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沪科版（2024）八年级下册 19.2 平行四边形 强化训练（参考答案）
【题型1】平行四边形及其相关概念
【典例】给定平面上不在同一直线上的三点、、，过这三点分别作对边的平行线，分别交于、、，图中的平行四边形有 个．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】B
【解析】共有三个平行四边形： ， ， ．故选：．
【强化训练1】观察下列图形，是平行四边形的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】、有一组对边不平行，不符合题意，B、不是四边形，不符合题意，C、四边形是平行四边形，符合题意，D、两组对边都不平行，不符合题意，故选C．
【强化训练2】如图，在 中，有一条线段，且交于点，交于点，则图中有多少个平行四边形( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得， ， ， ，共个．
故选C．
【强化训练3】我们知道，两组对边分别__________的四边形叫做平行四边形．如图所示，点，，分别在△的边，，上，且，，，则图中共有__________个平行四边形，分别是_________．
【答案】平行；； 、 、
【解析】两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；图中共有个平行四边形，它们分别是 ．理由如下：，，，，，四边形是平行四边形；同理可证，四边形是平行四边形；四边形是平行四边形．故答案为平行；； 、 、 ．
【强化训练4】在四边形中，若， ，则四边形为平行四边形．
【答案】
【解析】由两组对边分别平行得四边形是平行四边形，得．故答案为：
【强化训练5】在所给的方格中，每个小正方形的边长都是，按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上．
在图中画一个平行四边形，使它的周长是整数．
在图中画一个平行四边形，使它的周长不是整数．
【答案】解：画图如下图，画一个长为，宽为的矩形，此平行四边形的周长为，周长是整数；答案不唯一画图如下图，画一个两邻边长为和的平行四边形，此平行四边形的周长为，周长不是整数答案不唯一
【题型2】由平行四边形的性质求边
【典例】在平行四边形中，对角线，相交于点O，，，M为中点，则线段的取值不可能为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：延长，使，连接，如图所示：
四边形是平行四边形，
∴，，
∵M为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的长度不可能是，
故选：D．
【强化训练1】如图，平行四边形 的对角线相交于点O，M为边上一点，且，N为的中点，连接，若平分，则平行四边形的周长为（ ）
A.18 B.24 C.20 D.22
【答案】C
【解析】解：∵平行四边形 的对角线相交于点O，
∴，
∵N为的中点，
∴是的中位线，
∴,
∵，
∴，
∵平分，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
∴平行四边形的周长为，
故选：C
【强化训练2】在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为AD的中点，如果 ABCD周长为20，OE＝2，那么BC＝　　．
【答案】6．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵点E为AD的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
∴CD＝2OE＝4，
∵ ABCD周长为20，
∴BC+CD＝10，
∴BC＝6，
故答案为：6．
【强化训练3】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BE平分∠ABC交CD边于点E，且DE＝2，求BC的长．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝5，
∴CD＝AB＝5，CD∥AB，
∴∠ABE＝∠CEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠CEB＝∠CBE，
∴BC＝CE，
又∵DE＝2，
∴BC＝CE＝CD﹣DE＝5﹣2＝3．
【强化训练4】如图， ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC＝14cm，BD＝8cm，BC＝10cm．求△BOC的周长．
【答案】解：∵ ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC＝14cm，BD＝8cm，
∴OC＝OAAC14＝7（cm），OB＝ODBD8＝4（cm），
∵BC＝10cm，
∴OB+OC+BC＝4+7+10＝21（cm），
∴△BOC的周长是21cm．
【题型3】由平行四边形的性质求角
【典例】如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线BE与CD边相交于点E．若∠A＝44°，则∠BEC的度数为（　　）
A.68° B.44° C.56° D.88°
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝44°，
∴∠ABC＝136°，AB∥CD，
∴∠BEC＝∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE∠ABC＝68°＝∠BEC，
故选：A．
【强化训练1】在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故选：C．

【强化训练2】在 ABCD中，∠A+∠C＝120°，则∠A＝　 　°．
【答案】60．
【解析】在 ABCD中，∠A＝∠C，
若∠A+∠C＝120°，
则∠A＝120°÷2＝60°，
故答案为：60．
【强化训练3】如图，E为 ABCD外一点，且EB⊥BC，ED⊥CD，若∠A＝110°，则∠E的度数为 　 　．
【答案】70°．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝110°，
∴∠C＝∠A＝110°，
∵EB⊥BC，ED⊥CD，
∴∠CBE＝∠CDE＝90°，
∵∠E＝360°﹣∠C﹣∠CBE﹣∠CDE＝360°﹣110°﹣90°﹣90°＝70°，
故答案为：70°．
【强化训练4】（2024春 宁江区月考）如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于点E，若∠DAE＝20°，求∠C、∠B的度数．
【答案】解：∵∠BAD的平分线AE交DC于点E，
∴∠EAB＝∠DAE＝20°，即∠DAB＝40°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠C＝∠DAB，AD//BC，
