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5.2 课时1 运动的合成与分解
质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。
知识回顾
曲线运动的速度方向：
物体做曲线运动的条件：
1.会根据具体问题建立平面直角坐标系，并用函数描述直线运动
2.理解合运动和分运动的概念，知道合运动和分运动是同时发生的，且互不影响。
3.知道运动的合成和分解的方法遵循平行四边形法则。
4.能够运用平行四边形法则解决有关位移、速度合成和分解的问题。
下雨天，雨滴竖直落下。当你静止不动时，雨滴会落在你的头顶。但当你向前行走时，你会看到雨滴斜着打在你的胸前甚至脸上。
问题：雨滴实际的运动路径改变了吗？为什么我们会看到“斜向雨迹”？
提示：雨滴实际路径没有改变，它依然竖直下落，我们所看到的“斜向雨迹”，是雨滴“竖直下落”和自己“水平行走”这两个运动合成的结果
对类似上面的运动，我们先从一个简单的平面运动开始研究。
观看视频
观察蜡块和玻璃管的运动，想一想，图丙中蜡块向上的运动和图乙中蜡块的运动有什么关系；图丙中蜡块向右的运动与玻璃管的运动有什么关系。
一、一个平面运动的实例
大小相等、方向相同，时间相同
2.演示实验：观察蜡块的运动
实验器材：一端封闭、长约 1 m 的玻璃管内注满清水、红蜡、黑板为背景。
实验思路：将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧（图甲）。把玻璃管倒置（图乙），蜡块 A 沿玻璃管上升。如果在玻璃管
旁边竖立一把刻度尺，可以看到，蜡块上升的速
度大致不变，即蜡块做匀速直线运动。 在蜡块匀
速上升的同时，将玻璃管紧贴着黑板沿水平方向
向右匀速移动（图丙），观察蜡块的运动情况。
问题1：在这个实验中，“蜡块向右上方运动”
与“蜡块沿玻璃管向上的运动y”和“玻
璃管的水平运动x”之间存在怎样的关联？
问题2：能否根据“蜡块沿玻璃管向上运动速度vy ” 和“玻璃管水平运动的速度vx”求出“蜡块向右上方运动的速度v”？
θ
【交流讨论】
【梳理深化】
1.研究物体在平面内的运动时的基本思路如图，在研究蜡块的运动时，我们以蜡块开始匀速运动的位置为原点 O，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为 x轴和 y 轴的方向，建立平面直角坐标系
2. 蜡块运动的轨迹
蜡块 x 坐标的值等于它与 y 轴的距离，y 坐标的值等于它与 x轴的距离。若以vx表示玻璃管向右移动的速度，以vy 表示蜡块沿玻璃管上升的速度，则有
y = x
vy
vx
结论： 代表的是一条过原点的直线，也就是说，蜡块的运动轨迹是直线.
3. 蜡块运动的速度
速度大小
速度方向：用速度矢量v与x轴正方向的夹角θ来表示，它的正切为
【交流讨论】
1.观看视频，思考讨论下列问题
问题1：小船的实际运动是什么方向？
问题2：小船同时参与了哪两个方向的运动？
问题3：小船的实际运动与船同时参与的两个方向的运动有什么关系？
二、运动的合成与分解
问题1：小船的实际运动是什么方向？
问题2：小船同时参与了哪两个方向的运动？
问题3：小船的实际运动与船同时参与的两个方向的运动有什么关系？
①小船的实际运动是v合方向；
②小船同时参与了沿河岸下游v水的运动和垂直河岸渡河的v船的运动；
③实际运动与两个运动是合运动与分运动的关系。
【梳理深化】
1. 分运动和合运动
合运动：物体实际发生的运动叫作合运动；
分运动：物体同时参与的不同方向上的运动，叫作分运动。
2. 合位移（或合速度）、分位移（分速度）
合运动的位移（或速度）叫作合位移（或合速度）；
分运动的位移（分速度）叫作分位移（分速度）。
3. 合位移（或合速度）、分位移（分速度）的关系
（1）等时性：合运动与分运动同时进行，同时结束。
（2）独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行各自产生的效果互不干扰。
（3）等效性：合运动与分运动在效果上是等效替代的关系。
4. 运动的合成与分解
由分运动求合运动的过程，叫作运动的合成；
由合运动求分运动的过程，叫作运动的分解。
5.运动的合成与分解即为描述运动的物理量的合成与分解 都遵守平行四边形定则。
位移合成与分解
速度合成与分解
加速度合成与分解
x
x2
x1
v
v2
v1
a
a2
a1
