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第二十一章 四边形
21.3 特殊的平行四边形
21.3.1 矩形
第1课时
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
A
B
C
D
四边形ABCD
如果
AB∥CD
AD∥BC
B
D
□ ABCD
A
C
平行四边形的性质：
边
平行四边形的对边平行.
平行四边形的对边相等.
角
平行四边形的对角相等.
平行四边形的邻角互补.
对角线
平行四边形的对角线互相平分.
平行四边形的判定：
边
两组对边分别平行的四边形.
两组对边分别相等的四边形.
角
两组对角分别相等的四边形.
对角线
对角线互相平分的四边形.
一组对边平行且相等的四边形.
平行四边形的判定定理：
2.探索并证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题。
3.掌握直角三角形斜边上的中线的性质.
1.理解矩形的概念,明确矩形与平行四边形的区别与联系.
我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样，对于平行四边形来说也有特殊情况即特殊的平行四边形，这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形→矩形
两组对边
分别平行
平行
四边形
一个角是
直角
矩形
【思考】从图形上看,矩形是平行四边形吗 若是它们之间有何关系呢
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形
矩形的定义：
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形
具备平行四边形所有的性质
A
B
C
D
O
角
边
对角线
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
矩形的一般性质：
矩形是特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
A
B
C
D
求证：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ ∠A=90°.
又∵矩形ABCD是平行四边形,
∴ ∠A=∠C ，∠B = ∠D,
∠A +∠B = 180°,
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
即矩形的四个角都是直角.
已知：如图,四边形ABCD是矩形.
求证：AC = BD.
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中.
∵∠ABC = ∠DCB = 90°,
又∵AB = DC ， BC = CB,
∴△ABC≌△DCB.
∴AC = BD，即矩形的对角线相等.
求证:矩形的对角线相等.
矩形的特殊性质
矩形的四个角都是直角．
矩形的对角线相等．
从角上看：
从对角线上看：
【归纳】
矩形的两条对角线互相平分
矩形的两组对边分别相等
矩形的两组对边分别平行
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线相等
边
对角线
角
矩形的性质
【归纳】
例1 如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,
∠AOB=60°,AB=4 ,求矩形对角线的长.
∵四边形ABCD是矩形.
∴AC = BD，
OA= OC= AC,OB = OD = BD ,
∴OA = OB.
又∵∠AOB=60°,
∴OA=AB=4.
∴AC=BD=2OA=8.
A
B
C
D
O
矩形的对角线相等且互相平分
∴△OAB是等边三角形.
【解析】
∵∠ABC=90°,
∴□ABCD是矩形,
已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证: BO= AC
O
C
B
A
D
证明: 延长BO至D,使OD=BO, 连接AD,DC.
∵AO=OC, BO=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AC=BD,
∴BO= BD= AC.
【跟踪训练】
直角三角形的性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
应用格式：
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.
∴BO = AC.
O
C
B
A
【归纳】
例2 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长.
∴AC与BD相等且互相平分,
∴ OA=OB.
∵ ∠AOB=60°,
∴ △AOB是等边三角形,
∴ OA=AB=4㎝,
∴ 矩形对角线的长 AC=BD=2OA=8㎝.
【解析】∵ 四边形ABCD是矩形,
D
C
B
A
o
【例题】
已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，
则两条对角线所夹锐角的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
D
【跟踪训练】
矩形的相关概念及性质
具有平行四边形的一切性质
四个内角都是直角，对角线相等
既是轴对称图形也是中心对称图形
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形
定义
性质
1.四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处,这样的队形对每个人公平吗 为什么？
O
A
B
C
D
公平,因为OA=OC=OB=OD
【解析】
2.如图，要使□ ABCD成为矩形，需添加的条件是( )
A.AB=BC B.AC⊥BD
C.∠ABC=90° D.∠1=∠2
【解析】因为有一个角是直角的平行四边形是矩形.
C
D
C
B
A
┓
3.已知△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3㎝，则AC＝ _____ ㎝.
(2)若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝_____㎝，BD＝_____㎝.
6
5
10
第二十一章 四边形
21.3 特殊的平行四边形
21.3.1 矩形
第2课时
1、矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
2、矩形有哪些性质？
矩形
边：
角：
对角线：
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
1.理解并掌握矩形的判定办法。
2.能熟练运用矩形的定义和判定知识进行计算和证明。
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.
问题1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？
问题2 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？
定义判定：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.（方法一）
平行四边形ABCD中∠A=90°
四边形ABCD是矩形
∵
∴
（ 已知），
（矩形的定义）.
几何语言：
平行四边形
矩形
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
D
C
┐
思考 我们知道，矩形的对角线相等. 反过来，对角线相等的平行四边形
是矩形吗？
已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.
求证：□ABCD是矩形.
证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB,
∴ △ABC≌△DCB ,
∴∠ABC = ∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC + ∠DCB = 180°,
∴ ∠ABC = 90°,
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
A
B
C
D
【判定证明】
对角线相等的平行四边形是矩形
矩形的判定方法：
几何语言：
∵ AC=BD，四边形ABCD是平行四边形 （已知），
∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
A
B
C
D
O
思考 我们知道，矩形的四个角都是直角，那么反过来说“四个角都是直角的四边形是矩形”成立吗？
┐
┐
┐
┐
┐
┐
×
√
至少有几个角是直角的四边形是矩形呢？
┐
┐
┐
┐
成立
一个角是直角
两个角是直角
三个角是直角
×
已知：在四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C = 90 . 求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵ ∠A=∠B=90 ， ∠A+∠B=180
∴ AD//BC
∵ ∠B=∠C=90 ， ∠B+∠C=180
∴ AB//CD
∴ 四边形ABCD是平行四边形
∵ ∠A=90
∴四边形ABCD是矩形
A
B
D
C
┐
┐
┐
【判定证明】
矩形的判定方法：
有三个角是直角的四边形是矩形
A
B
C
D
∵ ∠A=∠B=∠C=90°（已知），
∴四边形ABCD是矩形（有三个角是
直角的四边形是矩形）.
几何语言：
矩形的判定方法有哪些？
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
方法一：
方法二：
方法三：
【归纳】
【跟踪训练】
判断：
对角线相等的四边形是矩形。
对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
有一个角是直角的四边形是矩形。
四个角都是直角的四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。
×
×
×
×
√
√
√
矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
1.在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是（　　）
A．测量对角线是否相等
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中三个角是否都为直角
D
2.如图，在 ABCD中，AC 和BD 相交于点O，则下面条件能判定 ABCD 是矩形的是 （　　）
A．AC=BD B．AC=BC
C．AD=BC D．AB=AD
A
3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．
证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，
∴∠ADC=90°.
又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，
满足132=52+122，即
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
A
B
C
D
【解析】
在矩形ABCD中，CD=6，
∴AB=6.
又点A对应的数为-1.
∴点B所对应的数为5.
【解析】
5
5.如图，MN∥PQ，同旁内角的平分线AB,CB和AD,CD分别相交于点B,D．
（1）猜想线段AC和BD间的关系是______.
（2）证明你的猜想．
(2)证明:∵MN∥PQ,AB,CB分别是∠MAC,∠PCA的平分线，
∴∠BAC+∠ACB=90°.∴∠ABC=90°.
同理∠ADC=90°.
∵CB,CD分别是∠PCA,∠QCA的平分线，
∴∠BCA+∠DCA=90°，∴∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形.∴AC=BD.
【解析】
AC=BD

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