∴∠C＝∠DAB＝40°，∠DAB+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣∠DAB＝180°﹣40°＝140°．
【题型4】平行四边形性质的综合应用
【典例】如图，在 ABCD中，下列说法一定正确的是（　　）
A.AC＝BD B.AC⊥BD C.AB＝CD D.AB＝BC
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD；
故选：C．
【强化训练1】如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，2），（﹣4，﹣4），（4，﹣4），则顶点D的坐标是（　　）
A.（﹣8，2） B.（8，﹣4） C.（4，2） D.（8，2）
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∵ ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（﹣4，﹣4）、（4，﹣4），
∴BC＝8，OA＝2，
∴顶点D的坐标为（8，2）．
故选：D．
【强化训练2】 如图，四边形ABCD是平行四边形，若平行四边形ABCD的面积是12，则阴影部分的面积＝　 　．
【答案】3．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OB＝OD，，
∴∠ODE＝∠OBF，∠DEO＝∠BFO，，
∴△DOE≌△BOF（AAS），
∴S△DOE＝S△BOF，
∴阴影部分的面积等于S△BOF+S△COE＝S△DOE+S△COE＝S△COD＝3．
故答案为：3．
【强化训练3】如图，在 ABCD中，AB＝5，∠ABC与∠BCD的平分线交于点E，若点E恰好在AD边上，则CE2+BE2的值为 　 　．
【答案】100．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝5，
∴DC＝AB＝3，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠AEB＝∠CBE，∠DEC＝∠DCE，∠ABC+∠DCB＝180°，
∵∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，点E恰好在AD边上，
∴∠ABE＝∠CBE∠ABC，∠DCE＝∠BCE∠DCB，
∴∠AEB＝∠ABE，∠DEC＝∠DCE，∠CBE+∠BCE（∠ABC+∠DCB）＝90°，
∴AE＝AB＝5，DE＝DC＝5，∠BEC＝180°﹣（∠CBE+∠BCE）＝90°，
∴BC＝AD＝AE+DE＝5+5＝10，
∴CE2+BE2＝BC2＝102＝100，
故答案为：100．
【题型5】两平行线之间的距离
【典例】如图，，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为，，上的动点，连接AB、AC、BC，AC与交于点D，，则BD的最小值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】A
【解析】解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，
此时，AD=CD，∠ABC=90°，
∴BD=AD=BD=AC=2，
∴BD的最小值为2．
故选：A．
【强化训练1】如图，点、的坐标分别为、，点是第一象限内直线上的一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（ ）

A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.先减小后增大 D.不变
【答案】D
【解析】解：连接，
点、的坐标分别为、，
设所在直线解析式为：，
，
解得：，
所在直线解析式为：，
点是第一象限内直线上的一个动点，
两直线平行，
到直线的距离是定值，
是定值，是定值，到直线的距离是定值，
当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积不变．
故选：D．
【强化训练2】在平面直角坐标系中，直线平行于y轴．若点A的坐标为，则点B的坐标可以是 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】解：∵直线与y轴平行，
∴点A和点B的横坐标相等，纵坐标不相等，
故答案为：（答案不唯一）．
【强化训练3】公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15m，AD＝12m，AC⊥BC，求：
（1）小路BC，CD，OC的长；
（2）计算出绿地的面积；
（3）AB、CD之间的距离．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，AO＝CO，
∴BC＝AD＝12m，CD＝AB＝15m，
∵AC⊥BC，
∴AC9（m），
∴AO＝CO＝4.5m；
（2）绿地的面积为：BC×AC＝12×9＝108（m2）；
（3）设AB、CD之间的距离为xm，
∵绿地的面积为：108m2，
∴CD×x＝108，
解得：x＝7.2．
【题型6】添加条件判断是否为平行四边形
【典例】如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，添加下列条件后，仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A.BC＝AD B.AB∥CD C.AB＝CD D.∠A+∠D＝180°
【答案】C
【解析】∵BC∥AD，BC＝AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，故本选项正确，不符合题意；
B．∵BC∥AD，AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，故本选项正确，不符合题意；
C．AB＝CD，BC∥AD
不能判定四边形ABCD为平行四边形，故本选项符合题意；
D．∵∠A+∠D＝180°，
∴AB∥CD，
∵BC∥AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，故本选项正确，不符合题意；
故选：C．
【强化训练1】如下是不完整的推理过程：
证明∶∵，
∴．
∵_______________，
∴四边形 是平行四边形．
若要保证推理成立，在横线上添加的条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：对边平行且相等的四边形是平行四边形，
故横线上添加的条件可以是，
故选∶C．
【强化训练2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，现在请你添加一个适当的条件：　 　，使得四边形AECF为平行四边形（图中不再添加点和线）．
【答案】BE=DF
【解析】添加的条件：BE＝DF．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF
又∵BE＝DF
∴△ABE≌△CDF
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD
∴∠AEF＝∠EFC
∴AE∥FC
∴四边形AECF为平行四边形．“答案不唯一”
故答案为：BE＝DF．
【强化训练3】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AO＝CO，添加条件 　，可得四边形ABCD为平行四边形（只需添加一个条件）．
【答案】DO＝BO．
【解析】添加条件DO＝BO，
证明：∵AO＝CO，DO＝BO，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故答案为：DO＝BO．
【题型7】根据给出的条件判断是否为平行四边形
【典例】如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A.， B.， C.， D.，
【答案】A
【解析】解：A．，，
根据，，可能得出四边形可能是等腰梯形，不一定能推出四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
B．，，
根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C．，，
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D．，，
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【强化训练1】如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A.AB＝CD B.AB∥CD C.∠A＝∠C D.BC＝AD
【答案】A
【解析】当BC∥AD，AB＝CD时，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
当AB∥CD，BC∥AD时，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故B选项不合题意；
当BC∥AD，∠A＝∠C时，可得AB∥DC，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故C选项不合题意；
当BC∥AD，BC＝AD时，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故D选项不合题意；
故选：A．
【强化训练2】如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A.AB∥DC，AD∥BC B.AB＝DC，AD＝BC C.AO＝CO，BO＝DO D.AB＝DC，AD∥BC
【答案】D
【解析】A、AB∥DC，AD∥BC可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、AB＝DC，AD＝BC可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
C、AO＝CO，BO＝DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、AB∥DC，AD＝BC不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
故选：D．
【强化训练3】下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 　　（填序号）．
①AB＝CD，AD＝BC；②AD＝BC，AD∥BC；③AB＝CD，∠B＝∠D；④OA＝OC，OB＝OD．
【答案】③．
【解析】①∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
②∵AD＝BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
③AB＝CD，∠B＝∠D不能判定四边形ABCD是平行四边形，符合题意；
④∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
故答案为：③．
【强化训练4】小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置，这时四边形ABB1A1就是平行四边形．小明这样做的依据是 　 　．
【答案】有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【解析】∵将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置，
∴A1B1＝AB，A1B1∥AB，
∴四边形ABB1A1是平行四边形，
∴小明这样做的依据是有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
故答案为：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【强化训练5】如图，在四边形ABCD中，BC＝12，OA＝OC＝13，BD＝10，∠CBD＝90°，求证：四边形ABCD为平行四边形．
【答案】证明：∵∠CBD＝90°，BC＝12，OA＝OC＝13，
∴BO5，
∵BD＝10，
∴DO＝10﹣5＝5，
∴BO＝DO，
又∵AO＝CO，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【题型8】动点问题中判断平行四边形
【典例】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为（　　）秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形
A.1 B.1.5 C.1或3.5 D.1.5或2
【答案】C
【解析】∵E是BC的中点，
∴BE＝CEBC＝8，
由题意可知：AP＝t，则DP＝6﹣t，CQ＝3t，
①当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，
∴3t﹣8＝6﹣t，
解得：t＝3.5；
②当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，
∴8﹣3t＝6﹣t，
解得：t＝1，
∴当运动时间t为1秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，
故选：C．
【强化训练1】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（　　）
A. B.3 C.3或 D.或
【答案】D
【解析】①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝9+3t﹣12，解得t，
②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝12﹣9﹣3t，解得t，