【例题】某商场设有步行楼梯和自动扶梯，步行楼梯每级的高度是 0.15 m，自动扶梯与水平面的夹角为 30°，自动扶梯前进的速度是 0.76 m/s。有甲、乙两位顾客，分别从自动扶梯和步行楼梯的起点同时上楼，甲在自动扶梯上站立不动，乙在步行楼梯上以每秒上两个台阶的速度匀速上楼（如图所示）。哪位顾客先到达楼上？如果该楼层高4.56 m，甲上楼用了多少时间？
分析： 甲、乙两位顾客在竖直方向上的位移相等，可考虑比较他们在竖直方向的分速度。由竖直方向的位移和竖直方向的速度，可求出上楼所用的时间。
解：如图所示，甲在竖直方向的速度
v甲y＝v甲sinθ ＝ 0.76 ×sin 30°m/s＝0.38 m/s
乙在竖直方向的速度
因此 v甲y > v 乙 ，甲先到楼上。 v乙= m/s=0.3m/s
t甲= = s=12 s
甲比乙先到达楼上，甲上楼用了 12 s。
30°
v甲y

v甲
1.关于运动的合成和分解，下列说法正确的是（　　）
A．合运动的时间等于两个分运动的时间之和
B．分运动是直线运动，则合运动必是直线运动
C．分运动是匀速直线运动，则合运动可能是曲线运动
D．分运动是匀变速直线运动，则合运动可能是曲线运动
D
A.0.1 m/s、0.5 m B. m/s、1.0 m C. m/s、2.0 m D.0.30 m/s、3.0 m
C
2.如图所示,长为1.0 m、一端封闭的玻璃管中注满清水,内有一个红蜡块能在水中以0.1 m/s的速度匀速上浮。在红蜡块从玻璃管底端上升的同时,使玻璃管水平匀速向右运动,测得红蜡块实际运动方向与水平方向的夹角为30°,则玻璃管水平移动的速度大小和红蜡块运动的位移大小分别为(　　)
3.飞机斜向上匀速飞行,方向与水平成30°角,已知飞机竖直方向上升的速度是180km/h，求10s内飞机的位移。
解析：飞机竖直方向的速度
则竖直方向的速度与合速度的关系为
10s内的位移
4.下雨是常见的自然现象，某次下雨时雨滴竖直下落到地面，匀速的收尾速度约10m/s，现因风的影响雨水下落时偏斜30°，求风速及雨滴实际落地时的速度。
解析：无风时，雨滴竖直下落，有风时，雨滴下落与竖直方向成300，如图。水平方向的速度即为风速
而雨滴实际落地速度
第5章 平抛运动
第2节 运动的合成与分解
课时2：小船渡河与关联速度问题
假如我们正在进行一场野外拓展。你们小组需要乘一艘动力恒定的皮划艇，渡过这条宽度为d、水流速度为v水的河流到达正对岸的营地。
不能，因为皮划艇会被水冲到下游
思考1：你觉得你能到达正对岸的营地吗？
思考2：假设营地不在正对岸，而是在你下游的某个地方。你现在追求的是以最快速度到达对岸（任何一点都可以），以抢占先机。这时，你又应该如何操控小船？是直指对岸，还是指向其他方向？
指向其他方向
会用运动合成与分解的方法分析小船渡河类问题。
会用运动合成与分解的方法分析绳杆连接物体类速度问题。
思考：船实际发生的运动是什么样的？从合成与分解的角度可以怎样认识、理解船的运动？
一、小船过河问题
船的实际运动 v（相对于河岸的运动）可看成是随水以速度 v水 漂流的运动和以速度 v船 相对于静水的划行运动的合运动。这两个分运动互不干扰,具有等时性。
思考1:假设河中各处水流速度均匀，那么水流的速度会影响到船的渡河时间吗？
思考2:调整船头的指向会影响船渡河的时间吗？影响船渡河时间的因素有哪些？
1. v船 的速度的分解
v船
v水
v∥
v⊥
v船
v∥
v⊥
v船
v⊥：渡河分速度（使船向对岸运动）=v船sinθ
v∥：沿河分速度（使船沿河运动）=v船cosθ
正交分解
真正能使船渡河到对岸的是v⊥分速度，影响船渡河时间的为v⊥分速度，而非水流速度。当船头指向垂直于河岸时，渡河分速度v⊥最大，渡河时间最短。
θ
θ
d
当v船 垂直于河岸时（即船头垂直河岸），渡河时间最短，最短时间
v船
v水
tmin=
v船
d
v
θ
tanθ=
v水
v船
v船
v水
v沿河岸的分速度
v垂直河岸的分速度
v船
v沿河岸的分速度
v垂直河岸的分速度
其最短时间与水流速度也无关
2.渡河时间最短
3.渡河位移最短
②若v水>v船，如图乙所示，从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向。
当v合沿圆的切线方向时，合位移最短
这时船头与河岸夹角θ满足
cos θ＝
【例题1】河宽200 m，小船在静水中的速度4 m/s,水流速度3 m/s,
（1）为了尽快过河，小船要怎样行驶？过时间多长？小船会到达对岸什么位置？
