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第二十一章 四边形
21.2 平行四边形
21.2.1 平行四边形及其性质
第1课时
这些都是日常生活中常见的情形，平行四边形在生活中无处不在.
你还能举出其他的例子吗？
1.理解平行四边形的概念，增强几何直观.
2.探索并证明平行四边形的性质定理，并能运用它们进行证明和计算，提升推理能力.
观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？
两组对边都不平行
一组对边平行，
一组对边不平行
两组对边分别平行
01
知识点一：探究平行四边形的定义
以上哪个是平行四边形？
A
B
C
D
平行四边形 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形．
平行四边形用“□ ”表示，如图，平行四边形 ABCD 记作“□ABCD”.
1.表示平行四边形时一定要按顺(或逆)时针依次书写各顶点字母；2.“□ ”后要紧跟表示四个顶点的字母，不能单独使用.
02
组成平行四边形的基本元素有哪些？
AB，BC，CD， DA．
边
角
∠A，∠B，∠C，∠D．
A
B
C
D
对边
对角
对边
对角
对角线
AC，BD．
活动二：探究平行四边形边、角特征
03
根据定义画一个平行四边形并进行观察，除了“两组对边分别平行”，它的边之间还有什么关系？它的角之间呢？度量一下，和你的猜想一致吗？
猜想 1：平行四边形的对边相等.
猜想 2：平行四边形的对角相等.
A
B
C
D
A
C
（D）
（C）
（A）
D
A
C
AB=CD；AD=BC
边
角
∠A=∠C；∠B=∠D
请用剪刀，沿 AC 将平行四边形剪成两个三角形，你能发现这两个三角形有什么样的关系吗
猜想 1：平行四边形的对边相等.
猜想 2：平行四边形的对角相等.
04
你能证明你的猜想吗
已知：四边形 ABCD 是平行四边形.
求证：AD = BC，AB = CD，
∠BAD = ∠BCD，∠ABC = ∠ADC.
A
B
C
D
1
4
3
2
求证 AD = BC，AB = CD
AD∥BC，AB∥CD
连接 AC
利用三角形全等证明
AC 是公共边
AD = BC，AB = CD，
∠ABC =∠ADC
△ABC≌△CDA
∠BAD = ∠BCD
∠1 =∠2，∠3 =∠4
证明：如图，连接□ABCD 的对角线 AC.
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4.(两直线平行，内错角相等)
∴∠1 + ∠4 = ∠2 + ∠3，
即∠BAD = ∠DCB.
∵ ∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，AC 是△ABC 和
△CDA 的公共边，
∴△ABC ≌△CDA(ASA)
∴AB = CD，BC = DA，∠B = ∠D.
A
B
C
D
1
4
3
2
平行四边形问题
转化
三角形问题
同理可得
05
不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？
证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°.
∴∠A = ∠C.
同理可证 ∠B = ∠D.
A
B
C
D
AD∥BC，AB∥CD
∠A +∠B = 180°，
∠A +∠D = 180°
∠B = ∠D
∠A =∠C
平行四边形性质1：
平行四边形的对边相等，
平行四边形的对角相等．
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AD=BC
∠A=∠C，∠B=∠D
几何语言表示为：
A
B
C
D
活动三：探究平行四边形对角线特征
O
A
B
C
A
B
C
D
O
1.3cm
1.3cm
1.6cm
1.6cm
OA OC
OB OD
D
A
C
（D）
（C）
（A）
D
A
C
06
如图，在□ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O. 点 O 把每条对角线都分成两部分，这两部分有什么关系？
量一量
剪一剪
猜想：平行四边形的对角线互相平分．
07
证明你发现的结论.
已知：□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
求证：OA OC，OB OD.
A
B
C
D
O
1
2
3
4
证明：∵在□ABCD中，AD BC，AD//BC.
∴ 1 2， 3 4
∴△AOD≌△COB(ASA)
∴OA OC，OB OD.
平行四边形的性质2：
平行四边形的对角线互相平分.
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OA OC，OB OD.
几何语言表示为:
A
B
C
D
O
08
如图，在□ABCD 中，O 为对角线 AC，BD 的交点，则△AOB 与△AOD 的面积的大小关系是什么？
A
B
C
D
O
E
09
还有哪些三角形的面积和△AOB 与△AOD 的面积相等？
A
B
C
D
O
△AOB≌△COD
S△AOB＝S△COD
△AOD≌△COB
S△AOD＝S△COB
S△AOB＝S△AOD＝S△COD＝S△COB
　　两条对角线把平行四边形分成四个三角形，它们的面积都相等，且相对的两个三角形全等．
如图， 在□ABCD中，AB = 10，AD = 8，AC ⊥ BC. 求 BC，CD，AC，OA 的长，以及□ABCD 的面积.
平行四边形对边相等
BC，CD 的长
运用勾股定理
AC 的长
面积公式
□ ABCD 的面积
A
B
C
D
O
如图， 在□ABCD中，AB = 10，AD = 8，AC ⊥ BC. 求 BC，CD，AC，OA 的长，以及□ABCD 的面积.
