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20.2 勾股定理的逆定理及其应用
第1课时
B
C
A
1.勾股定理的内容是什么?
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么 .
b
c
a
2.求以线段a，b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
① a＝3，b＝4；
② a＝2.5，b＝6；
③ a＝4，b＝7.5.
c=5
c=6.5
c=8.5
1.掌握勾股定理逆定理的具体内容，能准确判断已知三边长的三角形是否为直角三角形.
2.识别常见勾股数，明确勾股定理与逆定理的区别与联系.
据说古埃及人用图1的方法画直角：把一根长绳打上13个等距离的结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
思考：如果一个三角形三边长分别为3,4,5,那么这个三角形为直角三角形.你认为这个结论正确吗?
图1
如果围成三角形的三边长分别为3，4，5，它们满足关系“32＋42=52”，那么围成的三角形是直角三角形.
3
4
5
所有边长符合a?+b?=c?的三角形都是直角三角形吗？
画一画
①如果三角形的三边长分别为2.5 cm，6 cm，6.5 cm，它们满足关系“2.52+62=6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？
?
2.5
?
6
?
6.5
?
②换成三边长分别为4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试
4
?
7.5
?
8.5
?
测量后发现，它们都有直角，都是直角三角形
观察 先用画图的方式尝试，三边满足以上关系的三角形是否都有直角.
由上面的尝试，我们猜想：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理的逆命题
试着证明这个猜想吧！
直接证难，转化为全等传递直角
需满足 全等条件
用勾股定理 关联A'B'与AB
等量 代换
A　
B　
C　
a
b
c
证∠C=90°
构造Rt△A′B′C′，使△ABC≌Rt△A′B′C′
需B'C'=BC=a，A'C'=AC=b，A'B'=AB
由勾股定理推出A'B'2=a2+b2，已知AB2=c2
a2+b2=c2
已知：如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
=
A′　
B′　
C′　
关联
=
综上，Rt△A′B′C′需满足：∠C′=90°，B'C'=a，A'C'=b
A
C
a
B
b
c
A′
B′
C′
a
b
已知：如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
证明：作一个 Rt△A'B'C' ，使 B'C' = a，A′C′ = b，∠C' = 90°．
根据勾股定理，A'B' 2 = B'C' 2 + A'C' 2 = a2 + b2 .
因为 a2 + b2 = c2，所以 A'B' = c.
所以△ABC ≌ △A'B'C'（SSS）.
因此∠C = ∠C' = 90°，即△ABC 是直角三角形.
在△ABC 和△A'B'C'中，
BC = a = B'C' ，
AC = b = A'C' ，
AB = c = A'B' ，
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c ，满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一个依据.
这样，我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理. 这个定理叫作勾股定理的逆定理.
【归纳】
例1 判断由线段?a，b，c?组成的三角形是不是直角三角形：
?
（1）a=8，b=15，c=17； （2）a=14，b=13，c=15.
?
解：（1）因为 82+152=64+225=289， 172=289
?
所以 82+152=172
?
根据勾股定理的逆定理，由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形.
?
分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较短边长的平方和是否等于最长边长的平方.
像8，15，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
（2）因为 142+132=196+169=365，152=225，
?
所以 142+132≠152
?
根据勾股定理，由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形.
?
如果这个三角形是直角三角形，那么根据勾股定理应有 a2+b2=c2. 事实上，上式不成立，因此，这个三角形不是直角三角形.
?
（2）a=14，b=13，c=15.
?
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数.
即：若正整数 a，b，c 满足 a2+b2=c2（c 为最长边），则a，b，c是一组勾股数.
?
基本勾股数
派生勾股数（×2）
派生勾股数（×3）
3,4,5
6,8,10
9,12,15
5,12,13
10,24,26
15,36,39
7,24,25
14,48,50
21,72,75
基本勾股数
派生勾股数（×2）
派生勾股数（×3）
勾股数
1.以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（?? ?）
A．1，2，3 B．1，2，3
C．3，4，7 D．9，12，20
?
B
?
【跟踪训练】
2.给出下列数组：
① 5, 13, 12；② 2, 3, 4；③ 2.5, 6, 6.5；④ 3?, 4?, 5?.其中勾股数的组数是 ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
解析： ① ∵ 5? + 12? = 13?，且 5，12，13 均是正整数，
∴ 5，12，13 是一组勾股数.
