资源简介

2026年北京三帆中学九年级零模数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
3.若一个多边形的每个内角都是，则该多边形为（ ）
A. 十边形 B. 八边形 C. 六边形 D. 四边形
4.将图1的三脚插头随机插到图2的插座面板的四组插孔上，能恰好插上的概率是（）
A. B. C. D.
5.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A. 2 B. 1 C. D. 0
6.在广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千米，则“比邻星”距离太阳系约为（）
A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米
7.如图1，图2，点C是上一点，利用尺规过点C作，下列说法错误的是（ ）
A. 图1的原理是同位角相等，两直线平行
B. 以点E为圆心，以为半径作弧，得到弧
C. 图2的原理是两直线平行，内错角相等
D. 以点C为圆心，以为半径作弧，得到弧
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是，点B是函数图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论：
①四边形ABCD可能是菱形；
②四边形ABCD可能是正方形；
③四边形ABCD的周长是定值；
④四边形ABCD的面积是定值．
所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④
二、填空题：本题共9小题，共24分。
9.若分式有意义，则实数x的取值范围是 ．
10.分解因式： ．
11.分式方程的解为 ．
12.2025年4月23日是第30个世界读书日，其主题是“阅读的力量：构建人类命运共同体”，为了了解本区4000名学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下所示的统计表，根据表中信息估计该区间周课外阅读时间不超过2小时的学生有 名．
每周课外阅读时间（小时）
人数 14 20 28 38
13.当a= ,b= 时,可以说明“若a>b,则>”是假命题(写出一组a,b的值即可).
14.如图，四边形是边长为2的正方形，点在正方形内，是等边三角形，则的面积为 ．
15.小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的特殊量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的底边平行．将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点O处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为，那么被测物体表面的倾斜角α为 ．
16.某校组织学生出行游玩，有四名学生想通过一条河．河边仅有一条小船可供使用，四人的单人划船过河时间如下表所示：
学生 A
所需时间／分钟 3 5 8 10
当多人同时乘船时，由于重量发生变化，此时过河时间与单人划船过河所需的最长时间相同．
(1) 若该船的最大载客人数为4人，则A、、、四人过河所需的最短时间为 分钟；
(2) 若该船的最大载客人数为2人，则A、、、四人过河所需的最短时间为 分钟．
17.某校九年级开展了数学实践成果的评选活动，共有10件作品参加评选．对于参评的每件作品，由甲、乙两位评委独立评分（百分制），取两位评委评分的平均数作为该件作品的初始得分．对这10件作品的评委评分及初始得分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a.10件作品的得分情况：
序号 评委甲评分 评委乙评分 初始得分
1 70 82 76
2 80 84
3 61 76 68.5
4 78 84 81
5 71 85 78
6 81 83 82
7 84 86 85
8 68 74 71
9 66 77 71.5
10 64 82 73
B．分别记甲、乙两位评委对这10件作品评分的平均数为：
72.3
81.3
C．10件作品初始得分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
76.8 82
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 的值为 ，的值为 ；
(2) 设甲、乙评委对同一件作品的评分之差为，记所有满足的作品的初始得分的平均数为，则 （填“>”“=”或“<”）；
(3) 分别记甲、乙两位评委对这10件作品评分的方差为，则 （填“>”“=”或“<”）；若对于这10件作品中的某件作品，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，且以的值作为这件作品的标准化得分，对这10件作品按照其标准化得分由高到低进行排名，则排名第一名、第二名、第三名的作品的序号依次是 ．
三、计算题：本大题共2小题，共6分。
18.计算：
19.解不等式组：
四、解答题：本题共9小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题3分)
已知，求代数式的值．
21.(本小题5分)
在菱形中，对角线相交于点为的中点，连接并延长到点，使，连接．
(1) 求证：四边形是矩形；
(2) 若，求的长．
22.(本小题4分)
下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．若每平方米木地板与瓷砖的价格之比是，求每平方米木地板和瓷砖的价格．
23.(本小题5分)
在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
(1) 求这个一次函数的解析式；
(2) 当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围．
24.(本小题8分)
在一次综合实践活动中，小菲设计了两款帐篷．图1是由线段绕竖直的直线旋转一周得到的1号帐篷（点A在直线上，点B在水平地面上）；图2是由曲线段绕竖直的直线旋转一周得到的2号帐篷（点C在直线上，点D在水平地面上）．
已知两个帐篷的底圆半径都是2.0m，点M是线段上的一动点，点N是曲线段上的一动点．当M与B的水平距离和N与D的水平距离都是x（单位：m）时，小菲分别记录了M和N的竖直高度（单位： m）和（单位： m），部分数据如下：
0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0
0 0.60 1.20 1.80 2.40 3.00
0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53
(1) 补全表格（结果保留小数点后两位）；
0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0
0 0.60 1.20 1.80 2.40 3.00
0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53
(2) 通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
(3) 将某人在帐篷内直立行走不会碰到头部时的底圆区域称为自由活动区，根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①某学生的身高是1.80m，则他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为 m（结果保留小数点后一位）；
②甲、乙、丙三名学生的身高（单位：m）分别为，，，若，且，则在2号帐篷中，甲与乙自由活动区的半径差 乙与丙自由活动区的半径差（填“”“”“”）．
25.(本小题5分)
如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D的直线，分别交，的延长线于点E，F．
(1) 求证：直线是的切线；
(2) 若，，求的长．
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线
(1) 求抛物线的顶点的坐标；（要有过程）
(2) 若直线与抛物线的一个交点的横坐标为4，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．
①当时，求的长．
②当点在点的下方，且线段的长随的长的增大而减小时，求的取值范围．
27.(本小题9分)
如图，在正方形中，是边上一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，是中点，连接．
(1) 求的度数；
(2) 连接，请用等式表示，，三条线段之间的数量关系，并证明；
(3) 若正方形的边长为，请直接写出的面积最大值．
28.(本小题9分)
在平面直角坐标系中，对于图形及过定点的直线，有如下定义：过图形上任意一点作于点，若有最大值，那么称这个最大值为图形关于直线的最佳射影距离，记作，此时点称为图形关于直线的最佳射影点．
(1) 如图1，已知，，写出线段关于轴的最佳射影距离 ；
(2) 已知点，的半径为，求关于轴的最佳射影距离，并写出此时关于轴的最佳射影点的坐标；
(3) 直接写出点关于直线的最佳射影距离的最大值．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】1360
13.【答案】1
-2

