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第二十一章 四边形
21.3 特殊的平行四边形
21.3.2 菱形
第1课时
1.对边平行且相等
2.四个角都是直角
3.对角线相等且互相平分
矩形的性质有哪些？
4.轴对称图形，有两条对称轴
2.理解并掌握菱形的定义及性质，会用这些性质进行
有关的证明和计算，会计算菱形的面积.
1.掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系.
3.掌握菱形的判定方法,会用这些判定方法进行有关
的证明和计算.
你认识这些生活中常见的图形吗？能找出它们的共同特点吗？
都具有
两组对边分别平行
四边形
平行四边形
矩形
有一个角是直角
菱形
？
四边形、平行四边形和矩形之间可以通过条件变化转换.
菱形能不能由平行四边形得到呢？需要什么条件呢？
在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？
平行四边形
有一组邻边相等的平行四边形
菱形
邻边相等
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
平行四边形
菱形
有一组邻边相等
菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法.
∵四边形ABCD是平行四边形，
AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
几何语言：
【归纳】
因为菱形是有一组邻边相等的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一般性质，即：
A
B
D
C
对边平行且相等
除此之外，菱形的边还有特殊的性质吗？
猜想：AB=BC=CD=AD，即四条边相等.
对角线互相平分
对角相等
如图，菱形ABCD中， AB=BC ，求证：AB=BC=CD=AD.
证明：∵四边形ABCD是菱形
∵ AB=BC
A
B
D
C
∴AB=CD， AD=BC
∴ AB=BC=CD=AD
菱形的性质：菱形的四条边都相等.
A
B
D
C
∵四边形ABCD是菱形
∴ AB=BC=CD=AD
数学语言：
【归纳】
任意画一个菱形，沿对角线对折，最后能得到什么样的图形？
通过上面的折纸，你能猜想菱形的对角线有什么特殊的性质吗？
猜想：对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
如图，四边形ABCD是菱形，求证： AC⊥BD，AC 平分∠BAD，∠BCD，BD 平分∠ABC，∠ADC.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC=CD=AD，OA=OC，OB=OD.
∵在△ABO 和△ADO 中，AB=AD，OB=OD，OA=OA，
∴ △ABO≌△ADO， ∠AOB=∠AOD.
∵∠AOB=∠AOD， ∠AOB+∠AOD=180°，
∴ ∠AOB=∠AOD=90 ，即AC⊥BD.
A
B
D
C
O
【解析】
菱形的性质：
（1）菱形具有平行四边形的一切性质.
（2）菱形的四条边都相等.
（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
（4）菱形是轴对称图形,也是中心对称图形.
B
C
D
A
【归纳】
【例1】在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O, ∠BAC=30°,
BD=6.求菱形的边长和对角线AC的长.
【例题】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO= BD=3，
又∵∠BAC=30°，∴AB=2BO=6,
∴OA= ,
∴AC= .
答：菱形的边长为6，对角线AC的长为 .
【解析】
菱形ABCD 中,O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,AO=4cm，求两对角线AC , BD 的长.
O
C
B
D
A
∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC，OB=OD,AC⊥BD.
∵Rt△AOB中，OB2+OA2=AB2,
AB= 5，AO= 4,
∴OB= 3.
∴BD= 2OB = 6 cm， AC= 2OA = 8 cm.
5
4
3
【跟踪训练】
【解析】
菱形的面积公式
菱
形
A
B
C
D
O
E
S菱形=BC·AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能计算菱形的面积吗
= S△ABD+S△BCD = AC×BD
S菱形ABCD
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
∴S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD.
【跟踪训练】
菱形的性质及有关计算
菱形的性质
有关计算
边
1.周长=边长的四倍;
2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半
角
对角线
1.两组对边平行且相等；
2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；
2.每一条对角线平分一组对角
1.（陕西·中考）若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为（ ）
A.16 B.8 C.4 D.1
【解析】设这个菱形两条对角线长分别为a,b.由菱形对角线互相垂直且平分，则
即a2+b2=16.
A
2.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）.
D
A.对角线相等 B.对角线互相平分
C.邻边互相垂直 D.对角线互相垂直
3.菱形ABCD的两对角线AC，BD的长为8，6，则其边长为多少
解：∵四边形ABCD是菱形
∴ AC、BD互相垂直平分


