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第二十一章 四边形
21.2 平行四边形
21.2.2 平行四边形的判定
第1课时
平行四边形的定义：
？
判定
性质
定义
B
D
A
C
O
平行四边形的性质
边
角
对角线
平行四边形的两组对边分别相等
平行四边形的两组对角分别相等
平行四边形的对角线互相平分
∵AB∥CD,AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
2.会综合运用平行四边形的判定定理和性质来解决问题 .
1.理解并掌握用边、角、对角线来判定平行四边形的方法 .
3.经历平行四边形判定条件的探索过程，提高推理能力 .
如图，将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边，转动这个四边形，使它形状改变，在图形变化过程中,它一直是一个平行四边形吗？
由上面的过程你得到了什么结论？
是平行四边形，
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定定理1
如何证明这个结论呢？
B
D
C
A
B
C
A
D
命题1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
已知：四边形ABCD,AB=CD，AD=BC. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接AC
∵ AB=CD，BC=AD （已知），
又∵ AC=CA （公共边），
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴∠1=∠2， ∠3=∠4，
∴ AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.
2
1
3
4
【命题证明】
判定定理1
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
B
C
A
D
符号语言：
∵AB=CD，AD=BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
【归纳】
例1 如图，在Rt△MON 中，∠MON ＝90°.
求证：四边形PONM 是平行四边形．
证明：在Rt△MON 中，
由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2，
解得x＝8.
∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.
∴PM＝ON，OP＝MN，
∴四边形PONM是平行四边形．
【例题】
【解析】
一天，八年级的李明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图所示部分,他想去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来，然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么画出来呢？
A
B
C
平行四边形的判定定理2
D
A
B
C
观看上面的图形，李明想使∠B=∠D，∠A=∠C即可，你觉得可以吗？对于两组对角分别相等的四边形的形状你的猜想是什么
猜想：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
B
D
A
C
已知：四边形ABCD, ∠A=∠C，∠B=∠D.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
∵∠A=∠C，∠B=∠D（已知）
又∵∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D =360 °
∴ 2∠A+ 2∠B=360 °
证明：
即∠A+ ∠B=180 °
∴ AD∥BC （同旁内角互补，两直线平行）
同理可证AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
【命题证明】
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
判定定理2:
符号语言：
A
B
C
D
∵∠A=∠C，∠B=∠D,
∴四边形ABCD是平行四边形.
（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）
A
B
C
D
【归纳】
例2 如图，四边形ABCD 中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D 的度数；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
(1)∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，
∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°；
(2)∵AB∥DC，
∴∠2＝∠CAB.
∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.
∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，
又∵∠D＝∠B＝55°，
∴∠DCB＝∠DAB＝125°.
∴四边形ABCD是平行四边形．
【例题】
【解析】
将两根细木条的中点重叠，用小钉钉在一起，再用橡皮筋连结木条的
顶点做成一个四边形，它是平行四边形吗？
A
B
C
D
O
平行四边形的判定定理3
命题3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
已知：四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O，且OA=OC，OB=OD，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：方法一:∵ OA=OC OB=OD（已知）,
∠AOB=∠COD（对顶角）,
∴ △AOB≌△COD（SAS）,
∴ ∠1 = ∠2,
∴ AB∥CD,
同理 AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
方法二：∵ OA=OC OB=OD（已知），∠AOB=∠COD （对顶角），
∴ △AOB≌△COD（SAS），
∴ AB=CD，
同理 AD=CB，
∴四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
O
1
2
【命题证明】
【解析】
A
D
C
B
O
符号语言：
∵OA=OC ， OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
判定定理3:
【归纳】
例3 已知：□ ABCD的对角线AC ，BD交于点O，点E，F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO，BO=DO.
∵AE=CF，
∴AO-AE=CO-CF，
即 EO=FO，
∴ 四边形BFDE是平行四边形.
D
B
A
C
E
O
F
【例题】
【解析】
平行四边形的判定
定义法:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.（宁夏·中考）点A，B，C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A，B，C，D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有
（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】连接AB，BC，分别过点A，C作BC，AB的平行线，它们的交点即为D点，同理连接AB，AC或AC，BC，符合条件的D点共有3个.
C
2.（苏州·中考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点O．若AC＝6，则线段AO的长度等于 ．
【解析】
∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=
3
3.（怀化·中考）如图，平行四边形ABCD的对角线
相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交
于点E，F.
求证：四边形AECF是平行四边形.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB，
OA=OC，AB∥CD，
∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO，
∴△FDO≌△EBO，∴OF=OE，
∴四边形AECF是平行四边形.