（2）若想到达正对岸，船要怎么行驶？过河时间多长？
分析：
要尽快到达对岸，垂直河对岸的速度要达到最大，船头要始终垂直对岸行驶。如果要垂直过河，合速度则要垂直对岸，
解：
（1）要尽快过河船头要始终垂直对岸行驶。
过河时间:
已知:河宽d=200 m,船速v1=4 m/s,水流速度v2=3 m/s
船往下游方向移动的距离:
（2）要垂直过河，合速度则要垂直对岸
过河速度:
过河时间:
情景：如图，小船过河的时候停止不动了，需要用车从岸上拉到岸边
问题1：小车A和小船B的速度关系？
小车拉着绳子，车速等于绳速！
问题2：绳子拽着船，他们俩的速度相等吗？
由于他们之间有个夹角，所以速度不等
二、关联速度问题
①沿绳分一个速度，这个速度V1等于绳速。
②沿垂直绳方向分一个速度，这个速度V2改变绳的方向
我们可以把船的运动速度正交分解为两个不同方向的速度
问题3：绳子和船之间的速度有什么关系呢
由几何关系可知：
v=v绳=v1。
1．模型特点
方法：v∥与v⊥的合成遵循平行四边形定则。
分速度→
其一：沿绳（杆）的速度v∥
其二：与绳（杆）垂直的速度v⊥
沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。
2．思路与方法
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v
绳牵联模型
杆牵联模型
解题四步：
①画出合速度——物体的实际运动方向；
②画出分速度——沿绳(杆)、垂直于绳(杆)；
③作矩形；
④沿绳(杆)方向的分速度大小相等。
3．解题原则：根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见步骤如下：
例2: 均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦。当杆滑到如图位置时，B球的水平速度为VB，杆与竖直夹角为a，求此时A球的速度大小。
B
a
A
题型一: 绳（杆）端速度分解模型
例3：如图所示，是楔形木块B放在光滑水平平面上靠边处并用手扶着，然后再木块和墙面之间放入一个小球A，楔形木块的倾角为a，放手让小球和木块同时由静止开始运动，某一时刻二者速度分别为VA和VB，则（ ）
A. VA:VB=1:1
B. VA:VB=sina : cosa
C. VA:VB=cosa : sina
D. VA:VB=sina : tana
a
解析：
a
垂直于接触面方向上分速度相等
VA
VB
题型二：接触面速度问题
1.一轮船船头垂直于河岸以一定的速度向对岸行驶，当河水匀速流动时，轮船所通过的路程、过河所用的时间与水流速度的关系正确的是(　　)
A．水速越大，路程越长，时间越长
B．水速越大，路程越短，时间越短
C．水速越大，路程和时间都不变
D．水速越大，路程越长，时间不变
D
2.如图，有一条宽为100 m的河道，一小船从岸边的某点渡河，渡河过程中保持船头指向与河岸始终垂直。已知小船在静水中的速度大小为4 m/s，水流速度大小为3 m/s。下列说法正确的是(　　)
A．小船在河水中航行的轨迹是曲线
B．小船渡河过程中的位移大小为100 m
C．小船在河水中的速度大小是7 m/s
D．小船渡河的时间是25 s
D
3.如图所示，绳子通过固定在天花板上的定滑轮，两端分别与同一水平面上的A、B两物体连接，当两物体到达如图所示位置时，绳与水平面的夹角分别为、，两物体的速度大小分别为、，已知、，则与之比为（　　）
A．3 4 B． 4 C． 4 D． 5
A
4.图中套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连，由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度v1≠0，若这时B的速度为v2，则 (　　)
D
A．v2＝v1 B．v2>v1
C．v2≠0 D．v2＝0
小船渡河模型
两类常见问题:
1、渡河时间最短
船头垂直于河岸航行即可
2、渡河位移最短
①v船 > v水，船能垂直过河，位移最短
②v水>v船，过河位移最短须满足v船 ⊥ v合
解题四步：
①画出合速度——物体的实际运动方向；
②画出分速度——沿绳(杆)、垂直于绳(杆)；
③作矩形；
④沿绳(杆)方向的分速度大小相等。
关联速度模型

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