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河北衡水中学2025-2026学年度高三年级下学期综合素质评价三数学学科试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．已知， 为虚数，则 的值可能为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
4．一个圆台的母线长为，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．设双曲线的焦距为，若成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知满足，且当时， ，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线：（）的焦点为，圆：与交于，两点，若直线与直线的斜率之积为，则（ ）
A．3 B． C．4 D．5
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．样本相关系数越大，则线性相关性越强
B．1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15
C．随机变量的方差，期望，则
D．某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为10.8
10．已知的左、右焦点分别为，长轴长为，点在椭圆外，点在椭圆上，则下列说法中正确的有（ ）
A．椭圆的离心率的取值范围是
B．椭圆上存在点使得
C．已知，椭圆的离心率为，则的最大值为
D．的最小值为
11．定义：若函数在区间的值域为，则称区间是函数的“完美区间”.另外，定义区间的“复区间长度”为.已知函数，则下列说法中正确的是:( )
A．是的一个“完美区间”
B．是的一个“完美区间”
C．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
D．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
三、填空题
12．已知，则______.
13．甲、乙、丙等5名同学站一排照相合影，要求甲与乙之间有一人，丙与甲不相邻，丙与乙相邻，则不同的排法有______种．
14．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．
四、解答题
15．已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和为．
16．手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买手机的情况，得到数据如下表.
购买手机 购买无技术的手机 总计
男性顾客 45 65 110
女性顾客 56 34 90
总计 101 99 200
(1)根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由：
(2)为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖.每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望.
参考公式及数据：①，其中．
②,,,．
17．在中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)求的值；
(2)若是边上一点，，，求的周长.
18．对于函数，若，则称实数为函数的不动点，设函数，.
(1)若，求函数的不动点；
(2)若函数在区间上存在两个不动点，求实数的取值范围；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．如图（1），已知抛物线的焦点为，准线为，过点的动直线与交于A，B两点（其中点A在第一象限），以AB为直径的圆与准线相切于点C，D为弦AB上任意一点，现将沿CD折成直二面角，如图（2）．
(1)证明：；
(2)当最小时，
①求，两点间的最小距离；
②当，两点间的距离最小时，在三棱锥内部放一圆柱，使圆柱底面在面BCD上，求圆柱体积的最大值．
参考答案
1．B
2．C
3．A
4．A
5．A
6．B
7．B
8．C
9．BD
10．ABC
11．AC
12．
13．8
14．
15．（1）因为，且，可得，
即对任意恒成立，可得，
所以.
（2）由（1）可知：，
则，
可得，
所以.
16．（1）假设:购买手机与顾客性别无关.
根据公式，
因为，所以假设不成立，
即我们有的把握认为购买手机与顾客的性别有关，此判断犯错误概率不超过0.01.
（2）可能取的值为0，100，200，300，400，
每次抽奖不中的奖的概率为，中元概率为，中元概率为，
，
，
，
，
，
所以的分布列为
0 100 200 300 400
所以期望为.
17．（1）由题意知，，即，即.
因为，所以，
即，
所以，
又，，
所以或，所以（舍）或，
因为，所以，则.
（2）
方法一：设，则，，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
由，可得，
在中，由余弦定理可得，
即，
联立解得，，
所以的周长为.
方法二：设，则，，即，
故，故，
所以，可得，
在中，由余弦定理可得，
即，
联立解得，，所以的周长为.
18．（1）解：当时，方程，即为，
即，可得，
解得或，可得或，
所以函数的不动点为和.
（2）解：由方程，可得，
即，可得，即为，
令，当时，可得，
因为函数在区间上存在两个不动点，
可得关于的方程在上有两个不等的实数根，
令，可得在单调递减，在单调递增，
且，
则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
（3）解：不等式，可化为，
由函数在上单调递减函数，
可得，
因为对任意，不等式恒成立，
即对任意，不等式，即，
可得，即为，
所以在上恒成立，
令，当时，可得，
由题意得，对任意，不等式恒成立，
函数在上为单调递增函数，所以，
函数在上为单调递减函数，所以，
所以，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
19．（1）过作，垂足为，过作，垂足为，
因为平面平面，且平面平面，平面，
可得平面，
由平面，可得，
且，平面，可得平面，
由平面，可得，
则，
所以.
（2）因为以AB为直径的圆与准线相切于点C，可知，
则，
由（1）可得：
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，最小，
①因为平面，平面，则，，
即，
在中，则，
在中，由余弦定理可得，
则，
在中，则，
在中，则，可得，
由题意可知：焦点，准线，直线的斜率存在，且直线与抛物线必相交，
设直线，，
联立方程，消去y可得，
则，
可得，
当时，取到最小值2，根据对称性可知，
可得；
当时，则，且，
由基本不等式可得，
则；
综上所述：的最小值为2，当且仅当，时，等号成立，
所以，两点间的最小距离为；
②由（1）可知：当，两点间的距离最小时，则，，
可知为中点，且与重合，
因为，
设的内切圆半径为，
由等面积法可得：，解得，
设圆柱的底面半径为，高为，
则，可得，
所以圆柱的体积，
令，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则，
所以圆柱体积的最大值为.

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