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22.1 函数的表示
第1课时
第二十二章 函数
生活中有很多关系难以通过列解析式或列表格的方法表示，通常用图来直观地反映，帮助人们快速获取想要的信息，如心电图测试结果、股票走势、天气的变化等.
1.掌握描点法画函数图象的步骤（列表、描点、连线），能运用该方法画出简单函数的图象；
2. 能通过函数图象，直观观察函数随自变量变化的趋势.
(1) 列表:
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 …
S …
(2)描点：表示与其对应的点有无数个 , 但是实际上我们只能描出其中有限个点 , 同时想象出其他点的位置．
如何在坐标系中表示S=x2？
1
0.25
4
9
16
2.25
6.25
12.25
0
(3)连线：用平滑的曲线去连接画出的点．
问题1：请写出正方形的面积S与边长x的函数解析式.
S=x2.
问题2：自变量 x 的取值范围是多少？
根据问题的实际意义，该自变量 x 的取值范围是 x>0.
问题3：如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观，怎样确定图象的点？
选取合适的值，确定点的坐标.
第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值.
S=x2.
x ... 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 ...
S ... 0.25 1 ...
2.25
4
6.25
9
12.25
16
第二步，描点——在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点.
(0.5,0.25) (1,1) (1.5,2.25) (2,4) (2.5,6.25) (3,9) (3.5,12.25) (4,16)
第三步，连线——按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.
(0.5,0.25) (1,1) (1.5,2.25) (2,4)
(2.5,6.25) (3,9) (3.5,12.25) (4,16)
用空心圆圈表示不在曲线的点
用实心圆点表示在曲线的点
所得曲线上每一个点都代表x的值与S的值的一种对应.
用平滑曲线连接画出的点
第三步，连线——按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.
(0.5,0.25) (1,1) (1.5,2.25) (2,4)
(2.5,6.25) (3,9) (3.5,12.25) (4,16)
图中的曲线即函数 S=x （x>0）的图象.
思考 函数 S = x2 表示的所有的点都要在曲线上描出来吗？
表示x与S的对应关系的点有无数个.但是实际上我们只能描出其中有限个点，同时想象出其他点的位置.
函数的图象：
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
敲黑板
函数图象上的任意一点的坐标 (x, y) 中的 x，y 均满足函数解析式；
满足函数解析式的任意一对 x，y 的值，所对应的点一定在这个函数的图象上.
例1 在下列式子中，y是x的函数. 画出这些函数的图象，通过图象观察函数与自变量的关系.
(1) y=x+0.5； (2) y= (x>0).
解：(1)从式子 y=x+0.5 可以看出，x 取任意实数时这个式子都有意义，所以 x 的取值范围是全体实数.
从 x 的取值范围中选取一些数值，算出 y 的对应值，列表.
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 …
根据表中数值描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点.
从函数y=x+0.5的图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y随之增大.
y=x+0.5
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 …
例1 在下列式子中，y是x的函数. 画出这些函数的图象，通过图象观察函数与自变量的关系.
(1) y=x+0.5； (2) y= (x>0).
解：(2) y = (x > 0) 中x的取值范围是全体正实数，从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表.
x … 0.5 1 2 3 4 5 6 …
y … 6 3 1.5 1 0.75 0.6 0.5 …
x … 0.5 1 2 3 4 5 6 …
y … 6 3 1.5 1 0.75 0.6 0.5 …
根据表中的数值在平面直角坐标系中描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点.
从函数y= (x>0) 的图象可以看出，曲线从左向右下降，即当x由小变大时，y随之减小.
归纳
用描点法画函数图象的一般步骤如下：
第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值;
第二步，描点——在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点;
第三步，连线——按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.
跟踪训练
(1)画出函数y=-2x-1的图象；
(2)判断点(5,9)，(7，-15)是否在此函数的图象上.
解：(1)列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 5 3 1 -1 -3 -5 -7 …
因为x的取值范围是全体实数，所以表的左右两端不要忘记用省略号表示对应的数值
根据表中数值描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点，如图.
跟踪训练
(1)画出函数y=-2x-1的图象；
(2)判断点(5,9)，(7，-15)是否在此函数的图象上.