A
B
C
D
O
平面直角坐标系xOy 中，点A(－3，0)，B(0，2)，以O，A，B 为顶点作平行四边形，第四个顶点的坐标不可能是(　　)
A．(－3，2) B．(3，2)
C．(3，－2) D．(－3，－2)
已知O，A，
B三个定点
三条定线段
OA，OB，AB
三条定线段轮流作对角线
通过平移求坐标
设第四个顶点为点C，如图所示.
(1)当OA 为对角线时，AC1∥OB，AC1＝OB，
此时点B 怎么平移到点O，点A就以相
同的方式平移到点C1.
∵ O(0，0)，A(－ 3 ，0)，B(0，2)，
∴ C1(－3，－2).
(2)当OB为对角线时，BC2∥OA，BC2＝OA，
同理可得C2(3，2).
(3)当AB 为对角线时，BC3∥OA，BC3＝OA，
同理可得C3(－ 3 ，2).
综上可知，第四个顶点的坐标为(－3，－2)
或(3，2)或(－3，2).
故答案选：D
方法点拨：
在平面直角坐标系中，已知平行四边形三个顶点的坐标求第四个顶点的坐标的两种方法：
1. 利用平行四边形的对边平行且相等，结合平移求点的坐标；
2. 利用平行四边形对角线互相平分，结合中点坐标公式求点的坐标.
已知条件未给出图形，需要分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
F
易错警示：
分情况画出图形，易漏解：
1. 涉及三角形或平行四边形的高，画图时常常分类讨论.
2. 平行四边形的分类画图问题可通过连接对角线转化为三角形的
分类画图问题.
本题不要漏掉△ ABC为钝角三角形的情况.
平行四边形
定义
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
边
两组对边分别平行且相等
角
两组对角分别相等，邻角互补
对角线
对角线互相平分
性质
1. 在□ABCD 中，
（1）已知 AB = 5，BC = 3，求另外两边的长；
（2）已知 ∠A = 38°，求其余各内角的度数.
解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴CD = AB = 5，AD = BC = 3.
（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠C = ∠A= 38°，∠B =∠D ，∠A + ∠D = 180°.
∴∠B =∠D = 180°－38°= 142°.
2. 如图， 在□ABCD 中，BC = 10，AC = 8，BD = 14. △AOD 的 周长是多少？△ABC 与△DBC 的周长哪个长？长多少？
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD＝ BC＝10，OA＝ OC ＝ 4，
OD＝ OB ＝ 7，
∴ △AOD的周长＝AD+OA+OD＝10+4+7＝21，
又△DBC 的周长－△ABC 的周长 = (BD +BC + CD)－(AB + BC + AC)
= BD + BC + CD－AB－BC－AC = BD－AC = 14－8 = 6.
∴△DBC的周长比△ABC的周长更长，长6.
A
B
C
D
O
3. 如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形. 转动其中一张纸条，线段 AD 和 BC 的长度有什么关系？为什么？
解：AD = BC. 理由：
由已知，得AD//BC，AB//CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AD=BC
即线段AD和BC的长度相等.
第二十一章 四边形
21.2 平行四边形
21.2.1 平行四边形及其性质
第2课时
1.什么是平行四边形？
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形．
2.我们学行四边形的哪些性质？
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对角线互相平分．
1.能根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明．
2.理解并掌握平行线间的距离的概念及性质
01
活动一：探究平行四边形性质的综合应用
如图，□ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F. 求证：OE OF.
利用平行四边形对角线互相平分，
证△AOE≌△COF，得OE=OF.
A
B
C
D
O
F
E
证明：在□ABCD中，AB//CD，
∴∠EAO ∠FCO，∠AEO ∠CFO，
又OA OC，
∴△AOE≌△COF.
∴OE OF.
改变直线 EF 的位置，OE = OF 还成立吗？
A
B
C
D
O
F
E
A
B
C
D
O
F
E
A
B
C
D
O
F
E
利用全等三角形依然可得OE=OF，结论成立.
□ ABCD 被线段 EF 所截的两部分面积与周长呢？
A
B
C
D
O
F
E
A
B
C
D
O
F
E
A
B
C
D
O
F
E
利用全等三角形得出被分成的两部分所包含的三角形面积分别相等.再加上对角线分成的四个三角形面积也相等，所以两部分的总面积是相等的，各占平行四边形面积的一半.
□ ABCD 被线段 EF 所截的两部分面积与周长呢？
A
B
C
D
O
F
E
A
B
C
D
O
F
E
A
B
C
D
O
F
E
由全等三角形可知，AE=CF，BE=DF.两部分的周长都等于“平行四边形周长的一半”加上公共线段EF的长度，因此周长也相等.
　　过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等. 这条直线平分该平行四边形的面积和周长.
