强化训练3】如图，以的每一条边为边作三个正方形．已知这三个正方形构成的图形中，绿色部分的面积与蓝色部分的面积相等，则是直角三角形吗？请证明你的判断．
【答案】设左侧绿色部分的面积和为a，右边绿色部分的面积为b，蓝色部分的面积和为c，坐标空白部分的面积为d，右边空白部分的面积为e，然后根据绿色部分的面积与蓝色部分的面积相等列式得到，然后由求解即可．．
∵绿色部分的面积与蓝色部分的面积相等
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴是直角三角形．
【题型2】利用勾股定理的逆定理求解
【典例】在中，，，的对边分别是a，b，c，且，则（ ）
A. B. C. D.不确定哪个角是直角
【答案】A
【解析】∵在中，，，的对边分别是a，b，c，且，
∴．
∴b、c是两直角边，a是斜边，
∴．
故选：A．
【强化训练1】如图是用三块正方形纸片设计的“毕达哥拉斯”图案，其中三块正方形围成的三角形是直角三角形．现有若干块正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，则下列选取中，围成的直角三角形面积最大的是（ ）
A.1，4，5 B.2，3，5 C.3，4，5 D.2，2，4
【答案】B
【解析】解：∵五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，
∴五种正方形纸片的边长分别是1，，，，，
由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，
当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，1＋4＝5，围成的三角形是直角三角形，面积是，
当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，2＋3＝5，围成的三角形是直角三角形，面积是；
当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，2＋2＝4，围成的三角形是直角三角形，面积是，
∵＞1，
∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，
故选：B．
【强化训练2】已知a，b，c是的三边长且，a，b满足关系式，则的最大内角为 ．
【答案】90度/
【解析】由得：，，
解得：，，
∵，
∴，
∴的形状为直角三角形，且，
故答案为：．
【强化训练3】已知：△ABC中 AB=5，BC=2a+1，AC=12
（1） 求a的取值范围
（2） 如果a=6 那么请判断：△ABC是什么三角形？（友情提示：可以按角分类或按边分类）
【答案】（1）解：∵△ABC中，AB＝5，BC＝2a＋1，AC＝12，
∴2a＋1＞12 5，2a＋1＜12＋5，
解得3＜a＜8；
（2）解：当a＝6时，△ABC的三边分别是5、12、13，
∵52＋122＝25＋144＝169＝132，即AB2＋AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形（或不等边三角形）．
【题型3】勾股定理与勾股定理逆定理的综合运用
【典例】如图，四边形ABCD是学校的一块空地，经数学兴趣小组的测量可知，米，米，米，米．为了提高校园的绿化面积，现学校决定在空地内铺草坪，若铺设每平方米草坪需要30元，则将这块空地全部铺满一层草坪的费用是（ ）

A.1080元 B.1530元 C.1800元 D.2160元
【答案】A
【解析】连接，

∵，
∴在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵（元），
∴这块地全部种草的费用是1080元．
故选：A．
【强化训练1】如图，一块四边形，已知，则这块地的面积为（ ）．
A.24 B.30 C.48 D.60
【答案】A
【解析】连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴这块地的面积为：，
故选：A．
【强化训练2】如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接，则在中，

∵，
，
在中，，，
，
，
．
故答案为：A．
【强化训练3】为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地．
（1）若班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为，，，则这块试验基地的面积为
（2）八（2）班的劳动试验基地的三边长分别为，，（如图），则的面积为 ．
【答案】
【解析】（1）解：∵，
∴该三角形为直角三角形，其中为斜边，
∴这块试验基地的面积为，
故答案为：；
（2）解：过作交于点．
设，则．
在和中，
由勾股定理得
，
解得，
在中，由勾股定理得,
∴．
故答案为：．
【强化训练4】在喜迎第七届军运会中，东西湖区加大绿化力度，在五环体育中心有一块空地，如图所示的四边形ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量AB=3m，BC=4m，CD=12m，DA=13m，，若每平方米草皮需要100元，求这块地种植草皮需要投入多少元？

【答案】解：连接AC，

∵，，，
∴，
∵，
∴是直角三角形，，
∴四边形的面积为，
∴学校要投入的资金为（元）．
【强化训练5】学校正在增加绿化区域，种植花草树木，提高校园的绿化覆盖率，准备在四边形的空地上种植花卉，如图所示，，，，，，求四边形的面积．

