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第二十一章 四边形
21.1 四边形及多边形
21.1.1 四边形及其内角和
1.什么是三角形？
2.三角形的组成元素有哪些？又有哪些相关元素？
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
组成元素
边
角
内角
外角
相关元素
中
线
角
平
分
线
高
线
宏伟的建筑
一望无际的农田
开关自如的伸缩门
别具一格的窗棂
2.探索并证明四边形的内角、外角的性质，发展推理能力.
1.类比三角形，理解四边形的定义、相关概念及符号表示.
观察画某四边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是四边形吗
01
知识点一：四边形的定义及组成元素
在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形.
组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点.
顶点
边
比较四边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢 怎样命名四边形呢
02
这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点有可能不在同一个平面内.
四边形用表示它的各个顶点的字母表示.字母要按照顶点的顺序书写.
(可以按顺时针或逆时针的顺序.)
A
B
C
D
记作：_________________________
四边形ABCD或四边形 ADCB
这两个四边形有什么不同？
03
A
A
B
C
D
B
C
D
(1)四边形 ABCD 都在直线 CD 的同一侧，也都在直线 AB，BC，AD 的同一侧.
(1)
(2)
(2)四边形 ABCD 不都在直线 CD（或 BC）的同一侧.
凸四边形 如下图，画出四边形 ABCD 的任何一条边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.
A
B
C
D
今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形.
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
如图：线段AC，BD是四边形ABCD的两条对角线.
AC 将四边形分为 _______ 和 _______ .
BD 将四边形分为 _______ 和 _______ .
△ABC
△ACD
△BDA
△BDC
四边形的两条对角线分别把四边形分成了两个三角形.
对角线 连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.
四边形的内角 与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；
四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角.
如图： ， ， ， 四边形ABCD的内角.
A
A
B
C
D
内角
B
C
D
请在右图中分别画出四边形ABCD顶点A，C处的外角.
我们知道，三角形的内角和是 180°，长方形的内角和是 360°. 那么，任意一个四边形的内角和是多少度？你能证明你的结论吗？
04
180°
？
360°
由于四边形的一条对角线将这个四边形分为两个三角形，所以四边形的有关问题就可以利用三角形的相关知识加以解决.
如图，在四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，则四边形ABCD 被分为△ABC 和 △ACD 两个三角形.
在△ABC 中，由三角形内角和定理，得
∠1 + ∠B + ∠3 = 180°.
同理 ∠2 +∠4 +∠D= 180°.
由此可得
∠DAB + ∠B + ∠BCD + ∠D
= ∠1 + ∠2 + ∠B + ∠3 + ∠4 + ∠D
=（∠1 + ∠B + ∠3）+（∠2 + ∠4 + ∠D）
= 180°+ 180° = 360°.
即四边形的内角和等于 360°.
A
B
C
D
1
2
3
4
四边形
三角形
转化
四边形内角和定理
知识点二：四边形的内角和、外角和
如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和. 四边形的外角和等于多少？
05
因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为 4 × 180°. 根据这个关系，可以利用四边形的内角和求出其外角和.
A
B
C
D
内角+其邻补角=180°
如图.
∵∠DAB 与∠1 是邻补角，
∴∠DAB + ∠1 = 180°.
同理∠ABC + ∠2 = 180°，∠BCD + ∠3 = 180°，
∠CDA + ∠4 = 180°.
∴∠DAB + ∠1 + ∠ABC + ∠2 + ∠BCD + ∠3 + ∠CDA + ∠4 = 720°.
而∠DAB + ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA = 360°，
∴∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°.
A
B
C
D
1
2
3
4
四边形的外角和等于360°
四边形的内角和等于 360°
几何语言：
在四边形 ABCD 中，
∴∠A +∠B +∠C +∠D = 360°.
A
B
C
D
四边形的外角和等于 360°
几何语言：
在四边形 ABCD 中，
∴∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 360°.
A
B
C
D
1
2
3
4
在“三角形”一章中，我们通过实验发现三角形具有稳定性，并在学习全等三角形时明白了其中的道理，那么四边形是否也具有稳定性呢
06
知识点三：四边形的不稳定性
如图①，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
如图②，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？
①
②
四边形木架形状会发生改变
木架形状不变
现象
结论
四边形不具有稳定性
三角形具有稳定性
形成两个三角形
四条边确定后，四个角并不确定
①
②
在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，你能举出一些例子吗
07
电动伸缩门
剪叉式升降平台
折叠小推车
货车牵引架
三角车架，保障骑行稳定
在日常生活中，有时又需要克服四边形的不稳定性，你能举出一些例子吗
08
在窗框上钉一根木条，以防窗框变形
置物架加对角杆，牢固耐用
如图，在四边形ABCD中，∠A＝80 °，∠D＝140°，∠BCD的平分线CE交AB于点E，且EC∥AD，求出∠B的度数.
利用平行线性质与角平分线定义，结合四边形内角和求解．
∵EC∥AD，∴∠D＋∠DCE＝180°.
∵∠D＝140°，∴∠DCE＝40°.
∵CE平分∠DCB，∴∠DCB＝2∠DCE＝80°.
∴在四边形ABCD中，∠B＝360°－∠A－∠D－∠DCB＝60°.
如图所示，AB，BC，CD 是三根长度分别为1 cm，2cm，5cm的木棒，它们之间的连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考：这根橡皮筋可以拉到的最大长度为多少厘米？最短长度为多少厘米？
由于 B，C两连接处可以活动，
∴当A，B，C，D 形成一条线段时，AD 最长，
此时AD=1+2+5=8(cm);
当A，B，C拉直，B，A 落在CD 上时，AD 最短，
此时AD=5-1-2=2(cm)，
∴这根橡皮筋可以拉到的最大长度为8cm，最短长度为2cm.
A
B
C
D
1. 求出下列图形中 x 的值：
解：图①中，∵四边形的内角和等于 360°，
∴90 + 140 + x + x = 360.
∴ x = 65.
120°
75°
x°
80°
③
3x°
3x°
4x°
2x°
②
140°
x°
x°
①
【跟踪训练】
1. 求出下列图形中 x 的值：
解：图②中，∵四边形的内角和等于 360°，
∴3x + 3x + 2x + 4x = 360.
∴x = 30.
3x°
3x°
4x°
2x°
②
140°
x°
x°
①
120°
75°
x°
80°
③
1. 求出下列图形中 x 的值：
解：图③中，与 x°角相邻的内角的度数为 (180－x)°.
∵四边形的内角和等于 360°，
∴120 + 75 + (180－x) + 80 = 360.
∴ x = 95.
3x°
3x°
4x°
2x°
②
140°
x°
x°
①
120°
75°
x°
80°
③
2. 一个四边形的一组对角互补，它的另一组对角有什么关系？
解：如图，若 ∠1 + ∠2 = 180°，由四边形的内角和等于 360°，得
∠3 + ∠4 = 360°－(∠1 + ∠2)
= 360°－180°= 180°.
∴它的另一组对角也互补.
1
2
4
3
如图，已知：∠1 + ∠2 = 180°，求 ∠3 与∠4 的关系.
3. 下列图形中哪些具有稳定性？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
解题秘方：关键是看各图形能否完全“分解”成三角形.
四边形及
其内角和
定义：在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形
内角和与外角和：四边形的内角和是360°，四边形的外角和等于360°
四边形的不稳定性
2.四边形没有稳定性，当四边形的形状发生改变时，发生变化的是( )
A. 四边形的外角和 B. 四边形的边长
C. 四边形的周长 D. 四边形的对角线长
D
D
B
A
B
C
D
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F

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