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第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用（1）
8年级
学习目标
1. 经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些
文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理.
2. 会用勾股定理进行简单的计算.
在《周髀算经》的开篇，商高（约公元前11世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积.
3
5
4
商高所指的面积关系可以用图形表示.如图，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分刚为9，16，25，且9+16=25. 从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.
其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？
探究 如图 ,每个小方格的面积均为 1,图中正方形 A ,B ,C 的面积之间有什么关系？A ,B ,C 呢？A ,B ,C 呢？
知识点1 勾股定理
探究 如图 ,每个小方格的面积均为 1,图中正方形 A ,B ,C 的面积之间有什么关系？A ,B ,C 呢？A ,B ,C 呢？
SA =_________,SB =_________,SC =_________,
面积之间的关系：
______________________________.
1
4
5
SA +SB =SC
知识点1 勾股定理
探究 如图 ，每个小方格的面积均为 1，图中正方形 A ，B ，C 的面积之间有什么关系？A ,B ,C 呢？A ,B ,C 呢？
SA =_________,SB =_________,SC =_________,
面积之间的关系：
______________________________.
4
9
13
SA +SB =SC
知识点1 勾股定理
探究 如图 ，每个小方格的面积均为 1，图中正方形 A ,B ,C 的面积之间有什么关系？A ,B ,C 呢？A ,B ,C 呢？
SA =_________,SB =_________,SC =_________,
面积之间的关系：
______________________________.
9
25
34
SA +SB =SC
知识点1 勾股定理
可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积.由此我们猜想（如图）：
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2+b2=c2.
符号语言 ：
如图，在Rt△ABC中， ∠C = 90°，
∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，
则 a2+b2=c2.
a
b
c
例1 如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.
a
b
c
证法1 我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题.
面积为a2+b2
a
b
a
c
面积为c2
证明猜想
赵爽弦图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，因此，这个图案被选为 2002 年北京数学家大会的会徽。
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2=c2.
在我国又称勾股定理，在西方则叫毕达哥拉斯定理
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
a
b
c
问题回归
勾
股
弦
勾
股
勾股定理
内容
在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b为直角边，c为斜边，则有+=。
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时，一定要分类讨论
作业
教科书 30页 1题~3题
教科书 30页 7，8，12题
下课
Thanks!
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