【答案】解：如图，连接，


，
，
，
是直角三角形，
；
答：四边形的面积为．
【题型4】勾股数
【典例】下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A.2.5、6、6.5 B.3、4、52 C.1、2、 D.5、12、13
【答案】D
【解析】解：A.和不是正整数，则此项不是勾股数，不符题意；
B.，因为，所以这三个数不能构成三角形，则此项不是勾股数，不符题意；
C.不是正整数，则此项不是勾股数，不符题意；
D.都是正整数，且，所以这三个数能够成为直角三角形三条边长，则此项是勾股数，符合题意；
故选：D．
【强化训练1】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别为4，6，3，4，则最大正方形E的面积是（ ）
A.17 B.34 C.77 D.86
【答案】C
【解析】解：如下图：
根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，
S1＝42+62，S2＝32+42，
于是S3＝S1+S2，
即可得S3＝16+36+9+16＝77．
故选：C．
【强化训练2】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积和是9，则正方形D的边长为 ．
【答案】3
【解析】每个正方形的面积=直角三角形各边的平方
再由勾股定理可联立等式
即，又正方形A、B、C的面积和是9
则，所以，所以正方形D的边长为
【强化训练3】在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格：
请回答下列问题：
（1）当n＝7时，a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明．
【答案】解：（1）由图表可以得出：
∵n=2时，a=2×2，b=22-1， c=22+1，
n=3时，a=2×3，b=32-1， c=32+1，
n=4时，a=2×4，b=42-1， c=42+1，
n=5时，a=2×5，b=52-1， c=52+1，
∴n=7时，a=2×7=14，b=72-1=48， c=72+1=50；
故答案为：14，48，50；
（2）由规律可得：a=2n，b=n2-1， c=n2+1；
故答案为：2n，n2-1，n2+1；
（3）以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
证明：∵a2+b2=4n2+（n2-1）2=n4+2n2+1，
c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，
∴a2+b2=c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
【强化训练4】我们把满足方程的正整数，，，称之为“三维勾股数”，如：①，，，；②，，，；③，，，；④，，，；…
（1）已知，，，是“三维勾股数”，请求出，的值．
（2）若，，，是三维勾股数（为正整数），请直接用含的式子分别表示，．
【答案】（1） ，，，是“三维勾股数”，
，
，
由已知数据可知，第一个数比第四个数小2，且第一个数与第四个数的和是中间两数的积，
，且为正整数，
，
解得，
（2），
，
即，
令，
解得，
．沪科版（2024）八年级下册 18.2 勾股定理的逆定理 强化训练
【题型1】判断三边能否构成直角三角形
【典例】以下各组数为三角形的三条边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A.2，，4 B.4，5，6 C.2，3，4 D.1，，
【强化训练1】学了“勾股定理”后，甲、乙两位同学的观点如下：
甲：如果是直角三角形，那么一定成立；
乙：在中，如果，那么不是直角三角形．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A.甲对，乙错 B.甲错，乙对 C.两人都错 D.两人都对
【强化训练2】如果线段能组成一个直角三角形，那么 组成直角三角形．(填“能”或“不能”)．
【强化训练3】如图，以的每一条边为边作三个正方形．已知这三个正方形构成的图形中，绿色部分的面积与蓝色部分的面积相等，则是直角三角形吗？请证明你的判断．
【题型2】利用勾股定理的逆定理求解
【典例】在中，，，的对边分别是a，b，c，且，则（ ）
A. B. C. D.不确定哪个角是直角
【强化训练1】如图是用三块正方形纸片设计的“毕达哥拉斯”图案，其中三块正方形围成的三角形是直角三角形．现有若干块正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，则下列选取中，围成的直角三角形面积最大的是（ ）
A.1，4，5 B.2，3，5 C.3，4，5 D.2，2，4
【强化训练2】已知a，b，c是的三边长且，a，b满足关系式，则的最大内角为 ．
【强化训练3】已知：△ABC中 AB=5，BC=2a+1，AC=12
（1） 求a的取值范围
（2） 如果a=6 那么请判断：△ABC是什么三角形？（友情提示：可以按角分类或按边分类）
【题型3】勾股定理与勾股定理逆定理的综合运用
【典例】如图，四边形ABCD是学校的一块空地，经数学兴趣小组的测量可知，米，米，米，米．为了提高校园的绿化面积，现学校决定在空地内铺草坪，若铺设每平方米草坪需要30元，则将这块空地全部铺满一层草坪的费用是（ ）

A.1080元 B.1530元 C.1800元 D.2160元
【强化训练1】如图，一块四边形，已知，则这块地的面积为（ ）．
A.24 B.30 C.48 D.60
【强化训练2】如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（ ）

A. B. C. D.
【强化训练3】为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地．
（1）若班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为，，，则这块试验基地的面积为
（2）八（2）班的劳动试验基地的三边长分别为，，（如图），则的面积为 ．
【强化训练4】在喜迎第七届军运会中，东西湖区加大绿化力度，在五环体育中心有一块空地，如图所示的四边形ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量AB=3m，BC=4m，CD=12m，DA=13m，，若每平方米草皮需要100元，求这块地种植草皮需要投入多少元？

【强化训练5】学校正在增加绿化区域，种植花草树木，提高校园的绿化覆盖率，准备在四边形的空地上种植花卉，如图所示，，，，，，求四边形的面积．

【题型4】勾股数
【典例】下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A.2.5、6、6.5 B.3、4、52 C.1、2、 D.5、12、13
【强化训练1】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别为4，6，3，4，则最大正方形E的面积是（ ）
A.17 B.34 C.77 D.86
【强化训练2】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积和是9，则正方形D的边长为 ．
【强化训练3】在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格：
请回答下列问题：
（1）当n＝7时，a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明．
【强化训练4】我们把满足方程的正整数，，，称之为“三维勾股数”，如：①，，，；②，，，；③，，，；④，，，；…
（1）已知，，，是“三维勾股数”，请求出，的值．
（2）若，，，是三维勾股数（为正整数），请直接用含的式子分别表示，．

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