14.【答案】 /
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
10
【小题2】

17.【答案】【小题1】
82
77
【小题2】
【小题3】
>
7,2,6

18.【答案】解：原式

19.【答案】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：．

20.【答案】解：
．
，
．
原式．

21.【答案】【小题1】
证明：为的中点，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
平行四边形是矩形；
【小题2】
解：四边形是菱形，
，
四边形是矩形，
，
设，
，
，
根据勾股定理可得，
即，
解得，
，
．

22.【答案】解：设每平方米木地板的价格为元，则每平方米瓷砖的价格为元．
厨房面积： ．
卫生间面积： ．
客厅面积： ．
卧室面积： ．
由题意，可得．
解得，
，．
答：每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元．

23.【答案】【小题1】
一次函数的图象由函数的图象平移得到

将点代入，得
解得
这个一次函数的解析式为
【小题2】
当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值

解得

24.【答案】【小题1】
2.70
【小题2】
根据表格数据描点，连线，画图如下：
【小题3】
0.7


25.【答案】【小题1】
证明：如图，连接．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
∴．
即．
∴直线是的切线．
【小题2】
解：∵，
设的半径为r，则．
∵，
∴．
∵，
在中，．
即．
∴．
∴．
∴．
在中，由勾股定理得．

26.【答案】【小题1】
解：
；
∴顶点的坐标为；
【小题2】
解：①当时，，
∴，
把代入，得，解得，
∴，
由题意，，，
当时，，，
∴；
②由①知：，，抛物线的解析式为，
当时，解得或，
∵点在点的下方，
∴，
∴，，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∵线段的长随的长的增大而减小，即线段的长随的增大而减小，，
∴．

27.【答案】【小题1】
解：由对称得：，，
在正方形中，，，
，
是的中点，
，，
；
【小题2】
结论：，
证明：如图，作交的延长线于，
，
在正方形中，，，
，
由（1）可知：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
【小题3】
．
理由如下：如图，过作于，则，
中，，
，即为定值，
当最大时，的面积最大，
连接，交于，当在上时，最大，此时与重合，
，，
，
．

28.【答案】【小题1】
3
【小题2】
解：由（1）可知，当时，直线与轴夹角为45度时，即时，直线上的点到轴的最佳射影距离相等，
设直线与相切于点，
，
，
设过的直线且与平行的直线为，
则，
即，
，
根据题意求最大值，则的切线在上方，
过点作轴于点，过点作，如图，
则，
为向左平移1个单位，再向上平移一个单位，
即的切线为，
由向左平移1个单位，再向上平移一个单位，得到，
关于轴的最佳射影距离；

当时，设直线为（b为常数且），令，
解得：，
即此时直线（b为常数且）与x轴的交点坐标为，
当时，直线（b为常数且）上的点到轴的最佳射影距离为：
，
∴当时，直线（b为常数且）上的点到轴的最佳射影距离为定值，
设直线（b为常数且）与相切于点，
，
，
设过的直线且与平行的直线为，
则，
即，
，
根据题意求最大值，则的切线在上方，
过点作轴于点，过点作，如图，
则，
为向右平移1个单位，再向上平移一个单位，
即的切线为，
由向右平移1个单位，再向上平移一个单位，得到，
关于轴的最佳射影距离；

综上分析可知，关于轴的最佳射影距离，此时关于轴的最佳射影点的坐标为或；
【小题3】
根据题意过点作，则点在为以为直径，的中点为圆心的圆上，
根据勾股定理求得，
由（2）可知当过点的切线与的夹角为45度时，满足定义，
即当为等腰直角三角形时，关于直线的最佳射影距离取得最大值


第1页，共1页

展开更多......

收起↑