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第二十一章 四边形
21.3 特殊的平行四边形
21.3.3 正方形
第1课时
平行
四边形
从一般到特殊
矩形
一个角是直角
菱形
一组邻
边相等
角特殊化
边特殊化
？
1.理解并掌握正方形的概念、性质.
2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别.
3.能够运用正方形性质解决几何问题，感受正方形在生活中的应用.
矩 形
正方形
〃
〃
观察矩形一组邻边相等时变成怎样的图形呢?
菱 形
∟
∟
∟
∟
正方形
菱形有一个角是直角时变成怎样的图形呢?
矩 形
〃
〃
正方形
一组邻边
相等
〃
〃
发现：
一组邻边相等的矩形 是正方形
菱 形
一个角
是直角
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形是正方形
正方形性质
边
角
对角线
图形语言

文
字语言

符号语言
A
C
D
\
B
A
C
D
B
A
C
D
B
\
\
\
∟
∟
∟
∟
O
\
\
\
\
∟
对边平行， 四条边都相等
四 个 角
都是直角
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD， AD∥BC, AB=BC=CD=AD.
∵四边形ABCD是
正方形，
∴∠A=∠B=∠C
=∠D=90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD,AC=BD,
OA=OB=OC=OD,
∠1= ∠2= ∠3= ∠4=
∠5= ∠6= ∠7= ∠8.
1
2
3
4
5
6
7
8
正方形是轴对称图形，它的对称轴是什么？
【想一想】
对角线所在直线和对边中点所确定的直线
根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打”√”
平行四边形
矩形
菱形
正方形
对边平行且相等
四边都相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
正方形不但具备一般的平行四边形的性质，而且同时具备矩形和菱形的性质.
√
√
平行四边形
矩形
四边形
菱形
正方形
四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系
【试一试】
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.
△DAO都是等腰直角三角形，并且
△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
A
B
C
D
O
【例1】已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.
证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，
AO=BO=CO=DO.
∴△ABO，△BCO，△CDO，
【例题】
四边形ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，经测EC=50m，EB=30m，这块场地的面积和对角线长分别是多少？
A
D
B
C
E
【解析】
连接AC.
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠B=90°，AB=BC.
∵ EC=50m，EB=30m，
∴ S正方形ABCD=(40 )2=1600(m2)，
∴
∴
【跟踪训练】
正方形
定义
有一组邻边相等，而且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.
正方形的四个角都是直角,四条边相等.
性质
正方形的对角线相等且互相垂直平分.
正方形是轴对称图形，有四条对称轴
平行四边形
矩形
菱形
正方形
有一组邻边相等
(或对角线互相垂直)
有一个角是直角
(或对角线相等)
有一个角是直角
(或对角线相等)
有一组邻边相等
(或对角线互相垂直)
有一组邻边相等，有一个角是直角（定义）
1.已知正方形????????????????的对角线长为2 ，则这个正方形的面积为( )
?
A
A.1 B.2 C.2 D.22
?
2.如图，在正方形???????????????? 的外侧，作等边三角形????????????，则∠???????????? 的度数是( )
?
A.55? B.60? C.75? D.80?
?
C
3.如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE＝AC，连接AE，交CD于F，求∠AFC的度数．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BCD， ∠BCD＝∠DCE＝90°．
∴∠ACB＝45°．
∵CE＝AC， ∠CAE＋∠E＝∠ACB，
∴∠E＝22.5°，
∴∠AFC＝∠DCE＋∠E＝90°＋22.5°＝112.5°．
A
B
D
C
E
F
4.如图，一块正方形场地的四个顶点分别是A,B,C,D.李明和张华在边AB上取了一点E，EC=30m，EB=10m，这块场地的面积和对角线长分别是多少？
A
D
B
C
E
解：在Rt△BEC中，BC=????????2?BE2=302?102=202(m)，
故场地的面积为BC2=800 m2.
对角线长为????????2+????????2=800+800=40 (m).
所以这块场地的面积为800m2，对角线长为40m.
?
6.（2025年浙江）
【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上．
【数学理解】
(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，
请写出△ABE≌△CBE的证明过程．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABD=∠CBD，
又∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS)；
6.（2025年浙江）
【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上．
【数学理解】
(2)若裁剪过程中满足DE=DA，求“机翼角”
∠BAE的度数．
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，∠ADB=45°，
∵DE=DA，
∴∠DAE=∠DEA，
∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°，
∴∠DAE=∠DEA=67.5°，
∴∠BAE=∠BAD?∠DAE=22.5°．
第二十一章 四边形
21.3 特殊的平行四边形
21.3.3 正方形
第2课时
1.什么是正方形？正方形有哪些性质？
A
B
C
D
正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.
O
正方形性质：①四个角都是直角；
②四条边都相等；
③对角线相等且互相垂直平分.
2.你是如何判定矩形、菱形的？
思考：怎样判定一个四边形是正方形呢？