判断点是否在函数图象上的方法
要判断点P (x,y)是否在某一函数的图象上，只需把x的值代入该函数的解析式，如果所求得的函数值与y的值相等，那么这个点就在该函数的图象上，否则就不在该函数的图象上.
跟踪训练
(1)画出函数y=-2x-1的图象；
(2)判断点(5,9)，(7，-15)是否在此函数的图象上.
解：(2)当x=5时，y=-2×5-1=-11，
所以点(5，9)不在此函数的图象上.
当x=7时，y=-2×7-1=-15，
所以点(7，-15)在此函数的图象上.
函数图象
定义
画法
如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
①列表；②描点；③连线.
1. (1) 画出函数 y = 2x -1 的图象；
(2) 判断点 A(-2.5, -4)，B(1, 3)，C(2.5, 4) 是否在函数 y = 2x-1 的图象上.
解：(1)列表：
描点、连线，所画图象如图所示.
1. (1) 画出函数 y = 2x -1 的图象；
(2) 判断点 A(-2.5, -4)，B(1, 3)，C(2.5, 4) 是否在函数 y = 2x-1 的图象上.
解：(2) 将 x = -2.5 代入 y = 2x -1，得 y =-6 ≠ -4，
∴ 点 A 不在该函数图象上.
将 x = 1 代入 y = 2x -1，得 y = 1 ≠ 3，
∴ 点 B 不在该函数图象上.
将 x = 2.5 代入 y = 2x -1，得 y = 4，
∴ 点 C 在该函数图象上.
2. (1) 画出函数 y = x + 1 的图象.
(2) 观察函数 y = x + 1 的图象，当 x < 0 时，y 随 x 的增大而增大还是 y 随 x 的增大而减小？当 x > 0 时呢？
解：(1)列表：
描点、连线，所画图象如图所示.
2. (1) 画出函数 y = x + 1 的图象.
(2) 观察函数 y = x + 1 的图象，当 x < 0 时，y 随 x 的增大而增大还是 y 随 x 的增大而减小？当 x > 0 时呢？
解：(2)从图象中观察可知：
当x<0时，y随x的增大而减小；
当x>0时，y随x的增大而增大.
3.下列各点在函数y=3x-1的图象上的是（ ）
A.(0,1) B.(2,5) C.(-3,7) D.(1,1)
解析：判断点是否在函数图象上，只需将横坐标代入函数解析式，计算出函数值，如果函数值与纵坐标相等，则点在函数图象上，否则不在函数图象上.
当x=0时，y=3×0-1=-1≠1，故A选项错误：
当x=2时，y=3×2-1=5，故B选项正确；
当x=-3时，y=3×(-3)-1=-10≠7，故C选项错误；
当x=1时，y=3×1-1=2≠1，故D选项错误.
B
4.已知点 P(a，5) 在函数y=3x-4的图象上，则a的值为_______.
解析：因为点P(a，5)在函数y=3x-4的图象上，
所以 5=3a-4，解得a=3.
3
22.1 函数的表示
第2课时
第二十二章 函数
1.函数的图象 一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
2.函数图象的画法步骤
列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值.
描点：在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相对应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点.
连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来.
1.能根据函数图象分析出实际问题中变量的信息，发现变量间的变化规律；
2.掌握分析实际问题中函数图象的方法，能结合图象解决对应情境下的具体问题.
思考 下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温 T 如何随时间 t 的变化而变化.你从图象中得到了哪些信息？
由图可以看出，气温T随时间t的变化而变化，对于时间t的每一个确定的值，气温T都有唯一确定的值与其对应.因此，气温T是时间t的函数，下图是这个函数的图象.
问题1 气温 T 与时间 t 是函数关系吗？
这一天中凌晨4时气温最低（-3℃），14时气温最高(8℃).
问题2 这一天，何时气温最低，何时最高？
问题3 你可以大致描述这一天的气温变化情况吗？
从0时至4时气温呈下降状态（即温度随时间的增长而下降），
从4时到14时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态.
我们可以从图象看出这一天中任一时刻的气温大约是多少.
例如：24时气温大约是2℃.
问题4 你还能得到哪些信息？
分析函数图象，读取相关信息应抓住以下关键点.