综上所述，t或时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
故选：D．
【强化训练2】如图，直线l1∥l2，它们间的距离为2，在直线l1下方有一定点A，到l2的距离为1，点B、D分别是l1、l2上的动点，平面内一点C与A、B、D三点构成 ABCD，则对角线AC长度的最小值是（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B
【解析】如图，连接AB，AD，BD，取BD中点O，连接AO，延长AO作OC＝AO，连接CD，CB，如图做三角形OAN，使∠ANO＝90°，
此时四边形ABCD是平行四边形，
∵直线l1∥l2，它们间的距离为2，
∴O到l1l2的距离均为1，
∵点A到l1的距离为1
∴ON＝2，
由图可知AO≥ON，
∴AOmin＝ON＝2，
∴ACmin＝2AO＝4，
故选：B．
【强化训练3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝4cm，BC＝9cm．动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以1cm/s的速度向终点A运动，点Q以2cm/s的速度向终点C运动，　
　 秒时四边形CDPQ是平行四边形？
【答案】3
【解析】设t秒后，四边形CDPQ是平行四边形，
∴PD＝t cm，CQ＝（9﹣2t）cm，
∵AD∥BC，
∴当PD＝CQ时，四边形CDPQ是平行四边形，
∴t＝9﹣2t，
∴t＝3，
∴3秒时四边形CDPQ是平行四边形．
故答案为：3．
【强化训练4】如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时分别从A，C两点出发，分别沿AB，CB匀速运动，其中点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当点Q到达点B时，P，Q两点都停止运动，作QR∥BA交AC于点R，连接PR，设运动时间为t（s），当t为何值时，四边形PRQB是平行四边形？
【答案】解：∵点P的运动速度是每秒1cm，点Q的运动速度是每秒2cm，
∴PB＝（6﹣t）cm，CQ＝2t cm，
∵△ABC是等边三角形，RQ∥BA，
∴△RQC是等边三角形，
∴QR＝CQ＝2t cm，
∵只要使PB＝RQ时，四边形PRQB是平行四边形，
即6﹣t＝2t，
得t＝2，
∴当t为2时，四边形PRQB是平行四边形．
[点评]本题考查了平行四边形的判定与性
【题型9】坐标系中的平行四边形
【典例】在平面直角坐标系中，以A（1，1），B（3，0），C（﹣1，0）为顶点构造平行四边形，下列各点不能作为平行四边形顶点的是（　　）
A.（5，1） B.（0，﹣2） C.（﹣3，1） D.（1，﹣1）
【答案】B
【解析】如图所示：
①以AC为对角线，可以画出 AFCB，F（﹣3，1）；
②以AB为对角线，可以画出 ACBE，E（5，1）；
③以BC为对角线，可以画出 ACDB，D（1，﹣1）；
故选：B．
【强化训练1】在平面直角坐标系中，以A（0，2），B（﹣1，0），C（0．﹣2），D为顶点构造平行四边形，下列各点中，不能作为顶点D的坐标是（　　）
A.（﹣1，4） B.（﹣1，﹣4） C.（﹣2，0） D.（1，0）
【答案】C
【解析】若以AB为对角线，则BD∥AC，BD＝AC＝4，
∴D（﹣1，4）
若以BC为对角线，则BD∥AC，BD＝AC＝4，
∴D（﹣1，﹣4）
若以AC为对角线，B，D关于y轴对称，
∴D（1，0）
故选：C．
【强化训练2】如图，在平面直角坐标系中，点A、B、D的坐标分别为（﹣2，3），（﹣4，﹣1），（3，3），要在第四象限内找到一点C，使四边形ABCD是平行四边形，则点C的坐标是（　　）
A.（2，﹣1） B.（1，﹣2） C.（1，﹣1） D.（2，﹣2）
【答案】C
【解析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得C（1，﹣1），
故选：C．
【强化训练3】如图，平面直角坐标系xOy中，点A（2，3），B（3，0），C（m，n）其中m＞0，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为　 　．
【答案】（5，3）或（1，﹣3）．
【解析】①当四边形OACB是平行四边形时，OC交AB于E．则AE＝EB，OE＝EC．
∵点A（2，3），B（3，0），
∴E（，），
∴C（5，3），
②当四边形OABC′是平行四边形时，OB交AC′于F，则OF＝FB，FA＝FC′，
∵B（3，0），
∴F（，0），
∴，0，
∴m＝1，n＝﹣3，
∴C（1，﹣3），
故答案为（5，3）或（1，﹣3）．
【强化训练4】如图，在直角坐标系中，四边形OABC的顶点O、A、C的坐标分别是（0，0）、（5，0）、（2，3），当点B的坐标为　 　时，四边形OABC是平行四边形．
【答案】(7,3)
【解析】分别过点C、B作CE⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点D，
∵（2，3），
∴OE＝2，CE＝3．
∵四边形ABCD是平行四变形，
∴OC＝AB，BC∥OA，
∴CE＝BD，
在△OCE与△ABD中，
∵，
∴△OCE≌△ABD（HL），
∴BD＝CE＝3，OE＝AD＝2．
∵A（5，0），
∴OA＝5，
∴OD＝OA+AD＝5+2＝7，
∴B（7，3）．
【强化训练5】四边形ABCD在坐标系中的坐标为A（8，0），B（6，4），C（0，4），O（0，0），P点在CB上从C点向B点运动，运动速度为每秒2个单位；Q点在AO上从A点向O点运动，运动速度为每秒3个单位，P点和Q点同时运动，其中一点达到终点另一点随即停止运动，设运动时间为t秒
（1）当t为何值时四边形ABPQ为平行四边形？
（2）当t为何值时，△AQP是以AQ为底边的等腰三角形？
【答案】解：（1）如图1：由题意得：CP＝2t，AQ＝3t，则PB＝6﹣2t，
当PB＝AQ时，四边形ABPQ为平行四边形，
故6﹣2t＝3t，
解得：t，
答：t为四边形ABPQ为平行四边形；
（2）过P作PD⊥AO，过Q作QF⊥BC，
∵△AQP是以AQ为底边的等腰三角形，
∴DQ＝ADQA，
∵AQ＝3t，
∴DQ＝1.5t，QO＝8﹣3t，
∵CP＝2t，
∴FP＝2t﹣（8﹣3t）＝5t﹣8，
∴5t﹣8＝1.5t，
解得：t．
【题型10】平行四边形的判定和性质的综合运用
【典例】如图，在正方形中，分别是正方形各边的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵是正方形，
∴
∵分别是正方形各边的中点
∴
∴，故A正确；
∵且
∴四边形是平行四边形
∴，故B正确；
∵
∴
∴
即：
同理得
∵
∴
∴
∴，故C正确；
由以上推理过程可同理得：
由C得：
∵为的中点，
∴
∴
同理得：
∴
∴，故D错误；
故选：D．
【强化训练1】如图，已知四边形ABCD的面积为8cm2，AB∥CD，AB＝CD，E是AB的中点，那么△AEC的面积是（　　）
A.4cm2 B.3cm2 C.2cm2 D.1cm2
【答案】C
【解析】∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ADC＝S△ABC8＝4，
