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第二十一章 四边形
21.2 平行四边形
21.2.3 三角形的中位线
三角形的中线 连接三角形一个顶点和它所对边的中点的线段.
一个三角形有三条中线，中线交于一点，称为重心.
1.理解三角形中位线的概念.
2.掌握三角形中位线的性质，并能较熟练地应用三角形中位线
的性质进行有关的证明和计算.
如图，在测量池塘的长AB时，由于绳长不够，于是在平地上取一点O，找出OA，OB的中点M，N，小刚说只要量出了MN的长，就能求出AB的长.
你知道这是什么原理吗？
像 DE 这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
如图，在△ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，连接 DE .
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
一个三角形有三条中位线.
思考1：一个三角形有几条中位线？自己试着画一画．
分别是DE，DF，EF
思考2：三角形的中位线与中线有什么联系和区别？
都和边的中点有关
连接三角形顶点与其对边中点的线段.
连接三角形两边中点的线段.
中位线DE
A
B
C
F
中线AF
A
B
C
D
E
探究 观察下图，你能发现 △ABC 的中位线 DE 与边 BC 的位置关系吗？度量一下，DE 与 BC 之间有什么数量关系？
A
B
C
D
E
∠B =∠ADE
DE = 12 BC
?
你能证明你发现的结论吗？
位置关系：
数量关系：
DE∥BC
BC = 6cm
DE = 3cm
猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半.
中位线
倍长
构造全等三角形
平行四边形
作等长延长线
得线段相等、角相等
得线段相等、平行
F
如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 的中点. 求证：DE∥BC，且 DE =12BC.
?
分析
A
B
C
D
E
方法一
证明：如图，延长DE到F，使EF = DE，连接CF.
在△ADE和△CFE中，∵AE=CE，∠ADE=∠CEF，DE = FE，
∴△ADE≌△CFE.
∴∠A =∠ECF，AD = CF.
∴CF∥AB.
∵BD = AD， ∴CF = BD.
∴四边形DBCF是平行四边形
∴DF∥BC，DF = BC.
∴ DE∥BC，DE=12BC.
?
F
A
B
C
D
E
如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 的中点. 求证：DE∥BC，且 DE =12BC.
?
分析
方法二
A
B
C
D
E
F
证四边形 ADCF 是平行四边形
CF DA
四边形 DBCF 是平行四边形
DE∥BC，DF = BC = 2DE
CF BD
证明：如图，延长 DE 到点 F，使 EF = DE，连接 FC，DC，AF .
∵AE = EC，DE = EF，
∴四边形 ADCF 是平行四边形.
∴ CF DA .
又 D 是 AB 的中点，
∴四边形 DBCF 是平行四边形.
又 DE = 12DF，
?
∴DE∥BC，且 DE =12BC .
?
∴ CF BD .
∴ DF BC .
A
B
C
D
E
F
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
几何语言：
三角形的中位线定理：
A
B
C
D
E
∴DE∥BC，且 DE =12BC .
?
在△ABC 中，
∵点 D，E 分别为 AB，AC 的中点，
可用于证明两直线平行、线段的相等或倍分关系.
例 求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形.
已知：如图，在四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点.
求证：四边形 EFGH 是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
G
H
分析：题目中给出了四边形各边中点，可以连接四边形的一条对角线，利用三角形中位线定理证明要证的四边形一组对边平行且相等，从而证明它是平行四边形.
证明：连接 AC .
∵AH = HD，CG = GD，
∴HG∥AC，且 HG =12AC .
?
同理 EF∥AC，且 EF =12AC .
?
∴四边形 EFGH 是平行四边形.
∴ HG EF .
A
B
C
D
E
F
G
H
已知：如图，在四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点.
求证：四边形 EFGH 是平行四边形.
如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出AC和BC的中点M，N. 如果测得MN＝20 m，那么A，B两点的距离是____m，理由是
___________________________________________________．
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三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半
拓展1：已知△ABC的面积是S，顺次连接各边中点E，G，F所得的四个三角形面积各是多少？
A
B
C
E
F
G
每个三角形的面积＝14S
?
解：根据三角形的中位线定理知，
EF＝ 12BC＝BG，AE＝12AB＝EB，AF＝12AC＝EG，
?
故△AEF≌△EBG，
?
同理，△AEF≌△FGC， △GFE≌ △AEF．
?
所以，S△AEF ＝S△EBG ＝S△FGC ＝S△GFE＝14S．
?
解：根据三角形的中位线定理知，
EF＝12a，EG＝ 12b，GF＝12c．
?
故△EGF的周长＝12a＋12b＋12c＝12(a＋b＋c)．
?
同理，其他三角形的周长也是12(a＋b＋c)．
?
拓展2：如果△ABC三边的长分别为a，b，c，那么顺次连接各边中点E，G，F所得的四个三角形周长分别是多少？
每个三角形的周长＝(a＋b＋c)
A
B
C
E
F
G
三角形的中位线
定理
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
定义
1.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长是____cm.
10
2.如图，在△ABC中，D，E分别为AC，BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为(　　)
A．32 B．3
C．6 D．9
?
C
3.如图，在四边形ABCD中，AB = CD，M，N， P分别是AD， BC，BD的中点，∠ABD = 20°，∠BDC = 70°，求∠PMN的度数．
解：∵M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线.
∴PM =12 AB，PN =12 DC，PM∥AB，PN∥DC.
∵AB = CD，∴PM = PN.∴△PMN是等腰三角形.
∵PM∥AB，PN∥DC，
∴∠MPD =∠ABD = 20°，∠BPN =∠BDC = 70°.
?
∴∠MPN =∠MPD+(180°?∠NPB) = 130°.
∴∠PMN =(180°?130°)÷2 = 25°．
4.如图，在 ?ABCD 中，E 是 AD 的中点，点 F 在 BA 的延长线上，且 AF ＝12AB，连接 EF，BD.
?
(1)请用无刻度的直尺作出△ABD 中与 AB 平行的中位线 EG (不写作法，保留作图痕迹)；
A
B
C
D
E
F
G
解：如图，EG 即为所求．
(2)判断四边形 AGEF 的形状，并说明理由．
四边形 AGEF 是平行四边形．理由如下:
∵EG 是△ABD 的中位线，
∴EG∥AB，EG＝12 AB．
?
又 AF＝ 12?AB，∴EG ＝ AF．
?
又 EG∥AF，∴四边形 AGEF 是平行四边形．
A
B
C
D
E
F
G

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