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第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
第1课时
周末，我家买了一台34英寸（大约86厘米）的电视机。回家后，量了量电视机的屏幕，发现屏幕的长和宽分别是70厘米和50厘米，那如何确定它就是34英寸的电视机呢？
我们通常所说的34英寸或86厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度
情景引入
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图”，最早是由汉代的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的.图1-2是2002年在北京召开的国际数学家大会（ICM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就.
　　　　　　　
图1-1
图1-2
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系．
我们也来观察右图中的地面图案，看看能发现些什么？
1、了解勾股定理的由来，经历探索勾股定理的过程.
2、掌握勾股定理的内容，初步会用它进行有关的计算。
3、提高推理意识，养成探究习惯，感受我国古代数学的伟大成就.
正方形A,B,C的面积有什么关系？
等腰直角三角形三边有什么关系？
SA+SB=SC
发现：等腰直角三角形的三边有种特殊的关系，即斜边长的平方等于两直角边长的平方和
a
a
c
a2+a2=c2
A
B
C
图18.1-2
每个小方格的面积均为1
A
B
C
图1
正方形A的单位面积 正方形B的单位面积 正方形C的单位面积
图1
图2
A、B、C面积关系 直角三角形三边关系 1
2
分割
补全
a
b
c
正方形A的单位面积 正方形B的单位面积 正方形C的单位面积
图1
图2
A、B、C面积关系 直角三角形三边关系 图18.1-2
每个小方格的面积均为1
A
B
C
图1
1
2
分割
补全
A
B
C
图2
4
9
13
a +b =c
9
25
34
a
b
c
a
b
c
A
B
C
a
c
b
SA+SB=SC
设直角三角形的三边长分别是a，b，c,猜想:两直角边长a，b与斜边长c之间的关系？
a2+b2=c2
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c，那么a2+b2=c2.
【归纳】
赵爽弦图
∵ ab×4+(b-a) =c
∴a +b =c
a
b
c
2ab+（b -2ab+a ）=c
勾股定理的证明
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
a2 + b2 = c2.
即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方.
勾股定理
∵ ∠C＝90°
∴ a2 + b2 = c2
【归纳】
a
b
c
A
C
B
为什么叫勾股定理这个名称呢？原来在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。于是我国古代学者就把直角三角形中较短直角边称为“勾”，较长直角边称为“股”，斜边称为“弦”.由于勾股定理反映的正好是直角三角形三边的关系，所以叫作勾股定理。
勾
股
在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理
【读一读】
【例】求出下列直角三角形中未知边的长度.
【解析】（1）在Rt△ABC中,由勾股定理得：AB2=AC2+BC2
x2 =36+64
x2 =100
x2=62+82
∵x>0
y2+52=132
y2=132-52
y2=144
∴ y=12
（2）在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2
∵y>0
A
6
8
x
C
B
y
13
C
5
A
B
∴x=10
【例题】
在Rt△ABC中∠C=90°,
a=3,b=4,则c=
a=6,c=10,则b=
b=12,c=13,则a=
a
b
c
A
C
B
5
8
10
【跟踪训练】
我们通常所说的34英寸或86厘米电视机，是指其荧屏对角线的长度
解：∵702+502=7400
862=7396
∴荧屏对角线大约为86厘米
周末，我家买了一台34英寸（大约86厘米）的电视机。回家后，量了量电视机的屏幕，发现屏幕长和宽是70厘米和50厘米，那如何确定它就是34英寸的电视机？
【解析】
勾股定理
内容
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为
直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
1.在△ABC 中，∠C = 90°.
（1）若a =15，b =8，则c = .
（2）若c =13，b =12，则a = .
2.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.
17
5
74或24
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求BC的长．
∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°．
在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°，
∴∠B=∠BAD=45°，
∴BD=AD=1，∴AB= ．
在Rt△ADC中，∵∠C=30°，
∴AC=2AD=2，
∴CD= ，
∴BC=BD+CD=1+
【解析】
4.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三角形的面积.
设另一条直角边长是x cm.
由勾股定理得152+ x2 =172，
即x2=172-152=289–225=64，
∴ x=±8（负值舍去），
∴另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是
(cm2).
【解析】
5.求下列图中表示边长的未知数x，y的值.
由勾股定理可得
81+ 144=x2，
解得x=15.
由勾股定理可得
y2+ 144=169，
解得 y=5
【解析】
20.1 勾股定理及其应用
第2课时
1、什么叫勾股定理？
2.已知直角三角形的两条直角边长分别为a,b，
斜边长为c.则
a2=（ ）
b2=（ ）
c2=（ ）
c2-b2
c2-a2
a2+b2
3.在长方形ABCD中，宽AB为1 m，长BC为2 m ，求AC的长．
1 m
2 m
A
C
B
D
在Rt△ ABC中，∠B=90°,由勾股定理可知：
【解析】
1.熟练应用勾股定理解决直角三角形中的线段长度问题.
2.能利用勾股定理解决实际问题.
　　一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
已知条件有哪些？
【解析】
1.木板能横着或竖着从门框通过吗？
2.这个门框能通过的最大长度是多少？
不能.
3.怎样判定这块木板能否通过木框？
求出斜边的长，与木板的宽比较.
小于AC即可.
在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AC 2=AB 2+BC 2 =12+22=5．
　　AC= ≈2.24．
因为AC大于木板的宽2.2 m，所
以木板能从门框内通过．
答案
A
B
C
1 m
2 m
1.从实际问题中抽象出几何图形；
2.确定所求线段所在的直角三角形；
3.找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；
4.求得结果.
运用勾股定理解决实际问题的一般步骤
【例1】有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）
50dm
A
B
C
D
【解析】∵在Rt△ ABC中，∠B=90°,
AB=BC=50dm,
∴由勾股定理可知：
【例题】
【跟踪训练】
如图，池塘边有两点A,B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的一点，测得CB=60m，AC=20m ，你能求出A,B两点间的距离吗？（结果保留整数）
【解析】在Rt△ABC中，
AB= ,
所以A,B两点间的距离是57m.
勾股定理应用的常见类型
已知直角三角形的任意两边长求第三边长；
已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；
证明包含有平方（算术平方根）关系的几何问题；
求解几何体表面上的最短路程问题；
构造方程（或方程组）计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题.
1
2
3
4
5
【归纳】
【例2】一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC的距离为2.4m．如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0.4m吗？
D
E
【解析】在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90°,
∴ AC2+ BC2＝AB2，即 2.42+ BC2＝2.52，
∴BC＝0.7m.
由题意得：DE＝AB＝2.5m，
DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2(m).
在Rt△DCE中，∵∠DCE=90°,
∴ DC2+ CE2＝DE2 ，即22+ CE2＝2.52,
∴CE＝1.5m, ∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m.
答：梯子底端B不是外移0.4m.
【例题】
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面一尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.这个水池的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
A
B
C
【跟踪训练】
设AB=x,则AC=x+1，
有　AB 2+BC 2=AC 2，
可列方程，得　x2+52=（x＋1）2 ，
解方程得x=12.
因此x+1=13
【解析】
答：这个水池的深度是12尺，这根芦苇的长度是13尺.
实际问题
数学问题
勾股定理
直角三角形
转化
构建
运用
解决
1.一架长为5的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这时梯子下端距离墙的底端为3，若梯子顶端下滑了1,则梯子底端将外移_____.
4．在平面直角坐标系中，点A(2，11)与点B(6，3)的距离是_________．
1
3.如图，受台风影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
4米
3米
【解析】如图，根据勾股
定理，得
所以这棵树折断前的高度
为4+5=9（米）.
4.小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？
【解析】设竹竿长x米,则城门高为 (x－1)米.
根据题意得:
32+ (x－1) 2 =x2
9+x2 －2x+1=x2
10－2x=0
2x=10
x=5
答:竹竿长5米.
20.1 勾股定理及其应用
第3课时
1.已知直角三角形ABC的三边为a、b、c ，∠C＝ 90°，则 a,b,c 三者
之间的关系是 ；
2.若一个直角三角形两条直角边长是3和2，那么第三条边是 ；
3. 又叫作无理数.
a2+b2=c2
无限不循环小数
(1)从实际问题中抽象出几何图形；
(2)确定所求线段所在的直角三角形；
(3)找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；
(4)求得结果.
4.运用勾股定理解决实际问题的一般步骤
1.会用勾股定理解决简单的实际问题，建立数形结合的思想。
2.能利用勾股定理在数轴上作出表示无理数的点。
3.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题。
在八年级上册中，我们曾经通过探究得出结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A ′B ′C ′中，∠C=∠C ′=90°，AB=A′ B ′，AC=A′C′．求证：△ABC≌△A ′B ′C′．
A
B
C
A
B
C′
′
′
证明:∵△ABC 和 △A′B′C′是直角三角形,
∴AC =AB -BC ,
∴ A′C′ = A′B′ - B′C′ .
∵AB = A′B′ , BC = B′C′ ,
∴AC = A′C′ ,
∴AC = A′C′ .
在△ABC 和△ A′B′C′中,
∵∠C =∠C′ ,　AC = A′C′ ,　BC = B′C′,
∴△ABC ≌△ A′B′C′.
A
B
C
A
B
C′
′
′
证明