∵E是AB的中点，
∴S△AECS△ABC4＝2cm2，
故选：C．
【强化训练2】如图，在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等积点．已知点．

（1）在，，中，点P的等积点是 ．
（2）点Q是点P的等积点，点C在x正半轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为 ．
【答案】
【解析】（1）解：根据题意得，
因为，所以不是点P的等积点，
因为，所以是点P的等积点，
因为，所以不是点P的等积点，
故答案为：；
（2）解：如图1所示：

设，则，即，
可知点Q在直线上，且，
作轴于点D，轴于点F，则，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，，
若点Q在x轴上方，则，即，
所以；
当点Q在x轴上方时，则，即，
所以；
因为点C在x正半轴上，
所以点C的坐标为，
故答案为：．
【强化训练3】如图，四边形，，，，，点E为中点，则的长为 ．
【答案】13
【解析】解：取的中点F，连接，
∵分别是的中点，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∴．
中，，
∴，．
∴．
∴．
故答案为：13
【强化训练4】已知 ABCD，O是对角线AC与BD的交点，OE是△ABC的中位线，联结AE并延长与DC的延长线交于点F，联结BF．求证：四边形ABFC是平行四边形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD 且AB＝CD，
∵OE是△ABC的中位线，
∴E是BC的中点，
∴BE＝EC，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠FCE，
在△ABE和△CFE中，
，
∴△ABE≌△CFE（ASA），
∴AB＝CF，
∵AB∥CD 即AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形．
【题型11】根据三角形中位线定理求边长
【典例】如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（　　）
A.8 B.10 C.12 D.14
【答案】C
【解析】∵点D、E分别是边AB，BC的中点，
∴DE是三角形BC的中位线，AB＝2BD，BC＝2BE，
∴DE∥BC且DEAC，
又∵AB＝2BD，BC＝2BE，
∴AB+BC+AC＝2（BD+BE+DE），
即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍，
∵△DBE的周长是6，
∴△ABC的周长是：6×2＝12．
故选：C．
【强化训练1】如图，四边形，已知对角线相交于点，且，点分别依次为四边形的边的中点，则四边形的周长为（ ）
A. B. C. D.无法确定
【答案】B
【解析】解：根据题意，在中，点为的中点，
∴，
同理，在中，，
在中，，
在中，，
∵四边形的周长为，
∵，
∴四边形的周长为，
故选：B ．
【强化训练2】如图所示，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，且AB＝10，AC＝14，BC＝16，则DE等于（　　）
A.5 B.7 C.8 D.12
【答案】C
【解析】∵D，E分别是AB，AC的中点
∴DEBC＝8．
故选：C．
【强化训练3】已知Rt△ABC中，∠C＝90°，点E、F分别是边AC、AB的中点，如果AB长为26，AC：CB＝12：5，那么中位线EF的长为 　 　．
【答案】5．
【解析】设AC＝12x，则CB＝5x，
由勾股定理得：AC2+CB2＝AB2，即（12x）2+（5x）2＝262，
解得：x＝2（负值舍去），
∴CB＝5x＝10，
∵点E、F分别是边AC、AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EFCB＝5，
故答案为：5．
【强化训练4】如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC上的中点，AB＝5，CD＝7．求四边形EFGH的周长．
【答案】解：∵E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC上的中点，AB＝5，CD＝7．
∴EF∥AB，GH∥AB，EF＝2.5，EH＝3.5，
同理EH∥CD，FG∥CD，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴四边形EFGH的周长＝2（EF+EH）＝2×6＝12．
【强化训练5】如图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D是斜梁AB的中点，BC、DE垂直于横梁AC，AB=8cm，则立柱BC，DE要多长？
【答案】∵BC⊥AF,∠A=30°，
∴BC=AB=4m，
∵BC、DE垂直于横梁AC，
∴DE∥BC，又D是AB的中点，
∴DE=BC=2m，
答：立柱BC要4m，DE要2m.
【题型12】根据三角形中位线定理求角的度数
【典例】如图，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，BE，若∠ADE＝80°，BE是∠ABC的平分线，则∠BED的度数是（　　）
A.55° B.50° C.45° D.40°
【答案】D
【解析】∵△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC＝80°，∠DEB＝∠EBC，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠EBC∠ABC＝40°，
∴∠BED＝40°．
故选：D．
【强化训练1】如图，在四边形中，、分别是边、的中点，且，，，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：连接，

∵、分别是边、的中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【强化训练2】如图，在中，，，点D，E分别是，的中点，连接，，若，则：
（1）的度数为 ；
（2）的周长是 ．

【答案】/90度
【解析】解：（1）∵点D，E分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
又∵，，
∴
∴
又∵
∴
（2）∵即是直角三角形，点D是的中点，
∴，
的周长是：．
故答案为：（1）（2）
【强化训练3】在等腰三角形ABC中，AC为腰，O为BC的中点，D为AB的中点，∠C＝30°，则∠ADO的度数是 　 　．
【答案】60°或105°．
【解析】当AB＝AC，∠C＝30°时，∠B＝∠C＝30°，
则∠A＝180°﹣30°×2＝120°，
当BC＝AC，∠C＝30°时，∠A＝∠B＝75°，
∵O为BC的中点，D为AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠ADO+∠A＝180°，
