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24.2 数据的离散程度
第1课时
第二十四章 数据的分析
1.了解数据离散程度的含义，掌握离差、离差平方和、方差的定义与意义.
2.学会计算一组数据的离差平方和与方差，能用方差比较两组数据的波动大小.
3.能利用方差分析和解决实际问题中数据的稳定性问题，从而做出合理判断.
问题 某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题.为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量 (单位：t) 如下表所示.
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢
由样本平均数
估计总体平均数
上面两组数据的平均数分别是
甲=7.537，乙=7.515.
说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大.
由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大.
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
为了直观地观察甲、乙两种甜玉米在各试验田产量的分布情况，我们把表中的两组数据分别用图形进行描述，如图所示.
比较两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量离平均产量较远；而乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近.因此，从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好．
思考 如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？
正如两幅图所呈现的，当数据分布比较分散时，数据与平均数的差异相对较大；当数据分布比较集中时，数据与平均数的差异相对较小.
反过来也成立.
这样，为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画.
一般地，有 n 个数据 x1，x2，，xn，用表示它们的平均数，我们把 xi- （i=1，2，，n）叫作 xi 关于平均数的离差.
思考 可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？
用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但由
(x1- )+(x2- )++(xn- )=x1+x2++xn-n=0
可知，一组数据的离差和总是0，因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异.
为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和.我们把
(x1- )2+(x2- )2++(xn- )2
叫作这 n 个数据关于平均数的离差平方和，记作“d2”.
例1 体育老师随机选取八年级两个班各10名同学测量身高(单位:cm)，数据如下：
八(2)班：154,161,149,158,162,155,160,152,156,163；
八(5)班：148,150,166,168,152,155,158,149,165,159.
(1)分别计算两组数据的离差平方和；
解：（1）计算平均身高：
八(2)班：1= × (154+161+149+158+162+155+160+152+156+163) =157.
八(5)班：2 = × (148+150+166+168+152+155+158+149+165+159) =157.
计算离差平方和：
八(2)班：d12=(154 157) +(161 157) +(149 157) +(158 157) +(162 157) +(155 157) +(160 157) +(152 157) +(156 157) +(163 157) =190.
八(5)班：d22=(148 157) +(150 157) +(166 157) +(168 157) +(152 157) +(155 157) +(158 157) +(149 157) +(165 157) +(159 157) =494.
例1 体育老师随机选取八年级两个班各10名同学测量身高
(单位:cm)，数据如下：
八(2)班：154,161,149,158,162,155,160,152,156,163；
八(5)班：148,150,166,168,152,155,158,149,165,159.
(2)根据离差平方和判断哪个班的身高数据离散程度更大.
（2）因为d12 < d22，
所以八（5）班身高数据离散程度更大.
离差平方和的计算步骤
(1)求原始数据的平均数；
(2)求原始数据中各数据与平均数的差；
(3)求(2)中所得差的平方和.
把离差的平方的平均数
叫作这组数据的方差，记作“s2”.
特点：
方差能较好地反映出数据的离散程度，方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小.而且在比较两组数据的离散程度时，不受数据个数的限制.
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
思考 你能利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米产量的波动程度吗
≈ 0.010，
≈ 0.002.
由，可得乙种甜玉米产量的离散程度较小，即乙种甜玉米产量波动较小，稳定性较好.
甲=7.537.
乙=7.515.
由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定.正如用样本的平均数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差.
因此可以推测，在这个地区种植乙种甜玉米的产量比种植甲种的稳定.
综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米.
例2 数据1，-3，4，-2，2的方差为________.
解析：
方法一 ∵ = = 0.4 .
∴ s = × [(1 0.4) +( 3 0.4) +(4 0.4) +( 2 0.4) +(2 0.4) ]=6.64.
方法二 ∵= = 0.4 .
∴s = × [1 +( 3) +4 +( 2) +2 5×0.4 ]=6.64
6.64
跟踪训练 在一次训练中，甲、乙、丙三人各射击10次的成绩（单位：环）如图所示，在这三人中，此次射击成绩最稳定的是______.
解析：由图可知，乙的数据波动比较小，因此乙的射击成绩更稳定.
答案：乙.
乙
思考 用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足？
离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.
在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制.
例3 甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如下表所示.
哪名射击运动员的发挥更稳定？
解：两名运动员射击成绩的平均数分别为
甲= =8.7,
乙= =8.6.
甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10
乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9
两名运动员射击成绩的方差分别为
s2甲= =2.41,
s2乙= =1.04.
由s2甲＞s2乙可知，乙射击运动员的发挥更稳定.
甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10
乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9
思考 如何使用计算器求方差？
使用计算器的统计功能可以求方差.操作时需要参阅计算器的使用说明书，通常需要先按动有关键，使计算器进入统计状态，然后依次输入数据，最后按动求方差的功能键，计算器便会求出方差的值.
数据的
离散程度
离差平方和
d2=(x1- )2+(x2- )2++(xn- )2.
方差
s2= .
1. 如图，有4组数据，将这4组数据按离散程度从小到大排序.先通过直观判断排序，再根据方差排序.这两种排序的结果是否一致？
解：(1)1=×(6+6+6+6+6)=6，
s21=×[(6 6) +(6 6) +(6 6) +(6 6) +(6 6) ]=0.
(2)2=×(5+6+6+6+7)=6，
s22=×[(5 6) +(6 6) +(6 6) +(6 6) +(7 6) ]=0.4
1. 如图，有4组数据，将这4组数据按离散程度从小到大排序.先通过直观判断排序，再根据方差排序.这两种排序的结果是否一致？
(3) 3= ×(4+5+6+7+8)=6，
s23=×[(4 6) +(5 6) +(6 6) +(7 6) +(8 6) ]=2.
(4) 4= ×(4+4+6+8+8)=6，
s24=×[(4 6) +(4 6) +(6 6) +(8 6) +(8 6) ]=3.2.
所以这4组数据按方差大小，离散程度从小到大的排序为(1)<(2)<(3)<(4).
通过直观判断和根据方差排序的结果是一致的.
2.人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：甲=乙=80，s2甲=240，s2乙=180，则成绩较为稳定的班级是( )
A．甲班 B．乙班 C．两班成绩一样稳定 D．无法确定
B
解析：稳定性，也就是指成绩的波动．成绩波动越小，成绩越稳定．根据“方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小”，我们很容易发现乙班的方差比甲班的小，所以乙班的成绩较稳定．
3.下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温．比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，
下列说法正确的是(　　)
A．日最高气温的波动大
B．日最低气温的波动大
C．一样大
D．无法比较
A
日期 气温　　 2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日
最高/℃ 12 6 10 9 8
最低/℃ 1 －2 －1 0 2
4. 某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数(单位：个)及方差如下表所示：

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
B
项目 甲 乙 丙 丁
平均数 205 217 208 217
方差 4.6 4.6 6.9 9.6
24.2 数据的离散程度
第2课时
第二十四章 数据的分析
1.写出方差的计算公式：
3.方差的适用条件：
当两组数据的平均数相等或相近时，才利用方差来判断它们的波动情况．
2.意义：方差越大，数据的波动越大；
方差越小，数据的波动越小．
1.体会样本与总体的关系，能用样本方差估计总体方差，感悟通过样本特征估计总体特征的思想；
2.能从集中趋势和离散程度两个维度对比分析数据，进行决策.
问题 如图，为什么自动灌装线的生产的饮料实际含量会有差别？
这是因为自动灌装线在运行时，会受到机器精度、气压变化、液体流速等不可控因素的影响，导致每瓶饮料的实际灌装量和标准含量之间产生误差. 这种误差在工业生产中是普遍存在的.
问题 如何判断哪条灌装线的质量更好？
1. 误差是否合格：先看误差的绝对值有没有超过规定的标准，如果所有误差都在合格范围内，说明灌装线基本稳定.
2. 波动是否更小：在误差都合格的前提下，比较两条线的整体波动程度. 可以计算每瓶与标准值的平均差异，波动更小的那条线，灌装质量更稳定、更好.
不能只看单瓶的误差，也不能只看平均含量. 我们需要从两个维度来判断：
例1 自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际含量与标准含量会存在一些误差（实际含量－标准含量）．
甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为500 mL的饮料，为了检验两条灌装线的灌装质量，从每条灌装线上各随机抽取10瓶饮料进行测量，结果（单位：mL）如下表所示.
(1)如果每瓶饮料含量的误差的绝对值超过10mL为不合格品，两条灌装线的灌装质量是不是都合格？
(2)哪条灌装线的灌装质量更好？
甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501
乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499
甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501
乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499
解：(1)甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量500 mL的误差如下表所示.
甲组误差/mL 1 -4 -2 -1 3 -2 5 -2 1 1
乙组误差/mL -4 -7 4 -5 0 6 4 5 -2 -1
从表中的数据可以看出，甲、乙灌装线灌装的误差绝对值最大分别为5 mL,7 mL，两者都小于10 mL，因此两条灌装线灌装的质量都是合格的.