A
B
C
D
O
F
E
A
B
C
D
O
F
E
A
B
C
D
O
F
E
02
活动二：探究平行线间的距离
如图， a∥b，c∥d，c，d 与 a，b 分别相交于 A，B，C，D 四点，AB 和 CD 相等吗？为什么？
a
b
c
d
A
B
D
C
量一量
AB = 2.9 cm
CD = 2.9 cm
相等
你能证明你的结论吗？
02
如图， a∥b，c∥d，c，d 与 a，b 分别相交于 A，B，C，D 四点，AB 和 CD 相等吗？为什么？
证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形
（平行四边形的定义）．
∴AB＝CD（平行四边形的性质）．
两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
A
a
b
c
d
D
B
C
03
如图，如果直线 a∥b，c⊥b，d⊥b，那么 AB 和 CD 相等吗？
a
b
A
B
C
D
c
d
　　
∵c⊥b，d⊥b，
∴c∥d，即 AB∥CD．
∵AC∥BD，
∴根据两条平行线之间的任何两条平行线段都相等，得 AB＝CD．
如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.
两条平行线之间的距离 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离．
两条平行线之间的距离处处相等．
　　如图，a∥b，A 是 a 上的任意一点，AB⊥b，B 是垂足，线段 AB 的长就是 a，b 之间的距离．
a
b
A
B
04
两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？
A
B
B
a
b
A
A
B
两点间的距离：两点之间线段的长度.
点到直线的距离：过此点作直线的垂线段的长度.
两条平行线间的距离：在一条平行线上取一点，此点到另外一条直线的距离.
联系：都是指相应线段的长度，点到直线的距离、两条平行线之间的距离的本质都是点与点之间的距离．
如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB = DC . 求证 ∠B = ∠C.
A
D
B
C
AD∥BC
平行线之间的距离相等
三角形全等
∠B = ∠C
如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB = DC . 求证 ∠B = ∠C.
A
D
B
C
E
F
证明：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，过点 A，D 分别作 AE ⊥ BC，DF ⊥ BC，垂足分别为 E，F.
∵AE，DF 的长都是平行线 AD，BC 之间的距离，
∴AE = DF.(两条平行线之间的距离处处相等)
又 AB = DC，
∴Rt△ABE ≌ Rt△DCF .
∴∠B = ∠C.
你还有其他证明方法吗
如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB = DC . 求证 ∠B = ∠C.
方法二：
证明：如图，过点 A 作 AE∥DC交 BC 于点 E .
∵AD∥BC，AE∥DC，AB = DC，
∴AE = DC = AB，∠C = ∠AEB .
∴∠B = ∠AEB = ∠C.
E
A
D
B
C
如图，在△ABC中， C=90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线 l //AB，点P为直线 l 上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC=8，则AP最小值为 .
A
B
C
D
l
P
4
E
如图，在平行四边形ABCD中，E，F两点分别在BC，CD边上，EF//BD，连接AF，AE，分别交BD于P，Q两点.
(1)求证：S△ABE=S△ADF；
(2)求证：BQ=DP.
A
B
C
D
E
F
P
Q
(1)连接DE，BF，根据平行线间的距离相等可得S△DFB=S△BDE，根据四边形ABCD是平行四边形，得出AD//BC，CD//AB，根据平行线间的距离相等得出S△ABE=S△BDE，S△ADF=S△DFB，即可得证.
(1)证明：连接DE，BF,
∵FE//BD,
∴S△DFB=S△BDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，CD//AB，
∴S△ABE=S△BDE，S△ADF=S△DFB，
∴S△ABE=S△ADF
A
B
C
D
E
F
P
Q
如图，在平行四边形ABCD中，E，F两点分别在BC，CD边上，EF//BD，连接AF，AE，分别交BD于P，Q两点.
(1)求证：S△ABE=S△ADF；
(2)求证：BQ=DP.
A
B
C
D
E
F
P
Q
M
N
A
B
C
D
E
F
P
Q
M
N
两条平行线
之间的距离
两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.
平行线间的距离处处相等.
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离.
1. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，∠ABC = 70°，BE 平分∠ABC 且与 AD 相交于点 E，DF∥EB 且与 BC 相交于点 F. 求∠1 的大小.
A
B
C
D
E
F
1
2. 如图， □ ABCD 的周长为 16，对角线 AC，BD 相交于点 O， 点 E 在 AD 上，OE ⊥ AC . 求△CDE 的周长.
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
且周长为 16，两条对角线的交点为 O，
∴AD + CD = 16÷2 = 8，OA = OC.
又 OE ⊥ AC，
∴OE 垂直平分 AC，∴AE = CE，
∴△CDE 的周长为 CE + DE + CD = AE + DE + CD = AD + CD = 8.
A
B
C
D
O
E
3. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠C = 90°，AD = 3，AB = 4，
BC = 5，E 为边 BC 上一点，AB∥DE. 求 AD，BC 之间的距离.
A
B
C
D
E

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