∴∠ADO为60°或105°，
故答案为：60°或105°．
【强化训练4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC外一点，使∠DAC＝∠BAC，E为BD的中点，∠ABC＝60°，求∠ACE的度数．
【答案】解：延长AD、BC交于F．
∵在△ABC与△AFC中，
，
∴△ABC≌△AFC（ASA），
∴BC＝FC，∠F＝∠ABC＝60°，
∴∠CAF＝30°，
∵E为BD的中点，
∴EC∥AF，
∴∠ACE＝∠CAF＝30°．
【强化训练5】如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，D为垂足，E为AC的中点．
（1）求证：DE∥BC；
（2）求证：DE（BC﹣AB）；
（3）若∠ABC＝72°，求∠ADE的度数．
【答案】（1）证明：如图，延长AD交BC于F，
∵BD平分∠ABC，AD⊥BD，
∴AB＝BF，AD＝DF，
又∵E为AC的中点，
∴DE是△ACF的中位线，
∴DE∥BC；
（2）证明：∵AB＝BF，
∴FC＝BC﹣AB，
∵DE是△ACF的中位线，
∴DE（BC﹣AB）；
（3）解：∵∠ABC＝72°，
∴∠AFB（180°﹣72°）＝54°，
∴∠AFC＝126°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠AFC＝126°．
【题型13】根据三角形中位线定理求面积
【典例】如图，在△ABC中，点D是BC边上任一点，点F，G，E分别是AD，BF，CF的中点，连接GE，若△FGE的面积为8，则△ABC的面积为（　　）
A.32 B.48 C.64 D.72
【答案】C
【解析】∵G，E分别是BF，CF的中点，
∴GE是△BFC的中位线，
∴GEBC，
∵△FGE的面积为8，
∴△BFC的面积为32，
∵点F是AD的中点，
∴S△ABF＝S△BDF，S△FDC＝S△AFC，
∴△ABC的面积＝2△BFC的面积＝64，
故选：C．
【强化训练1】如图，点D，E，F分别是三角形ABC的三条边的中点，若△DEF的面积是1，则△ABC的面积是（　　）
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】A
【解析】∵点D，E，F分别是三角形ABC的三条边的中点，
∴DE∥AF，且DE＝AF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴S△ADF＝S△DEF，
同理，S△BDE＝S△DEF，S△CEF＝S△DEF，
∴S△ABC＝4S△DEF＝4．
故选：A．
【强化训练2】如图，EF是△ABC的中位线，点O是EF上一点，且满足OE＝2OF，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为（　　）
A.2：1 B.3：2 C.5：3 D.3：1
【答案】D
【解析】∵EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，EFBC，
∵OE＝2OF，
∴OEBCBC，
设点A到BC的距离为h，
则S△ABCBC h，S△AOCOE hBC hBC h，
∴△ABC的面积与△AOC的面积之比＝3：1．
故选：D．
【强化训练3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D、E分别为AC、BC的中点，DE＝2，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于点F，则四边形ABFD的面积为 　．
【答案】8
【解析】∵D、E分别为AC、BC的中点，
即DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DEAB，
∴AB＝2DE，DF∥AB，
又∵BF∥AC，
∴BF∥AD，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∵AB⊥BE，
∴S平行四边形ABFD＝AB BE，
∵DE＝2，
∴AB＝2×2＝4，
在Rt△ABC中，
∵∠C＝30°，
∴AC＝2AB＝2×4＝8，
∴BC4，
∴BEBC＝2，
∴S平行四边形ABFD＝4×28，
故答案为8．
【强化训练4】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，DE是△ABC的中位线，BF，CG分别平分∠ABC和∠ACB，与DE交于点F，G（点G在点F的左侧），若GF＝1，BC＝6，则△ABC的面积是 　　．
【答案】7．
【解析】∵DE是△ABC的中位线，BC＝6，
∴DEBC＝3，DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EGC＝∠BCG，
∵BF，CG分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECG＝∠BCG，
∴∠DFB＝∠DBF，∠EGC＝∠ECG，
∴BD＝DF，CE＝EG，
∵DE＝3，GF＝1，
∴BD+CE＝DF+EG＝4，
∵DE是△ABC的中位线，
∴AB+AC＝8，
在Rt△ABC中，AB2+AC2＝BC2＝36，
∴2AB AC＝（AB+AC）2﹣（AB2+AC2）＝64﹣36＝28，
∴S△ABCAB AC＝7，
故答案为：7．
【强化训练5】在 ABCD中，AB⊥AC，点O为AC的中点，点E、M分别为AB、CE上的点，连接MO并延长至点N，使MO＝NO．
(1)判断四边形AMCN的形状，并加以证明；
(2)当点M为CE中点时，请判断AC和MN之间的位置关系，并加以证明；
(3)在（2）的条件下，若∠B＝60°，AB＝4，点E为AB中点，求四边形AMCN的面积．
【答案】（1）解：∵四边形AMCN是平行四边形，理由如下：
∵点O为AC的中点
∴OA=OC，
∵MO=NO，
∴四边形AMCN是平行四边形．
（2）解：当点M为CE中点时，AC和MN之间的位置关系为AC⊥MN，证明如下：
∵M为CE的中点，点O为AC的中点
∴OM为△ACE的中位线
∴OMAB
∵AB⊥AC
∴OM⊥AC，即AC⊥MN．
（3）解：∵AB⊥AC
∴∠BAC=90°
∵∠B=60°
∴∠ACB=90°-60°=30°
∵AB=4
∴BC=2AB=8
∴
∵点E为AB中点
∴AE=AB=2
∵OM为△ACE的中位线
∴OM=AE=1
∵OM⊥AC
∴
∴
∴四边形AMCN的面积为．沪科版（2024）八年级下册 19.2 平行四边形 强化训练
【题型1】平行四边形及其相关概念
【典例】给定平面上不在同一直线上的三点、、，过这三点分别作对边的平行线，分别交于、、，图中的平行四边形有 个．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【强化训练1】观察下列图形，是平行四边形的是( )
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，在 中，有一条线段，且交于点，交于点，则图中有多少个平行四边形( )