② ∵ 2? + 3? ≠ 4?，∴ 2，3，4 不是一组勾股数.
∵ 2.5，6，6.5 不都是正整数，∴ 2.5，6，6.5 不是一组勾股数.
∵ 3? = 9，4? = 16，5? = 25，9? + 16? ≠ 25?，
∴ 3?，4?，5? 不是一组勾股数.
D
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
题设
结论
勾股定理
三角形是直角三角形
三角形三边长满足a2+b2=c2
勾股定理的逆定理
三角形三边长满足a2+b2=c2
三角形是直角三角形
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
题设
结论
勾股定理
三角形是直角三角形
勾股定理的逆定理
三角形是直角三角形
C
????
?
????
?
????
?
B
????
?
a2+b2=c2
?
思考 勾股定理与其逆定理有什么联系？
勾股定理
勾股定理的逆定理
形
数
在 △ABC中，若 a2+b2=c2，则 △ABC是直角三角形，且 ∠C=90?.
?
文字语言
?
如果一个三角形的三边长a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中边长为 c的边所对的角是直角
?
符号语言
?
勾股定理的逆定理
勾股数
?
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
1．下列长度的线段能构成直角三角形的是（ ）
????．4，5，6 ????．1，1，2 ????．2，3，4 ????．1，3，2
?
D
2．如图，正方形小方格边长为1，则网格中的△ABC是（???）
?
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
A
3.清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数:①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…根据上述规律，写出第⑤组勾股数为____________.
11，60，61
4.若????、????、????满足(?????5)2+b?12+(c?13)2=0，则以????，????，????为边的三角形面积是多少？
?
解：∵(a?5)2+|b?12|+(c?13)2=0
?
∴?????5=0，?????12=0，?????13=0
?
∴a=5，b=12，c=13
?
∵52+122=132
?
∴△ABC是直角三角形
?
∴以a，b，c为三边的三角形的面积=12×5×12=30.
?
5. 已知等腰三角形ABC的底边 BC=20cm，D 是腰 AB 上一点，且CD=16cm，BD=12cm.
(1)求证:CD⊥AB；
解：因为BC=20cm，CD=16cm，BD=12cm，
满足BD2+CD2=122+162=202=BC2，
所以根据勾股定理的逆定理得△BCD为直角三角形，
所以∠BDC=90°，
则CD⊥AB；
5. 已知等腰三角形ABC的底边 BC=20cm，D 是腰 AB 上一点，且CD=16cm，BD=12cm.
(2)求△ABC 的腰长.
解：设腰AB=AC=xcm，则AD=(x－12)cm，
由(1)知∠ADC=90°，根据勾股定理得AD2+CD2=AC2，即(x－12)2+162=x2，
解得????=503，
所以△ABC的腰长为503cm.
?
20.2 勾股定理的逆定理及其应用
第2课时
经过前面的学习，我们已经掌握了勾股定理以及勾股定理的逆定理，你还记得这两条定理吗？
如果直角三角形的两直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么????2+????2=????2
?
应用场景
滑梯模型 大树折断问题
旗杆模型 最短路径问题
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边a、b、 c满足a2+b2=c2，那么该三角形是直角三角形
?
勾股定理的逆定理可以运用于哪些生活情境呢？
互为逆定理
勾股定理
1.能将航行、距离测量等实际问题抽象为几何模型，运用勾股定理的逆定理解决此类实际应用问题.
2.熟练结合勾股定理解决几何图形中边长计算、垂直关系判定等问题.
【例1】如图，港口 P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行.
?
“远航”号每小时航行 16?n?mile，
?
它们离开港口 1.5?h后分别位于点 Q，R 处，且相距 30?n?mile.
?
如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？
“海天”号每小时航行 12?n?mile.
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
30?n?mile
?
1
?
2
?
探究1 实际问题中的建模与求解（航海问题）.
分析：想要用逆定理解决问题，就要先计算已知三角形的三边长
①计算航行路程
已知“远航”号速度?16?n?mile/h，航行时间?1.5??，则：?
?
PQ=16×1.5=24?n?mile;
?
“海天”号速度?12?n?mile/h，航行时间?1.5??，则：
?
?PR=12×1.5=18?n?mile;
?
两船距离：?QR=30?n?mile.
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
30?n?mile
?
1
?
2
?