（1）你能画出长为 的线段吗？怎么画？说说你的画法.
（2）长是 的线段怎么画？是由直角边长为_____和______(整数)
组成的直角三角形的斜边.
（3）怎样在数轴上画出表示 的点？
【解析】
【探究】
A
C
B

l

利用勾股定理表示无理数的方法:
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.
（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.
【归纳】
如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.
解：∵图中的直角三角形的两直角边为1和2，
∴斜边长为 ，
即－1到A的距离是 ，
∴点A所表示的数为 .
【例题】
B
C
l
C
【解析】
【跟踪训练】
在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．
由题图得A (2,2),B (-2,-1),C (3,-2).
由勾股定理得
∴△ABC的周长为5+ +
【例2】
【解析】
如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A，B，C都在格点上，求AB边上的高.
解：如图，过点C 作CD⊥AB 于点D.
D
【跟踪训练】
1.利用勾股定理在数轴上表示无理数.其步骤为
一、“拆分”；二、“构造”；三、“画弧”.
2.勾股定理在网格中的应用,其关键是确定线段
所在的直角三角形.
1
5
D
A
B
C
3.蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了____厘米.（小方格的边长为1厘米）
G
F
E
3
4
12
5
6
8
28
4.如图为4×4的正方形网格,以格点与点A为端点,你能
画出几条边长为 的线段
A
5.如图，D(2,1),以OD为一边画等腰三角形，并且使
另一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个
写出落在x轴上的顶点坐标.
Ｏ
Ｄ
⌒
Ｃ
Ｅ
Ｆ
Ｈ
x
y

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