A. B. C. D.
【强化训练3】我们知道，两组对边分别__________的四边形叫做平行四边形．如图所示，点，，分别在△的边，，上，且，，，则图中共有__________个平行四边形，分别是_________．
【强化训练4】在四边形中，若， ，则四边形为平行四边形．
【强化训练5】在所给的方格中，每个小正方形的边长都是，按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上．
在图中画一个平行四边形，使它的周长是整数．
在图中画一个平行四边形，使它的周长不是整数．
【题型2】由平行四边形的性质求边
【典例】在平行四边形中，对角线，相交于点O，，，M为中点，则线段的取值不可能为（　　）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，平行四边形 的对角线相交于点O，M为边上一点，且，N为的中点，连接，若平分，则平行四边形的周长为（ ）
A.18 B.24 C.20 D.22
【强化训练2】在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为AD的中点，如果 ABCD周长为20，OE＝2，那么BC＝　　．
【强化训练3】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BE平分∠ABC交CD边于点E，且DE＝2，求BC的长．
【强化训练4】如图， ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC＝14cm，BD＝8cm，BC＝10cm．求△BOC的周长．
【题型3】由平行四边形的性质求角
【典例】如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线BE与CD边相交于点E．若∠A＝44°，则∠BEC的度数为（　　）
A.68° B.44° C.56° D.88°
【强化训练1】在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】在 ABCD中，∠A+∠C＝120°，则∠A＝　 　°．
【强化训练3】如图，E为 ABCD外一点，且EB⊥BC，ED⊥CD，若∠A＝110°，则∠E的度数为 　 　．
【强化训练4】（2024春 宁江区月考）如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于点E，若∠DAE＝20°，求∠C、∠B的度数．
【题型4】平行四边形性质的综合应用
【典例】如图，在 ABCD中，下列说法一定正确的是（　　）
A.AC＝BD B.AC⊥BD C.AB＝CD D.AB＝BC
【强化训练1】如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，2），（﹣4，﹣4），（4，﹣4），则顶点D的坐标是（　　）
A.（﹣8，2） B.（8，﹣4） C.（4，2） D.（8，2）
【强化训练2】 如图，四边形ABCD是平行四边形，若平行四边形ABCD的面积是12，则阴影部分的面积＝　 　．
【强化训练3】如图，在 ABCD中，AB＝5，∠ABC与∠BCD的平分线交于点E，若点E恰好在AD边上，则CE2+BE2的值为 　 　．
【题型5】两平行线之间的距离
【典例】如图，，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为，，上的动点，连接AB、AC、BC，AC与交于点D，，则BD的最小值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【强化训练1】如图，点、的坐标分别为、，点是第一象限内直线上的一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（ ）

A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.先减小后增大 D.不变
【强化训练2】在平面直角坐标系中，直线平行于y轴．若点A的坐标为，则点B的坐标可以是 ．（写出一个即可）
【强化训练3】公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15m，AD＝12m，AC⊥BC，求：
（1）小路BC，CD，OC的长；
（2）计算出绿地的面积；
（3）AB、CD之间的距离．
【题型6】添加条件判断是否为平行四边形
【典例】如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，添加下列条件后，仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A.BC＝AD B.AB∥CD C.AB＝CD D.∠A+∠D＝180°
【强化训练1】如下是不完整的推理过程：
证明∶∵，
∴．
∵_______________，
∴四边形 是平行四边形．
若要保证推理成立，在横线上添加的条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，现在请你添加一个适当的条件：　 　，使得四边形AECF为平行四边形（图中不再添加点和线）．
【强化训练3】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AO＝CO，添加条件 　，可得四边形ABCD为平行四边形（只需添加一个条件）．
【题型7】根据给出的条件判断是否为平行四边形
【典例】如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A.， B.， C.， D.，
【强化训练1】如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A.AB＝CD B.AB∥CD C.∠A＝∠C D.BC＝AD
【强化训练2】如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A.AB∥DC，AD∥BC B.AB＝DC，AD＝BC C.AO＝CO，BO＝DO D.AB＝DC，AD∥BC
【强化训练3】下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 　　（填序号）．
①AB＝CD，AD＝BC；②AD＝BC，AD∥BC；③AB＝CD，∠B＝∠D；④OA＝OC，OB＝OD．
【强化训练4】小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置，这时四边形ABB1A1就是平行四边形．小明这样做的依据是 　 　．
【强化训练5】如图，在四边形ABCD中，BC＝12，OA＝OC＝13，BD＝10，∠CBD＝90°，求证：四边形ABCD为平行四边形．
【题型8】动点问题中判断平行四边形
【典例】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为（　　）秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形
A.1 B.1.5 C.1或3.5 D.1.5或2
【强化训练1】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（　　）
A. B.3 C.3或 D.或
【强化训练2】如图，直线l1∥l2，它们间的距离为2，在直线l1下方有一定点A，到l2的距离为1，点B、D分别是l1、l2上的动点，平面内一点C与A、B、D三点构成 ABCD，则对角线AC长度的最小值是（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