(1)两轴：弄清楚横、纵坐标轴表示的变量的实际意义，一般地，横轴是自变量，纵轴是自变量的函数.
(2)特殊点：
①最高点和最低点：函数值的最大值、最小值;
②起点和终点：自变量取最小值和最大值时对应的点;
③拐点：函数图象上的拐点既是前一段函数的终点，又是后一段函数的起点，反映了函数图象在这一时刻开始发生变化.
(3)水平线：表示函数值不随自变量的变化而变化.
(4)线段（曲线）的陡缓：
线段（曲线）相对较陡表示函数值随自变量的变化而变化得快，
线段（曲线）相对较缓表示函数值随自变量的变化而变化得慢.
例1 如图1，李明家、食堂、图书馆在同一条直线上.李明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆查资料，然后回家. 图2反映了这个过程中，李明离家的距离y与时间x之间的对应关系.
李明家 食堂 图书馆
图1
图2
根据图象回答下列问题：
(1)食堂离李明家多远？李明从家到食堂用了多长时间？
分析：李明离家的距离y是时间x的函数，由图象中有两段平行于x轴的线段可知，李明离家后有两段时间先后停留在食堂与图书馆里.
解：(1)由纵坐标看出，食堂离李明家0.6 km；由横坐标看出，李明从家到食堂用了8 min.
根据图象回答下列问题：
(2)李明吃早餐用了多长时间？
解：(2)由横坐标看出，25 － 8=17，李明吃早餐用了17 mim.
根据图象回答下列问题：
(3)食堂离图书馆多远？李明从食堂到图书馆用了多长时间？
解：(3)由纵坐标看出，0.8 － 0.6=0.2，食堂离图书馆0.2 km；
由横坐标看出，28 － 25=3，李明从食堂到图书馆用了3 min.
根据图象回答下列问题：
(4)李明查资料用了多长时间？
解：(4)由横坐标看出，58－28=30，李明查资料用了30 min.
根据图象回答下列问题：
(5)图书馆离李明家多远？李明从图书馆回家的平均速度是多少？
解：(5)由纵坐标看出，图书馆离李明家0.8 km；
由横坐标看出，68－58=10，
李明从图书馆回家用了10 min，由此算出李明从图书馆回家的平均速度是0.08 km/min.
跟踪训练 小明同学骑自行车去郊外春游，骑行1h后，自行车出现故障，维修好后继续骑行，他离家的距离y(km)与所用的时间x(h)之间关系的图象如图所示.根据图象回答下列问题：
(1)小明到达离家最远的地方用了多长时间？此时离家多远？
解：(1) 由图象可知，小明到达离家最远的地方用了 3 h，此时离家 30 km.
跟踪训练 小明同学骑自行车去郊外春游，骑行1h后，自行车出现故障，维修好后继续骑行，他离家的距离y(km)与所用的时间x(h)之间关系的图象如图所示.根据图象回答下列问题：
(2) 小明出发 2.5 h 后离家多远？
解： (2) 由图可知，当 x=2 时，y=15，
当 2所以当x=2.5时，y=15+15×0.5=22.5，即小明出发 2.5 h 后离家 22.5 km.
跟踪训练 根据图象回答下列问题：
(3) 小明出发多长时间后离家 12 km？
解： (3) 小明离家12 km时，对应两个时间，第1次为出发时，
第2次为返回时，需分两种情况：
①小明出发时离家 12 km，
AB 段表示的速度为 =15 (km/h)，
= 0.8 (h)，
即小明出发 0.8 h 后离家 12 km.
解： (3)②小明返回时离家 12 km，
EF 段表示的速度为 = 15 (km/h)，
4 + = 5.2 (h)，即小明出发 5.2 h 后离家 12 km.
综上所述，小明出发 0.8 h 或 5.2 h 后离家 12 km.