平行四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
定义
四个判定定理
定义
对角线相等
定义
对角线垂直
1.理解并掌握正方形的判定和推导过程．
2.能熟练运用正方形的判定进行计算和证明．
由正方形的定义可知，有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形．
平行四边形
正方形
一组邻边相等，
且有一个角是直角
除此之外，还有没有其他判定方法呢？
王芳在商场看中一条丝巾，她不确定其是不是正方形样式， 于是售货员拿起丝巾拉起一组对角把丝巾对折（如图所示）， 让王芳看丝巾是否完全重合；见她还有些犹豫，售货员又拉起另一组对角把丝巾对折，让她看丝巾是否也完全重合. 王芳发现这两次都重合，就买下了这条丝巾.
你认为王芳买的这条丝巾是正方形样式吗？为什么？
探究1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形.
正方形
猜想：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
猜想：对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：如图，在矩形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO.
又∵AC⊥DB，∴AB=BC.
∴四边形ABCD是正方形.
1.如图，在矩形 ABCD 中，∠ABC 的平分线交对角线 AC 于点E，EF⊥AB， EG⊥BC，垂足分别是F，G. 判断四边形 EFBG 的形状，并证明你的结论.
解：四边形EFBG是正方形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°.
又 EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠BFE = ∠BGE = 90°，
∴四边形 EFBG 是矩形．
∵BE 为∠ABC 的平分线，∴EF = EG，
∴矩形 EFBG 是正方形．
A
D
B
C
E
F
G
【跟踪训练】
探究2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，看是不是正方形.
猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
菱形
一个角是直角
对角线相等
已知：如图，在菱形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD， AC⊥DB.
∵AC=DB，∴AO=BO=CO=DO，
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形.
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=45°+45°=90°，
∴四边形ABCD是正方形.
猜想：对角线相等的菱形是正方形.
A
B
C
D
O
2.如图，四边形AECF是菱形，对角线AC，EF交于点O，点 D， B是对角线EF所在直线上两点，且DE=BF，连接AD，AB， CD，
CB，∠ADO=45°．求证：四边形ABCD是正方形.
证明: ∵四边形 AECF 是菱形，
∴AC ⊥ EF，OA = OC，OE = OF．
∵DE=BF，∴OE + DE=OF + BF，即 DO=BO，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
又 AC ⊥ BD，∴四边形 ABCD 是菱形．
∵∠ADO=45°，∴∠ADC=2∠ADO=90°．
∴四边形 ABCD 是正方形．
【跟踪训练】
正方形判定的几条途径：
先判定菱形
先判定矩形
平行四边形
正方形
①一组邻边相等且有一个直角
②对角线相等且垂直
正方形
①有一个直角；②对角线相等
矩形条件(二选一)
正方形
①一组邻边相等；②对角线垂直
菱形条件(二选一)
例 如图，E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，且 AE = BF = CG = DH. 求证：四边形 EFGH 是正方形.
A
B
D
C
F
H
E
G
1
2
3
分析：要证明四边形 EFGH 是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG 全等得出.
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB = BC = CD = DA .
又 AE = BF = CG = DH，∴EB = FC = GD = HA .
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG .
?
A
B
D
C
F
H
E
G
1
2
3
∴HE = EF = FG = GH .
∴四边形 EFGH 是菱形 .
∵△AEH ≌ △BFE，∴∠2 = ∠3.
又∠1 + ∠2 = 90°，∴∠1 + ∠3 = 90°.
∴∠HEF = 180°－(∠1 + ∠3) = 90°.
∴四边形 EFGH 是正方形 .
?
任意
四边形
平行
四边形
正方形
矩形
菱形
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角且一组邻边相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
1.如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．若AB＝AC，则当△ABC满足∠A＝______时，四边形DAEF是正方形．
90°
2.如图是用尺规过点P作直线l的垂线的
两种方法，对图中虚线段组成的四边形，
下列说法正确的是(　　)
A．若a＝b，则方法1中的四边形为正方形
B．若a⊥b，则方法1中的四边形为矩形
C．若m＝n，则方法2中的四边形为菱形
D．若m⊥n，则方法2中的四边形为正方形
C
3.如图，点E在正方形ABCD的边BC上,∠AEF=90°且AE=EF,过点F作FM⊥BC，垂足为M．
（1）求证：BE=CM；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AB=BC，∴∠BAE+∠BEA=90°．
∵∠AEF=90°，∴∠BEA+∠FEM=90°，
∴∠BAE=∠FEM．
在△ABE与△EMF中，∠B=∠M=90°，∠BAE=∠FEM，AE=EF，
∴△ABE≌△EMF(AAS)，∴AB=EM．
∴BC=EM，∴BC－EC=EM－EC，即BE=CM．
?
（2）延长CD至点N，使得DN=BE，连接AN，FN. 求证：四边形AEFN是正方形.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，AB=AD．
∵DN=BE，∴△ABE≌△ADN(SAS)，
∴AE=AN，∠BAE=∠DAN．
∵AE=EF，∴EF=AN．
∵∠EAN=∠DAN+∠EAD=∠BAE+∠EAD=∠BAD=90°，
∴∠EAN+∠AEF=180°，∴AN∥EF，
∴四边形AEFN是平行四边形．
∵AE=EF，∴四边形AEFN是菱形．
∵∠AEF=90°，∴四边形AEFN是正方形．

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