【强化训练3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝4cm，BC＝9cm．动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以1cm/s的速度向终点A运动，点Q以2cm/s的速度向终点C运动，　
　 秒时四边形CDPQ是平行四边形？
【强化训练4】如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时分别从A，C两点出发，分别沿AB，CB匀速运动，其中点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当点Q到达点B时，P，Q两点都停止运动，作QR∥BA交AC于点R，连接PR，设运动时间为t（s），当t为何值时，四边形PRQB是平行四边形？
【题型9】坐标系中的平行四边形
【典例】在平面直角坐标系中，以A（1，1），B（3，0），C（﹣1，0）为顶点构造平行四边形，下列各点不能作为平行四边形顶点的是（　　）
A.（5，1） B.（0，﹣2） C.（﹣3，1） D.（1，﹣1）
【强化训练1】在平面直角坐标系中，以A（0，2），B（﹣1，0），C（0．﹣2），D为顶点构造平行四边形，下列各点中，不能作为顶点D的坐标是（　　）
A.（﹣1，4） B.（﹣1，﹣4） C.（﹣2，0） D.（1，0）
【强化训练2】如图，在平面直角坐标系中，点A、B、D的坐标分别为（﹣2，3），（﹣4，﹣1），（3，3），要在第四象限内找到一点C，使四边形ABCD是平行四边形，则点C的坐标是（　　）
A.（2，﹣1） B.（1，﹣2） C.（1，﹣1） D.（2，﹣2）
【强化训练3】如图，平面直角坐标系xOy中，点A（2，3），B（3，0），C（m，n）其中m＞0，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为　 　．
【强化训练4】如图，在直角坐标系中，四边形OABC的顶点O、A、C的坐标分别是（0，0）、（5，0）、（2，3），当点B的坐标为　 　时，四边形OABC是平行四边形．
【强化训练5】四边形ABCD在坐标系中的坐标为A（8，0），B（6，4），C（0，4），O（0，0），P点在CB上从C点向B点运动，运动速度为每秒2个单位；Q点在AO上从A点向O点运动，运动速度为每秒3个单位，P点和Q点同时运动，其中一点达到终点另一点随即停止运动，设运动时间为t秒
（1）当t为何值时四边形ABPQ为平行四边形？
（2）当t为何值时，△AQP是以AQ为底边的等腰三角形？
【题型10】平行四边形的判定和性质的综合运用
【典例】如图，在正方形中，分别是正方形各边的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，已知四边形ABCD的面积为8cm2，AB∥CD，AB＝CD，E是AB的中点，那么△AEC的面积是（　　）
A.4cm2 B.3cm2 C.2cm2 D.1cm2
【强化训练2】如图，在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等积点．已知点．

（1）在，，中，点P的等积点是 ．
（2）点Q是点P的等积点，点C在x正半轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为 ．
【强化训练3】如图，四边形，，，，，点E为中点，则的长为 ．
【强化训练4】已知 ABCD，O是对角线AC与BD的交点，OE是△ABC的中位线，联结AE并延长与DC的延长线交于点F，联结BF．求证：四边形ABFC是平行四边形．
【题型11】根据三角形中位线定理求边长
【典例】如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（　　）
A.8 B.10 C.12 D.14
【强化训练1】如图，四边形，已知对角线相交于点，且，点分别依次为四边形的边的中点，则四边形的周长为（ ）
A. B. C. D.无法确定
【强化训练2】如图所示，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，且AB＝10，AC＝14，BC＝16，则DE等于（　　）
A.5 B.7 C.8 D.12
【强化训练3】已知Rt△ABC中，∠C＝90°，点E、F分别是边AC、AB的中点，如果AB长为26，AC：CB＝12：5，那么中位线EF的长为 　 　．
【强化训练4】如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC上的中点，AB＝5，CD＝7．求四边形EFGH的周长．
【强化训练5】如图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D是斜梁AB的中点，BC、DE垂直于横梁AC，AB=8cm，则立柱BC，DE要多长？
【题型12】根据三角形中位线定理求角的度数
【典例】如图，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，BE，若∠ADE＝80°，BE是∠ABC的平分线，则∠BED的度数是（　　）
A.55° B.50° C.45° D.40°
【强化训练1】如图，在四边形中，、分别是边、的中点，且，，，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，在中，，，点D，E分别是，的中点，连接，，若，则：
（1）的度数为 ；
（2）的周长是 ．

【强化训练3】在等腰三角形ABC中，AC为腰，O为BC的中点，D为AB的中点，∠C＝30°，则∠ADO的度数是 　 　．
【强化训练4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC外一点，使∠DAC＝∠BAC，E为BD的中点，∠ABC＝60°，求∠ACE的度数．
【强化训练5】如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，D为垂足，E为AC的中点．
（1）求证：DE∥BC；
（2）求证：DE（BC﹣AB）；
（3）若∠ABC＝72°，求∠ADE的度数．
【题型13】根据三角形中位线定理求面积
【典例】如图，在△ABC中，点D是BC边上任一点，点F，G，E分别是AD，BF，CF的中点，连接GE，若△FGE的面积为8，则△ABC的面积为（　　）
A.32 B.48 C.64 D.72
【强化训练1】如图，点D，E，F分别是三角形ABC的三条边的中点，若△DEF的面积是1，则△ABC的面积是（　　）
A.4 B.3 C.2 D.1
【强化训练2】如图，EF是△ABC的中位线，点O是EF上一点，且满足OE＝2OF，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为（　　）
A.2：1 B.3：2 C.5：3 D.3：1
【强化训练3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D、E分别为AC、BC的中点，DE＝2，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于点F，则四边形ABFD的面积为 　．
【强化训练4】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，DE是△ABC的中位线，BF，CG分别平分∠ABC和∠ACB，与DE交于点F，G（点G在点F的左侧），若GF＝1，BC＝6，则△ABC的面积是 　　．
【强化训练5】在 ABCD中，AB⊥AC，点O为AC的中点，点E、M分别为AB、CE上的点，连接MO并延长至点N，使MO＝NO．
(1)判断四边形AMCN的形状，并加以证明；
(2)当点M为CE中点时，请判断AC和MN之间的位置关系，并加以证明；
(3)在（2）的条件下，若∠B＝60°，AB＝4，点E为AB中点，求四边形AMCN的面积．

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