跟踪训练 根据图象回答下列问题：
(3) 小明出发多长时间后离家 12 km？
探究 构建合适的问题情境，使其中的变量之间的函数关系可以分别用图 1和图 2中的图象来表示.
s/m
900
O 10 20 30 40
t/min
图 1
s/m
900
O 10 20 30 40 45
t/min
图 2
s/m
900
O 10 20 30 40
t/min
图 1
小明从家出发走路20 min到达离家900 m的体育馆后，直接原路返回，又用了20 min返回到家，则离家的距离s和时间t的函数关系可用图 1来表示.
s/m
900
O 10 20 30 40 45
t/min
图 2
小明从家出发走路20 min到达离家900 m的体育馆后，在体育馆休息了10 min，原路又用了15 min返回到家，则离家的距离s和时间t的函数关系可用图 2来表示.
函数图象
的分析
(1)两轴：弄清楚横、纵坐标轴表示的变量的实际意义，一般地，横轴是自变量，纵轴是自变量的函数.
(2)特殊点：
①最高点和最低点：函数值的最大值、最小值；
②起点和终点：自变量取最小值和最大值时对应的点.
③拐点：函数图象上的拐点既是前一段函数的终点，又是后一段函数的起点，反映了函数图象在这一时刻开始发生变化.
(3)水平线：表示函数值不随自变量的变化而变化.
(4)线段（曲线）的陡缓：线段（曲线）相对较陡表示函数值随自变量的变化而变化得快，线段（曲线）相对较缓表示函数值随自变量的变化而变化得慢.
1.园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间.已知绿化面积S与工作时间 t 的函数关系如图所示.
(1)休息前，园林队工作了多长时间？绿化面积为多少？
(2)园林队中间休息了多长时间？
解：(1)休息前，园林队工作了1 h，绿化面积为60 m2.
(2)园林队中间休息了1 h.
O 1 2 4
160
60
S/m2
t/h
1.园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间.已知绿化面积S与工作时间 t 的函数关系如图所示.
(3)休息后，园林队每小时完成的绿化面积为多少？
解： (3)(160-60)÷(4-2)=50 (m2/h).
所以休息后，园林队每小时完成的绿化面积为50 m2.
O 1 2 4
160
60
S/m2
t/h
2.如图，这是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象.
(1)这一天内，北京与上海何时气温相同？
解：(1)这一天内，北京与上海在7：00和12：00气温相同.
2.如图，这是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象.
(2)这一天内，上海在哪段时间比北京气温高？在哪段时间比北京气温低？
解： (2)这一天内，上海的气温在0：00~7：00和12：00~24:00比北京的气温高，
在7：00~12：00比北京的气温低.
2.如图，这是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象.
(3)你还能从函数图象中得到哪些信息？
解： (3)北京和上海的气温在14：00后都逐渐降低.（答案不唯一）
3.如图，构建问题情境，使其中变量之间的函数关系可以用图中的图象来表示.
O 6 18 t/min
y/m
1 000
解：李明从距家1 000 m的图书馆以一定的速度步行回家，经过6 min 到达家门口，又以另以速度步行返回图书馆拿忘在图书馆的水杯，经过12 min回到图书馆.（答案不唯一）
4.过山车是一种深受年轻游客喜爱的娱乐项目，如图是佳佳某次乘坐过山车在一分钟之内距离地面的高度h(米)与时间t(秒)之间的函数图象，由图象可知，在这一分钟内过山车的最大高度与最小高度的差为( )
A.98米 B.93米 C.83 D.5米
解析：由题中函数图象可知，最大高度为98米，最低高度为5米，则在这一分钟内过山车的最大高度与最小高度的差为98－5=93（米）.
B
5.小明向某种空水壶内匀速注水，壶内水的深度h(cm)与注水时间t(s)的函数关系如图所示，选项中是各种水壶的平面图，则小明使用的水壶是( )
解析：根据题中函数图象可知，随着注水时间的增加，水的深度增加速度越来越快，故水壶应该是下宽上窄型，只有A选项符合.
A
22.1 函数的表示
第3课时
第二十二章 函数
y=-2x-1.
我们已经学习了三种表示函数的方法，分别称为解析法、列表法和图象法，你知道它们各自的优、缺点吗？
表示方法 定义 优点 缺点
列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法. 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接找到与它对应的函数值. 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律.
解析法 用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的方法. 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数值的对应关系. 从函数解析式很难直观地看出函数的变化规律，而且有些函数不能用解析法表示.