例1 (2)哪条灌装线的灌装质量更好？
甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501
乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499
分析：在饮料含量的误差的绝对值符合要求前提下，灌装饮料的实际含量与标准含量的差异越小，说明灌装线的质量越好.
(2)甲、乙灌装线饮料实际含量的平均数分别为
甲==500,
乙==500.
两条灌装线饮料实际含量的平均数都等于标准含量.
可以类比方差，计算甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量的平均差异程度，分别为
= 6.6，
= 18.8.
可以发现，甲灌装线饮料实际含量与标准含量的平均差异更小.
根据样本估计总体，综合来看，甲灌装线的灌装质量更好.
例1 (2)哪条灌装线的灌装质量更好？
甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501
乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499
跟踪训练 甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成两个统计图（如图1，图2）：
图1 甲队员射击训练成绩
图2 乙队员射击训练成绩
根据以上信息，整理分析数据如右图：
项目 平均成绩/杯 中位数/杯 众数/杯 方差
甲 7 7 7 1.2
乙 7 7.5 8 4.2
图1甲队员射击训练成绩
图2乙队员射击训练成绩
(1)求出表格中a,b,c的值.
(2)分别运用上表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩.
平均成绩 /杯 中位数 /杯 众数 /杯 方差
甲 a 7 7 1.2
乙 7 b 8 c
图1 甲队员射击训练成绩
图2 乙队员射击训练成绩
解：(1)观察甲队员射击训练成绩统计图，
可知 a
观察乙队员射击训练成绩统计图可知，
乙的 10 次成绩（单位：环）按从小到大的顺序排列为 3, 4, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10，其中最中间的两个数分别为 7 和 8，故
平均成绩 /杯 中位数 /杯 众数 /杯 方差
甲 a 7 7 1.2
乙 7 b 8 c
图1 甲队员射击训练成绩
图2 乙队员射击训练成绩
平均成绩 /杯 中位数 /杯 众数 /杯 方差
甲 a 7 7 1.2
乙 7 b 8 c
乙成绩的方差
[(3-7)2+(4-7)2+(6-7)2+2(7-7)2+3(8-7)2+(9-7)2+(10-7)2]=4.2.
故a，b，c的值分别为 7，7.5，4.2.
项目 平均成绩/杯 中位数/杯 众数/杯 方差
甲 7 7 7 1.2
乙 7 7.5 8 4.2
(2)分别运用上表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩.
根据表中数据可知，甲和乙的平均成绩相等，乙的中位数大于甲的中位数，乙的众数大于甲的众数，所以从平均数、中位数、众数的角度看，乙的成绩好于甲的成绩；从方差的角度看，乙的方差大于甲的方差，说明甲的成绩比乙的成绩稳定（合理即可）.
决策型问题的求解策略
决策型问题的求解不能只通过某一个统计量去判断，而应该从多个角度去分析.平均数、中位数、众数反映一组数据的集中趋势.方差是用来描述数据离散程度的量，它的大小体现一组数据的稳定情况.
例2 甲、乙两地同一天的气温记录如下表所示. 两地的气温有什么差异？
时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00
甲/ ℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13
乙/ ℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15
解：为了直观地观察两地气温的特点，以时刻为横坐标，气温为纵坐标，把表中的数据用折线图进行表示，得到下图.
时刻
气温/ ℃
25
20
15
10
5
0
时刻
气温/℃
25
20
15
10
5
0
从上图可以看出，甲、乙两地气温在不同的时刻互有高低，但甲地的最高气温高于乙地，而最低气温低于乙地.为进一步了解两地气温的差异，可以从数据的集中趋势和离散程度两个方面分别进行比较.
两地气温的平均数分别为
甲= =16， 乙= =16.
将两地气温按从小到大排列，可得
甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24
乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21
可以发现两地气温的中位数都是16，众数各有两个（甲地是16和21，乙地是15和17）且都出现两次，因为重复次数太少，所以不具有代表性.因此，从数据的集中趋势看，两地的气温差异不明显.
两地气温的方差分别为
s2甲= = ，
s2乙= = .
由s2甲＞s2乙可知，乙地气温的波动程度比甲地的小，气温更稳定.
跟踪训练 兴趣小组为了考察A、B两种小麦的长势，分别从中随机抽取10株麦苗，测得苗高（单位：cm）如下表.（其中算得A种小麦的平均苗高 A=12cm ）
A 10 13 14 13 10 12 13 11 15 9
B 11 16 14 11 13 13 9 11 10 12
(1)求B种小麦的平均苗高.
(2)若试验田有A种小麦1 000株，估计苗高为13cm的小麦有多少株？
(3)哪种小麦的长势比较整齐？并说明理由.