A
B
D
C
O
∴菱形ABCD的边长为5
第二十一章 四边形
21.3 特殊的平行四边形
21.3.2 菱形
第2课时
1.四条边都相等
2.两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3.轴对称图形，有两条对称轴.
菱形的特殊性质有哪些？
1.掌握菱形的判定及证明过程。
2.能熟练运用菱形的判定进行计算和证明。
思考 已知一个平行四边形，怎么样可以判定它是一个菱形？你能够证明吗？
平行四边形
什么条件？
菱形
判定1（定义法）： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
几何语言：
在平行四边形ABCD中，
∵ AB=BC
∴平行四边形ABCD是菱形
A
B
D
C
通过上节课的学习，我们知道菱形的定义既是菱形的性质，又是菱形的判定方法，因此有：
除了根据定义判定以外，还有其他方法吗？
思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直. 反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
你能试着给出证明吗？
A
B
D
C
O
┐
与研究平行四边形和矩形的判定方法类似，我们研究菱形的性质定理的逆命题，看看它们是否成立.
已知：在平行四边形ABCD中， AC⊥BD. 求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ OB=OD
∵ AC⊥BD
∴ BA=AD
∴ 四边形ABCD是菱形
A
B
D
C
O
┐
几何语言：
在平行四边形ABCD中，
∵ AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形
A
B
D
C
O
┐
判定2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
【归纳】
例1 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3. 求证：平行四边形ABCD是菱形.
D
A
C
B
O
证明：∵ AB=5，AO=4，BO=3

∴△AOB是直角三角形
∴AC⊥BD
∴ 平行四边形ABCD是菱形
【例题】
如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF. 求证：四边形AECF是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AD=BC， AD//BC
∵ DE=BF
∴ AE=CF， 又AE//CF
∴四边形AECF是平行四边形
A
B
C
D
E
F
∵ AC⊥EF
∴四边形AECF是菱形
【跟踪训练】
思考 动手画出一个四边形，满足有两条边相等的四边形是菱形吗？
不是
不是
？
你能进行证明吗？
三条边相等呢？
四条边相等呢？
已知：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA. 求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵ AB=CD=BC=DA
∴四边形ABCD是平行四边形
∵ AB=BC
∴四边形ABCD是菱形
A
B
D
C
几何语言：
在四边形ABCD中， ∵ AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
A
B
D
C
菱形的判定3：四条边相等的四边形是菱形.
【归纳】
1.一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.四条边相等的四边形是菱形.
菱形常用的判定方法
【归纳】
证明： ∵ ∠1= ∠2,
又∵AE=AC,AD=AD,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,
∴四边形ABCD是菱形.
2
例2 如图,在△ABC 中, AD是角平分线,点E，F分别在 AB， AD上,且AE=AC,EF = ED.求证：四边形CDEF是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
【例题】
C
A
B
D
E
F
G
H
如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
四边形EFGH是菱形.
又∵AC=BD,
∵点E，F，G，H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到四边形是菱形.
理由如下：连接AC，BD
【解析】
【跟踪训练】
菱形的判定
判定1
判定3
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
判定2
四条边相等的四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
1.□ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 形；
（2）若AC=BD，则□ABCD是 形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形；
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 形.
A
B
C
D
O
矩
菱
矩
菱
2.平行四边形ABCD的两对角线AC，BD相交于点O.
（1）若AB=AD，则平行四边形ABCD是 .
（2）若∠BAO=∠DAO，则平行四边形ABCD是 .
（3）若平行四边形ABCD是菱形，则AC BD.
菱形
菱形
⊥
A
B
D
C
O
3.（连云港·中考）如图，四边形ABCD的对角线AC,BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A.BA=BC B.AC、BD互相平分
C.AC=BD D.AB∥CD
【解析】对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
B

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