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第二十一章 四边形
21.1 四边形及多边形
21.1.2 多边形及其内角和
1.三角形的内角和是多少？四边形的内角和是多少？猜想五边形的内角和.
180° 360°
在实际生活当中，除了三角形、四边形外，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你能找到一些由线段围成的图形吗？
1.了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念，能区别凸多边形.
2. 经历探索多边形内角和公式的过程，掌握多边形内角和公式，并能运用公式解决简单的问题.
知识点一：探究多边形的定义及组成元素
多边形 在平面内，由 n（n ≥ 3）条线段 A1A2，A2A3，…，An－1An，AnA1 首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.
不是多边形.
A1
A2
A3
A4
A5
An－1
An
多边形定义的要素：
①在同一平面内；②若干条线段；
③首尾顺次连接；④封闭图形.
三角形
四边形
五边形
六边形
八边形
多边形有几条边就叫作几边形.
能否按照组成多边形的线段的条数将多边形进行分类呢？
01
三角形是最简单的多边形
请类比四边形，说出多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的定义.
02
边：组成多边形的各条线段.
顶点：每相邻两条线段的公共端点.
内角：多边形相邻两边组成的角.
外角：多边形角的一边与另一边的延长线组成的角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段.
A
B
C
D
E
边
顶点
外角
内角
对角线
探究多边形对角线的条数.
03
指出图中六边形的边、顶点、内角和外角，画出它的全部对角线.
六边形的边：AB，BC，CD，DE，EF，FA.
顶点：点A，点B，点C，点D，点E，点F.
内角：∠BAF，∠ABC，∠BCD，∠CDE，
∠DEF，∠AFE
A
B
C
D
E
F
对角线：AC，AD，AE，BD，BE，BF，CE，CF，DF.
1
6
5
4
2
3
外角：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6
多边形同样用表示它的各个顶点的字母表示，例如，图中的五边形，记作“五边形ABCDE”
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
凸多边形
与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形，今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形.
正方形的边、角有什么特点？
04
各个角都相等
各条边都相等
同时满足
各个角都相等
各条边不都相等
不是
正方形
各个角不都相等
各条边都相等
不是
正方形
活动一：探究多边形的定义及组成元素
　　观察下图的多边形，它们的边、角有什么特点？你能给这样的多边形下个定义吗？
05
它们的各个角都相等、各条边都相等
各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.
同时满足
知识点二：探究多边形的内角和
　　类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗
06
　　从五边形的一个顶点出发，可以作____条对角线，它们将五边形分为____个三角形，五边形的内角和等于 180°×____．
2
3
3
　　从六边形的一个顶点出发，可以作____条对角线，它们将六边形分为____个三角形，六边形的内角和等于 180°×____．
3
4
4
转化为三角形的内角和.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
　　由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗
07
多边形的边数 从多边形的一顶点引出的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形内角和
3
4
5
6
… … … …
n
0
1
1×180°=180°
1
2
2×180°=360°
2
3
3×180°=540°
3
4
4×180°=720°
(n-3)
(n-2)
(n-2)×180°
一般地，从 n 边形的一个顶点出发，可以作 (n－3) 条对角线，它们将 n 边形分为 (n－2) 个三角形，n 边形的内角和等于 (n－2)× 180°.
A1
A2
A3
A4
A5
An－1
An
n 边形的内角和等于 (n－2)× 180°.
　把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗 由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗
08
B
A
F
E
D
C
O
n个三角形
内角和 n 180° 360°
(n 2) 180°
B
A
F
E
D
C
P
(n 1)个三角形
内角和 (n 1) 180° 180°
(n 2) 180°
由n边形的内角和公式(n－2)×180°可知n边形的内角和一定是180°的整数倍.
多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180°.
多边形内角和问题常通过添加辅助线将其转化为三角形的内角和问题.
　与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和.多边形的外角和等于多少度
09
多边形的每一个内角与和它相邻的外角是_______.
n 边形的内角和与外角和的总和等于__________.
n 边形的内角和等于_____________.
∴n 边形的外角和等于：
.
邻补角
n × 180°
(n－2)×180°
n×180°－(n－2)×180°= 360°
A1
A2
A3
A4
A5
An－1
An
多边形的外角和等于 360°.