A 10 13 14 13 10 12 13 11 15 9
B 11 16 14 11 13 13 9 11 10 12
(1)求B种小麦的平均苗高；
(2)若试验田有A种小麦1 000株，估计苗高为13cm的小麦有多少株？
(3)哪种小麦的长势比较整齐？并说明理由.
解：(1)B种小麦的平均苗高是
×(11+16+14+11+13+13+9+11+10+12)=12(cm).
(2)1 000×=300（株）.
A 10 13 14 13 10 12 13 11 15 9
B 11 16 14 11 13 13 9 11 10 12
(1)求B种小麦的平均苗高；
(2)若试验田有A种小麦1 000株，估计苗高为13cm的小麦有多少株？
(3)哪种小麦的长势比较整齐？并说明理由.
(3)因为=×[(10-12)2+(13-12)2+(14-12)2++(15-12)2+(9-12)2]=3.4，
=×[(11-12)2+(16-12)2+(14-12)2++(10-12)2+(12-12)2]=3.8.
因为 ，
所以用样本方差估计总体方差，A种小麦长势比较整齐.
利用方差进行决策
决策型问题的求解不能只通过某一个统计量去判断，而应该从多个角度去分析.平均数、中位数、众数反映一组数据的集中趋势.方差是用来描述数据离散程度的量，它的大小体现一组数据的稳定情况.
方差越大，数据的离散程度越大；
方差越小，数据的离散程度越小.
1.样本方差的作用是（ ）
A.表示总体的平均水平
B.表示样本的平均水平
C.准确表示总体的波动大小
D.表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小
D
2. 甲、乙两名运动员进行罚球线上投篮测试. 每人投篮10组，每组投篮10次，两名运动员投篮10组命中的次数如下表所示.
哪名运动员的投篮更稳定？
甲 8 6 9 6 8 10 7 7 10 9
乙 7 8 9 8 9 8 8 10 6 7
解：甲=×(8+6+9+6+8+10+7+7+10+9)=8,
s2甲 =×[2×(8 8)2+2×(6 8)2+2×(9 8)2+2×(7 8)2+2×(10 8)2]=2.
(7+8+9+8+9+8+8+10+6+7)=8,
s2乙×[2×(7-8)2+4×(8-8)2+2×(9-8)2+(6-8)2+(10-8)2]=1.2.
因为 s2甲s2乙，所以乙运动员投篮更稳定.
甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4
乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1
3. 甲、乙两台机床同时生产一种零件.在10天中，两台机床每天出次品的数量（单位：件）如下表所示.
(1)分别计算两组数据的平均数和方差.
甲，
s2甲.
.
s2乙.
甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4
乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1
3. 甲、乙两台机床同时生产一种零件.在10天中，两台机床每天出次品的数量（单位：件）如下表所示.
(2)哪台机床的性能比较好？
性能比较：
∴乙机床出次品的平均数较小.
∴乙机床出次品的波动较小.
结论： 乙机床的性能较好.
4.为了解学生物理实验操作情况，随机抽取小青和小海两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下：
①操作规范性：
②书写准确性：
小青：1 1 2 2 2 3 1 3 2 1
小海：1 2 2 3 3 3 2 1 2 1
操作规范性和书写准确性的得分统计表：
操作规范性 书写准确性 平均数 方差 平均数 中位数
小青 4 1.8 a
小海 4 b 2
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的a=_____，b=_____；比较和的大小__________；
操作规范性 书写准确性 平均数 方差 平均数 中位数
小青 4 1.8 a
小海 4 b 2
解：小青的中位数：.
小海的平均数：.
由折线统计图可知，小青的波动幅度大于小海的波动幅度，
.
2
2
(2)综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价并说明理由；
操作规范性 书写准确性 平均数 方差 平均数 中位数
小青 4 1.8 2
小海 4 2 2
情况①：从操作规范性来分析，小青和小海的平均得分相等，但是小海的方差小于小青的方差，所以小海在物理实验操作中发挥较稳定；
情况②：从书写准确性来分析，小海的平均得分比小青的平均得分高，所以小海在物理实验中书写更准确；
情况③：从两个方面综合分析，小海的操作更稳定，并且书写的准确性更高，所以小海的综合成绩更好．
(3)为了取得更好的成绩，你认为在实验过程中还应该注意哪些方面？
操作规范性 书写准确性 平均数 方差 平均数 中位数
小青 4 1.8 2
小海 4 2 2
熟悉实验方案和操作流程；注意仔细观察实验现象和结果；平稳心态，沉稳应对．

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