图象法 用图象表示两个变量间的函数关系的方法. 直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质. 从自变量的值常常难以找到对应函数的准确值.
1. 明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法）；
2. 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系.
例1 一个水库的水位在最近5 h内持续上涨.表中记录了这5 h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度.
t/h 0 1 2 3 4 5
y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
(1) 在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？
t/h 0 1 2 3 4 5
y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
解：(1)如图，描出表中数据对应的点，可以看出，这6个点在一条直线上. 再结合表中的数据，可以发现每小时水位上升0.3 m.
由此猜想，如果画出这5 h内其他时刻（如t=2.5 h等）及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的.
t
例1 (2) 水位高度y是不是时间t的函数？如果是，写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象．这个函数能表示水位的变化规律吗？
解：(2)由于水位在最近5 h内持续上涨，对于时间t的每一个确定的值，水位高度y都有唯一的值与其对应，所以y是t的函数.开始时水位高度为
3 m，以后每小时水位上升0.3 m.
t
例1 (2) 水位高度y是不是时间t的函数？如果是，写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象．这个函数能表示水位的变化规律吗？
函数y=0.3t+3(0≤t≤5)是符合表中数据的一个函数，它表示经过t h水位高度y为(0.3t+3)m.其图象是图中点A(0，3)和点B(5，4.5)之间的线段AB.
A
B
t
例1 (2) 水位高度y是不是时间t的函数？如果是，写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象．这个函数能表示水位的变化规律吗？
如果在这5 h内，水位一直匀速上升，即升速为0.3 m/h，那么函数y=0.3t+3(0≤t≤5)就精确地表示了这种变化规律.
即使在这5 h内，水位的升速有些变化，而由于每小时水位上升0.3 m是确定的，所以这个函数也可以近似地表示水位的变化规律.
A
B
t
A
B
t
例1 (3) 如果这种上涨规律还会持续 2h，那么 2h 后水位高度将为多少米？
解：(3)如果水位的变化规律不变，则可利用上述函数预测，再过2 h，即t=5+2=7(h)时，水位高度
y=0.3×7+3=5.1(m).
把图中的函数图象(线段AB)向右延伸到t=7所对应的位置，如图，从它也能看出这时的水位高度约为5.1 m.
5.1
函数的三种表示方法有时可以互相转化，应用时要结合具体情况灵活选用.
跟踪训练 一辆汽车以60 km/h的速度匀速行驶，试用不同的方法表示汽车行驶距离s(km)与行驶时间t(h)之间的函数关系.
解：(1)解析法：s=60t (t≥0).
(2)列表法：
(3)图象法：如图所示.
1.用列表法与解析法表示n边形的内角和m（单位：度）关于边数n的函数.
解：列表法：
解析法：m=(n-2)×180 (n≥3，且n为正整数).
2.用解析法与图象法表示等边三角形的周长C关于边长a的函数.
解：解析法：C=3a (a>0).
图象法：如图所示.
3.一条小船沿直线向码头匀速前进. 在0 min，2 min，4 min，6 min时，测得小船与码头的距离分别为200 m，150 m，100 m，50 m. 小船与码头的距离s（单位：m）是时间t（单位：min）的函数吗？如果是，写出函数解析式，画出函数图象，并计算小船到达码头用了多长时间.
解：小船与码头的距离s是时间t的函数，
由题意知，小船的速度是25 m/min,
则s=200-25t (0≤t≤8). 图象如图所示.
当s=0时，200-25t=0，
解这个方程，得t=8.
故小船到达码头用了8 min.
4.一名老师带领x名学生到博物馆参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元．设门票的总费用为y元，则y关于x的函数解析式为( )
A．y＝10x＋30 B．y＝40x
C．y＝10＋30x D．y＝20x
A
5.某水库的水位在5 h内持续上涨，初始的水位高度为6 m，水位以每小时0.3 m的速度匀速上升，则水库的水位高度y(m)关于时间x(h)的函数解析式为 (0≤x≤5).
y＝6＋0.3x
函数的
三种表示方法
解析法
用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的方法.
用图象表示两个变量间的函数关系的方法.
通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法.
图象法
列表法

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