②验证直角三角形
计算?????????2+????????2：
?
?PQ2+PR2=242+182=576+324=900;
?
计算?????????2：?QR2=302=900;
?
PQ2+PR2=QR2
?
根据勾股定理的逆定理，△PQR?是直角三角形，且?∠QPR=90?
?
③结合方向角确定航向
已知∠1=45?，?∠QPR=90?
?
∴∠2=180??90??45?=45?，因此“海天”号沿西北方向航行.
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
30?n?mile
?
1
?
2
?
②构建几何模型，抽象数学问题
——关键是抽象出问题中的三角形
③运用勾股定理逆定理，判定直角三角形
④结合实际背景，求解最终答案
①提取关键信息，转化已知条件
勾股定理逆定理的应用
【归纳】
1.放学后，彬彬先去同学晓华家写了一个小时的作业，然后才回到家里．已知学校A．晓华家B，彬彬家C的两两之间的距离如图所示，且晓华家B在学校A的正东方向，则彬彬家C在学校A的哪个方向？
?
解：由图可得：AC=500,AB=1200,BC=1300
?
∴AC2+AB2=BC2
?
∴△CAB是直角三角形
?
∴彬彬家C在学校A的正北方向
?
【跟踪训练】
【例2】如图，在四边形 ABCD中，AB=5，BC=3，AD=53，DC=133. 如果 AC⊥BC，判断 AC与 AD是否也垂直，并说明理由.
?
????
?
????
?
????
?
????
?
分析：若能求出 ????????的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断 △????????????是不是直角三角形，从而判断 AC是否垂直于 AD.
?
探究2 几何图形中的综合应用（四边形问题）.
①利用勾股定理求?AC?的长度
?
因为?????????⊥????????，所以?△?????????????是直角三角形；
?
根据勾股定理：AC2+BC2=AB2
?
则?AC2=AB2?BC2=52?32=25?9=16，所以?AC=4.
?
②利用逆定理判断?△ACD?的形状
?
在?△?????????????中，
?
CD2=1332=1699,
?
所以 AC2+AD2=CD2
?
因此 △ACD是直角三角形，即 AC⊥AD
?
AC2+AD2?=42+532=1699，
?
????
?
????
?
????
?
????
?
2.如图，在一块四边形ABCD空地上种植草皮，测得∠ABC=90°，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m．若每平方米草皮需要200元，则需要投入多少钱？
?
解：∵∠????=90°，????????=3????，BC=4m
?
∴????????=????????2+????????2=32+42=5????
?
∵CD=12m，AD=13m
?
∴AC2+CD2=AD2
?
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°
?
∴四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积=36m2
?
∴学校要投入资金为：200×36=7200（元）
?
【跟踪训练】
关键：结合勾股定理或其他几何知识解决问题
实际应用
?
关键：找出其中三角形，利用勾股定理逆定理判段是否为直角三角形
几何综
合运用
?
勾股定理及其逆定理的综合应用
1.如图，要在门上方的墙上点A处装一个由传感器控制的灯，点A离地面4.5m，任何东西只要移至该灯5m及5m内范围，灯就自动发光．已知小军身高1.5m，若他走到CD处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是(　　)
A．5m B．4m
C．3m D．2m
B
2. 医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东 的方向.
东
医院
公园
超市
北
65°
3.体育公园边有一块如图所示的地，其中∠ADC=90°，AD=12m,CD=9m,
AB=39m,BC=36m，则这块地的面积是多少？
?
解：如图所示，连接????????
?
在????????△????????????中，由勾股定理得????????=????????2+????????2=15????
?
∵????????=39????,????????=36????
?
∴ ∠????????????=90°
?
∴????????2+????????2=152+362=1521，????????2=392=1521
?
∴????????2+????????2=????????2
?
∴这块地的面积=????△?????????????????△????????????=12×15×36?12×9×12
?
=270?54=216????2
?
4. A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西50°方向航行；同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口5小时后两船相距100海里，则B舰艇的航行往哪个方向？
?
解： 由题意得，OA=12×5=60（海里），OB=16×5=80（海里）
?
又∵AB=100海里
?
∵602+802＝1002，即OA2+OB2=AB2
?
∴∠????????????=90°
?
∵∠????????????=50°
?
∴∠????????????=40°
?
则另一艘舰艇的航行方向是北偏东40°

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