4.已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB,C′A′∥AC．
求证：(1)∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；
【证明】(1)∵A′B′∥BA，C′B′∥BC，
∴四边形ABCB′是平行四边形．
∴∠ABC＝∠B′(平行四边形的对角相等)．
同理∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′．
第二十一章 四边形
21.2 平行四边形
21.2.2 平行四边形的判定
第2课时
截止上一节课我们学习了几种判定平行四边形的方法？
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来证明问题.
1.掌握用一组对边平行且相等的方法判定平行四边形的方法.
将一根木棒从AB平移到DC，AB与DC之间有何位置关系、数量关系？
A
B
C
D
四边形ABCD是什么样的图形？
猜测：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
A
B
C
D
已知：AB∥CD， AB＝CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接BD.
∵ AB∥CD，
∴∠ABD ＝ ∠CDB，
又∵ AB ＝CD ，BD ＝ DB，
∴△ABD ≌△CDB，
∴AD ＝ CB，
∴四边形ABCD是平行四边形.
你还有其他证明
方法吗？
命题：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【命题证明】
A
B
C
D
已知：AB∥CD， AB＝CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接BD.
∵ AB∥CD，
∴∠ABD ＝ ∠CDB，
又∵ AB ＝CD ，BD ＝ DB，
∴△ABD ≌△CDB，
∴AD ∥ CB，
∴四边形ABCD是平行四边形.
命题：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
∴∠CBD ＝ ∠ADB，
方法2：
判定定理
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
等腰梯形
A
B
C
D
如果一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
等腰梯形属于一组对边平行(上底和下底)，而另一组对边相等(两腰)，但是等腰梯形不是平行四边形．
两组对边分别相等
两组对角分别相等
对角线互相平分
两组对边分别平行
平行四边形的判定方法共有几种？
一组对边平行且相等
四边形是平行四边形
边
角
对角线
【归纳】
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
例 如图，在 ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点.
求证 DE BF .
∴ AB CD .
又 EB = AB，DF = CD，
∴四边形 EBFD 是平行四边形.
D
A
B
C
E
F
只需证四边形 EBFD 是平行四边形.
∴ EB DF .
∴ DE BF .
四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形，求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：∵四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形，
∴AD∥EF，AD = EF，
EF∥BC， EF = BC.
∴AD∥BC，AD = BC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
【跟踪训练】
平行四边形的判定
判定方法5
符号语言
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
∵ AB∥CD，AB＝CD ，
∴四边形ABCD是平行四边形
A
B
C
D
平行四边形的性质与判定的综合运用
C
1.根据所标数据，下列不一定是平行四边形的是(　)
2. 如图，在 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AD，BC 上，添加下列条件中的一项，不能保证四边形 AFCE 是平行四边形的是（ ）
①AF＝CE；②BF＝DE；③∠AFC＝∠AEC；④∠BAF＝∠DCE．
A.①　　　　　B.②　　　　　C.③　　　　　D.④
A　　　
3. 如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，点 E，F 分别在直线 AD 的两侧，AE = DF，∠A = ∠D，AB = DC．
求证：四边形 BFCE 是平行四边形．
证明： ∵AB = CD，∴AB + BC = CD + BC，即 AC = BD，
在△ACE 和△DBF 中，
AC＝DB，∠A＝∠D，AE＝DF，
∴△ACE△DBF (SAS).
∴CE = BF，∠ACE =∠DBF.
∴CE∥BF.
∴四边形 BFCE 是平行四边形．
A
B
C
D
E
F
4.如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，AD = 9cm，BC = 6cm.P，Q分别是AD，BC上的动点，点P以1cm/s 的速度由点A出发向终点D运动，同时点Q以2cm/s的速度由点C出发向终点B运动，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止运动.经过几秒，直线 P Q 在四边形 ABCD 上截出一个平行四边形？
BQ = AP
CQ = PD
解：设点 P，Q运动的时间为t s.
依题意，得 AP = t cm，CQ = 2t cm.
则BQ = (6－2t) cm，PD = (9－t) cm.
∵AD//BC，∴分两种情况讨论：
①当 BQ = AP 时，四边形 APQB 是平行四边形，
此时 6－2t = t，解得 t = 2.
②当 CQ = PD 时，四边形 CQPD 是平行四边形，
此时 2t = 9－t，解得 t = 3.
综上所述，经过2s或3s，直线 PQ 在四边形 ABCD
上截出一个平行四边形.

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