1. 多边形的外角和是指每个顶点处取一个外角的和.
2. 多边形的外角和恒等于360°，与边数无关.
一个多边形的内角和等于外角和的 2 倍，这个多边形是几边形？
设这个多边形的边数为 n.
因为它的内角和等于 (n－2)× 180°，外角和等于 360°，
所以 (n－2)× 180° = 2 × 360°.
解得 n = 6.
因此这个多边形是六边形.
多边形内角和等于(n－2)× 180°，外角和等于 360°，利用内角和与外角和公式列方程求解边数.
两个正多边形，它们的边数之比为1∶2，内角和之比为3∶8，求这两个多边形的边数.
设两个正多边形的边数分别为k和2k(k为正整数)，根据内角和公式分别表示出它们的内角和，再根据内角和之比为3:8列出方程求解k，从而得到两个多边形的边数.
两个正多边形，它们的边数之比为1∶2，内角和之比为3∶8，求这两个多边形的边数.
设这两个正多边形的边数分别为k，2k，
则其内角和分别为(k－2)×180°，(2k－2)×180°.
根据题意列方程得(k－2)×180°∶(2k－2)×180°＝3∶ 8，
解得k＝5，则2k＝10.
因此，这两个正多边形的边数分别为5和10.
一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是2 880°，则原多边形的边数是多少？
n边形截去一个角
边数加1
边数不变
边数少1
(n+1-2)×180°=2 880°
(n-2)×180°=2 880°
(n-1-2)×180°=2 880°
边数n
一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是2 880°，则原多边形的边数是多少？
设原多边形的边数为n，
将一个多边形截去一个角后图形有以下三种情况：
①当边数增加1 时，则有(n＋1－2)×180°＝2 880°，解得n＝17；
②当边数不变时，则有(n－2)×180°＝2 880°，解得n＝18；
③当边数减小1 时，则有(n－1－2)×180°＝2 880°，解得n＝19.
综上可知，原多边形的边数是17 或18 或19.
特别提醒:
一个多边形(除三角形外)截去一个角后，按不同的截法可得到边数不同的三种多边形，即边数增加1，边数不变，边数减少1.以五边形为例，如图所示.
增加一条边
边数不变
减少一条边
多边形及其内角和
内角和
计算公式
(n - 2)×180° (n≥3 的整数)
外角和
多边形的外角和等于 360°
特别注意：与边数无关
正多
边形
每个内角= ，每个外角=
1. 求出下列图形中 x 的值：
解：图①中，∵五边形的内角和等于(5－2)×180°= 540°，
∴150 + 120 + 90 + x + 2x = 540.
∴x = 60.
120°
150°
2x°
x°
①
x°
x°
x°
x°
②
135°
x°
150°
A
B
C
D
E
AB// CD
③
1. 求出下列图形中 x 的值：
解：图②中，∵六边形的内角和等于(6－2)×180°= 720°，
∴x + x + x + x + 90 + 90 =720.
∴ x = 135.
120°
150°
2x°
x°
①
x°
x°
x°
x°
②
135°
x°
150°
A
B
C
D
E
AB// CD
③
1. 求出下列图形中 x 的值：
解：图③中，∵AB∥ CD，∴∠B +∠C = 180°.
∵∠A + ∠B + ∠C + ∠D +∠E = (5－2)×180°= 540°，
即 135 + 180 + 150 + x = 540，
∴x = 75.
120°
150°
2x°
x°
①
x°
x°
x°
x°
②
135°
x°
150°
A
B
C
D
E
AB// CD
③
2.（1）一个多边形的内角和等于 1080°，这个多边形是几边形？
（2）一个多边形的每一个内角都等于 120°，这个多边形是几边形？
（3）一个多边形的每一个外角都等于 72°，这个多边形是几边形？
解：（1）设这个多边形的边数为 n.
则有 (n－2)×180°= 1080°. ∴ n = 8.
因此这个多边形是八边形.
（2）由题意，得每一个外角都等于 180°－120°= 60°.
∵360°÷ 60°= 6，∴这个多边形是六边形.
（3）∵360°÷ 72°= 5，∴这个多边形是五边形.

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