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2026浙江省湖州市浙北八校2025学年第二学期九年级模拟检测数学试题卷
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个数中绝对值最大的是（）
A. 1 B. 0 C. －1 D. －3
2.中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》为全球华人和海外朋友奉上了一道年味浓郁、文化醇厚、科技闪耀的“文化年夜饭”，截至2月17日8时，春晚境内全媒体总触达230.63亿次，创13年来新高。数据“23063000000”用科学记数法表示为（）
A. 2.3063×1010 B. 2.3063×109 C. 2.3063×108 D. 230.63×107
3.如图，物体的主视图画法正确的是（）
A. B. C. D.
4.当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．现将一个盛水的玻璃杯放置在水平桌面上，图中，，则（ ）
A. B. C. D.
5.下列计算中不正确的是（）
A. B. C. D.
6.如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，点坐标为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7.2026年，宇树科技人形机器人再登央视春晚舞台。为普及相关科技知识，某校举办了人工智能知识竞答活动，一共20道题，每一题答对得5分，答错或不答扣3分．设答对了x道题，若得分不低于80分，可列出关于x的不等式是（ ）
A. 5x－3（20－x）≤80 B. 5x－3（20－x）≥80
C. 5x－3（20－x）＜80 D. 5x－3（20－x）＞80
8.一分钟跳绳是温州中考体育选考项目，某校为了了解九年级女生该项目的情况，随机抽取40名女生进行测试并绘制频数直方图如图所示．若成绩为不少于160个为优秀，则抽取的女生中跳绳能达到优秀有（）
A. 5人 B. 12人 C. 14人 D. 17人
9.已知反比例函数上有，两点，当t满足下列什么条件时，一定有（ ）
A. B. C. D.
10.如图，矩形中，对角线，交于点，点是点关于直线的对称点．连接交，于点，连接．若，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
11. ．
12.关于和的二元一次方程组的解是 ．
13.一个不透明的袋中装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球．甲先摸一个球，不放回，乙再摸一个，则甲乙摸到的球颜色不同的概率是 ．
14.如图是某商场扶梯的示意图，扶梯所在的直线与水平方向的夹角为．已知．若小明从扶梯底端处乘扶梯，以的速度用时到达扶梯顶端处，则小明上升的垂直高度为 ．
15.【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图所示的图形．此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．由此得：，得正整数解为．
【应用体验】小明用此方法解关于的方程．已知在他构造的图形中，大正方形的面积为81，则该方程的正整数解为 ．
16.如图，已知点为的直径上一点，且．为上一点，满足：连接并延长交圆于点．连接，过点作，若，则的长为
三、解答题：本题共8小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
化简求值：－2(a－1)－(a－2)(a＋2)，其中a＝3。
18.(本小题10分)
小江解方程的过程如下：
解：去分母，得…………第一步
去括号，得…………第二步
合并同类项，得…………第三步
移项，得…………第四步
合并同类项，得…………第五步
(1) 小江的解题过程有错误，他从第 步开始出现错误；
(2) 写出正确的解答过程．
19.(本小题10分)
如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心，为半径的半圆交边于点，与相切于点，连接，．
(1) 求证：平分；
(2) 若，求该圆的直径．
20.(本小题10分)
为丰富同学们的课余生活，学校举办“校园十佳歌手”比赛，邀请全校同学当评委对每个节目进行打分（满分5分），该校九年级同学对其中一个节目的打分情况统计结果如下：
(1) 求九年级同学对该节目打分的众数、中位数和平均数；
(2) 全校共有学生1200人，请根据统计信息，估计全校打分在4分及以上的总人数．
21.(本小题12分)
甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，甲的速度小于乙的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与甲的行驶时间之间的函数关系．请你根据图象进行探究：
(1) 求甲和乙的速度；
(2) C点的坐标是 ；
(3) 当甲乙两人相距时，求的值．
22.(本小题12分)
【问题背景】如图所示，某兴趣小组将矩形纸片沿对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，交于点，交于点．
【数学理解】
(1) 在平移过程中，线段的长始终与相等，请说明理由；
(2) 已知，在平移过程中，当两个三角形的重叠部分为菱形时，求移动的距离．
23.(本小题12分)
已知二次函数（a为常数）．
(1) 当时，求该二次函数图象的顶点坐标；
(2) 与轴平行的直线交该二次函数图象于，两点，且点的横坐标为，求线段的长；
(3) 若，点，在该二次函数图象上，试说明．
24.(本小题12分)
如图，正方形，直线绕点顺时针旋转至，作关于直线的对称点交于点，连接交于点，连接交于点．小明在探究与的大小关系时，发现其对应如下：
①_____ ②_____
(1) 请填表，并证明结论②；
(2) 求证：；
(3) 在直线旋转过程中，试探究线段与线段的比（用含的式子表示）
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】1
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：原式，
，
，
当时，
原式，
，
.
18.【答案】【小题1】
一
【小题2】
解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得
合并同类项，得，
系数化为1，得．

19.【答案】【小题1】
证明：∵与半圆相切于点，
∴，
∵，
∴，
∵是所对的圆心角，是所对的圆周角，
∴，
∴，
∴平分．
【小题2】
解：设半径，
∵以点为圆心，为半径的半圆交边于点，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
即直径．

20.【答案】【小题1】
解：5分的占比最高，所以众数是5分，
先将所有打分按从小到大排序，累计占比：
2分→3分(累计)→4分(累计)→5分(累计)，
中位数是第和第位置的数，
所以中位数是（分），
计算加权平均数：
（分），
【小题2】
解：（人），
答：估计全校打分在4分及以上的总人数约为1080人．

21.【答案】【小题1】
解：从可以看出：两人从相距的两地相遇用了一个小时时间，
则，
∵甲的速度小于乙的速度，
∴甲用了3小时走完了的全程，
∴，
∴；
【小题2】
【小题3】
解：当甲和乙相遇前两人相距时，则，
解得；
当甲和乙相遇后两人相距时，则，
解得，
综上，甲乙两人相距时，的值为或．

22.【答案】【小题1】
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴由平移可得，，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【小题2】
解：∵矩形中，，
∴，，
∴，
由平移可得，，
设，则，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∵，即，
解得，
∴移动的距离．

23.【答案】【小题1】
解：当时，则二次函数的解析式为，
化为顶点式为，
∴二次函数图象的顶点坐标为；
【小题2】
解：令，则有，解得，
∴该二次函数与x轴的交点坐标为，
∴该二次函数的对称轴为直线，
由与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点可知：二次函数图象上的A，B两点关于二次函数的对称轴对称，
∵点B的横坐标为，
∴点B到对称轴的距离为，
根据对称的性质可知：；
【小题3】
解：∵点，在该二次函数图象上，
∴，
，
∴
，
当时，即，
解得：，
∵，且，
∴，
即．

24.【答案】【小题1】
解：填表：①；②；
证明②：连接，
由题意，，，，
由轴对称性质得，，
∴，，
∴，
∴；
【小题2】
解：过C作交延长线于P，则，
∴，
∵，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小题3】
解：设与交于点K，如图，
由（2）知，，
∴，又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，又，
∴．

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